Dreiecke und Vierecke

Transkript

1 1. Von einem reieck weiß man: (a) a = 5cm, = 65 und γ = 50 (b) a = b und β = 60 reiecke und Vierecke Fertige jeweils für den Fall (a) und für den Fall (b) eine Planfigur an. egründe damit die besonderen igenschaften dieser reiecke. Lösung: (a) s ist ein gleichschenkliges reieck. (b) s ist ein gleichseitiges reieck. 2. as ist ein ild des Logos der Firma MRU, die Farben herstellt. F I K M G H iese Figur ist aus zwei Quadraten aufgebaut und es gilt: G = GH = GH = H = FI = IK = K = xcm. (a) Zeichne die Figur für x = 2. (b) erechne den Flächeninhalt des Rechtecks in bhängigkeit von x. [ rgebnis: (x) = 18x 2 cm 2 ] (c) erechne x so, dass der Flächeninhalt des Rechtecks 1,125dm 2 groß ist. (d) Vergleiche den Flächeninhalt des reiecks H mit dem des Parallelogramms GHIF. (e) Untersuche rechnerisch, ob die dunkel getönte Restfläche zwischen dem Kreis und dem Quadrat F größer oder kleiner ist als die des reiecks H. 1

2 Lösung: (a) (b) r 3x F x I K M 3x x x x G H s gilt: = 3xcm und = 6xcm. (x) = 18x 2 cm 2 (c) 18x 2 cm 2 = 112,5cm 2 für x Q + x = 2,5 (d) urch die Strecke [IG] wird das Parallelogramm GHIF in zwei kongruente rechtwinklige reiecke zerlegt, die jeweils zu dem rechtwinkligen reieck H kongruent sind. (GHIF) = 2 (H) (e) Für den Kreisradius gilt: r = 1,5x (dunkel)= [(3x) 2 (1,5x) 2 π] : 2cm 2 = 0,5 (9 2,25π)x 2 cm 2 ie reiecke H und GF sind kongruent: (H) = 0,5 x 3xcm 2 = 1,5x 2 cm 2 (dunkel) (H) = 0,5 (9 2,25π)x2 cm 2 1,5x 2 cm 2 1,93 < 1 3 ie dunkel getönte Fläche ist also kleiner als die Fläche des reiecks H. 3. Q P as reieck hat einen Flächeninhalt von 10cm 2. Zusätzlich gilt: P = P und Q = Q. erechne den Flächeninhalt des Vierecks P Q. Hinweis: Zeichne geeignete Hilfslinien ein. 2

3 Lösung: er Flächeninhalt des Vierecks PQ beträgt 7,5cm s gibt zwei Möglichkeiten, ein gleichschenkliges reieck zu konstruieren, wenn die asis 5cm lang ist und das Maß irgendeines Innenwinkels 70 beträgt. Konstruiere diese beiden reiecke. Lösung: 1. Fall: eide asiswinkel haben das Maß 70. ann hat der dritte Winkel das Maß Fall: er Winkel an der Spitze hat das Maß 70. ann hat jeder asiswinkel das Maß 55. Lösung: s gibt zwei Möglichkeiten, ein gleichschenkliges reieck zu konstruieren, in dem ein Innenwinkel 120 beträgt und eine Seite 6cm lang ist. Konstruiere diese beiden reiecke. 6. (a) Konstruiere ein reieck mit c = 6cm, = 35 und γ = 95. (b) Ändere die ngaben für das reieck an einer Stelle so ab, dass mit der abgeänderten ngabe die Konstruktion eines reiecks nicht mehr möglich ist. egründe deine Wahl. Lösung: (b) z.. a = 7cm statt = (a) Von einem reieck weiß man: a = 11,3cm und γ = 60. ußerdem besitzt das reieck eine Symmetrieachse. Konstruiere das reieck. Was fällt dir auf? (b) Von einem weiteren reieck weiß man: = 47, a = 4,5cm und =. erechne die restlichen Innenwinkel dieses reiecks. Lösung: (a) as reieck ist gleichseitig. (b) as reieck ist gleichschenklig: β = γ = 66,5 8. Konstruiere ein reieck mit a = 6cm, b = 4cm und c = 7cm auf zweifache Weise: (a) Lege die Strecke [] waagrecht. (b) Lege die Seite [] waagrecht. (c) Ändere die ngaben für das reieck so ab, dass mit der abgeänderten ngabe die Konstruktion eines reiecks nicht mehr möglich ist. egründe deine bänderung ohne neue Konstruktion. 3

4 Lösung: (c) z.. c = 10,5cm oder = 90,01 9. (a) Konstruiere ein reieck aus c = 6cm, = 92 und a = 8cm. (b) Ändere eine der ngaben für das reieck so ab, dass dann die Konstruktion des reiecks nicht mehr möglich ist. egründe deine bänderung. Lösung: (b) z.. statt a = 8cm: β = 90 oder c = 9cm statt c = 6cm. 10. k 1 k 2 δ M In der obigen Figur sind die Punkte M und Mittelpunkte der Kreisbögen k 1 und k 2. (a) Zeichne die Figur für = 6cm und = 35. Wie groß ist δ? (b) Wie groß ist für δ = 40? (c) egründe: Für δ = 59 gäbe es das reieck nicht. (d) Für welche Werte von δ gäbe es überhaupt noch das reieck? egründe deine ntwort. Lösung: (a) Zeichne den Halbkreis k 1 über der Strecke [], die 6cm lang ist. Trage im Punkt den Winkel = 35 an. er freie Schenkel von schneidet k 1 im Punkt. er Kreis k 2 mit dem Mittelpunkt und dem Radius schneidet die Halbgerade [ im Punkt. er Rest ist Formsache. k 1 k 2 δ M 4 ϕ δ

5 er Punkt liegt auf dem THLS-Kreis über []. = 90 ϕ = = 55. Weiter gilt: = = δ ϕ ist ußenwinkel am reieck 55 = 2 δ δ = 27,5 (b) Nun kannst du rückwärts schließen: Wenn δ = 40 ist, dann muss ϕ = 2 40 = 80 sein. = = 10 (c) Wäre δ = 59, dann wäre nach dem Satz vom ußenwinkel ϕ = = 118. Weil das reieck aber rechtwinklig ist, wäre in ihm die Innenwinkelsumme von 180 überschritten. (d) er Winkel mit dem Maß ϕ muss stets ein spitzer Winkel bleiben, denn sonst bliebe das reieck nicht rechtwinklig. lso: ϕ = 2 δ < 90 δ < 45 Wenn δ = 0 wäre, dann würdeϕ = 0 folgen. ann läge der Punkt auf dem Punkt, und das reieck wäre zusammen mit der ganzen Figur zur Strecke entartet. lso gibt es das reieck nur für 0 < δ < 45. nmerkung: s gibt dazu eine mit GONxT erstellte dynamische Konstruktion: 08eh100.gxt 11. β in Seil, das am linken nde mit einem Gewicht belastet ist, wird über eine feste Rolle geführt. m rechten Seilstück, das mit der Waagrechten den Winkel einschließt, wird das Gleichgewicht gehalten. (a) egründe: β = 90. (b) Zeichne die Rolle mit dem Seil für den Radius r = 3cm und = 37. (c) erechne den ruchteil des Umfangs der festen Rolle, der für = 30 vom Seil berührt wird. (d) Wie groß müsste man den Winkel wählen, damit die Länge des Seilstückes, das die Rolle berührt, 40% des Rollenumfangs beträgt? 5

6 Lösung: (a) Siehe Zeichnung zu (b): ie Halbgerade [T liegt auf der Kreistangente mit dem erührpunktt. er erührradius [MT] steht auf dieser Tangente senkrecht. Weiter gilt: δ = (Z-Winkel). β = 90 δ = 90. (b) Wenn also = 37 ist, dann folgt β = = 53. amit kannst du den erührradius mit dem Punkt T und seine Kreistangente konstruieren. as linke Seilende führt senrecht nach unten. T P µ β δ M (c) us = 30 folgt β = 60 µ = = 120. er Mittelpunktswinkel µ nimmt also ein rittel des Vollwinkels (360 ) ein. amit bedeckt das Seil ein rittel des Rollenumfangs. (d) erechne aus dem Mittelpunktswinkel µ: µ = 40% von 360 = 0,4 360 = 144. β = = 36 = = M 1 Z M 2 ie Punkte M 1 und M 2 sind die Mittelpunkte der beiden Kreise. (a) Zeichne die Figur mit dem Kreisradius 3 cm. (b) egründe: Im Viereck M 2 M 1 gibt es zwei Innenwinkel mit dem Maß 120. (c) Wie groß ist der Umfang des Vierecks M 2 M 1? Um welches besondere Viereck handelt es sich also? (d) egründe: ie beiden reiecke M 1 Z und M 1 sind kongruent. 6

7 Lösung: (a) (e) Vergleiche den Flächeninhalt des Vierecks M 2 M 1 mit dem des Vierecks. µ 1 µ 2 M 1 Z M 2 (b) ie reiecke M 1 M 2 und M 1 M 2 sind gleichseitig; ihre Seitenlänge beträgt jeweils 3 cm (Kreisradius). µ 1 = µ 2 = = 120. (c) er Umfang des Vierecks M 2 M 1 ist 4 3cm = 12cm lang. s handelt sich um ein gleichseitiges Viereck, also um eine Raute. (d) as reieck M 1 ist gleichschenklig: M 1 = M 1 = 3cm. M 1 = = 120 M 1 = M 1 = 30 M 1 = M 1 Z = 30 M 1 = ZM 1 = 90 M 1 = ZM 1 = 60 ie beiden reiecke M 1 Z und M 1 stimmen damit in allen drei Innenwinkelmaßen überein und sie haben die Seite [M 1 ] gemeinsam. lso sind diese beiden reiecke kongruent. (e) M 1 Z M 2 ie Raute lässt sich mit sechs kongruenten rachenvierecken parkettieren. ie Raute M 2 M 1 ist nach (d) so groß wie zwei dieser rachenvierecke. 7

8 lso ist die Raute dreimal so groß wie die Raute M 2 M 1. nregung: Setze diese Parkettierung auf deinem Zeichenblatt fort. u kannst dabei viele andere Flächen und deren Zusammenhänge entdecken. nmerkung: Viele (z.t. weltberühmte) Werke des holländischen Graphikers M.. scher ( ) sind Parkettierungen von ebenen Flächen oder Flächen im Raum. Literaturhinweis: ie Welten des M.. scher, Manfred Pawlak Verlagsgesellschaft MbH, Herrsching 13. ϕ as Trapez ist aus drei kongruenten gleichseitigen reiecken zusammengefügt. erechne das Maß ϕ des Schnittwinkels der beiden iagonalen. Lösung: ϕ S ψ δ M ε as Viereck M ist eine Raute, deren iagonalen die Innenwinkel halbieren. Z..: as reieck S ist gleichschenklig. δ = ε = 30 ψ = = 120 ϕ = =

9 p S P β Q R Im Trapez liegen die beiden gleichseitigen reiecke R und Q, wobei Q = QR = R gilt. Weiter gilt: P = und = β. ie Gerade p verläuft parallel zur Strecke [] durch den Punkt S. (a) Zeichne die Figur für Q = 4cm. (b) Zeige: ie Strecke [P] halbiert den Winkel nicht. (c) Zeige: ie reiecke RP und sind kongruent. (d) egründe: +β = 60. Lösung: (a) d 2 d 3 p S P β d 1 Q R (b) Wenn der Punkt P auf der Winkelhalbierenden läge, dann müssten die bstände d 1 und d 2 zu den Schenkeln [] bzw. [] gleich lang sein. Nun sind aber die Höhen d 1 und d 3 in den gleichseitigen reiecken RP und SP gleich lang, weil diese reiecke kongruent sind. Offensichtlich gilt nun: d 2 > d 3 = d 1. lso liegt der Punkt P nicht auf der Halbierenden des Winkels. (c) s gilt: R = RP = PR = = 120 RP = P (sws)-kongruenz. 9

10 (d) Weil RP = P gilt, folgt =. β + = β + = P ε Q G S I F H as ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. er Winkel mit dem Maß ε wurde zusätzlich eingezeichnet. (a) eschreibe den geometrischen ufbau des Logos. Verwende die uchstaben dazu. (b) In der Figur kannst du achsensymmetrische rachen und Trapeze entdecken. Zähle sie jeweils mit Hilfe ihrer ckpunkte auf. (c) erechne die Maße sämtlicher Innenwinkel des Sechsecks F HI. (d) erechne das Winkelmaß ε. (e) In der Figur ist ein gleichseitiges reieck mit dem ckpunkt S verborgen. Zeichne es farbig ein. Lösung: (a) ie Figur stellt ein Sechseck dar, das zwar achsensymmetrisch, aber nicht regelmäßig ist. Im Zentrum der Figur steht das gleichseitige reieck G. Über den Seiten dieses reiecks sind die drei kongruenten Quadrate, F G und GHI errichtet. Jedes Quadrat wird durch die beiden iagonalen in vier kongruente gleichschenkligrechtwinklige reiecke zerlegt, wobei jeweils zwei gegenüber liegende eingefärbt sind. ie beiden benachbarten äußeren ckpunkte von je zwei Quadraten sind durch Strecken miteinander verbunden. (b) s gibt drei solche Trapeze: FH, IG und G. s gibt drei solche rachenvierecke: GP, QG und GS. 10

11 (c) as reieck ist gleichschenklig, denn die beiden Quadratseiten und sind gleich lang. = G+ G+ = = 240 = = 120 = ( ) : 2 = 30 = = 120 ie Figur ist achsen- und drehsymmetrisch mit den rehwinkeln 120 und 240. lso haben alle Innenwinkel dieses Logos das Maß 120. (d) Wie in der Lösung (c) schon gezeigt, gilt: = = 150 und = ε = ( ) : 2 = 15. (e) S I F H 16. F G H Über der Hypotenuse [] des gleichschenklig-rechtwinkligen reiecks liegt das Viereck F, das sich aus fünf gleichseitigen reiecken zusammensetzt. (a) Zeichne die Figur für = 9cm. (b) egründe: as Viereck F besitzt einen Umkreis. Zeichne den Umkreis k 1 des Vierecks F mit seinem Mittelpunkt M 1 ein. 11

12 (c) Zeichne den Umkreis k 2 des reiecks mit seinem Mittelpunkt M 2 ein. (d) Untersuche anhand des reiecks M 1 M 2, welcher der beiden Kreise den größeren urchmesser besitzt. Lösung: (a) ie Figur ist etwas verkleinert gezeichnet. F G M 2 H M 1 (b) ei dem Viereck F handelt es sich um ein achsensymmetrisches Trapez mit der Symmetrieachse. lle achsensymmetrischen Trapeze besitzen einen Umkreis. Siehe Zeichnung. (c) er Umkreis des reiecks hat den Radius M 2. as ist eine Kathete im rechtwinkligen reieck M 1 M 2. er Umkreis des achsensymmetrischen Trapezes hat den Radius M 1. as ist die Hypotenuse im rechtwinkligen reieck M 1 M 2. Weil die Hypotenuse in jedem rechtwinkligen reieck die längste Seite darstellt, ist der Radius und damit auch der urchmesser des Kreises k 1 länger als der des Kreises k F S as gleichseitige reieck liegt im Rechteck F. 12

13 (a) Zeichne die Figur für = 4cm. (b) egründe: ie reiecke S, S und F sind kongruent. (c) Welchen nteil der Fläche des Rechtecks F nimmt das reieck ein? egründe. Lösung: (a) F S eginne mit dem reieck und dem Mittelpunkt S der Seite []. Zeichne die Halbgerade [S ein. ie Parallele zu [] durch den Punkt schneidet diese Parallele im Punkt. er Rest ist klar. (b) S = S, weil S eine Symmetrieachse ist. ie beiden rechtwinkligen reicke S und F besitzen die Seite [S] als gemeinsame Hypotenuse. ußerdem gilt δ = = 30 = S. lso sind alle drei fraglichen reiecke kongruent. (c) s gilt: S = S. egründung: ie beiden rechtwinkligen reiecke besitzen je einen 30 - und einen 60 - Winkel (Z-Winkel). Neben den drei Innenwinkeln stimmen diese beiden reiecke noch in den Kathetenlängen S und S überein. lso: S = S. as reieck ist in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt. as rechtwinklige reieck F besteht aus drei kongruenten Teildreiecken. lle fünf Teildreiecke sind kongruent. Weil F = gilt, ist das Rechteck F ist damit in sechs dieser kongruenten Teildreieck zerlegbar. amit gilt: F = 2 6 = 1 3 Oder: ie Hilfsline [] veranschaulicht diesen Sachverhalt ohne weiteres: F δ S 13

14 18. a = 8,5cm c = 7cm β ie Figur ist nicht maßstabgerecht. Untersuche, ob es ein reieck mit den oben angegebenen estimmungsstücken gibt. Lösung: as reieck ist rechtwinklig, denn es gilt γ = 90. Wegen a > c folgt dann > γ = 90. lso folgt > 90. amit würde +γ > 180 werden, was in reiecken nicht geht. as reieck gibt es also nicht. 19. R 60 4,5cm Q 4,5cm 70 P ie Figur ist nicht maßstabgerecht. Untersuche, ob es ein reieck mit den oben angegebenen estimmungsstücken gibt. Lösung: R 4,5cm 60 ϕ Q 4,5cm P

15 as reieck ist gleichschenklig mit der asis [PQ], denn es gilt PR = QR = 4,5cm. ann folgt ϕ = 70. Wegen = 200 wäre die Innenwinkelsumme von 180 überschritten. as reieck existiert nicht. 20. R Q P β In der obigen Figur gilt: =. ie Punkte, P und sind jeweils die Mittelpunkte der betreffenden Kreisbögen. (a) Zeichne die Figur für = 8cm und β = 40. (b) egründe: das Viereck P QR ist ein Parallelogramm. Lösung: (a) R Q ϕ P ϕ β (b) Wegen = gilt =. as reieck P R ist gleichschenklig mit der asis [R] = und damit auch =. amit sind und F-Winkel. [PR] [Q] (1). Im gleichschenkligen reieck glt: = (180 β) : 2. Im gleichschenkligen reieck PQ glt: ϕ = (180 β) : 2 =. amit sind und PQ F-Winkel. [PQ] [R] (2). lso sind im Viereck PQR wegen (1) und(2) jeweils die beiden gegenüber liegenden Seiten parallel. lso handelt es sich um ein Parallelogramm. 15

16 21. δ ε ε δ ϕ S 40 (a) egründe: as reieck ist gleichschenklig. (b) Zeichne das reieck für = 7cm. (c) erechne das Maß ϕ des Winkels S im reieck. Lösung: (a) Im reieck gilt: = = δ +ε = = γ. lso haben zwei Innenwinkel des reiecks gleiches Maß; damit ist das reieck gleichschenklig. s besitzt die asis []. (b) Um das reieck zeichnen zu können, brauchst du neben der Streckenlänge und dem 40 -Winkel noch ein weiteres estimmungsstück: u kannst entweder = 7cm verwenden oder das Winkelmaß = ( ) : 2 = 70 berechnen. (c) s gilt = δ +ε = 70. ann folgt im reieck S: δ +ε }{{} =70 +ϕ = 180 ϕ =

17 b 10cm c ie Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. er Umfang des reiecks ist doppelt so groß wie der Umfang des Quadrates. erechne den Umfang der Gesamtfigur. Lösung: u = 10cm+b+c u = 4 10cm = 40cm u = 2 u. lso: 10cm+b+c = 2 40cm = 80cm b+c = 70cm u = 3 10cm+70cm = 100cm. 23. γ M β er Mittelpunkt des Halbkreises ist M. (a) Zeichne die Figur für = 8cm, = 70 und γ = 62. (b) erechne die Maße der Innenwinkel des reiecks M. Lösung: (a) 17

18 62 δ ε β µ 70 µ 2 µ 48 1 M erechne zunächst das Winkelmaß β = = 48 und zeichne dann das reieck (w,s,w), dann den Halbkreis.... (b) Für den Kreiradius r gilt: r = M = M = M = M. as reieck M ist daher gleichschenklig. lso gilt: = und damit µ 1 = = 40. as reieck M ist ebenfalls gleichschenklig. lso gilt: β = β und damit µ 2 = = 84. µ = = 56. uch das reieck M ist gleichschenklig. lso gilt: δ = ε = ( ) : 2 = w δ w γ γ S β ie Halbgerade w halbiert den Winkel und die Halbgerade w γ halbiert den Nebenwinkel von γ. (a) Zeichne die Figur für = 6cm, = 70,8 und β = 54,2. 18

19 (b) erechne das Winkelmaß δ. (c) Untersuche, ob es sich bei dem Viereck um ein achsensymmetrisches rachenviereck handelt. Lösung: (a) w γ 2 δ w γ γ γ 2 ϕ S 35,4 54,2 35,4 (b) s gilt: γ = ,8 54,2 = 55. γ = = 125 γ 2 = 62,5. Im reieck gilt dann δ = , ,5 = 27,2. (c) In jedem (achsensymmetrischen) rachenviereck müssen die iagonalen aufeinander senkrecht stehen. Im reieck S gilt: ϕ = ,4 54,2 = 90,4 90. as Viereck ist also kein (achsensymmetrisches) rachenviereck. 25. w β 19 β β

20 Lösung: (a) In der Figur halbiert die Halbgerade w β den ußenwinkel von β. Gleichzeitig gilt: w β []. (a) Zeichne die Figur für = 6cm und β = 50. (b) egründe: as reieck muss gleichschenklig sein. w β γ β β 2 β 2 (b) In der Figur gilt: γ = β 2 (Z-Winkel). benso gilt: = β 2 (F-Winkel). = γ; also ist das reieck gleichschenklig. 26. Idee: Toni hehlarova ie Schüler/-innen sollen möglichst viele Quadrate finden, deren ckpunkte auf den schwarzen Punkten liegen. Martha meint: In dieser Figur sehe ich sofort vier Quadrate. Sie zeichnet diese ein. dwin meint: In dieser Figur entdecke ich sogar fünf Quadrate. r zeichnet das fünfte hinzu. laudia meint: Ich habe sogar noch ein Quadrat mehr entdeckt als dwin. Was meinst du? Zeichne und begründe. Lösung: 20

21 Martha hat die vier gleich großen Quadrate im Inneren (blau) entdeckt. dwin könnte das große Quadrat außen herum gesehen haben. laudia hat genauer hingeschaut und zeichnet das blaue Quadrat noch ein. 27. Idee: Toni hehlarova In das Punktraster ist ein Quadrat eingezeichnet worden. Finde möglichst viele weitere Quadrate, deren ckpunkte auf den schwarzen Punkten liegen. Lösung: a) b) c) ie obiger Figur zeigt die verschiedenen (nicht maßstabsgerecht gezeichneten) Quadrattypen a), b) und c), die du im Punkteraster entdecken kannst. Vom Typ a) gibt es zunächst 9 kleine Quadrate. Hinzu kommen noch 4 Quadrate, deren Seite doppelt so lang ist wie die von einem kleinen 21

22 Quadrat. azu kommt noch 1 Quadrat, dessen Seite dreimal so lang ist wie die von einem kleinen Quadrat. Vom Typ b) gibt es 4 Quadrate. Vom Typ c) tauchen nur 2 verschiedene Quadrate auf (eines davon ist eingezeichnet). Insgesamt enthält die Figur also maximal 20 Quadrate. 22