LÖSUNG ELEMTARGEOMETRIE AUFGABE 1 P''' P'' -1 1

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Anna Boer
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1 LÖSUNG ELEMTRGEOMETRIE UFGE 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE UFGE Entsprechend bbildung 1 wird der Punkt der Reihe nach durch die Drehstreckungen, und auf die Punkte und schließlich auf abgebildet. 2 1 Es möge gelten. a) erechnen Sie jeden der Streckfaktoren, und. egründen Sie Ihre Überlegungen. b) erechnen Sie den Streckfaktor der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung entsteht (erst, dann dann ). c) eweisen Sie:, P''' P'' -1 1 und. bbildung 1 d) Wir betrachten die Drehstreckung (erst dann ). Das ild eines beliebigen Punktes bei soll nur mit irkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. egründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. eachten Sie, dass bei irkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat. e) Die Idee der Konstruktion der Punkte ist der Spirale des Theodorus nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger usführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke ( 12-fach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift. -1 P P' Gieding

2 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE LÖSUNG TEILUFGE ) Punkte egründung: Satz des Pythagoras 1 Punkt Punkte: egründung: 1 Punkt Punkte für Teil a) insgesamt: 8 TEILUFGE ) Variante 1: Variante 2: Multiplikation der Streckfaktoren der Streckungen, aus denen sich die Gesamtabbildung zusammensetzt Punkte: 2

3 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE TEILUFGE C) eweis, dass Variante 1: gleichschenkliges Dreieck Nr. eweisschritt egründung Voraussetzung, Konstruktion (2) Konstruktion Das Dreieck ist rechtwinklig und und (2) gleichschenklig. und Innenwinkelsumme im Dreieck Variante 2: Tangens Punkte: 2 eweis, dass : Variante 1: gleichseitiges Dreieck Es sei das ild von bei einer Spiegelung an. Dann ist das Dreieck ein gleichseitiges Dreieck. lle Innenwinkel dieses Dreiecks haben damit die Größe 60. Der Winkel 60. ist ein Innenwinkel des genannten Dreiecks und hat damit auch die größe Weil der Strahl entsprechend der Konstruktion von die Winkelhalbierende des Winkels ist, gilt Variante 2: Sinus Punkte: 2

4 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE eweis, dass : Punkte: 2 Punkte für Teil c) insgesamt: 6 TEILUFGE D) Wir bestimmen zunächst den Streckfaktor der resultierenden Drehstreckung: Der Drehwinkel der resultierenden Drehstreckung berechnet sich zu: Konstruktionsbeschreibung: Es sei also ein beliebiger Punkt. Fall 1: ist ein Fixpunkt bei. Damit wird auch auf sich selbst abgebildet. Fall 2: Grundlegende Idee der Konstruktion: Es ist egal, ob zuerst gestreckt und dann gedreht, oder erst gedreht und dann gestreckt wird. () entrische Streckung Wir beginnen mit der Streckung. Für das ild von bei dieser Streckung an mit dem Streckfaktor muss entsprechend der Definition zentrische Streckung gelten: (I) (II)

5 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE Teilkonstruktion 1: Wir konstruieren uns eine Strecke mit. Konstruktionsschritt C Erklärung Wählen einen beliebigen Punkt mit. Konstruieren dann. ggf. egründung der Korrektheit Existenz eines solchen Punktes ist gesichert. Eindeutigkeit von ebenso Tragen auf ab und erhalten mit. Streckenabtragens. C C' C C' C'' Tragen auf erhalten mit - ab und Streckenabtragens. C C' C'' Konstruieren Gerade. Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.

6 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE C C' C'' Konstruieren Parallele durch zu Eindeutigkeit von Parallelen. C C' C'' Diese Parallele schneidet in einem Punkt. Wäre die Parallele durch zu parallel zu müsste wegen der Transitivität der Relation parallel auch parallel zu sein. Da und jedoch den Punkt gemeinsam haben, können sie nicht parallel sein. Wegen und der Parallelität von zu gilt nach dem ersten Strahlensatz: Teilkonstruktion 2: Wir konstruieren uns auf eine Strecke mit der Länge. Tragen auf ab und erhalten. Streckenabtragen s. '

7 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE Konstruieren den Mittelpunkt von. Mittelpunktes einer Strecke. ' M Konstruieren Kreis um durch und. M ist Mittelpunkt von. ' M ' k S 1 s M Konstruktion der Senkrechten auf in. Wir erhalten die Schnittpunkte und von mit. Eindeutigkeit der Senkrechten, Schnittpunkte von Kreis und Gerade, S 2 S 1 s Das Dreieck ist rechtwinklig, wobei der rechte Winkel ist. Satz des Thales ' k M S 2

8 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE S 1 ist Höhe in. Konstruktion von und, ' k s h M Höhensatz des Euklid, Konstruktion von. S 2 S 1 s h btragen von auf, wir erhalten den Schnittpunkt. Streckenabtragens, ' k M K S 2 S 1 s h btragen von h auf, wir erhalten. Streckenabtragens, ' k M K * S 2 h h ' K ist das ild von bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckzentrum und dem Streckfaktor : * (I)

9 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE (II) () Drehung muss jetzt noch um mit dem Winkel 75 gedreht werden. Q Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks : Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck, ' K * Q w 1 ' K Q' * Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels. sei der Schnittpunkt von mit dem Kreis um und dem Radius Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden, Eigenschaften der Winkelhalbierenden Q w 2 w 1 ' K Q'' Q' * Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels, sei der Schnittpunkt von mit dem Kreis um und dem Radius Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden, Eigenschaften der Winkelhalbierenden

10 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE Q'''=' Q w 2 Q'' Q' Spiegelung von an ildpunktes bei einer Geradenspiegelung. w 1 ' K * Wir erhalten, das ild von bei der Spiegelung an. ist gleichzeitig das gesuchte ild von bei der Drehung um mit dem Drehwinkel (III) (IV) (Radien ein und desselben Kreises) bstandserhaltung der Spiegelung, (Drittengleichheit) (gleichseitiges Dreieck) (Viertelung eines 60 Winkels) (Winkeltreue der Spiegelung) (Winkeladdition) UR EWERTUNG VON TEILUFGE D) Die obige Lösung wurde sehr ausführlich aufgeschrieben. Die einzelnen Teilschritte lassen sich sinnvollerweise zusammenfassen. Ebenso müssen von den Prüfungskandidaten nicht alle egründungen derart detailliert ausführen. Erwartungshorizont: Lösungs-/Konstruktionsschritt egründung Punkte resultierender Streckfaktor 1 resultierender Drehwinkel: 75 1 Fallunterscheidung: 1 Lage von bezüglich Konstruktion einer Strecke 2 der Länge : Generierung der Strahlensatzfigur erster Strahlensatz nwendung des Höhensatzes von Euklid: Generierung der Hypotenuse mit den beiden Hypotenusenabschnitten und Generierung eines rechtwinkligen Dreiecks Thalessatz 2 1

11 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE Generierung der Höhe mit und damit Höhensatz des Euklid 2 Konstruktion des ildpunktes bei der 1 Streckung Konstruktion des Drehwinkels 60 gleichseitiges Dreieck 30 Winkelhalbierende 15 Winkelhalbierende 75 Winkeladdition 3 Konstruktion des ildpunktes bei der Drehung Winkel bereits klar, Nachweis, dass Original und ild denselben bstand 1 zu haben. Gesamtpunktzahl: 15 TEILUFGE E) Für die Längen der Strecken gilt: nicht gestrichen einmal gestrichen 2 mal gestrichen 3 mal gestrichen Länge 9 mal gestrichen 10 mal gestrichen 11 mal gestrichen 12 mal gestrichen Es ist also eine Strecke der Länge zu konstruieren. Hierzu konstruieren wir ein rechtwinkliges Dreieck mit: Für die Länge gilt jetzt nach dem Satz des Pythagoras: und damit. Erkenntnis, dass zu konstruieren ist 1 Punkt Konstruktion des Dreiecks 2 Punkte egründung 2 Punkte gesamt 5 Punkte

12 Lösung: Elemtargeometrie ufgabe 1 GHS/LT, THEM I, UFGE ; RL/LT, THEM I, UFGE ; SOPÄD/NEU, THEM I, UFGE ; GHS/NEU, THEM I, UFGE ; RL/NEU, THEM I, UFGE EWERTUNGSMßST: PUNKTHLEN: ufgabe a) 8 ufgabe b) 2 ufgabe c) 6 ufgabe d) 15 ufgabe e) 5 gesamt: 31 60% von 31 18,6 ENOTUNG Punkte Note ,5 28 1, ,5 24 2, ,5 20 3, ,5 16 4,5 15 4,5 14 4, ,5 7 5,5 6 5,5 5 5,

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