Drehung D G M C H F Z B A E

Transkript

1 1. D Drehung enin ist ein Land in frika. Seine lagge ist oben abgebildet. Die drei Rechtecke im Inneren sind kongruent. Ihre Seitenlängen stehen jeweils im Verhältnis 1:2. Weiter gilt: = 2xcm mit x Q +. (a) Zeichne die igur für x = 4. In welchem Verhältnis stehen hier die Seitenlängen des Rechtecks D? Ist das immer so, egal, womit man x belegt? (b) erechne den Umfang u des Rechtecks D in bhängigkeit von x. [ rgebnis: u(x) = 10xcm. ] (c) erechne x so, dass der Saum der ahne 4m30cm lang ist. (d) Das Rechteck lässt sich so drehen, dass es sich mit dem Rechteck D deckt. Zeichne die igur für x = 6 und konstruiere das Drehzentrum Z. egründe: Der Drehwinkel hat das Maß 90. Lösung: (a) Das Rechteck D ist 12cm breit und 8cm hoch. Die Seitenlängen stehen im Verhältnis 2:3. reite jedes Rechtecks im Inneren: 3x cm öhe jedes Rechtecks im Inneren: 2x cm reite : öhe = 2x : 3x = 2 : 3. Das gilt für alle x Q +. (b) u(x) = 2 [(2x+x)+(x+x)]cm = 10xcm (c) 10x = 430 x = 43 (d) D M Z 1

2 ür diese Drehung gilt z..: D und. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecken [D] und [] ergibt den Drehpunkt Z. Die Dreiecke DZM und ZM sind gleichschenklig-rechtwinklig. lso hat der Drehwinkel ZD das Maß Das ist ein ild des Logos der irma MRU, die arben herstellt. D 3x cm I K M 3x cm Lösung: (a) Die igur setzt sich aus zwei Quadraten zusammen. Die Strecken [],[],[],[I],[IK] und [K] sind alle gleich lang. (a) Zeichne die igur für x = 2. Platzbedarf nach links: 7 cm (b) Die igur D soll so gedreht werden, dass sie dann lückenlos neben das Quadrat passt. egründe: Das Drehzentrum muss im Punkt M liegen. ühre die Drehung durch. egründe: Der Drehwinkel hat das Maß 90. (b) Der Punkt muss so gedreht werden, dass er auf zu liegen kommt. lso muss das Drehzentrum auf der Mittelsenkrechten der Strecke [] liegen. leichzeitig wird der Punkt auf den Punkt gedreht. lso muss das Drehzentrum auch auf der Mittelsenkrechten der Strecke [] liegen. lso liegt das Drehzentrum im Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten, nämlich im Punkt M, dem Quadratmittelpunkt. 2

3 D M D 1. Möglichkeit: Das Dreieck M ist gleichschenklig-rechtwinklig mit der ypotenuse [ ]. 2. Möglichkeit: Die Mittelenkrechte der Strecke [ ] deckt sich nach der Drehung mit der Mittelsenkrechten zu []. Weil beide Mittelsenkrechten aufeinander senkrecht stehen, hat der Drehwinkel das Maß Das ist ein ild der Nationalflagge von ngland. x cm x cm a cm b cm (a) Zeichne die igur für b = 8, a = 5 und x = 1. (b) Das weiße Rechteck oben links lässt sich auf das weiße Rechteck rechts unten verschieben. Zeichne die vier Stellvertreter des Verschiebungsvektors v zwischen den entsprechenden ckpunkten der beiden Rechtecke ein. ib die Komponenten des Verschiebungsvektors v an. (c) Das weiße Rechteck rechts oben lässt sich so drehen, dass es mit dem Rechteck links unten zur Deckung kommt. Zeichne das Drehzentrum ein und gib den Drehwinkel an. Um welche besondere Drehung handelt es sich? Lösung: 3

4 (a) (b) ( ) 4,5 v = 3 (c) Das Drehzentrum liegt im Schnittpunkt der Diagonalen des großen Rechtecks. Dieser Schnittpunkt deckt sich mit dem Symmetriezentrum des Kreuzes. Der Drehwinkel beträgt 180. s handelt sich um eine Punktspiegelung. 4. Während der Übertragung der US-Tennismeisterschaften 2003 in New York war im ernsehen ein irmenlogo zu sehen, das so ähnlich aussah wie die bbildung unten. Das weiße Viereck im Inneren ist ein Quadrat. s gilt: = = 2,5cm Lösung: (a) (a) Zeichne die igur. (b) ib alle Winkelmaße ϕ an, um die man die igur drehen kann, sodass sie sich wieder mit der usgangsfigur deckt. Zeichne dazu das Drehzentrum und weitere ilfslinien ein. (c) egründe: Die igur ist punktsymmetrisch. (b) ϕ {k 90 } mit k Z Das Drehzentrum ist der Quadratmittelpunkt. Die geforderten ilfslinien verlaufen vom Drehzentrum zu Urbildpunkten und den zugehörigen durch Drehung entstandenen ildpunkten. (c) Wegen 2 90 = 180 kann auch um 180 gedreht werden. Jede Drehung um 180 ist eine Punktspiegelung. 4

5 err Theo Lith ist als Platzwart für ein Spielfeld verantwortlich, das die orm eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 60m hat. Der ahnenmast 1 ist 36m vom Punkt entfernt. Wie in der Skizze dargestellt, läuft er während eines Kontrollgangs zu den seitlichen egrenzungen dieses Spielfeldes von 1 nach, dann nach undschließlich gelangt er zum ahnenmast 2. (a) Zeichne die igur mit dem Weg von errn Lith. Dabei sollen 10m einem cm in deinem eft entsprechen. (b) erechne den bstand der beiden ahnenmasten. (c) m 36m s wurden die Punkte 1 an [] und 2 an [] gespiegelt. Dadurch entstehen die Spiegelbilder 1 und 2. egründe anhandder Zeichnung: sgiltz.. 1 = 1 und 2 = 2. 5

6 egründe: Der Streckenzug 1 2 ist genauso lang wie der Weg von errn Lith, der ihn vom Mast 1 über und nach 2 führte. egründe:wäreerrlithaufseinemkomtrollwegvommasten 1 über nach zummasten 2 gegangen,dannwäredasderkürzestekontrollweg gewesen. Lösung: (a) m (b) In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Innenwinkel das Maß 60. Wenn du den Punkt am Punkt spiegelst, dadurch erhältst du den Punkt. Weil jede chsen- oder Punktspiegelung winkeltreu ist, muss das Dreieck 1 gleichseitig sein, denn alle Innenwinkel haben das Maß 60. Dann ist das Dreieck 1 ein halbes gleichseitiges Dreieck und es gilt: = 0,5 36m = 18m. = 60m 18m = 42m. Das Dreieck ist wieder ein halbes gleichseitiges Dreieck und es gilt: = 0,5 42m = 21m. = 60m 21m = 39m. Weil das Dreieck 2 wiederum ein halbes gleichseitiges Dreieck ist, folgt: 2 = 0,5 39m = 19,5m. 1 2 = 60m 36m 19,5m = 4,5m. Die beiden ahnenmasten sind 4, 5 m voneinander entfernt. (c) Dieser Sachverhalt ergibt sich sofort aus der Längentreue de chsenspiegelung. 36m Wie schon vorher gezeigt sind die Längen der Strecken [ 1 ] und [ 1 ] sowie [ 2 ] und [ 2 ] gleich. inzu kommt lediglich die mittlere Strecke [], die ja den Rest beiden Streckenzüge ausmacht. lso sind beide Wege gleich lang. Die kürzeste Verbindung zwischen 1 und 2 liegt ist die gerade Linie zwischen diesen beiden Punkten. us der Längentreue der chsenspiegelung folgt nun, dass 1 = 1 und 2 = 2 sein muss. Weil [ ] in beiden Streckenzügen den Rest bildet, ist der Streckenzug 1 2 genausolangwiedieminimalestrecke[ 1 2 ],alsoebenfallsminimal. nmerkungen 6

7 Obwohl die drei Lote jeweils die kürzeste ntfernung des betreffenden Punktes zur gegenüber liegenden Seite des rundstücks darstellen, ergibt die Summe dieser drei ntfernungen nicht den kürzesten Weg von 1 zu den zwei Seiten [] und [] nach 2. Mit ilfe der ONxT-Datei 07eh011.gxt, kannst du den Kontrollgang von errn Lith variieren. 6. Stelle dir vor, dass die quadratisch gemusterte igur auf eine durchsichtige olie aufgedruckt ist. Welche der unten abgebildeten gemusterten Quadrate lassen sich mit dem obigen Quadrat so zur Deckung bringen, dass dann alles dunkel erscheint? a) b) c) d) e) Lösung: Zur besseren Veranschaulichung sind die elder der ursprünglichen igur durchnummeriert: igur a): Wenn du dieses Muster auf die obige igur schiebst, dann werden alle elder überdeckt (das eld Nr. 3 sogar doppelt). igur b): in eld bleibt weiß: z.. Nr. 6 oder Nr. 7. igur c): Wenn du diese igur um 90 oder 270 drehst, lässt sie sich so auf die ursprüngliche igur schieben, dass alle elder dunkel erscheinen. igur d): ines der elder 3, 6 oder 9 bleibt in jedem all weiß. igur e): Wenn du diese igur an ihrem Mittelpunkt spiegelst oder um 180 drehst, lässt sie sich so auf die ursprüngliche igur schieben, dass alle elder dunkel erscheinen. 7. 7

8 D ϕ I Die igur ist drehsymmetrisch. (a) ib drei verschiedene Möglichkeiten an, wie du das Drehzentrum Z konstruieren könntest. Zeichne das Drehzentrum ein. (b) Die igur lässt sich um verschiedene Winkel α so drehen, dass die gedrehte igur mit der ursprünglichen igur wieder zur Deckung kommt. ib für α ]0 ;360 [ die betreffenden Drehwinkel an. (c) erechne ϕ. Lösung: (a) Die drei Mittelsenkrechten auf die Seiten [], [I] und [] schneiden sich in Z. Die drei Mittelsenkrechten auf die Seiten [D], [] und [D] schneiden sich in Z. Die drei Mittelsenkrechten auf die Seiten [], [I] und [] schneiden sich in Z. Z (b) α {120 ; 240 } (c) Der Winkel ϕ wird von den beiden Quadraten D und I eingeschlossen. inter dem Scheitel liegt das gleichseitige Dreieck D. Mit dem betreffenden Vollwinkel ergibt sich: ϕ = 360 ϕ = 120 8