MATHEMATIK-WETTBEWERB 1996/97 DES LANDES HESSEN

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1 MTMTIK-TTR 1996/97 DS DS SS DR RPP P I C T 1. ährend eines Sonderverkaufs zum 15-jährigen irmenjubiläum gewährt die irma lektro-c auf alle adenpreise einen Rabatt von 15 %. a) in Staubsauger kostete vor dem Sonderverkauf 350 DM. ieviel DM kostet er während des Sonderverkaufs? b) eim Kauf eines Rührgerätes spart err Müller während des Sonderverkaufs 18,75 DM. erechne den adenpreis vor dem Sonderverkauf. c) ür die Mitarbeiter werden die herabgesetzten Preise zusätzlich um 5 % gesenkt. rau Schäfer zahlt als Mitarbeiterin für einen Kühlschrank nur noch 484,50 DM. erechne den adenpreis des Kühlschrankes vor dem Sonderverkauf. 2. a) erechne im nebenstehenden Rechteck CD die lächeninhalte I, II, III und IV. b) Zeichne das Rechteck CD mit = 10 cm, C = 6 cm und markiere den Punkt auf CD mit C = 2 cm. Zeichne drei eraden durch so, daß die entstehenden 4 Teilflächen den gleichen lächeninhalt besitzen. Die drei eraden schneiden die Seiten des Rechtecks noch in den Punkten R, S, T. ib den bstand dieser Punkte vom Punkt an. 3. ib die jeweilige ösungsmenge in aufzählender orm an; = Z. a) 3(2 + 2x) + 5(3x + 4) = 20(x + 1) b) 4(x 4) 3(x 3) = 2(x 2) c) 7(x 4) < 3(2 4x) d) x 2 5 > (x 6)(x 7) 4. a) Konstruiere das Dreieck C mit = 6 cm, β = 75 und der Seitenhalbierenden s a = 7 cm der Seite C. b) egeben ist das Dreieck C mit α = 50 und der inkelhalbierenden w α. s gilt D =. Der Punkt C ist Spiegelpunkt von C an der inkelhalbierenden. (1) enne alle gleichschenkligen Dreiecke, die in der esamtfigur erkennbar sind. (2) erechne die röße des inkels β. (3) erechne die röße der Innenwinkel des Dreiecks DC C.

2 1. RD Zum ösen der folgenden ufgaben ist zunächst eine entsprechende leichung aufzustellen. a) ddiert man drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, so erhält man das Vierfache der kleinsten dieser drei Zahlen. ie heißt die kleinste Zahl? b) ür welche natürlichen Zahlen gilt: Das ünffache der Differenz zweier natürlicher Zahlen ist gleich dem Doppelten der Summe dieser Zahlen? ib 4 verschiedene Möglichkeiten an. c) ine fünfstellige Zahl der orm ababa hat die Quersumme 26. ib alle fünfstellige Zahlen mit dieser igenschaft an. eachte: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. 6. a) rgänze die fehlenden Ziffern ( 0, 1, 2, 3,..., 9) so, daß wahre ussagen entstehen. (1) 1 81 = (2) 31 = 7 ib 2 verschiedene ösungen an! (3) 101 = 8 9 ib alle Möglichkeiten an! b) Mit wie vielen ullen endet das Produkt (1) , (2) eachte: Die rgebnisse zu der folgenden ufgabe können auch als Produkt oder Summe angegeben werden! in Ko-rosch sitzt auf einem itterpunkt eines Koordinatensystems und kann jeweils nur zum nächsten itterpunkt nach oben oder nach rechts springen und zwar jeweils mit der ahrscheinlichkeit p = 1 2. eispiel: efindet sich der Ko-rosch auf dem itterpunkt (4 3), dann kann er nur nach (4 4) oder (5 3) springen. a) Der Ko-rosch sitzt auf dem itterpunkt (0 0). (1) uf welchen itterpunkten kann er sich nach 5 Sprüngen befinden? (2) ie viele Sprünge benötigt er, um den itterpunkt (18 17) zu erreichen? b) Der Ko-rosch sitzt auf dem itterpunkt (0 0) des Koordinatensystems und kann jeweils nur zum nächsten itterpunkt nach oben oder nach rechts springen und zwar jeweils mit der ahrscheinlichkeit p = 1 2. (1) Mit welcher ahrscheinlichkeit erreicht er den itterpunkt (4 0), den itterpunkt (8 1), den itterpunkt (2 2)? (2) Mit welcher ahrscheinlichkeit sitzt er nach 20 Sprüngen nicht auf einer Koordinatenachse?

3 MTMTIK-TTR 1996/97 DS DS SS DR RPP P I C T 1. a) In einem äckerfachgeschäft werden 1500 gleich schwere rötchen aus 75 kg Teig gebacken. rgänze entsprechend die Tabelle: Teig in kg ,7 nzahl der rötchen b) Von einer anderen rötchensorte werden täglich 1200 rötchen zu je 60 g gebacken. ie viele rötchen kann man aus der gleichen Teigmenge herstellen, wenn jedes rötchen nur noch 50 g wiegen soll? c) ür 450 Käsebrötchen kosten die Zutaten 49,50 DM. Der äckermeister benötigt zur erstellung 2 1 Stunden. Die ohnkosten betragen 74 DM pro Stunde. erechne die erstellungskosten für ein 4 Käsebrötchen. 2. a) Trage die Punkte (0 2), (6 2) und C(4 6) in ein Koordinatensystem mit der inheit 1 cm ein. Verbinde die Punkte zu dem Dreieck C und berechne den lächeninhalt dieses Dreiecks. b) Verschiebe das Dreieck C so, daß (3 2) der ildpunkt von ist. enenne die ildpunkte von und C mit und C. C und C schneiden sich in D. c) Zerlege das Vieleck C DC in Dreiecke, die mit dem Dreieck D deckungsgleich sind und bestimme den lächeninhalt des Vielecks C DC. d) ib die Koordinaten eines Punktes an, so daß das Dreieck einen lächeninhalt von 27 cm 2 hat. 3. a) erechne die fehlenden erte x 8 3x b) erechne die fehlenden erte x y 3 x 2 y c) ib die jeweilige ösung an; = Q. (1) 6 (5x 4) = 24x 15 (2) 25 (8x + 9) = 2 (8 9x) 4. a) Konstruiere das Dreieck C aus c = 6 cm, α = 53, β = 68. b) Zeichne die öhe h c mit dem ußpunkt D ein. c) Spiegele die Punkte und D an C. enenne die ildpunkte von und D mit und D. Zeichne das Viereck C. d) erechne die röße der inkel: (1) ÊCD, (2) ÊDC, (3) ÊC.

4 1. RD a) uf einer Paßstraße wurden 1996 täglich durchschnittlich ahrzeuge gezählt. 28 % der ahrzeuge waren kw. ie viele kw fuhren täglich auf dieser Paßstraße? b) 1995 wurden auf der Paßstraße täglich Pkw gezählt, das waren 82 % aller ahrzeuge. ie viele ahrzeuge fuhren 1995 durchschnittlich pro Tag auf dieser Strecke? c) uf einer anderen Paßstraße fuhren 1996 täglich durchschnittlich ahrzeuge. ür das Jahr 1997 erwartet man pro Tag ahrzeuge und für 1998 wird mit einer weiteren Steigerung von 5 % gegenüber 1997 gerechnet. m wieviel % wird sich die Zahl der ahrzeuge von 1996 bis 1998 voraussichtlich erhöhen? 6. a) 3 und 2 sind benachbarte natürliche Zahlen. Die Differenz ihrer Quadratzahlen beträgt 5, denn = 5 (1) estimme die Differenz der Quadratzahlen von 4 und 3, 5 und 4, 12 und 11, 8288 und (2) ür welche benachbarten natürlichen Zahlen beträgt die Differenz ihrer Quadratzahlen (α) 17, (β) 429? b) 4 und 2 sind benachbarte gerade natürliche Zahlen. Die Differenz ihrer Quadratzahlen beträgt 12, denn = 12. (1) estimme die Differenz der Quadratzahlen von 8 und 6, 18 und 16. (2) ür welche benachbarten geraden natürlichen Zahlen beträgt die Differenz der Quadratzahlen (α) 44, (β) 244? 7. ei einem egespiel wurde aus quadratischen Plättchen mit der Seitenlänge 1 cm nebenstehende igur gelegt. a) (1) ie viele Plättchen muß man zur abgebildeten igur mindestens hinzufügen, so daß die esamtfigur ein Quadrat wird? (2) ie viele Plättchen muß man zur abgebildeten igur mindestens hinzufügen, so daß die esamtfigur ein Rechteck aus 24 Plättchen enthält? (3) üge zur abgebildeten igur 2 Plättchen so hinzu, daß die esamtfigur ein Quadrat aus 16 Plättchen enthält. ib die elder an, die dazu jeweils belegt werden müssen. s gibt mehrere Möglichkeiten! enne drei! b) (1) estimme den mfang der abgebildeten igur. (2) m wieviel cm verändert sich der mfang, wenn das Plättchen vom eld D7 auf das eld 6 gelegt wird? (3) ie viele egeplättchen müssen mindestens umgelegt werden, um die igur mit dem kleinstmöglichen mfang zu erhalten? ie groß ist der kleinstmögliche mfang?

5 MTMTIK-TTR 1996/97 DS DS SS DR RPP C P I C T 1. a) (1) in Zug fährt um 6:44 hr in Karlsruhe ab und kommt um 13:41 hr in amburg-ltona an. erechne die ahrzeit in Stunden und Minuten. (2) in anderer Zug, der für diese Strecke 7 Stunden und 20 Minuten benötigt, kommt in Karlsruhe um 14:32 hr an. ann fuhr er in amburg-ltona ab? b) ür die 27 km lange Strecke von Darmstadt nach rankfurt benötigt ein D-Zug 18 Minuten. erechne seine Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h. c) Die 35 km lange Strecke von rankfurt nach riedberg fährt ein Zug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h. ieviel Minuten benötigt dieser Zug für diese Strecke? 2. Das Rechteck CD ist in 8 gleich große Rechtecke aufgeteilt. a) erechne den (1) lächeninhalt des Rechtecks CD, (2) mfang des Rechtecks CD. b) erechne den (1) lächeninhalt des Rechtecks KD, (2) mfang des Rechtecks KD. c) erechne den lächeninhalt des Vierecks. d) erechne den lächeninhalt des Vierecks IC. e) ib den lächeninhalt des Vierecks als ruchteil des lächeninhalts des Rechtecks CD an. Kürze! 3. a) 820 Schülerinnen und Schüler besuchen eine Realschule. Davon sind 45 % Mädchen. (1) ie viele Mädchen besuchen diese Schule? (2) ie viele Jungen besuchen diese Schule? b) Von den 900 Schülerinnen und Schülern eines ymnasiums kommen 135 mit dem ahrrad zur Schule. ieviel Prozent sind das? c) Von den Schülerinnen und Schülern einer örderstufe besuchen im ach Mathematik 24 % einen C-Kurs, das sind 72 Schüler. 40 % der Schüler sind in einem -Kurs, alle anderen besuchen -Kurse. (1) ie viele Schüler hat diese örderstufe? (2) ie viele Schüler besuchen in Mathematik die -Kurse? 4. öse die folgenden leichungen! a) 5 x + 4 = 39 b) 2 x x = 35 c) 13 + x = 12 d) 3 (x 1) = 21 e) 6 x + 9 = 2 x 3 f) x 5 = 5 x

6 1. RD a) Zeichne das rechtwinklige Dreieck C mit den in der Skizze angegebenen Maßen. b) erechne den lächeninhalt des Dreiecks C. c) Verschiebe das Dreieck C so, daß auf fällt. enne die anderen ildpunkte bzw. C. d) erechne den lächeninhalt des gemeinsamen lächenstücks von Original und ildfigur, ohne zu messen. e) erechne den lächeninhalt des Vierecks C C, ohne zu messen. f) ib den lächeninhalt des gemeinsamen lächenstücks (siehe d) als ruchteil des lächeninhalts des Vierecks C C an. Kürze! 6. us Kärtchen mit den Ziffern von 1 bis 9 (jede Ziffer ist nur einmal vorhanden) werden drei 3- stellige Zahlen gebildet und addiert. Im eispiel beträgt die Summe der drei Zahlen a) In igur soll die Summe 1260 betragen. estimme die Zahl in der 3. Zeile. b) rgänze die fehlenden Ziffern in igur so, daß die Summe der Ziffern in jeder Zeile, in jeder Spalte und in beiden Diagonalen jeweils genau 15 ist. c) Oliver hat bisher die ungeraden Ziffern verteilt (siehe igur C). ie muß er die geraden Ziffern einsetzen, wenn er als Summe 1566 erhalten will? s gibt 2 Möglichkeiten. ib beide an. d) llen hat die Ziffern so verteilt, daß bei ddition der 3 Zahlen die höchstmögliche Summe entsteht. 1) erechne die höchstmögliche Summe. 2) s gibt 216 Möglichkeiten, die höchstmögliche Summe zu erreichen. Schreibe 3 Möglichkeiten auf. 7. In der utobahnraststätte ellinzona an der schweizerisch-italienischen renze kann man mit DM, mit Schweizer ranken (sfr) oder mit ire bezahlen. eim mrechnen werden folgende echselkurse angewendet: 1 sfr = 1,25 DM; 1 sfr = 1250 ire. a) in belegtes rot wird für 4,80 sfr angeboten. ieviel DM sind das? b) in Teller intopf wird für 6,40 sfr angeboten. ieviel ire sind das? c) err errmann kauft für rau iannone ein uch, für das er 15 DM bezahlt. ieviel ire schuldet rau iannone errn errmann? d) ieviel sfr bekommt rau ümpel heraus, wenn sie eine große Tafel Schokolade für 6,50 sfr kauft und mit einem 10 DM-Schein bezahlt?