Berechnungen am Kreis

Transkript

1 erechnungen am Kreis 1. er inutenzeiger einer Kirchturmuhr ist 0, 95 m und der Stundenzeiger 0, 45 m lang. (a) erechne den Weg, den die Spitze des inutenzeigers in 3 Stunden zurücklegt. (b) erechne den Weg, den die Spitze des Stundenzeigers in der selben Zeit zurücklegt. Lösung: (a) ca. 17,91m (b) ca. 0,71m 2. erechne auf Grund der Skizze die Länge der Strecke x in bhängigkeit vom Radius r. r r r x Lösung: x = 1,24r 3. 8 cm 8 cm 1

2 Gegeben ist das uadrat mit 8 cm Seitenlänge und die sechs Halbkreise. erechne den Flächeninhalt der hellen Fläche. Lösung: er Flächeninhalt beträgt 44,33cm G H F E enin ist ein Land in frika. Seine Flagge ist oben abgebildet. lle drei Rechtecke im Inneren sind kongruent. ußerdem gilt: = 6cm. Zusätzlich ist noch ein Kreis eingezeichnet, dessen ittelpunkt der ittelpunkt des Rechtecks ist. (a) egründe: Es muss = 4cm gelten. Zeichne dann die obige Figur. (b) erechne jeweils den nteil der drei Rechtecke im Inneren an der Kreisfläche in rozent. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Lösung: (a) Weil alle Rechtecke im Inneren kongruent sind, muss F = F = E = 2cm = Kreisradius r gelten. = = 4cm. 4 cm 2 cm (1) R r r (3) (2) 2 cm F 2 cm 6 cm (b) Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt (1) des Kreissegmentes(1):(er Flächeninhalt des Kreises wird später mit abgekürzt.) Wegen = 1cm und = 2cm ist das reieck ein halbes gleichseitiges reieck. R = 120 as reieck R ist dann genauso groß wie ein gleichseitiges reieck mit einer Seitenlänge von 2cm. ( 120 ) (1) = π 22 3 cm 2 2,46cm 2 2 4

3 = 2 2 πcm 2 12,57cm 2 (1) 2,46cm2 12,57cm 2 19,57% Und weiter gilt: (2) = (3) (100% 19,57%) : 2 40,22% 5. Im Rechteck gilt: = 8cm und = 3cm. ie unkte und sind Kreismittelpunkte. (a) Zeichne die skizzierte Figur gemäß den obigen ngaben. (b) erechne den Inhalt der grauen Fläche. Lösung: (a) Zeichne zuerst den Kreisbogen um den unkt mit dem Radius 3 cm. adurch erhältst du den unkt. Zeichne dann den zweiten Kreisbogen um den unkt mit dem Radius. So erhältst du den unkt (b) Neben dem Kreissektor mit dem Flächeninhalt 1 erzeugt die Hilfslinie [] den Kreissektor mit dem Flächeninhalt 2 und dazu das reieck mit dem Flächeninhalt 3. Es muss gelten: = 3cm und damit = = 5cm. 1 = πcm 2 7,07cm 2 : cosϕ = 3 ϕ 53,13 ψ 36, = 36, πcm 2 8,04cm 2 Z.. YTHGORS im : cm 2 = 5 2 cm 2 ϕ ψ = 4cm. 3 = 1 4cm 3cm = 6cm2 2 as Rechteck hat einen Flächeninhalt von 24cm 2. Für den gesuchten Flächeninhalt gilt dann: = (24 7,07 8,04 6)cm 2 2,89cm 2. 3

4 6. β Im rechtwinkligen reieck gilt: = 8cm und β = 35. ie unkte und sind Kreismittelpunkte. (a) Zeichne die Figur gemäß den obigen ngaben. (b) erechne den Inhalt der grauen Fläche. Lösung: (a) Zeichne die Strecke []. (b) Trage den rechten Winkel in, und den Winkel mit dem aß 35 in an. er Schnittpunkt der freien Schenkel der beiden Winkel ist. γ (1) (2) Es gilt: γ = = 55 und tan35 = 8cm. 5,60cm. Für den Inhalt der grauen Fläche ergibt sich: = (1) (2). (*) Weiter gilt: (1) = Sektor(35 ) und (2) = Sektor(55 ) it (*) ergibt sich: ( ( ) Sektor(35 )) Sektor(55 ) = + Sektor(35 ) + Sektor(55 ) = Sektor(35 ) + Sektor(55 ) (**) Hinweise: 4 β

5 Natürlich kann man auch die Inhalte der Teilflächen (1) und (2) gleich ausrechnen und diese dann vom Flächeninhalt des reiecks subtrahieren. Wie könntest du die obige Gleichung (**) geometrisch deuten? Sektor(35 ) = πcm 2 19,55cm 2 Sektor(55 ) ,602 πcm 2 15,05cm 2 1 8cm 5,60cm = 22,40cm2 2 Schließlich ergibt sich: (19,55+15,05 22,40)cm 2 12,20cm 2 7. S R er ittelpunkt des uadrates ist der unkt. ie unkte,, R und S sind die ittelpunkte der jeweiligen uadratseiten. ie ittelpunkte der vier Kreisbögen, welche die grau getönte Figur im Inneren des uadrates begrenzen, sind die unkte, und. (a) Zeichne die Figur für die iagonalenlänge = 6 cm. (b) Fritzbehauptet: erinhaltdergrauenflächeisthalbsogroßwiederflächeninhalt des uadrates. aria meint: er Inhalt der grauen Fläche kleiner als die Hälfte des uadrates. as sieht man doch! Wer hat Recht? egründe deine ntwort. Lösung: (a) In jedem uadrat stehen die beiden iagonalen aufeinander senkrecht und sie halbieren sich. amit kann man das uadrat zeichnen. er unkt erzeugt die beiden Kreisbögen oben und unten; die unkte und erzeugen die beiden Kreisbögen links und rechts. 5

6 (b) S R as Viereck RS ist ein uadrat. it Hilfe seiner iagonalen erkennstdu,dass das uadrat RS halb so groß wie das uadrat ist. ie vier grauen Kreissegmente sind alle kongruent, da sie von kongruenten Kreissektoren mit gleichem Radius und gleichem Öffnungswinkel (90 ) stammen. Zwei dieser Segmente wurden links und rechts aus dem uadrat RS herausgeschnitten, zwei wurden oben und unten an dieses uadrat angefügt. Somit hat die grau eingefärbte Figur in der ufgabe den gleichen Flächeninhalt wie das uadrat RS; die Figur ist also halb so groß wie das uadrat. Fritz hat Recht. 8. as regelmäßige Sechseck EF besitzt den ittelpunkt und die Symmetrieachse s. er ittelpunkt des Inkreises dieses regelmäßigen Sechsecks ist. und E sind die ittelpunkte der Kreisbögen, die sich in G berühren. 6

7 E G F s (a) Zeichne die Figur für = 4cm. (b) erechne für = 4 cm den Flächeninhalt des grau eingefärbten Ringes. Lösung: (a) m einfachsten erhältst du ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 4 cm, indem du auf einer Kreislinie k den Radius von 4cm sechsmal abträgst. amit dieses Sechseck aber mit zwei gegenüber liegenden Seiten (hier: [E] und []) waagrecht liegt, zeichnest duerst diesymmetrieachse s ein unddannwieder durchden unkt eine zweite Symmetrieachse, die auf s senkrecht steht. iese schneidet die Kreislinie k in den unkten F und. Zwei weitere Kreise Radius von 4cm um F und schneiden die Kreislinie k in den unkten E und bzw. und. (b) 7

8 E G F s er direkteste Weg der Flächenberechnung führt über den Kreisbogen, so dass ein geschlossener Kreisring entsteht, dem lediglich noch das (grau eingefärbte) Kreisbogendreieck G entnommen werden muss. Jedes regelmäßige Sechseck lässt sich in 6 kongruente gleichseitige reiecke zerlegen. er große Radius R des Ringes ist so lang wie eine Höhe [G] des gleichseitigen reiecks E: R = 4 2 3cm = 2 3cm. er kleine Radius r des Ringes ist halb so lang wie die Seitenlänge des gleichseitigen reiecks E: r = 2cm. amit ergibt sich für den Flächeninhalt Ring des geschlossenen Kreisrings: Ring = [ (2 3) π ] cm 2 er Flächeninhalt Kreisdreieck des Kreisbogendreiecks G bleibt übrig, wenn man aus dem gleichseitigen reieck E die drei kongruenten Sektoren EG, und G mit einem ( ittelpunktswinkel von jeweils 60 entfernt: 4 2 Kreisdreieck = ) 360 π cm 2 = ( ) π cm 2 amit ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt: = (8π ) π cm 2 = 17π 8 3 cm 2 19,78cm 2 2 Hinweis: Eine weitere öglichkeit besteht darin, den Flächeninhalt des offenen Kreisrings außerhalb des reiecks E zu berechnen und dann die beiden Enden, die im gleichseitigen reieck E liegen, anzufügen. och dies ist offensichtlich wesentlich mühsamer auszurechnen. 9. 8

9 R S as Viereck ist aus einem gleichschenklig-rechtwinkligen reieck und einem gleichseitigen reieck zusammengefügt. ie ittelpunkte der Kreisbögen sind die unkte, und. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne den Inhalt der grauen Fläche. Lösung: (a) Zeichne die reiecke und. (b) er Kreisbogen mit dem ittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite [] im unkt und der Kreisbogen mit dem ittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite [] im unkt. er Kreisbogen mit dem ittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite [] im unkt R und der Kreisbogen mit dem ittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite [] im unkt S. 9

10 I II 4 R S 5 1 = Sektor = 2 I = ( ) = 2 ( Sektor ) I = 2 Sektor Wie kannst du dieses Ergebnis geometrisch deuten? Es wird zunächst nur mit aßzahlen gerechnet: = 3 2 = = 9 ; Sektor = (3 2) 2 π = 2.25π ( ) 9π lso: I = 4.5π 9 I = 2 9 cm 2 ( 5,14cm 2 ) Was spielt sich nun unterhalb der Strecke [] ab? = = = 4 = (6 3 2) 2 π = 1 6 ( ) π 3 = 4 = (9 6 2) π ( 1,62cm 2 ) R = S = 6 (6 3 2) = = (3 2) 2 π = 18 6 π = 3π ( 9,42cm2 ) II = 62 3 [2 (9 6 2)π +3π] 4 II = 9 3 (18π 12 2π +3π) II = 9 3 ( )π ( 2,93cm 2 ) Für die Gesamtfläche des Fisches ergibt sich: [( ) 9π = I + II = (21 12 ] 2)π cm 2 [ = 9( ( 3 1) π )] cm 2 2 [ = 9( 3 1)+ 3 ] 2 π(8 2 11) cm 2 ( 8,07cm 2 ) 10

11 10. F R S T In das Rechteckeck ist ein gleichseitiges reieck F einbeschrieben. ie ittelpunkte der sieben Kreisbögen sind die unkte, und F. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne den Inhalt der grauen Fläche. Lösung: (a) Zeichne das gleichseitige reieck F. ie Höhe [F] dieses reiecks ist genau so lang wie die Rechtecksseiten [] und[]. er Kreisbogen mit dem ittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite [F] im unkt und der Kreisbogen mit dem ittelpunkt und dem Radius schneidet die Seite [F] im unkt R. er Kreisbogen mit dem ittelpunkt F und dem Radius F schneidet die Seite [F] im unkt R. er Kreisbogen mit dem ittelpunkt F und dem Radius F = 3cm schneidet die Seite [F] im unkt S, wobei ebenfalls FS = 3cm gilt. Nun musst du noch den Kreisbogen um den unkt mit dem Radius S zeichnen. ieser Kreisbogen trifft auf den unkt. Weil die ittelpunkte F und der beiden Kreisbögen, die sich im unkt S treffen, zusammen mit dem unkt S auf einer Geraden liegen, gehen sie ohne Knick ineinander über. ie entsprechenden Schritte führen rechts der Symmetrieachse F vom unkt über den unkt T zum unkt. (b) 11

12 1 2 F 3 R I II S III T Wir rechnen meist nur mit aßzahlen: = = 18 3 ( 31,18cm 2 ) F = 1 4 = ( 7,79cm 2 ) Sektor = SektorR = (3 3) 2 π = 9 4 π ( 7,07cm2 ) 1 = 2 = F Sektor = π ( 0,73cm2 ) Weiter gilt: F = = (6 3 3) 2 π = π = π = 21 2 π 6 3π ( 0,34cm 2 ) 4 = 5 = π = = 7 = π = 3 2 π ( 4,71cm2 ) I = II = F 1 4 I = 9 ( ) ( ) π π I = II = 15 4 π ( 3,99cm 2 ) π ( 3,08cm2 ) III = F 3 ( ), wobei 6 = 7 gilt. III = 9 ( ) π 6 3π π = π +6 3π ( 5,83cm 2 ) amit ergibt sich als Flächeninhalt der grau getönten Figur: ( 15 = 2 I + III = 2 4 π 9 ) ( ) 2 2 π +6 3π 12

13 = 6π( 3 1)cm 2 13,80cm In der bbildung gilt: = 3cm. er unkt und die unkte,,,, E, und F sind Kreismittelpunkte. ie unkte und sind die ittelpunkte der Kreisbögen F und, die sich in das Innere des Kreises mit dem ittelpunkt wölben. E G F (a) egründe: as Sechseck EF ist regelmäßig. (b) erechne den Inhalt der grauen Fläche. Hinweis: Zeichne ausgehend von unkt geeignete Hilfslinien ein. Lösung: (a) ie Strecken [], [],..., [F] sind jeweils 3cm lang. lso sind die reiecke,,..., F gleichseitig und kongruent. aher haben die Winkel F,,..., EF alle das aß 120. lso ist das Sechseck EF regelmäßig. (b) 13

14 E H G F as Viereck FE ist aus den beiden kongruenten gleichseitigen reiecken FE und E zusammengefügt. lso ist das Viereck FE eine Raute, deren iagonalen [F] und [E] im unkt H aufeinander senkrecht stehen. Im reieck E liegt die Strecke [G] auf einer Winkelhalbierenden. er unkt G ist gleichzeitig der Schwerpunkt in diesem reieck, der alle Seitenhalbierenden (hier: [E] und [F]) und damit alle Höhen im Verhältnis 2:1 teilt. lso gilt : G = cm = 3cm ( 1,73cm). 2 Wegen F = 6cm gilt: FG = cm 2 = 3 3cm 2 ( 5,20cm 2 ) ie reiecke F, und sind gleichseitig und kongruent: = 32 3cm 2 = 9 3cm 2 ( 3,90cm 2 ). 4 4 Von den beiden reiecken F und musst du jeweils noch das nach innen gewölbte Kreissegment unter der Sehne [F] bzw. [] subtrahieren. iese beiden Segmente sind aus Symmetriegründen zu ihrem jeweils darüber liegenden Kreissegment kongruent. Somit ergibt sich z.: Segment[F] = SektorF F. lle folgenden erechnungen erfolgen in der Einheit cm 2. Segment(F) = π = 4 2 π 9 3 ( 0,82cm 2 ) 4 Für das Flächenstück, das durch die Strecken [F] und [] sowie durch den nach innen gewölbten Kreisbogen F begrenzt wird, ergibt sich: 14

15 = π = π ( 3,08cm2 ) Für den Inhalt des grauen Flächenstückes ergibt sich damit: = ) ( ( π = 3+ 9 ) 3 3π ( ) 57 = 3 3π cm 2 ( 15,26cm 2 ) G k 3 F k u k 2 k 4 S E k 1 ie unkte und E sind zwei Seitenmittelpunkte des gleichseitigen reiecks mit der Seitenlänge a. ie unkte S,, und E sind die ittelpunkte der Kreisbögen k 1, k 2, k 3 und k 4, welche die eiförmige Figur bilden. er unkt ist der ittelpunkt des Umkreises k u dieser Eilinie. (a) eschreibe, wie du diese Figur zeichnest. Zeichne die Figur für a = 6cm. (b) egründe: Neben der Symmetrieachse besitzt die Eilinie keine weitere. (c) Wie viel rozent der Fläches des Umkreises k u bedeckt die eiförmige Fläche? Lösung: (a) Zeichne das gleichseitige reieck. Verlängere dabei die Strecken [] und [] jeweils über hinaus. [E] [] = {S} Zeichne den Kreisbogen k 1 (S;r 1 = S). k 2 (;r 2 = ) [ = {F} und k 3 (E;r 3 = E) [ = {G}. 15

16 Zeichne den Kreisbogen k 4 (;r 4 = F). ie Gerade ist die Symmetrieachse der Figur. er ittelpunkt der Strecke [] ist. G k 3 F k u k 2 k 4 S E k 1 (b) k 3 k 2 k 4 S k 1 Zwar sind die beiden Kreisbögen k 2 und k 4 kongruent, aber die beiden Kreisbögen k 1 (Radius S) und k 3 (Radius ) sind es nicht. lso ist die Senkrechte zur Geraden durch den unkt keine Symmetrieachse der Figur. ndere Geraden, die ebenfalls durch verlaufen, kommen aus dem gleichen Grund nicht als Symmetrieachsen in etracht. (c) er Schnittpunkt S ist auch der Schwerpunkt des reiecks, der die Schwerlinien 16

17 im Verhältnis 2 : 1 teilt. Es seien r 1 = S, r 2 = und r 3 = F. ie drei Kreisbögen k 1, k 2 und k 3 schließen die Kreisteile 1, 2, 3 und 4 außerhalb des gleichseitigen reiecks ein, dessen Flächeninhalt kurz heißen soll. G k 3 3 F k u k 2 k 4 4 S E 2 1 k 1 r 1 = 2 3 a 2 = a 3 ; r2 = 3 a 3 = r4 2 1 = 1 ( a 3 ) π 3 3 = 1 9 a2 π = 1 ( a 4 ) π 2 2 = 3 16 a2 π 1 2 = 4 r 3 = a a = a ( ) = 1 [ a ( )] π =... = 2 6 a2 π 1 12 a2 3π Ei = 1 9 a2 π a2 π a2 π 1 12 a2 3π + ( 1 = a 2 π ) 6 13 a2 3π 4 = a 2 π a π = a2 π 12 a2 (1+π) Ei = a2 72 (47π 6 3 6π 3) 52,31cm 2 für a = 6cm Für den urchmesser d u des Umkreises k u gilt: d u = 2 r 1 +r 3. 17

18 r u = 1 2 (2r 1 +r 3 ) = 1 2 (2 3 a a a) r u = 1 3 a a a ( ) 7 1 = a r u = 1 12 a(7 3 3) 4,56cm für a = 6cm ru 2 = a2 144 ( ) Für den Flächeninhalt u des Unkreises ergibt sich dann: u = a2 144 ( ) π Ei u = a 2 72 (47π 6 3 6π 3) a ( ) π = 0, ,8 = 80% er Verdacht liegt nahe, dass es genau 80% sind. ber Zähler und Nenner stehen leider im irrationalen Verhältnis (man sagt, Zähler und Nenner sind inkommensurabel. ). as liegt z.. daran, dass sich die Zahl π nicht herauskürzt. 13. t k 2 2 r T R k b 2a 1 k 1 er Kreisbogen b von nach im uadrat mit der iagonalenlänge 2a besitzt den ittelpunkt. In der Figur ist eine öglichkeit dargestellt, wie die ittelpunkte 1 und 2 der beiden einbeschriebenen Kreise k 1 und k 2 mit den Radien R bzw. r konstruiert werden können. 18

19 (a) eschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte in der richtigen Reihenfolge. Konstruiere die Figur mit den einbeschriebenen Kreisen k 1 und k 2 für a = 6cm. (b) erechne die Kreisradien R und r in bhängigkeit von a. estätige damit, dass diese Konstruktion der einbeschriebenen Kreise korrekt ist. Tipp: Zeichne die erührradien der Kreisline k 2 an die Seiten [] und [] ein. Lösung: (a) (b) Zeichne as uadrat mit seinen iagonalen und dem Kreisbogen b b [] = {T} Zeichne die Tangente t an diesen Kreisbogen im unkt T t [] = {} und t [] = {} ie Senkrechten auf die Seiten [] und [] im unkt bzw. schneiden sich im ittelpunkt 1 er Kreis um den unkt 1 mit dem Radius 1 schneidet die iagonale [] im Kreismittelpunkt 2 R = 1 T und r = 2 T Konstruktion: ie iagonalen sind 2a = 12 cm lang, sie stehen aufeinander senkrecht und sie halbieren sich. ie restlichen Konstruktionsschritte sind oben angeführt. 19

20 S R r r t k 2 2 r T k R b 2a 1 k 1 U V a 2 as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. ort gilt: T = T = 2a a 2. as Viereck 1 ist ein uadrat. lso gilt dort: 1 T = T = 2a a 2 = R. 1 = 1 2 = = T 2 = (2a a 2) 2 = 2a 2 2a. r = 2 T = T = 1 2 T = 2a 2 2a (2a a 2) r = 3a 2 4a ie beiden erührradien r erzeugen das uadrat 2 RS. ann müsste aber gelten: 2 = r 2. Nun ist 2 = = 2 T = 2 (2a a 2) (2a 2 2a) = 4a 2a 2 2a 2+2a 2 = 6a 4a 2 = (3a 2 4a) 2 = r 2, was zu zeigen war. nalog müsste nun gelten: 1 = R 2: 1 = 1 = 2a 2 T = 2a 2 (2a a 2) = 2a 2 2a 1 = (2a a 2) 2 = R 2, was zu zeigen war

21 R S F L am H xm as ist die lanfigur für den oberen Teil eines Kirchenfensters. as gleichseitige Hilfsdreieck R berührt die Kreisbögen von nach S und von S nach in denunkten Lbzw. F.ieunkte und sind die beiden ittelpunkte dieser Kreisbögen. ie unkte F und L sind gleichzeitig die erührpunkte des einbeschriebenen Kreises mit den beiden Kreisbögen. (a) Zeige: = (a+a 3)m; d.h. x = a 2 + a 3. 2 xm am am H T xm erittelpunkt derstrecke []bzw.derstrecke[]isth.asreieck HU ist gleichseitig. egründe: iese Konstruktion ergibt H = H = xm. (b) ie reite des Kirchenfensters soll 2 m betragen. Konstruiere die vollständige Figur im aßstab 1:25. (c) Wie viele uadratdezimeter rotes Glas werden für die Rosette ungefähr gebraucht? (d) Wie hoch wird dieser Teil des Kirchenfensters? Lösung: (a) ie Seitenlänge des gleichseitigen reiecks beträgt 2x m. ie Strecke [ L] stellt eine der Höhen in diesem reieck dar. U 21

22 ( 2x ann gilt L = = 2 x = 3 ) m = (x+a)m x 3m = (x+a)m a 3+1 = a ( 3+1) = a 2 + a 3. 2 er unkt T ist der ittelpunkt der Seite [H], die am lang ist. ie Strecke [TU] ist eine Höhe in dem gleichseitgen reieck HU mit der Seitenlänge am. TU = a 2 3m = T H = HT +T = ( a 2 + a 2 3)m = xm. (b) ie reite des Fensters beträgt 2m = 200cm. Im aßtab 1:25 bedeutet das für deine Zeichnung = 200cm : 25 = 8cm. R S E F L am H xm Konstruiere x für a = 4cm gemäß der arstellung in der ufgabe (a) Konstruiere das reieck R er unkt ist sowohl der ittelpunkt des Inkreises dieses reiecks als auch der Rosettenmittelpunkt ie Spitzen der Rosette sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks (c) In diesem usschnitt erkennst du im Zusammenhang mit der vorangegangenen Konstruktion: ie unkte E und teilen die reieckshöhe [RH] in drei gleich große Teile. as reieck LE ist gleichseitig. 22

23 E L Für den Inkreisradius = E gilt: = 1 3 2x 2 3 m = 3 3 a ( ) m = a 2 ( ) 3 1+ m 3 ie beiden Kreissegmente an der Sehne [ E] sind kongruent. Für den Flächeninhalt R eines lattes der Rosette gilt dann: ( 1 R = 2 6 2π 2 ) ( π 3 = ) 3 2 = a2 4 ( 1+ 3 Für a = 1 ist dann R 0,112cm 2 = 11,2dm 2 und ges = 6 R 67,2dm 2. Es werden etwa 70dm 2 rotes Glas für die Rosette benötigt. 3 ) 2 ( π 3 ) 3 (d) Es gilt: S = L = x 3m. HS: HS 2 = S 2 x 2 m 2 = (3x 2 x 2 )m 2 = 2x 2 m 2. HS = x 2m. ie Fensterhöhe HS ist genauso lang wie die Seite des uadrates mit der Seitenlänge x m (was eine andere Konstruktionsmöglichkeit der Figur eröffnen würde). it x = a ( ) 3+1 ergibt sich: HS = x 2m = a ( ) 6+ 2 m. 2 2 Für a = 1 ergibt sich: HS 1,93m T S xcm 23

24 as ist das ild eines Fensters, das sich in der Zisterzienserabtei Hauterive in Fribourg (Schweiz) befindet. er Radius des Umkreises dieser Figur sei R cm. er Radius der kleinen Kreisbögen sei jeweils rcm. ie gestrichelten Linien erzeugen im Inneren ein uadrat und ein gleichseitiges reieck. (a) Konstruiere die Figur für R = 5cm. R (b) Zeige: S = x = ( 3+1)cm Zeige: xcm = R R (c) Hier ist eine recht umständlichere öglichkeit dargestellt, die Figur zu konstruieren: T G S x x E er ittelpunkt der Strecke [T] ist der unkt G. as reieck G ist gleichseitig und es besitzt die Seitenlänge R cm. egründe: iese Konstruktion ergibt E = S = xcm = R R Lösung: (a) 24

25 T S xcm Zeichne einen Kreis um mit dem Radius R = 5cm Zeichne die vier Symmetrieachsen der Figur ein; unkt T Trage am unkt T links und rechts einen 30 -Winkel mit dem Schenkel [T an ie freien Schenkel dieser Winkel schneiden die im 45 -Winkel stehenden Symmetrieachsen im unkt bzw.. as reieck T ist dann gleichseitig. ie unkte, und T sind jeweils die ittelpunkte der drei Kreisbögen er Rest kommt durch unkt- oder chsenspiegelung zustande (b) as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. S = S = S = xcm und = S = 2xcm. as reieck T ist gleichseitig. lso gilt für dessen Höhe ST = 2 x 3cm = x 3cm. 2 (x+x 3)cm = x(1+ 3)cm = R R x = xcm = ( 3+1)cm R 3 1 = R 3 R = R 3 R (c) Es gilt E = EG G = R 3 2 R

26 E R 3 x r r 1 r r 2 ie unkte und sind die ittelpunkte der beiden Kreisbögen, welche die beiden Halbkreise mit den ittelpunkten 1 und 2 (Radius r) sowie den Kreis um 3 mit dem Radius R berühren. er Kreis um 3 mit dem Radius R berührt den Kreisbogen von nach im unkt E. (a) Zeige: R = 1,2r. (b) Um wie viel rozent ist der Flächeninhalt R des Kreises um 3 größer als der Flächeninhalt r der beiden Halbkreise zusammen? Lösung: (a) 3 = E 3 E = 4r R Wende in den beiden reiecken 3 und 1 3 den Satz des YTHGORS an: 3 : x 2 = (4r R) 2 (2r) 2 x 2 = 16r 2 8rR+R 2 4r 2 x 2 = 12r 2 8rR+R 2 (1) 1 3 : x 2 = (r +R) 2 r 2 x 2 = r 2 +2rR+R 2 r 2 x 2 = R 2 +2rR (2) (1) = (2): 12r 2 8rR+R 2 = R 2 +2rR 12r 2 10Rr = 0 2r(6r 5R) = 0 R = 1,2r (b) Flächenunterschied: = R r = R 2 π r 2 π = (1,2r) 2 π r 2 π = r 2 π(1,44 1) = 0,44r 2 π = 0,44r2 π r r 2 π = 0,44 = 44%

27 E as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig mit = = 5cm. as Viereck E ist ein Rechteck. ie unkte, und sind die ittelpunkte der drei Kreisbögen, die sich zu der geschwungenen Linie von E über und nach zusammenfügen. (a) Zeichne die Figur. (b) Zeige: = 2,5 5cm. (c) erechne den Inhalt der Fläche, die von der geschwungenen Linie und der oberen Rechtecksseite [E] umrandet wird. Lösung: (a) E (3) (II) (I) (2) (1) (b) as reieck ist ein halbes uadrat mit der iagonalenlänge = 5cm. ann ist die Seitenlänge = cm = cm = 5 2cm, also 2,5 2cm ,54cm lang. (c) = 1 2 ( 5 2 ) 2 cm 2 = 6,25cm 2 (1) ,542 πcm 2 4,92cm 2 = (3) (I) = (III) 6,25cm 2 4,92cm 2 = 1,33cm 2 (2) (5 3,54)2 πcm 2 1,67cm 2 gesamt = 2 (I) + (2) 2 1,33cm 2 +1,67cm 2 = 4,33cm

28 E ie Eckpunkte und des rechtwinkligen reiecks sind die ittelpunkte der Kreisbögen von E nach bzw. von nach. ie Radien der Kreisbögen sind gleich lang. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne den Inhalt der getönten Fläche. Lösung: (a) γ (1) k 1 k 2 (2) Zeichne die Strecke = 6cm. Trage am unkt einen rechten Winkel an. Zeichne um den unkt einen Kreisbogen k 1 mit Radius 6cm. Zeichne um den unkt einen Kreisbogen k 2 mit Radius 6cm. k 1 k 2 = {}. as reieck ist somit gleichseitig mit der Seitenlänge 6cm. k 2 {freier Schenkel des rechten Winkels mit dem Scheitel } = {E}. [ [E = {}. (b) Weil das reieck gleichseitig ist, folgt γ = 60. Weil das reieck rechtwinklig ist, folgt β = 30. er Flächeninhalt des reiecks beträgt somit = cm 2 = 18 3cm 2 ( 31,18cm 2 ). erechne dann den Flächeninhalt des Kreissektors (1) mit dem ittelpunkt und dem Kreisbogen von nach : (1) = πcm 2 = 6πcm 2 ( 18,85cm 2 ) en Inhalt (2) der Fläche (2), die durch die Strecken [E] und [] sowie durch den Keisbogen von E nach begrenzt wird, berechnest du, indem du den Inhalt des 28 E β

29 Kreissektors mit dem ittelpunkt und dem Radius 6 cm vom Flächeninhalt des reiecks subtrahierst. as reieck ist ein halbes gleichseitiges reieck. Weil = 6cm gilt, ist der unkt damit der ittelpunkt der Hypotenuse [], die ja 12cm lang sein muss. eshalb ist der Flächeninhalt des reiecks halb so groß wie der des reiecks : = 0,5 18 3cm 2 = 9 3cm 2 ( 15,59cm 2 ). (2) = (9 ) π cm 2 = (9 3 3π)cm 2 ( 6,16cm 2 ). en Inhalt der getönten Fläche erhältst du, indem du die beiden Flächeninhalte (1) und (2) vom Flächeninhalt des reiecks subtrahierst: = 18 3 [6π +(9 3 3π)]cm 2 = (9 3 3π)cm 2 = (2)! as bedeutet z.. auch, dass der Kreisbogen von E nach die Fläche halbiert, die von den Strecken [] und[] sowie vom Kreisbogen von nach begrenzt wird. 19. (b) (g) (b) Lösung: (a) as ist der Entwurf eines Logos für die Firma Sun & rown. Es besteht aus einem uadrat, das aus drei kongruenten Streifen blau (b) und grün (g) zusammengesetzt ist. ußerdem ist dem uadrat ein Halbkreis einbeschrieben. (a) Zeichne die Figur, so dass die uadratseite 6 cm lang ist. (b) erechne den Inhalt der blauen Fläche im Halbkreis. (c) Wie viel rozent der Halbkreisfläche sind grün eingefärbt? 29

30 (b) (g) (b) R S O α (b) Um den Inhalt der blauen Teilfläche zu berechnen, musst du von der Fläche des Sektors O die des reiecks O subtrahieren: Im rechtwinkligen reieck O gilt: O = 1cm und O = 3cm. lso: cosα = 1 3 α 70,53. Sektor 70, πcm 2 5,54cm 2 O 0,5 1 3cm 2 1,41cm 2 5,54cm 2 1,41cm 2 = 4,13cm 2 Geamte blaue Fläche: 2 4,13cm 2 = 8,26cm 2. (c) Halbkreis: HK = π 14,14cm 2 grün 14,14cm2 8,26cm 2 HK 14,14cm 2 0,4158 = 41,58% Knapp 42% der Halbkreisfläche sind grün eingefärbt

31 E F ie unkte,,,, E und F sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge a cm. iese unkte sind auch die ittelpunkte der Kreisbögen im Inneren. (a) Zeichne die Figur für a = 6. (b) erechne den Flächeninhalt der getönten Figur in deiner Zeichnung. Lösung: (a) Zeichne zunächst den Umkreis der Figur mit dem Radiua a = 6 cm. Trage dann den Radius 6-mal auf der Kreislinie ab. eginne dabei mit einem der waagrechten unkte oder F. Zeichne dann die 6 Kreisbögen ein. (b) 60 acm Segment ie usgangsfigur (F) enthält drei Kreisbogendreiecke (K). Eines davon ist jetzt herausgezeichnet. Es setzt sich aus einem gleichseitigen reieck () und drei kongruenten Segmenten (Sg) zusammen. en Flächeninhalt der usgangsfigur (F) kannst du berechnen, indem du vom Flächeninhalt des Umkreises (k) der usgangsfigur den der drei Kreisbogendreiecke (K) subtrahiertst: F = k 3 K. Weiter gilt also: K = +3 Sg und Sg = Sektor. 31

32 K = +3 ( Sektor ). [ 3 K = 3 Sektor 2 = [ 1 K = 2 a2 π 1 ] 2 a2 3 cm 2 [ 1 F = a 2 πcm a2 π 1 ] 2 a2 3 cm 2 [ F = a 2 π 3 2 a2 π + 3 ] 2 a2 3 Für a = 6 ergibt sich: F 36,98cm 2. cm 2 = a2 2 (3 3 π)cm 2 60 ] 360 a2 π 2 a2 3 cm E F ie unkte,,,, E und F sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge a cm. iese unkte sind auch die ittelpunkte der Kreisbögen im Inneren. ie Strecken [], [] und [EF] sind jeweils die urchmesser der drei Halbkreise im Inneren. (a) Zeichne die Figur für a = 6. (b) erechne den Flächeninhalt der getönten Figur in deiner Zeichnung. Lösung: (a) Zeichne zunächst den Umkreis der Figur mit dem Radiua a = 6 cm. Trage dann den Radius 6-mal auf der Kreislinie ab. eginne dabei mit einem der waagrechten unkte oder F. Zeichne dann die 6 Kreisbögen und die 3 Halbkreise ein. (b) 32

33 acm 60 ie Figur stellt eines der drei kongruenten Elemente der usgangsfigur (F) dar: n den Schenkeln [] und [] des gleichseitigen reiecks liegen zwei kongruente Segmente (Seg), die zum Flächeninhalt des gleichseitigen reiecks addiert werden. avon wird dann der Flächeninhalt des Halbkreises (Hk) subtrahiert. as Ergebnis wird schließlich noch mit 3 multipliziert. F = 3 ( +2 Seg Hk ) = 3 [ +2 ( Sektor ) Hk ] F = 6 Sektor 3 3 Hk ) [ F = 6 F = F = a2 π 3 a ] [ a 2 π 3 4 a a2 π cm 2 ( a ) ] 2π cm [ 5 8 a2 π 3 ] [ a 4 a2 3 cm 2 2 ( = 8 5π 6 3) ] cm 2 Für a = 6 ergibt sich: F 23,92cm 2 nmerkung: Es gilt F = [ 5 8 a2 π 3 ] [ a2 3 cm 2 ] = 360 a2 π 3 a2 3 cm 2. 4 as bedeutet: ie usgangsfigur hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreissektor mit dem ittelpunktswinkel 225 und dem Radius acm, dem man 3 gleichseitige reiecke mit einer Seitenlänge von jeweils a cm entnommen hat

34 60 er gefärbte Kreis mit dem ittelpunkt ist dem Kreissektor mit dem ittelpunkt und einem Öffnungswinkel von 60 einbeschrieben. (a) Zeichne die Figur für den Sektorradius = a = 6cm. Tipp: ie beiden Kreislinien berühren sich in einem unkt T. urch diesen unkt verläuft die gemeinsame Tangente an die beiden Kreislinien. Zeichne diesen unkt T und die Tangente ein. (b) Welchen ruchteil der Sektorfläche nimmt der Kreis ein? Lösung: (a) E T k 60 F (b) ie Gerade [T] ist eine Symmetrieachse des gleichseitigen reiecks und des reiecks E. lso ist dieses reieck E ebenfalls gleichseitig. ie Strecke [ T] stellt den Radius des Kreises k dar. ie a = 6cm lange Strecke [T] ist eine Höhe im gleichseitigen reieck E. er Kreis k ist der Inkreis des reiecks E. [T] [EF] =. Somit stellt die Strecke [T] den Radius des Kreises k dar. Weil im gleichseitigen reieck die Winkelhalbierenden gleichzeitig die Schwerlinien sind, teilt der ittelpunkt die Strecke [T] im Verhältnis 2 : 1. r = 1 3 a Kreis Sektor = ( ) a π a2 π 34 = 1 9 : 1 6 = 2 3.

35 23. S R r k In den Kreis k mit dem Radius r ist das uadrat und in seinen Halbkreis ist das uadrat RS einbeschrieben. (a) Zeichne die Figur für r = 4cm. (b) erechne das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden uadrate. Lösung: (a) S R S R 2x r r x 45 r k y Zeichne zunächst den Kreis mit dem ittelpunkt und seinem waagrecht liegenden urchmesser. Zeichne dann zwei Geraden ein, die jeweils einen 45 -Winkel mit dieser Waagrechten bilden und sich im unkt schneiden. ie Schnittpunkte dieser beiden Geraden mit der Kreislinie k sind die Eckpunkte des uadrates. Um das uadrat RS zu erhalten, zeichnest du am besten erst ein (hier gestrichelt eingezeichnetes) robequadrat mit den Eckpunkten R und S ein. ann folgt: [R ] k = {R} und [S ] k = {S}. 35

36 ie Lote der Eckpunkte R und S auf die Waagrechte liefern die restlichen uadrat- Eckpunkte und. (b) Für die erechnung kannst du den Radius r verwenden. Es geht jedoch auch, wenn du für r 4cm einsetzt. Es gilt: = y und = x, dann ist S = 2x (siehe Zeichnung). as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig und damit ein halbes uadrat mit der iagonalenlänge y = r 2. = y 2 = 2r 2. YTHGORS im reieck S: x 2 +(2x) 2 = r 2 5x 2 = r 2 2x = 2r 5 RS = (2x) 2 = 4 5 r2 RS = 4 5 r2 2r 2 = 2 : 5 = 4 10 = 40% as uadrat ist um 60% größer als das uadrat RS. 24. xcm 6cm Lösung: (a) In dem ild eines Firmenlogos wird der Kreis mit dem ittelpunkt und dem Radius x cm (x < 3) in einen dunkel gefärbten Halbkreisring eingebettet, dessen äußerer urchmesser 6 cm beträgt (siehe bbildung oben rechts). (a) Zeichne die Figur für x = 2. (b) erechne für x = 2 den Flächeninhalt des Halbkreisringes. (c) erechne x so, dass der Inhalt der Kreisfläche genauso groß wie der des Halkreisringes ist. (d) erechne x so, dass der Halbkreisring den doppelten Umfang wie der Vollkreis besitzt. 36

37 xcm xcm 3cm eginne am besten mit dem Vollkreis. ( 1 (b) HR = 2 32 π 1 ) 2 22 π cm 2 = 2,5πcm 2 7,85cm 2 (c) ie aßzahlengleichung für x + heißt: x 2 π = π 1 2 x2 π 3 2 x2 = 9 2 x = 3 1,73 (d) Es gilt = = (3 x)cm. 2 u Vollkreis = 2 2xπcm u HK = [ 1 2 6π +2 (3 x)+ 1 ] 2 2xπ cm 4xπ = 3π +6 2x+xπ x(2+3π) = 6+3π x = 6+3π 2+3π 1, R α β ie Figur stellt den Entwurf einer halbkreisförmigen ühnenfläche dar. er urchmesser [] soll 20m und die Länge der Strecke [] soll 4m betragen. ie von den Strecken [R], [], [] und dem Kreisbogen von nach R begrenzte Teilfläche soll farbig von der restlichen Fläche abgesetzt werden. (a) Zeichne die ühne im aßstab 1 : 200 für α = 130 und β = 80. (b) erechne den Inhalt der farbig abgesetzten Teilfläche. [Ergebnis: Farbe 69,85m 2 ] 37

38 (c) erechne den prozentualen nteil der farbigen Fläche an der Gesamtfläche der ühne. Lösung: (a) R (2) 10m ε 10m (1) α 4m Für deine Zeichnung gilt: 20m = 2000cm = 2000cm : 200 = 10cm 4m = 400cm = 400cm : 200 = 2cm µ ψ (b) Strategie: ddiere den Flächeninhalt des reiecks R zum Kreissektor (2) mit dem ittelpunktswinkel ψ. Halbkreisfläche. ie weiße Teilfläche (1) ist kein Kreissektor. ie Hilfslinie [ R] ist die Schlüsselstelle auf dem Lösungsweg. Halbkreis = πm 2 = 50πm 2 157,08m 2 β 10m 1 = SektorR R Sinussatz im reieck R: sinε 4 = sin ε 17,84 µ ,84 = 32,16 R sin32,16 10,65m 2 ψ ,16 = 67,84 ( ) 67,84 (2) = π m 2 59,20m 2 Farbe (10,65+59,20)m 2 = 69,85m 2 (c) Farbe Halbkreis 69,85m2 157,08m 2 0,44 = %

39 F G E as ist das Logo einer Firma, die Elektrogeräte herstellt. as Viereck ist ein uadrat mit dem ittelpunkt. ie unkte und sind die ittelpunkte der Kreisbögen von E nach G bzw. von G nach F. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) erechne die Summe der Flächeninhalte der getönten Teilflächen in der Figur. Lösung: (a) F I I G II II I I (b) us Symmetriegründen gilt: I = II. E I = ( π)cm 2 1,93cm 2. gesamt = 4 I +2 II = 6 I 11,58cm

40 Figur 1 Figur 2 (a) Zeichne die Figur 1 für = 3,6cm, = 4,8cm und = 6cm. (b) Zeige ohne zu runden, dass der untere Kreisring und der obere Halbkreis den gleichen Flächeninhalt besitzen. (c) Zeichne die Figur 2 für c = = 12cm, a = = 7,2cm und b = = 9,6cm. egründe: as reieck ist rechtwinklig. Notiere den Zusammenhang zwischen den drei Halbkreisflächen in der Figur 2 in Form einer Gleichung. Was hat die Figur 2 mit der Figur 1 zu tun? eschreibe deine Idee. Lösung: (a) ie Figur 1 ist im aßstab 1 : 2 dargestellt. Figur 1 III II I (b) u hast die drei Halbkreise I, II und III vor dir. Es müsste gelten: III = I II. Es wird in der Einheit cm 2 gerechnet. lso: 1 2 4,82 π = π 1 2 3,62 π : 1 2 π 4,8 2 = 6 2 3,6 2 23,04 = 36 12,96. as stimmt, also ist die ehauptung bewiesen. (c) ie Figur 2 ist im aßstab 1 : 2 dargestellt. 40

41 Figur 2 III b a II c I Für die aßzahlen müsste gelten: 12 2 = 7,2 2 +9, = 51,84+92,16. as stimmt, also ist das reieck rechtwinklig. Es gilt: c 2 = a 2 +b ( π c ) ( a ) ( ) 2 1 b 2 π = π π. 2 as bedeutet: er Halbreis I hat den gleichen Flächeninhalt wie die beiden Halbkreise II und III zusammen. In der Figur 1 siehst du einen gleich gelagerten Fall: Wenn du den Halbkreis II aus dem Halbkreis I entfernst, ergibt sich: er Halbkreis I muss genauso groß sein wie die beiden Halbkreise II und III zusammen. In der Figur 1 und der Figur 2 haben gleich nummerierte Halbkreise den gleichen urchmesser; d.h. sie sind kongruent. 28. (a) Zeichne die Figur für R = = 5,6cm und r = = 4cm. (b) Zeige, dass der untere Kreisring und der obere Halbkreis nicht denselben Flächeninhalt besitzen. 41

42 Lösung: (a) (c) Jetzt sei r = 18cm. erechne R so, dass der Inhalt der beiden getönten Flächen gleich ist. (d) Welcher Zusammenhang muss zwischen R und r bestehen, damit die getönten Flächen gleichen Inhalt besitzen? r = 4cm R = 5,6cm (b) nmerkung: Zu allen Flächenmaßzahlen gehört die Einheit cm 2. Es gilt: Halbkreis(klein) = π und Kreisring = 1 2 5,62 π Halbkreis(klein). Es muss also gelten: Halbkreis(groß) = 2 Halbkreis(klein) ,62 π = π : π 15, (c) 1 2 R2 π = πcm 2 R 2 = 36cm 2 R = 6cm. 2 (d) Es muss gelten: 1 2 R2 π = r 2 π R = r 2. u könntest das auch mit Hilfe der Eigenschaften der zentrischen Streckung begründen: lle Kreise sind zueinander ähnlich. Wenn du eine Kreisfläche verdoppelst, dann gilt für den Streckungsfaktor k: k 2 = 2 k =

43 E F Lösung: (a) as Sechseck EF mit dem ittelpunkt ist regelmäßig. (a) Zeichne die Figur für = 8cm. (b) erechne den Flächeninhalt der Figur. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. 2cm 2cm 4cm 4cm 60 4cm E F (b) ie drei iagonalen zerlegen jedes regelmäßige Sechseck in sechs kongruente gleichseitige reiecke. In unserem Fall hat jedes dieser gleichseitigen reiecke eine Seitenlänge von 4cm. ie sechs kongruenten Halbkreise lassen sich paarweise zu drei Vollkreisen mit dem 43

44 Radius r = 2cm zusammenfügen. ) lso: = ( π cm 2 79,27cm E Lösung: (a) Erwin hat einen Kreis aus apier ausgeschnitten. Er faltet nun die Kreisscheibe so, dass der unkt E auf den Kreismittelpunkt zu liegen kommt. (a) Zeichne die Figur mit einem Kreisdurchmesser von 6 cm. (b) erechne den nteil der eingefärbten Fläche an der gesamten Kreisfläche in rozent. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. E ϕ ϕ F 44

45 (b) Von der Kreisscheibe hat Erwin das Kreissegment heruntergeklappt. en Flächeninhalt dieses Kreissegmentes erhältst du, indem du vom Flächeninhalt des Kreissektors E E den Flächeninhalt des reiecks E subtrahierst. Im reieck E gilt: E = = E = 3cm. lso ist das reieck E gleichseitig, und es gilt: ϕ = 60. as reieck E hat den gkeichen Flächeninhalt wie dieses reieck E. Sektor = πcm 2 9,42cm 2. E = 32 4 cm2 3 3,90cm 2. Segment 9,42cm 2 3,90cm 2 = 5,52cm 2. iese Segmentfläche musst du zwei al von der Fläche der Kreisscheibe subtrahieren: gefärbt 3 2 πcm 2 2 5,52cm 2 17,23cm 2. gefärbt = 17,23cm2 0,6945 = 69,54%. 28,27cm2 31. F Lösung: (a) er unkt des Rechtecks ist der ittelpunkt des Kreisbogens. (a) Zeichne die Figur für = 8cm und = 6cm. (b) erechne den Inhalt der eingefärbten Fläche. Runde dein Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. 45

46 H G F ϕ (b) Strategie: Subtrahiere den Flächeninhalt des reiecks G vom Flächeninhalt des Viertelkreises mit dem ittelpunkt und dem Radius r = 6cm. Sektor = πcm 2 = 9πcm 2. Weil sie z.. im Winkelmaß ϕ übereinstimmen, sind die beiden rechtwinkligen reiecke und G zueinander ähnlich: ϕ G = G = 36cm2 8cm = 4,5cm G = 1 2 6cm 4,5cm = 13,5cm2. = (9π 13,5)cm 2 14,77cm R r (a) Zeichne die Figur für R = 5cm und r = 3,5cm. (b) erechne für R = 5cm den Kreisradius r so, dass der Kreisring 19% der großen Kreisfläche einnimmt. 46

47 Lösung: (a) Klar. (c) erechne für r = 3, 5 cm den Kreisradius R so, dass der Flächeninhalt des Kreisringes genauso groß wird wie der des kleinen Kreises. (b) Wir rechnen nur mit aßzahlen: 5 2 π r 2 π = 0, π r 2 π = 0, π r = 0,9 5cm = 4,5cm (c) Wir rechnen nur mit aßzahlen: 3,5 2 π = (R 2 3,5 2 )π R 2 π = 2 3,5 2 π R = 3,5 2cm 4,95cm 33. T Im gleichseitigen reieck ist der asismittelpunkt. iesem gleichseitigen reieck sind ein Halbkreis und ein kleinerer Kreis einbeschrieben worden. ie beiden Kreislinien berühren sich im unkt T. (a) Zeichne die Figur für = 8cm. (b) erechne das Verhältnis des Flächeninhaltes des kleinen Kreises zu dem des Halbkreises. Lösung: (a) 47

48 c i b T a a 4 3 a 4 3 a a 2 30 Wir bezeichenen die Seitenlänge des gleichseitigen reiecks mit a. (b) ie reiecke 1 und 1 sind halbe gleichseitige reiecke mit der Seitenlänge a 2. us Symmetriegründen sind diese beiden reiecke zudem kongruent. as reieck 1 ist (ebenso wie das reieck 1 ) ein halbes gleichseitiges reieck mit der reieckshöhe 1 (= 1 ) = a 4 3. Weil der unkt T auf der Halbkreislinie liegt, gilt ebenso T = a 4 3 = 1 2. a und b sind also zwei Seitenmittelpunkte des gleichseitigen reiecks. ann gilt [ a b ] []. emnach beträgt der Inkreisradius ρ i des reiecks b a ein Viertel von dem des reiecks. Für den Inkreisradius ρ g des gleichseitigen reiecks gilt: ρ g = 1 3 a 2 3. ρ i = a 2 3 = a Für den Flächeninhalt k des kleinen Kreises gilt dann: ( a ) 2 a k = 3 π = π. Für den Flächeninhalt HK des Halbkreises gilt dann: HK = 1 ( a ) 2 2 3a 3 π = π. Für das fragliche Flächenverhältnis ergibt sich dann: [ ] [ ] k a 2 a 2 = HK 96 π : 32 π = = 1 3. a 2 48