Abbildung durch zentrische Streckung L K F A E

Transkript

1 bbildung durch zentrische treckung 1. Untersuche, ob die unkte (0 0), (6 2,5) und R(11 4,5) auf einer Geraden liegen. Lösung: Es gibt mehrere Möglichkeiten: z.. über teigungsdreiecke, Vektoren, Geradengleichungen. ntwort: Nein, aber ziemlich knapp. 2. Gegeben sind die unkte (3 2) und (1 2). Um wie viel rozent muss man die trecke [] mindestens verlängern, bis man auf die y-chse trifft? Löse die ufgabe auf verschiedene Weise. Lösung: Z.. über teigungsdreiecke oder die Länge von trecken. ntwort: Um 50%. 3. Verlängere die trecke [E] mit ( 4 2) und E(2 3) um 10% ihrer Länge über den unkt E hinaus bis zum unkt E. erechne die Koordinaten des unktes E. Lösung: E (2,6 3,1). 4. G H L K F E enin ist ein Land in frika. eine Flagge ist oben abgebildet. Zusätzlich ist noch die iagonale[] eingezeichnet. lle drei Rechtecke im Inneren haben den gleichen Flächeninhalt. (a) Gib alle zueinander ähnlichen reiecke an. (b) erechne für = 6cm die Länge der trecke []. Zeichne dann die zugehörige Figur. [ Teilergebnis: = 4cm ] (c) erechne den Flächenanteil des reiecks HKL am Rechteck. Lösung: (a) LG HKL KF EL 1

2 (b) Es sei = cm. Weil alle Rechtecke im Inneren flächengleich sind, muss G = F = F = 0,5cm gelten. ann ist E = (6 0,5)cm = = cm. 6 = 1,5 = 4cm; d.h. alle inneren Rechtecke sind sogar kongruent. Nun kannst du die Figur zeichnen. (c) 2 G 4 4 H L K 2 F 2 2 E 4 LG : GL 2 = 4 6 GL = 4 3 HL = = 2 3 = 0,5 GL us (a): HKL LG mit dem Ähnlichkeitsfaktor k = 0,5. (HKL) = 0,5 2 (LG) = 0, cm2 = 2 3 cm2 (HKL) () = 2 3 : 24 = 2 48 = H G E F In der obigen Figur ist ein uadrat mit der eitenlänge 6cm. Es gilt: E = EF = F. ie unkte G und H sind auf [] beweglich und es gilt H = G = cm. (a) Zeichne die Figur für = 1,2. 2

3 (b) er bstand des unktes von der eite [] sei ycm. Zeige auf verschiedene Weise, dass für y gilt: y = 6 (3 ) (4 ). Hinweis für eine Möglichkeit: Zeichne vom unkt G ausgehend eine Hilfslinie ein und betrachte ähnliche reiecke. (c) erechne auf verschiedene Weise so, dass der Flächeninhalt des reiecks HG doppelt so groß wie der des reiecks EF wird. Lösung: (a) (b) H G y E F T Wenn y zunimmt (abnimmt), dann wird größer (kleiner). (c) 1. Möglichkeit (mit der Hilfslinie GT) : Wegen E = 4cm folgt ET = (4 )cm. G ETG: G = GT y ET 3 = 6 4. amit ergibt sich der gewünschte usdruck. 2. Möglichkeit (ohne die Hilfslinie GT) : Es gilt: = (6 y)cm und G ETG: G = E y 3 = 6 y 1. y = (3 )(6 y) = 18 3y 6+y y( 4) = 6 18, woraus die obige eziehung folgt. (d) 1. Möglichkeit (elegant): Es gilt EF HG. Wenn das reieck HG doppelt so groß wie das reieck EF ist, dann muss für die entsprechenden eitenlängen der treckungsfaktor den Wert 2 besitzen. Es muss z.. gelten: HG = 2 EF, also 6 2 = 2 2. amit ergibt sich = 3 2 1, Möglichkeit (aufwändig): Es muss gelten: (HG) = 2 (EF). lso: 1 2 (3 ) y = 2 (6 y) y = Mit dem Ergebnis der ufgabe (b) folgt dann 6 (3 ) (4 ) 3 = HG = 2 2 EF

4 iese ruchgleichung führt dann auf die quadratische Gleichung = 0 mit G =]0;3[ R 1;2 = 6±2 2 2 = 3± 2. as luszeichen entfällt wegen 3+ 2 > m 10. ugust wirft der Olympiaturm in München einen 406 m langen chatten. Gleichzeitig wirft ein 2m hoher tab einen 2,8m langen chatten. estimme die Höhe des Olympiaturmes. Lösung: er Turm ist 290m hoch. 7. Gegeben ist die chnittzeichnung eines achstuhles. In 3m Höhe soll ein alken von E nach eingesetzt werden. Wie lang ist der alken? 8 m E 3 m 4 m 6 m Lösung: E = 6,25m 8. lkohol und utofahren passen nicht zusammen. as leuchtet ein. ber die wenigsten wissen, wie langsam der lkohol im Körper abgebaut wird. er durchschnittliche bbauwert beträgt lediglich 0,15 romille stündlich. Weder chlaf noch Mocca können dies beschleunigen. Wer z.. nach einer Feier um Mitternacht einen lkoholspiegel von 1,5 romille erreicht hat, kann sich leicht ausrechnen, wann er/sie wieder restlos nüchtern ist. enn bereits bei 0,3 romille kann man sich durch auffälliges Fahrverhalten strafbar machen. b 0,5 romille macht man sich strafbar, auch wenn nichts passiert ist, und ab 1,1 romille ist man absolut fahruntauglich; es liegt eine traftat vor. (a) Zeichne den zugehörigen Graphen. (Hinweis: Tragt zunächst auf der -chse die Uhrzeit ab: der Nullpunkt entspricht Uhr - jede weitere tunde entspricht 3 Kästchen. Tragt auf der y-chse den romillegehalt ab: 0, 1 romille entspricht dabei 2 Kästchen.) (b) Um wie viel Uhr sind 1,1 romille, 0,5 romile und 0,3 romille erreicht? (c) Welche romillezahl hat der Fahrer/die Fahrerin morgens um 7.40 Uhr? 4

5 Lösung: (a) - - (d) Wenn du einen Fahrzeugführer vor den Gefahren des utofahrens unter lkoholeinfluss warnen möchtest, würdest du ihm den Tet oder die Graphik in die Hand geben? (egründe deine ntwort!) (b) er Fahrer erreicht 1,1 romille um 2.40 Uhr, 0,5 romille um 6.40 Uhr und 0,3 romille um 8.00 Uhr. (c) Morgens um 7.40 Uhr hat der Fahrer 0,35 romille. (d) ie arabel p mit Gleichung p : y = wird einer zentrischen treckung am Zentrum Z(1 3) mit dem treckungsfaktor k = 1,5 unterworfen, so dass eine ildparabel p entsteht. Ein usschnitt der arabel p ist mit ihrem cheitel und dem Zentrum Z im Koordinatensystem dargestellt. uf der arabel p wandern unkte n ( ), die zusammen mit den unkten ( 3 0) und (0 1) reiecke n n n erzeugen. y Z 1 O 1 (a) Zeichne das ild p der arabel p mit dem cheitel ein. Zeichne für = 2,5 das reieck 1 ein. (b) erechne die Funktionsgleichung der ildparabel p. [ Ergebnis: y = 2 3 ( 4)2 +1,5] 5

6 (c) ie Gerade g mit der Gleichung y = 2+3 ist eine Tangente an die arabel p. iese Tangente wird am unkt Z auf die gleiche Weise zentrisch gestreckt, wie vorher die arabel p. adurch entsteht die ildgerade g. Zeichne die Geraden g und g ein. Weise nach, dass die Gerade g eine Tangente an die arabel p ist. (d) as reieck 1 hat einen Flächeninhalt von 2,875cm 2. Mit der gleichen zentrischen treckung wird dieses reieck 1 auf das reieck 1 abgebildet. Zeichne das reieck 1 ein. erechne den Flächeninhalt des reiecks 1. (e) llemöglichenreiecke n werdendurchdievorliegendezentrischetreckung aufdiereiecke n abgebildet.erflächeninhalt derreiecke n lässt sich in bhängigkeit vom bszissenwert der unkte n auf die folgende Weise darstellen: () = ( 3,3752 5,625+13,5)cm 2 Zeige: Für den Flächeninhalt () der reiecke n gilt in bhängigkeit von : () = ( 1,5 2 2,5+6)cm 2 (f) egründe: Unter allen ilddreiecken n ist das reieck nicht das flächengrößte. Lösung: (a) iehe Zeichnung. y g g 1 T T Z 1 1 O 1 6

7 (b) iehe Zeichnung. Zunächst ergibt sich ( 1 4). Weiter sei ( (y ). us Z = k ( ) ( ) Z folgt: y = 1, araus ergibt sich: 1 = 3 = 4 y 3 = 1.5 y = 1,5 lso: (4 1,5). ie unvollständige Gleichung der ildparabel p lautet daher: p : y = a( 4) 2 +1,5 u siehst nun: T(0 3) p. ls egründung dafür kannst du z.. die Fünf- unkte-regel für die Zeichnung einer Normalparabel bei bekannten cheitelkoordinaten heranziehen. ann erhältst du (mit k = 1, 5) durch bzählen der Kästchen: T (2,5 3). T (2,5 3) in die Gleichung von p : 3 = a(2,5 4) 2 +1,5 a = 2 3 omit ist das Ergebnis in der ufgabe (b) bestätigt. nmerkung: er Wert des Formfaktors a der ildparabel p lässt sich auch allgemein herleiten. Gehe von einer arabel p 0 aus, deren cheitel im Ursprung liegt. p 0 : y = a 2 mit a 0. Ein beliebiger unkt 0 ( 0 a 2 0 ) p wird einer zentrischen treckung mit dem Zentrum O = (0 0) und dem treckungsfaktor k 0 unterworfen. ein ildpunkt sei 0 ( y ). ann gilt O 0 = k O 0 : ( 0 a 0 2 ) us (1): = 0 ( ) = k a 2 k amit ergibt sich: 0 = k (1) a 2 0 = k a 2 (2) in (2): a 0 2 = k a 0 2 a = a k iese eziehung zwischen den entsprechenden Formfaktoren gilt für alle möglichen zentrischen treckungen von arabeln. (c) iehe Zeichnung. ie Gerade g muss zur Geraden g parallel liegen, denn jede zentrische treckung ist winkeltreu. g : y = 2+t und T (2,5 3) g : 3 = 2 2,5+t t = 8 und g : y = 2+8 p g : 2 3 ( 4)2 +1,5 = ,5 = 0 = ,5 = 0 lso ist die Gerade g eine Tangente an die arabel p. llgemein gilt: Jede zentrische treckung ist tangententreu. (d) iehe Zeichnung. Für die Inhalte von allen möglichen Flächen gilt bei deren zentrischen treckung mit dem treckungsfaktor k: = k 2, wobei der Inhalt der ildfläche ist. Hier gilt: k = 1,5 und = 2,875cm 2. lso folgt = ( 1,5) 2 2,875cm 2 = 6,46875cm 2. 7 k 2

8 (e) () = k2 () lso gilt hier: ( 3, ,625+13,5)cm 2 = ( 1,5) 2 () : 2.25 () = ( 1,5 2 2,5+6)cm 2 nmerkung: Natürlich kannst du den Flächeninhalt () auch direkt über die Flächendeterminante berechnen. Offensichtlich wäre dieser Weg aber weiter. (f) 1. Möglichkeit: urch eine Etremwertberechnung (Vorsicht!) () = ( 3, ,625+13,5)cm 2 = 3,375( )cm2 [ = 3, ( ) ] cm 2 [ ( = 3, ) ] cm [ ( ] () = 3, ) ,84375 cm 2 Jetzt wäre es fatal, einfach zu antworten: = 5 liefert..., denn dieses Rechenergebnis deckt sich zunächst nicht mit den Gegebenheiten in der Zeichnung! Warum? 6 Nun, die Variable ist als bszissenwert der unkte n festgelegt worden! as bedeutet, dass dieser bszissenwert zur arabel p und nicht zur arabel p gehört. ieser -Wert ( ) muss also erst noch der zentrischen treckung unterworfen werden: 5 = 6 +1 ( 1,5) = 2,75. Wegen Z(1...) muss noch 1 addiert werden. lso beträgt der bszissenwert des gesuchten unktes unter den unkten n, der den maimalen Flächeninhalt liefert: 3,75. ber der unkt besitzt den bszissenwert 4. aher kann nicht der gesuchte unkt sein. 2. Möglichkeit: anschaulich Unter allen unkten auf der arabel p müsste der unkt den größten bstand von der Grundlinie [ ] besitzen. ndererseits muss der unkt, der den größten Flächeninhalt liefern soll (nenne ihn z.. ), auf der Tangente an die arabel p liegen, die zur Grundlinie [ ] parallel verläuft. ie Tangente an die arabel p durch den unkt verläuft aber im Gegensatz zur trecke [ ] waagrecht. lso kann der unkt nicht der richtige unkt sein. er unkt, der den größten Flächeninhalt liefert, liegt etwas links oberhalb des unktes. 10. n das uadrat ist das gleichschenklig-rechtwinklige reieck angefügt worden. er unkt ist der Mittelpunkt des Kreisbogens k durch den uadratmittelpunkt M. adurch entsteht der achsensymmetrische rachen R. 8

9 T k M R (a) Zeichne die Figur für = 4cm. (b) Für die Länge der eite [] soll jetzt gelten: = 2a. erechne damit den nteil des Flächeninhalts der rachenfigur R an der Gesamtfläche der Figur als ruch und in rozent. (c) Welchen Flächeninhalt hätte das uadrat, wenn die reiecksseite [] 14,5cm lang wäre? (d) Es sieht so aus, als ob der Kreisbogen k durch den chnittpunkt der trecke [R] mit der trecke [T ] verlaufen würde. Trügt der nschein? Rechne wieder mit = 2a. Lösung: (a) T K L k M R (b) Es gilt: = 2a und T = a (as ist die reieckshöhe.) = + = (2a) a a = 5a2 R = R = 1 2 (2a+a) 2a = 3a2 R = 3a2 5a 2 = 3 = 0,6 = 60% 5 (c) as reieck ist ein halbes uadrat, dessen eite jetzt 14,5cm lang wäre. lso würde gelten: = ,52 cm 2 = 105,125cm 2. 9

10 Mit Hilfe der gestrichelten Linien erkennst du: as uadrat ist in vier kongruente reiecke zerlegt worden, die zum reieck kongruent sind. as uadrat hätte also einen Flächeninhalt von 4 105,125cm 2 = 420,5cm 2. (d) Es sei K der chnittpunkt der trecke [R] mit der trecke [T]. Es gilt dann: K = K = 2a a 2 = a(2 2) Weiter gilt: TK = a 2 a = a( 2 1) ann gilt für as Teilverhältnis K 2) ( 2 1) = = = TK = a(2 a( 2 1) = 2 Natürlich kämst du mit = ( 2 1) 2+1 zum selben Resultat. 2+1 Es sei L der chnittpunkt des Kreisbogens k mit der trecke [T]. Zwar liegen die unkte K und L in der Zeichnung aufeinander, aber ist das auch tatsächlich so? ie reiecke LR und T L sind beide rechtwinklig und sie besitzen im unkt L maßgleiche cheitelwinkel. lso sind die beiden reiecke zueinander ähnlich und du kannst den Vierstreckensatz anwenden: L TL = R T = T = a 2 a = 2 lsoteilt derunktldietrecke [T] im gleichen Verhältnis wiederunktk. ann müssen aber die beiden unkte K und L aufeinander liegen; d.h. der Kreisbogen k verläuft tatsächlich durch den chnittpunkt der trecke [R] mit der trecke [T ]. 11. n das uadrat mit dem Mittelpunkt M ist das gleichschenklig-rechtwinklige reieck E angefügt worden: E M Lösung: (a) (a) Zeichne die Figur für = 4cm. (b) Wie viel rozent der Figur wird vom reieck E eingenommen? (c) Wie viel rozent der Fläche des reiecks E wird vom Viereck ME eingenommen? 10

11 K E H L M (b) Offensichtlich passt das reieck E fünfmal in die Figur hinein. ie reiecke M unde besitzen die gleiche Grundseite[]. IhreHöhen [ML] bzw. [EK] sind gleich lang. lso sind diese beiden reiecke flächengleich. aher gilt: E = 1 5 E. us ymmetriegründen folgt: E = E E = 3 5 E. E E = 3 5 = 60% (c) usymmetriegründenmussdas Viereck ME einerautesein. iereiecke NE und HE sind zueinander ähnlich: H N = EH EN = 1 3 N araus ergibt sich übrigens, dass die trecke [] von den unkten und in drei gleiche Teile geteilt wird. HE NE = ( ) 1 2 = = E E ME E = ,22% 12. ie arabel p mit der Gleichung y = 2,5 2 wird durch zentrische treckung am Zentrum Z mit dem treckungsfaktor k auf die arabel p mit der Gleichung y = 0,5 2 abgebildet. (a) egründe: Z kann nur im Koordinatenursprung liegen. (b) erechne k. Lösung: (a) Ur- und ildparabel besitzen die gleiche ymmetrieachse, nämlich die y-chse. ort muss sich das treckungszentrum Z aufhalten. Wie bei jeder zentrischen teckung ist Z der einzige Fipunkt. ieser unkt muss also auf beiden arabeln liegen.er einzige unkt, den beide arabeln gemeinsam haben, ist der cheitel im Ursprung. lso liegt das treckungszentrum Z im Ursprung. 11

12 (b) u könntest jetzt die ildkoordinaten eines konkreten unktes auf der Urparabel (z.. (1 2, 5)) abbilden und dessen ildkoordinaten in die Gleichung der ildparabel einsetzen. Wir leiten gleich eine allgemeine eziehung her, die du für analoge Fälle übernehmen kannst: ( a 2 ) Mit Z = k Z und k 0 folgt: ( ) 0 y 0 = k (1) = (1 ) k y = k a 2 (2) (1 ) in (2): y = k a 2 k 2 y = a k 2 Z; k ( y ) ( ) 0 = k a 2 0 omit ergibt sich für den Formfaktor a der ildparabel p : k = a a also: k = 2,5 0,5 = 5 a = a k 13. ie Maße zweier Innenwinkel in einem reieck betragen 73,47 und 41,26. Kann dieses reieck zu einem anderen reieck ähnlich sein, in dem ein Innenwinkel das Maß 65,27 besitzt? egründe deine ntwort. Lösung: Zwei reiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen drei Innenwinkelmaßen übereinstimmen. er dritte Innenwinkel im ursprünglichen reieck hat das Maß ,47 41,26 = 65,27. In ihm hat also der dritte Innenwinkel das Maß 65,27. as andere reieck besitzt dieses Innenwinkelmaß ebenfalls. lso kann dieses reieck (wenn auch die beiden anderen Innenwinkel paarweise übereinstimmen) zu ersten reieck ähnlich sein. 14. E 60m 12 54m

13 Frau Kermel vererbt ihr Grundstück, das durch den Zaun [E] unterteilt ist, an ihre beiden Töchter Leni und arah. ieser Zaun [E] ist genauso lang wie der bstand der unkte und. arah bekommt den trapezförmigen Teil E. (a) erechne die Länge des Zaunes. (b) Wie viel rozent der gesamten Grundstücksfläche nimmt arahs nteil ein? Lösung: (a) E 60m m m 54m as Viereck E ist ein Trapez. lso ist [] [E]. aher gilt: E. Nach einem Vierstreckensatz folgt: 60 = = iese quadratische Gleichung besitzt die Lösungen 36 und 90, wobei 90 natürlich ausscheidet. lso ist der Zaun 36m lang. (b) Für den Ähnlichkeitsmaßstab k gilt z..: k = m 60m = 36m 60m = 0,6 Für Lenis nteil E gilt: E = 0,6 2. Weiter folgt: E = 0,6 2 = 0,36 = 36%. lso bekommt arah den restlichen nteil von 100%, nämlich 64%

14 as ist ein ild des Logos der aufirma Fi & Fertig. Es besteht aus einem uadrat, das aus drei kongruenten treifen zusammengesetzt ist. as einbeschriebene reieck ist gleichschenklig. (a) Zeichne die Figur, so dass die uadratseite 6,3cm lang ist. (b) erechne den nteil der eingefärbten Fläche am uadrat als ruch. Lösung: (a) E M F R (b) ie reiecke und ME sind zueinander ähnlich. Es gilt z..: : EM = 1 : 2 = : E. ie trecke [E] ist 6,3cm lang. Nach dem obigen eitenverhältnis von 1 : 2 folgt: = 4,2cm und E = 2,1cm = R. as Viereck RFE ist ein uadrat. Für den Flächeninhalt der Figur RM gilt dann: = 2,1cm 4,2cm+0,5 2,1 2 cm 2 = 11,025cm 2. Flächenanteil: 11,025cm2 6,3 2 cm 2 = 0,27 = = = R In das rechtwinklige reieck ist das uadrat R mit der eitenlänge cm einbeschrieben. 14

15 (a) Zeichne die Figur für = a = 6cm und = b = 9cm. (b) egründe: ie reiecke und sind zueinander ähnlich. (c) Zeige: = 3,6. (d) erechne den prozentualen nteil der Fläche des uadrates an der Fläche des reiecks. Lösung: (a) R β ie Figur wurde im Maßstab 2 : 3 gezeichnet. (b) ie beiden reiecke und sind rechtwinklig. Ein Winkel hat jeweils das Maß β. lso stimmen diese reiecke wegen der Innenwinkelsumme von 180 in allen drei Inenwinkeln überein. lso sind sie zueinander ähnlich. (c) Vierstreckensatz: = 54 9 = 6 = 3,6 (d) R = 3,62 cm 2 = 0,48 = 48% 0,5 6 9cm2 6 = R b G a h F In das rechtwinklige reieck ist das uadrat R mit der eitenlänge cm einbeschrieben. (a) Zeichne die Figur für = a = 6cm und = b = 8cm. (b) egründe: ie reiecke F und sind zueinander ähnlich. (c) Zeige: Für die reieckshöhe h gilt: 15

16 h = ab a2 +b 2 cm. (d) egründe: ie reiecke R und sind zueinander ähnlich. (e) Zeige: = ab a 2 +b 2 a 2 +ab+b 2. (f) erechne mit Hilfe des Ergebnisses der ufgabe (e) den prozentualen nteil der Fläche des uadrates R an der Fläche des reiecks für den Fall, dass das reieck gleichschenklig-rechtwinklig ist. egründe dein Ergebnis elementargeometrisch mit Hilfe einer entsprechenden Zeichnung. Lösung: (a) K b G β R a h β F H Zeichne z.. das robequadrat HK mit der eitenlänge h[= 4, 8 cm]. [K] [] = {R}. Zeichne dann das uadrat mit der eite [R] fertig. (b) us der Zeichnung in (a) ist ersichtlich, dass beide reiecke rechtwinklig sind. ußerdem taucht in beiden reiecken der Winkel mit dem Maß β auf. lso stimmen die beiden reiecke sogar in allen drei Innenwinkeln überein. lso sind sie zueinander ähnlich. (c) Wegen F gilt: F = h a = b c h = ab c. Mit c = a 2 +b 2 cm folgt die ehauptung. Für a = 6cm und b = 8cm ergibt sich h = 4,8cm. (d) In beiden reiecken tauchen tufenwinkel mit dem Maß β auf. lso sind die beiden reiecke zueinander ähnlich. (e) Wegen R verhalten sich die Längen der Hypotenusen wie die entsprechenden Höhen in beiden reiecken: c = h h = hc h+c 16

17 Mit h = ab a 2 +b 2 cm und c = a 2 +b 2 cm ergibt sich: ab =. ab a 2 +b + a 2 +b 2 2 Erweitert man den ruch mit a 2 +b 2, so ergibt sich die ehauptung. (f) In diesem Fall gilt b = a. = a3 2 3a 2 = a 2 3 R = 2 = 1 2 a2 a = = 0,4 = 44,4% a2 as reieck lässt sich in neun kongruente gleichschenklig-rechtwinklige reieck zerlegen. Vier davon nimmt das einbeschriebene uadrat ein. lso beträgt der Flächennateil dieses uadrates am reieck 4 = 0,4 = 44,4% F M 3 M 1 M 2 E as Viereck ist ein uadrat. er unkt ist der Mittelpunkt des Kreisbogens, der durch die unkte und F verläuft. M 1 und M 2 sind die Mittelpunkte der beiden kleinen Kreise, während der große Kreis den Mittelpunkt M 3 besitzt. 17

18 Lösung: (a) Klar. (a) Zeichne die Figur für E = 6cm. (b) Vergleiche ie Flächeninhalte 1 und 2 der beiden kleinen Kreise mit dem Flächeninhalt 3 des großen Kreises. (b) 1 = 2 = 1,5 2 πcm = 2 1,5 2 πcm 2 ( 14,14cm 2 ) er urchmesser d des großen Kreises ist genauso lang wie die iagonale [] des uadates. d = 3 2cm r 3 = 1,5 2cm. 3 = (1,5 2) 2 πcm 2 = 2 1,5 2 πcm 2 = lso sind die beiden kleinen Kreise zusammen genauso groß wie der große Kreis. Oderkürzer:er urchmesser desgroßen Kreises ist 2 mal sogroß wiederurchmesser eines kleinen Kreises. lso ist der Flächenihalt des großen Kreises doppelt (= ( 2) 2 ) so groß wie der eines kleinen Kreises. 19. as Rechteck wurde an seiner iagonalen [] gespiegelt. adurch ist das Viereck entstanden. Es gilt: =. (a) Zeichne die Figur für a = = 8cm und b = = 6cm. (b) erechne die eitelänge in bhängigkeit von auf verschiedene Weise. Zeige dann: = a2 b 2. 2a (c) Zeige: Für den Flächeninhalt des reiecks gilt: = b 4a (a2 +b 2 ). (d) Zeichne die trecke [ ] ein. egründe: as Viereck ist ein Trapez. (e) Zeige: Für den Flächeninhalt des reiecks gilt: 18

19 = b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2. (f) Zeige: Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt: = ab a 2 a 2 +b 2. Tipps: as Trapez wird durch seine beiden iagonalen in vier Teildreiecke zerlegt. Zwei reiecke davon sind kongruent, die beiden anderen sind zueinander ähnlich. en Flächeninhalt des Trapezes erhältst du aus der umme der Flächeninhalte der vier Teildreiecke. (g) In welchem Verhältnis müssen die eitenlängen a und b des Rechtecks stehen, damit der Flächeninhalt des Trapezes um 10% kleiner als der des Rechtecks wird? (h) Untersuche, ob der Flächeninhalt des Trapezes genau so groß wie der des Rechtecks werden kann. (i) Untersuche rein elementargeometrisch anhand des Winkels mit dem Maß ε, ob das Trapez auch zum Rechteck werden kann. Lösung: (a) b ψ ψ ϕ ε b F b ϕ F a ε ε a b (b) as piegelbild des Rechtecks ist das kongruente Rechteck. lso gilt: = = = b. ie beiden rechtwinkligen reiecke und stimmen also in der eitenlänge b überein. Weiter gilt: ψ = ψ (cheitelwinkel) ϕ = ϕ. 19

20 amit sind die beiden reiecke und kongruent. Insbesondere gilt dann = und = =. Einerseits gilt dann im reieck : = b ndererseits gilt: = a b = a 2 b = a 2 2a+ 2 = a2 b 2 (c) = = 1 2 ab 1 2 b = b (a 2 a2 b 2 ) = b2 2a 2a2 a 2 +b 2 2a (d) iehe Zeichnung. 2a = b 4a (a2 +b 2 ) ufgrunddereigenschaftenderchsenspiegelungsinddiebeidenreiecke und kongruent. ie besitzen die gemeinsame Hypotenuse []. lso sind die beiden Höhen [F] und [ F ] gleich lang. as bedeutet, dass die beiden unkte und den gleichen bstand zur trecke [] besitzen. lso folgt: [ ] []. lso ist das Viereck ein (gleichschenkliges) Trapez. (e) ie beiden reiecke und sind zueinander ähnlich; d.h.: = k 2 mit k = k = a = a2 b 2 : (a a2 b 2 ) = a2 b 2 2a 2a a 2 +b 2 ( a 2 b 2 ) 2 = a 2 +b 2 (f) b 4a (a2 +b 2 ) = b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2. Trapez = b+ b 4a (a2 +b 2 )+ b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2 = 2b 4a (a2 b 2 )+ b 4a (a2 +b 2 )+ b 4a (a2 b 2 ) 2 a 2 +b 2 = b 4a 2(a2 b 2 ) (a 2 +b 2 )+(a 2 +b 2 ) 2 +(a 2 b 2 ) 2 a 2 +b 2 = = b 4a 4a 4 a 2 +b 2 = ab a 2 a 2 +b 2 (g) Es muss gelten: Trapez = 0,9. lso: ab a 2 a 2 +b 2 = 0,9 ab a 2 a 2 +b 2 = 0,9 0,1a2 = 0,9b 2 Wegen a,b > 0 folgt dann a = 3 b. a 2 (h) Es muss gelten: ab a 2 +b 2 = ab a 2 a 2 +b 2 = 1. Ein ruch hat aber genau dann den Wert 1, wenn Zähler und Nenner gleich sind: a 2 = a 2 + b 2 b = 0( ). ann würde das Rechteck zur trecke entarten; ein solches Trapez gibt es nicht. (i) Es gilt: = ε (Z-Winkel). Weiter gilt: = ψ = 2 ε (F-Winkel). 20

21 Ebenso folgt: ϕ = 90 2ε (Innenwinkelsumme im reieck ). amit das Trapez zum Rechteck wird, muss ϕ+ε = 90 gelten. as bedeutet: 90 2ε + ε = 90 ε = 0. Wieder würde das Rechteck zur trecke entarten; d.h.ein solches Trapez gibt es nicht. 20. M β er Hypotenusenmittelpunkt des rechtwinkligen reiecks ist der unkt M. In der Figur gilt weiter: = 7,2cm und = 5,4cm. (a) egründe: ie beiden reiecke M und sind zueinander ähnlich. (b) Zeige: M = 3,375cm. (c) erechne den nteil der Fläche des Vierecks M am reieck in rozent. Lösung: (a) M cm β In beiden reiecken und M kommt der Innenwinkel mit dem Maß β vor. Zudem sind beide reiecke rechtwinklig. lso müssen beide reiecke auch im Maß des dritten Innenwinkels übereinstimmen; also gilt M. 21

22 (b) Wir rechnen nur mit Maßzahlen. YTHGOR im reieck : 2 = 7,2 2 +5,4 2 M = 4,5cm. = 9cm Vierstreckensatz: M M = : 4,5 = 5,4 7,2 = 3,375. (c) erechne den Ähnlichkeitsfaktor: Z.. k = M = 4,5 7,2 = 0,625. ann gilt M = k 2 = 0,625 2 = 0, as bedeutet: as reieck M nimmt 39, 0625% der Fläche des reiecks ein. ann nimmt das Viereck M 100% 39, 0625% = 60, 9375% der Fläche des reiecks ein. 21. Lösung: (a) as Viereck ist ein uadrat mit der eitenlänge a. (a) Zeichne die Figur für a = 6cm und = 2,5cm. (b) egründe ohne Messung: ie iagonale [] ist keine ymmetrieachse im Viereck. (c) egründe: ie beiden reiecke und sind zueinander ähnlich. (d) erechne den nteil der Fläche des Vierecks an der Fläche des uadrates in rozent. Runde dein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. 22

23 ϕ 1 6cm ϕ 2 2,5cm (b) ie Kathete im rechtwinkligen reieck besitzt die Länge a. ie Hypotenuse im rechtwinkligen reieck hat ebenfalls die Länge a. Weil aber in jedem rechtwinkligen reieck die Hypotenuse die längste eite darstellt, gilt: < a =. omit kann die iagonale im Viereck nicht ymmetrieachse dieses Vierecks sein. (c) In den beiden rechtwinkligen reiecken und gilt: ϕ 1 = ϕ 2 (Z-Winkel). amit stimmen die beiden reiecke paarweise in zwei Innenwinkelmaßen überein. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 in jedem reieck stimmen diese beiden reiecke in allen drei Innenwinkelmaßen überein. lso gilt:. (d) trategie: = ( + ). = 1 2 2,5 6cm2 = 7,5cm 2. Wegen (c) folgt: = k 2 mit dem treckungsfaktor k. Mit k = folgt: k = 6cm 2, cm = ( ) 12 2 = 7,5cm 2 = ,5cm2. ( = 36cm 2 7,5cm ) 169 7,5cm2 = 36cm ,5cm2 = ,5 = 3707, ,6094 = 60,94%

24 M b M a α β F Lösung: (a) Im reieck mit der Höhe [F] sind die unkte M a und M b die Mittelpunkte der Umkreise der Teildreiecke F bzw. F. (a) Zeichne die Figur für = 8cm, α = 65 und β = 40. (b) egründe auf verschiedene Weise: as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen. (c) egründe: Zusammen bedecken die beiden reiecke FM b und FM a die Hälfte des reiecks. k 1 k 2 M b M a h 1 h 2 F b F F a (b) 1. Möglichkeit: Im Kreis k 1 gilt: M b = M b F = M b. Im Kreis k 2 gilt: M a = M a F = M a. lso sind im Viereck FM a M b zweimal zwei benachbarte eiten gleich lang. lso handelt es sich um ein achsensymmetrisches rachenviereck. 2. Möglichkeit: In jedem rechtwinkligen reieck fällt dessen Umkreismittelpunkt mit dem Hypotenusenmittelpunkt zusammen. lso sind die Kreismittelpunkte M a und M b gleichzeitig 24

25 die Mittelpunkte der eiten a = [] bzw. b = []. ie reiecke F und F a M a sind zueinander ähnlich. Wegen = 2 M a folgt dann F = 2 F a M a = 2 F b M b. lso gilt: h 1 = h 2 = F = F. aher liegt die Gerade M a M b zur Grundlinie [] des reiecks parallel. iese arallele steht damit auf der iagonalen des Vierecks FM a M b senkrecht. Gleichzeitig halbiert der unkt die Höhe [F] des reiecks. lso ist das Viereck FM a M b ein achsensymmetrischer rachen. (c) ie in der 2. Möglichkeit verwendete rgumentation ergibt nun Folgendes: ie vier reiecke F a M a, FF a M a, FM a und M a sind kongruent. as reieck FM a besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM a halb so groß wie das Teildreieck F. ie vier reiecke F b M b, F b FM b, FM b undm b sindkongruent. as reieck FM b besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM b halb so groß wie das Teildreieck F. lso sind die beiden reiecke FM b und FM a zusammen halb so groß wie das reieck. Oder: Weil der chnittpunkt auf halber Höhe im reieck liegt, gilt: Mb M a = 1 4 (zentrische treckung mit k = 1 2 ). as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen mit der iagonalen [M a M b ] als ymmetrieachse. FMaM b = = 1 2. ann muss der Rest, nämlich derjenige, der aus den beiden reiecken FM b und FM a besteht, ebenfalls die Hälfte des reiecks einnehmen. 23. as Viereck ist ein uadrat mit der eitenlänge a. (a) Zeichne die Figur für a = 6cm und = 2,5cm. (b) egründe ohne Messung: ie iagonale [] ist keine ymmetrieachse im Viereck. 25

26 (c) egründe: ie beiden reiecke und sind zueinander ähnlich. (d) erechne den nteil der Fläche des Vierecks an der Fläche des uadrates in rozent. Runde dein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. Lösung: (a) ϕ 1 6cm ϕ 2 2,5cm (b) ie Kathete im rechtwinkligen reieck besitzt die Länge a. ie Hypotenuse im rechtwinkligen reieck hat ebenfalls die Länge a. Weil aber in jedem rechtwinkligen reieck die Hypotenuse die längste eite darstellt, gilt: < a =. omit kann die iagonale im Viereck nicht ymmetrieachse dieses Vierecks sein. (c) In den beiden rechtwinkligen reiecken und gilt: ϕ 1 = ϕ 2 (Z-Winkel). amit stimmen die beiden reiecke paarweise in zwei Innenwinkelmaßen überein. Wegen der Innenwinkelsumme von 180 in jedem reieck stimmen diese beiden reiecke in allen drei Innenwinkelmaßen überein. lso gilt:. (d) trategie: = ( + ). = 1 2 2,5 6cm2 = 7,5cm 2. Wegen (c) folgt: = k 2 mit dem treckungsfaktor k. Mit k = folgt: k = 6cm 2, cm = ( ) 12 2 = 7,5cm 2 = ,5cm2. ( = 36cm 2 7,5cm ) 169 7,5cm2 = 36cm ,5cm2 = ,5 = 3707, ,6094 = 60,94%. 26

27 24. M b M a α β F Lösung: (a) Im reieck mit der Höhe [F] sind die unkte M a und M b die Mittelpunkte der Umkreise der Teildreiecke F bzw. F. (a) Zeichne die Figur für = 8cm, α = 65 und β = 40. (b) egründe auf verschiedene Weise: as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen. (c) egründe: Zusammen bedecken die beiden reiecke FM b und FM a die Hälfte des reiecks. k 1 k 2 M b M a h 1 h 2 F b F F a (b) 1. Möglichkeit: Im Kreis k 1 gilt: M b = M b F = M b. Im Kreis k 2 gilt: M a = M a F = M a. lso sind im Viereck FM a M b zweimal zwei benachbarte eiten gleich lang. lso handelt es sich um ein achsensymmetrisches rachenviereck. 2. Möglichkeit: 27

28 In jedem rechtwinkligen reieck fällt dessen Umkreismittelpunkt mit dem Hypotenusenmittelpunkt zusammen. lso sind die Kreismittelpunkte M a und M b gleichzeitig die Mittelpunkte der eiten a = [] bzw. b = []. ie reiecke F und F a M a sind zueinander ähnlich. Wegen = 2 M a folgt dann F = 2 F a M a = 2 F b M b. lso gilt: h 1 = h 2 = F = F. aher liegt die Gerade M a M b zur Grundlinie [] des reiecks parallel. iese arallele steht damit auf der iagonalen des Vierecks FM a M b senkrecht. Gleichzeitig halbiert der unkt die Höhe [F] des reiecks. lso ist das Viereck FM a M b ein achsensymmetrischer rachen. (c) ie in der 2. Möglichkeit verwendete rgumentation ergibt nun Folgendes: ie vier reiecke F a M a, FF a M a, FM a und M a sind kongruent. as reieck FM a besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM a halb so groß wie das Teildreieck F. ie vier reiecke F b M b, F b FM b, FM b undm b sindkongruent. as reieck FM b besteht aus zwei dieser kongruenten reiecke. lso ist das reieck FM b halb so groß wie das Teildreieck F. lso sind die beiden reiecke FM b und FM a zusammen halb so groß wie das reieck. Oder: Weil der chnittpunkt auf halber Höhe im reieck liegt, gilt: Mb M a = 1 4 (zentrische treckung mit k = 1 2 ). as Viereck FM a M b ist ein achsensymmetrischer rachen mit der iagonalen [M a M b ] als ymmetrieachse. FMaM b = = 1 2. ann muss der Rest, nämlich derjenige, der aus den beiden reiecken FM b und FM a besteht, ebenfalls die Hälfte des reiecks einnehmen. 25. as reieck ist gleichschenklig-rechtwinklig. er Mittelpunkt des Kreisbogens ist der unkt. (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) egründe: ie reiecke und sind zueinander ähnlich. (c) Wie viel rozent des Flächeninhaltes des reiecks nimmt das reieck ein? Runde dein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. Lösung: (a) 28

29 M ϕ α M 3cm β (b) Es gilt α = β = 45. Wegen der Innenwinkelsumme im reieck gilt aber auch α = ϕ = 45. lso stimmen die beiden reiecke und paarweise in ihren Innenwinkelmaßen überein. amit sind sie zueinander ähnlich. (c) Weil die beiden reiecke und zueinander ähnlich sind, gilt für den Ähnlichkeitsfaktor k z..: k =. as reieck M ist ein halbes uadrat mit der aigonalenlänge = 3 2cm. = = = (6 3 2)cm. amit folgt k = (6 3 2)cm. 6cm [ Und = k 2 (6 3 ] 2 2)cm = (3 = ,1716 = 17,16%. 2)cm 26. R as Viereck ist ein uadrat. ie Mittelpunkte der beiden Kreisbögen sind die unkte und. 29

30 (a) Zeichne die Figur für = 6cm. (b) egründe: as Viereck R ist ein Rechteck. (c) Wie viel rozent des Flächeninhaltes des uadrates nimmt das Viereck R ein? Runde ein Ergebnis auf zwei tellen nach dem Komma. Lösung: (a) 45 R ϕ ϕ ψ (b) ie beiden reiecke und R sind gleichschenklig-rechtwinklig. lso haben ihre spitzen Innenwinkel das Maß 45. Weiter gilt: = = R = R. lso ist auch das reieck R gleichschenklig-rechtwinklig. ann gilt ϕ = 45. m unkt gilt somit: 45 +ψ +45 = 180 ψ = 90.. us ymmetriegründen sind dann auch die drei restlichen Innenwinkel des Vierecks R rechte Winkel. lso handelt es sich hierbei um ein Rechteck. (c) Eine mögliche trategie: R = 2 ( + R ) = 1 ( ) cm 2 = 9cm 2. R = 1 ( ) cm 2 = ( )cm 2. R = 36cm 2 2 [9cm 2 +( )cm 2 ] = ( )cm 2. R = ( )cm 2 36cm 2 = (36( 2 1)cm 2 36cm 2 = 2 1 0,4142 = 41,42% 30