Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus.

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1 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung Lösung iese Lösung wure erstellt von ornelia anzenbacher. ie ist keine offizielle Lösung es ayerischen taatsministeriums für Unterricht un Kultus. ufgabe Für ie Raien er Niete gilt Oberer Raius er Pyramie: r 1 = 7,00 mm Unterer Raius es Zyliners: r = 4,00 mm G wir mit em trahlensatz berechnet: G F = NG G 14 =, ,33 G = 8 G = 9,33 mm 8,00 mm F F 14,00 mm N G 8,00 mm,33 mm amit lässt sich einfach N berechnen, was er Höhe h kst es Kegelstumpfes entspricht, er auf em Zyliner sitzt. N = G NG = 9,33 mm,33 mm = 4,00 mm Höhe es Zyliners: h Zyl = - N = 8 mm 4 mm h Zyl = 4,00 mm G N Volumen es Zyliners: V Zyliner = π r h Zyl V Zyliner = π (4 mm) 4 mm V Zyliner = 106,37 mm 3 Volumen es Kegelstumpfes: V Kst. = 3 1 πhkst ( r 1 + r 1r + r ) V Kst = 3 1π 4 mm ((7 mm) + 4 mm7 mm + (4 mm) ) V Kst = 389,6 mm 3 Volumen er Niete: V Niete = V Zyliner + V Kegelstumpf V Niete = 106, ,6 V Niete = 19,93 mm 3 Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 1/9

2 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung 1. Zur estimmung er asse wir as Volumen in Kubikzentimeter umgerechnet: 19,93 mm 3 = 1,993 cm 3 1 cm 3 hat eine asse von 7,8 g 1,993 cm 3 haben eine asse von 1,993 cm 3 7,8 = 1,3 g ie elstahlniete hat eine asse von 1,3 g. ufgabe Zeichnung: y Zur estimmung er Parabelgleichung wir er gegebene cheitelpunkt ( -) in ie cheitelpunktform eingesetzt: y = 0, ( + ) y = 0, ( ) y = 0, y = 0, + 4. Zur erechnung er -Werte er chnittpunkte weren ie Gleichungen von Parabel un Geraen gleichgesetzt. insetzen er rgebnisse in ie Geraengleichung ergibt ie y-werte. 0, + 4 = 0, + 1 0, + 1, = = 0 1, = 3 ± , = 3 ±,39 1 =,39 => y 1 = 0,0 = 8,39 => y =,0 ie chnittpunkte sin also P( 8,39,) un Q(,39 0,). Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 /9

3 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung.3 ie ckpunkte er reiecke sin n ( 0, + 4); n ( 0, + 1) un n ( 3 0,( 3) + 1). amit ergeben sich ie folgenen cken: reieck mit 1 = 4: 1 ( 4 4); 1 ( 4 3); 1 ( 7 4,) reieck mit = : (1,7); (1 0,); ( ).4 ie n liegen auf er Geraen g, ihre y-koorinaten lauten also y n = 0,( 3) + 1 = 0, + 1, + 1 = 0, +, Ihre bszisse (-Wert) ist um 3 kleiner als ie bszisse er Punkte n un n, also n = 3 amit folgt n ( 3 0, +,).. ie Punkte n un n liegen auf er Geraen g. amit kann man als teigungswinkel berechnen: tan = m = 0, = 6,7 => = 180 6,7 = 13,43 n n n araus folgt für en Winkel n n n : n n n = 13,43 90 = 116,7 n ufgabe erechnung von mit em osinussatz: 1 = cos 8,8 = cos 78,3 = cos 98 78,3 cos = 98 = 78,43 amit ergibt sich für ie ogenlänge b: b = π r 78, 4 b = π 7 b = 9,8 m b 8,8 m 7,00 m 1 7,00 m 1,10 m F 3. amit ie chranke nicht beschäigt wir, sollte ie Höhe es Lastwagens () ab em rehpunkt weniger als 4,00 m 1,10 m =,90 m betragen. wir mit em Tangens berechnet: 7,00 m tan = 0, = 0, tan 78,4 =,44 m ie chranke wir nicht beschäigt. 4,00 m 0,0 m 1,10 m F Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 3/9

4 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung ufgabe 1 Zeichnung: 1 = cm 1 0, = 1 cm 1 0, = 1 cm 1.1 wir in er Raute berechnet, ie ie Grunfläche bilet. = = (7, cm) (4, cm) = 6,0 cm = = 1,00 cm Konstruktion es chrägbils: 1. waagrecht zeichnen, festlegen,. in eine Gerae im 4 -Winkel zeichnen, 7, cm 3. arauf nach oben un unten abtragen, aus = 4, cm wir mit Verkürzung, cm, 4. Höhe h = 6 cm in errichten,. Pyramienseitenkanten verbinen. 4, cm 4, cm Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 4/9

5 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung 1. erechnung es Winkels in er Grunseite ( = 0, = 4, cm): 4, cos = = 7, = 3,13 erechnung er Höhe h R eines er reiecke in er Grunseite: h R sin = h R = sin h R = 4, cm sin 3,13 h R = 3,6 cm 7, cm h R 4, cm 4, cm amit kann jetzt ie eitenhöhe h er Pyramie bestimmt weren (h = = 6 cm): h = h R + h h = (3,6 cm) + (6cm) h = 7,0 cm Für ie eitenkante gilt: = + h = (4, cm) + (6 cm) = 7, cm it iesen Werten kann man nun as aß φ es Winkels berechnen: sin φ = h 7,0 = 7, φ = 68,96 Für en Flächeninhalt folgt: 1 = h = 0, 7, cm 7 cm = 6, cm h h R h h 4,cm φ h=6cm 1.3 Für = gilt: = 1 cm (0,) = 10 cm = 0, = cm h = h + = 6 + = 8 cm = 9 cm (unveränert) Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 /9

6 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung 1.4 Für as Volumen einer Pyramie gilt: V = 3 1 Grunfläche Höhe, hier also V nnn = 3 1 nnh n nn = 1 n n nn = 1 9 cm (1 ) m h n = (6 + ) cm V nnn = cm (1 ) cm (6 + ) cm V nnn = 1, (1 ) (6 + ) cm 3 V nnn = ( 1, ) cm 3 iese Gleichung hat ie Form einer Parabelgleichung, eren maimaler Wert liegt im cheitel. en cheitelpunkt bestimmt man, inem man 1, ausklammert un ie Gleichung ann in ie cheitelpunktform bringt. 1, = 1,( 6 7) = 1,(( 3) 81) er cheitelpunkt liegt also bei = 3. amit ergibt sich as aimalvolumen: V ma ( = 3) = ( 1, ) cm 3 = 11, cm 3 1. Für ie Pyramie gilt = 0, also as Volumen V = ( 1, ) cm 3 = 108 cm 3 ie Pyramie hat ein Volumen von 0,7108 cm 3 = 7,6 cm 3. amit gilt: 7,6 = 1, ,6 0 = 1, ,4 : ( 1,) 0 = 6 1,6 1, = 3 ± 9 + 1, 6 1, = 3 ±,3 1 = 8,3 [ =,3] 1.6 erechnung es -Wertes für Winkel = 60 : tan = 4 4 = 6 + 0, (1 ) 4 it tan 60 = 3 folgt = 0, (1 ) 0,(1 ) 3 = 6 + h = (6+) 6 3 0, 3 = = + 0, 3 4,39 = 1,87 =,3 cm 4 = 60 0,(1 ) 4 Für =,3 cm ist er Winkel = 60. Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 6/9

7 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung ufgabe Zeichnung R T.1 Konstruktion es Trapezes: s gilt = 10 cm; = 6, cm; = 6 cm eginne mit = 10 cm, zeichne eine Parallele azu im bstan 6 cm. chlage einen Kreis um mit Raius 6, cm, er chnittpunkt mit er Parallelen ist. ntsprechen ergibt er Kreis um mit Raius 6, cm en Punkt. Verbine ie ckpunkte un zeichne ie iagonalen.. as aß es Winkels berechnet man in em rechtwinkligen reieck, as man in as Trapez einzeichnen kann: 6 sin = = 6, = 67,38 Für ie Kathete ieses reiecks gilt: = = 6, 6 =, cm amit lässt sich berechnen: = = 10 cm, cm = cm Für gilt schließlich: = (10 cm ) + = (7, cm) + (6 cm) = 9,60 cm Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 7/9

8 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung.3 er Kreisbogen ist in ie obige Zeichnung eingetragen..4 erechnung es Winkelmaßes 1 in em reieck, as aus un er Höhe es Trapezes gebilet wir: 6 cm tan 1 = = 10 7, cm 1 = 38,66 it 1 lässt sich ann T, also er Raius es Kreissektors berechnen: T tan 1 = T T = T tan 38,66 T = 4,0 cm Im reieck wir as Winkelmaß ε berechnet: ε = ε = ,66 ε = 10, = 7, cm 1 T er Winkel T ist halb so groß wie ε: aß(t) = 0, ε = 1,34. ε it em Winkel ε = 10,68 un em Raius T = 4,0 cm kann nun er Flächeninhalt es Kreissektors berechnet weren = π r ε = π (4 cm) 10, 68 = 14,34 cm 1 T R Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 8/9

9 bschlussprüfung 013 an en Realschulen in ayern athematik II usterlösung. er Umfang er Figur TR ist blau gezeichnet. erechnung von (mit T = 0, = cm): = T + T = ( cm) + (4 cm) = 6,4 cm ε' ε Für gilt ann: = = 9,6 cm 6,4 cm = 3, cm Für en Umfang es Kreissektors gilt: ε R = π r 10, 68 R = π 4 cm = 7,17 cm it em osinussatz berechnet man : 1 T R = + cos ε = (4 cm) + (3, cm) 4 cm 3, cm cos (180 ε) = 4,4 cm Für en Umfang u gilt somit: u = R + + R u = (4 cm + 3, cm) + 4,4 cm + 7,17 cm = 18,91 cm.6 Flächeninhalt es Trapezes: = 0, ( + ) = 0, (10 cm + cm) 6 cm = 4 cm ie Hälfte hiervon ist, cm. ie Figur aus ufgabe. besteht aus em Kreisausschnitt un em reieck. er Flächeninhalt es Kreisausschnitts wure bereits in.4 berechnet: Kreisausschnitt = 14,34 cm Für en Flächeninhalt es reiecks gilt: = 0, sin ε = 0, 4 cm 3, cm sin 77,3 = 6,4 cm Insgesamt beträgt er Flächeninhalt er blau umraneten Figur also: ges = + Kreisausschnitt ges = 6,4 cm + 14,34cm = 0,8 cm er Flächeninhalt er Figur aus. ist kleiner als ie Hälfte es Flächeninhalts es Trapezes. Klett Lerntraining c/o PON GmbH, tuttgart 014 9/9