Aufgaben zum Wochenende (2)

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Ursula Schulze
vor 6 Jahren
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1 Aufgaben zum Wochenene () Alle Koorinatensysteme seien kartesisch.. Berechnen Sie zu a =(, 3, ) un b =(,, ), c =(, 3, ) : a 3, 4 a b, b ( a c), a 4 b ( ) c. Rechnen Sie möglichst praktisch.. Lösen Sie ie folgenen linearen Gleichungssysteme: (a) (Unbestimmte x, y, z, u - was für eine Gestalt er Lösungsmenge ist vorab zu erwarten?) x 3y + z u = 3x +y z +3u = x +y +3z u =0 (b) (Unbestimmte x, y, z, a äußerer Parameter - wieer zunächst Ihre Erwartung): ax y +3z = 0 3x + ay z = Hinweis: Es macht hier für ie Leichtigkeit er Beschreibung eutlich etwas aus, was man zuerst hinauswirft un wie man weitergeht - gehen Sie em nach, probieren Sie verschieene Möglichkeiten.) 3. Geben Sie eine Formel für en Abstan zwischen parallelen Geraen im R. Nutzen Sie afür Normalenform im zweiimensionalen Fall. 4. Seien x P =(,, ), x Q =(,, ), x R =(3,, ). Geben Sie für as Dreieck PQR eine Parameterarstellung für ie Gerae urch P, welche ie Höhe auf ie Dreieckseite QR bilet, also senkrecht auf ieser Seite steht. Hinweis: Nutzen Sie fleißig as Vektorproukt. 5. Stellen Sie en Vektor (,, 3) ar als Summe eines Vektors parallel zu b =(, 3, ) un eines Vektors senkrecht zu b. 6. Geben Sie zur Ebene x E =(,, ) + λ(,, ) + µ(, 3, ), λ,µ R, eine Normalenform. Bestimmen Sie anschließen en Winkel zwischen E un er Geraen g, x g (λ) =(,, 3) + λ (,, ),λ R. 7. Bestimmen Sie ohne Rechnung en Kern von A = 3. Geben Sie eine Parameterarstellung von Bil(A). 8. Ein Punkt reht sich mit konstanter skalarer Geschwinigkeit auf einem Kreise, so ass rei volle Umläufe in einer Zeiteinheit geschafft weren. Der Kreis liegt in er Ebene, hat en Mittelpunkt (0, ) un en Raius. Zu Beginn er Bewegung befine sich er Punkt in (0, 0), un ie Bewegung verlaufe im Uhrzeigersinn. Beschreiben Sie iese Bewegung. Nunmehr stellen Sie sich vor, er Punkt sei stattessen auf em Kreis fixiert (mit emselben Startwert), er Kreis rolle aber, ohne zu rutschen, auf er x Achse nach rechts ab (wieerum rei Umläufe pro Zeiteinheit). Beschreiben Sie iese Bewegung es Punktes. 9. Betrachten Sie as Hyperboloi z = x + y (Oberfläche). Finen Sie eine (möglichst einfach zu beschreibene) Gerae auf ieser Fläche. (Hinweis azu: Formulieren Sie ie geeignete Beingung für eine allgemein angesetzte Parameterarstellung einer Geraen in Koorinatenform. Spezialisieren Sie ann frei Wählbares, ass ie Sache möglichst einfach wir.) Geben Sie nunmehr eine Parametrisierung er Oberfläche, nachem Sie iese als urch Rotation Ihrer Geraen um ie z Achse aufgefasst haben.

2 Übung (9). Seien x P =(, 3, ), x Q =( 3,, ), x R =(,, ). Sie verschieben as Dreieck PQR mit em Vektor a =(,, ). Geben Sie as Volumen es mit ieser Verschiebung überstrichenen Körpers (grobe Skizze!) an.. Vereinfachen Sie: ( x 4 y) (3 y 5 x). 3. Sei a R 3, a 6= 0. Warum ist ie folgene Abbilung f : R 3 R, f ( x) = a x, linear, un was sin Kern un Bil? (Beantworten Sie ie Frage mit Formelnutzung sowie geometrischer Anschauung.) 4. Rechnen Sie ie Determinante folgener Matrix A aus, inem Sie Zeilen- bzw. Spaltenumformungen urchführen un amit Nullen schaffen: A = Was sin Realteil un Imaginärteil von +4j un von z + z, wennre (z) = 5? 6. Skizzieren Sie folgene komplexen Zahlen in er komplexen Ebene: +3j, +3j, e jπ 5/4, e 7jπ/6. Geben Sie zu en beien Zahlen in Polarform ie exakten (!) kartesischen Formen. Was sin ie Beträge er Zahlen (im Kopf!)? 7. Bringen Sie auf kartesische Enform: z = 3 4j j. Was ist z? Wie können Sie nun möglichst einfach auf z, z kommen, ohne iese Zahlen auszurechnen? Rechnen Sie jeoch all iese Zahlen auch aus, in kartesischer Enform, un überprüfen Sie Ihre Resultate für ie Beträge. 8. (Wenn noch Zeit ist): Benutzen Sie ie senkrechte Projektion un ie anschaulichen Iee, ass sich er Flächeninhalt eines von a, b erzeugten Parallelogramms urch Länge er Grunseite mal Länge er Höhe ergibt. Zeigen Sie amit, ass as Quarat es Flächeninhaltes gleich a b a b ist. Zeigen Sie amit, ass für zwei Vektoren a =(a,a ) un b =(b,b ) es R er Flächeninhalt es erzeugten Parallelogramms gerae a b a b ist.

3 Übung (0). Geben Sie Sie ie Zahl z =3 3+3j in exakte Polarform. Wie können Sie agegen ie Zahl z = 3+4j nur in exakter (!) Polarform schreiben? Woran liegt as? +z. Lösen Sie in C ie folgene Gleichung: +jz =3 j. 3. Was ergibt sich mit e jφ e jφ e jφ + e jφ,? j 4. Sei z =e 3jπ. BerechnenSievonHanieZahlz 5 (Enform!). 5. Was für ein Gebile wir parametrisiert mit z(t) =te jt,t 0? (Grobe Skizze genügt.) 6. Berechnen Sie ie kartesische Enform (R, L, ω sin reell un alle größer als Null) von R+jωL + /(jωc) Überlegen Sie auch, von welcher Schaltung hier er Gesamtwierstan argestellt wir. Prüfen Sie Ihr Rechenergebnis auch für ie Ranfälle ω =0un ω. Denken Sie auch an Einheitenkontrolle. 7. Schreiben Sie mit Aitionstheorem Gleichungen für sin(x + y) un sin(x y) hin, un gewinnen Sie eine (später nützliche!) Umformung für sin(x)cos(y). 8. Geben Sie alle Minima er Funktion f : R R, f(x) = +sin(3x+) (in parametrisierter Form). Was sollte man überlegen, um schnell en Graphen zu zeichnen, unter Markierung er wichtigsten quantitativen Eigenschaften?. 3

4 Übung (). Skizzieren Sie grob ie Graphen er Funktionen mit en Rechenausrücken sin(x), sin x, sin (x), sin(x 3 ),x sin(x). Stellen Sie Symmetrien ausrücklich fest.. Sei f eine auf ganz R efinierte Funktion. Formulieren Sie mit einer Gleichung ie Beingung: Der Graph von f liegt punktsymmetrisch zum Punkt (a, b). 3. Analysieren Sie en Ausruck sin(x x +cos (x +))(Baumiagramm). 4. Eine Größe hat zur Zeit t 0 en Wert 00, un ihr Wert fällt in 3 Zeiteinheiten jeweils auf ein Zehntel. Beschreiben Sie iesen Vorgang mit einer geeigneten linearen Transformation er Exponentialfunktion. 5. Eine zeitabhängige Größe kommt mit t sich einer Schwelle M von unten, ohne M zu erreichen. Zur Zeit t 0 hat sie en Wert M 00. Geben Sie eine lineare Transformation er Exponentialfunktion an, welche ies beschreibt. Was bleibt noch frei wählbar? Führen Sie afür einen äußeren Parameter ein, un formulieren Sie eine Beingung, welche nur noch eine Lösung zulässt. 6. Lösen Sie ie Gleichungen 4x =0un log 3 (x) =5. 7. Skizzieren Sie grob ie Graphen zu folgenen Funktionen - sie sollten sämtlich in ihrem maximalen reellen Definitionsbereich er jeweiligen Vorschrift genommen weren; geben Sie iesen Definitionsbereich jeweils an. Nutzen Sie as elementare Graphenkonstruieren aus bereits vorhanenen Grungraphen. Vergessen Sie auch nicht, sofort nach etwa vorhanenen Stanar-Symmetrien zu fragen. (a) f(x) = x e x (b) g(x) =ln( x +) (c) h (x) = x x,h (x) = x x,h 3 (x) = x3 x 8. Geben Sie einen möglichst einfachen Rechenausruck an, essen Graph qualitativ so aussieht: x 4

5 Übung (). Schreiben Sie ie Tangentenzerlegung für ie Funktion f(x) =( x) 3 an er Stelle x 0 =auf, un ermitteln Sie nach Prüfung es Restterms amit f 0 (). Nun geben Sie amit ie Näherung. Ornung für f(.99). Geben Sie en absoluten un en relativen Fehler er Näherung an.. Berechnen Sie folgene Ableitungen: (a) (b) (c) x e x x 3 + x π +ln(x) 3sin(x) x sin( 3x), t sin(ωt + ϕ), x ( x )3 x x tan(x) (Nutzen Sie, ass Sie tan0 =+tan schon kennen.) sin(x) x sin(x), x e x +e x, x 3 ( x+) 5 () - in welchem Falle sollte man hier ie Quotientenregel anwenen, in welchen Fällen nicht? x (e) x ln(), x ( x ln(x)) ; skizzieren Sie auch en Graphen er letzteren Funktion, un nutzen Sie ie Ableitung, um as Steigungsverhalten bei x =0 un für x zu klären. - Rechnen Sie auch en Extremwert aus. (f) x x x 3 4 (Kettenregel, nicht ausmultiplizieren!) x (g) (h) (i) x x 3 x α (x α) (x 3) (Achtung, nach α ist abzuleiten!) x log a(x), x ax (a>0 in beien Fällen) 3. Wohin geht ie Steigung es Graphen von f(x) =x +ln(x) für x? Was beeutet as graphisch? 4. Wie sieht er Graph aus zu g(x) =sin(sin(x))? (Geben Sie eine grobe Skizze). Wo liegen ie Maxima? Überlegen Sie as irekt, verifizieren Sie es auch über ie. Ableitung. 5. Geben Sie ie Näherung. Ornung für kleine x für en Ausruck f(x) = +sin(x). Wie groß ist er relative Fehler bei entsprechener Näherung von f( 0.)? 6. Sie suchen eine Funktion er Form f(t) =α sin t + β cos t mit Konstanten α, β. Wie müssen Sie α, β wählen, um ie Beingungen zu erfüllen: f(0) = un f 0 (0) =? Wie können Sie nunmehr eine Funktion g (wieer er angegebenen Form) bilen, für ie gilt: g(t 0 )=un g 0 (t 0 )=? 5

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