Verkleinerung bei der Abbildung mit einer Sammelli n- reelles Bild. identische Abbildung mit einer Sammellinse, reelles Bild

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1 1 Messungen am Mikroskop Wie gut sich Einzelheiten an einem Gegenstan erkennen lassen, hängt avon ab, unter welchem Sehwinkel sie em Auge erscheinen. Für ie Angabe er Vergrößerung wure eine eutliche Sehweite von 5cm vereinbart. Die Vergrößerung eines optischen Instruments ist efiniert als as Verhältnis m V = tan α tanα 0 wobei α m er Sehwinkel mit em optischen Instrument un α 0 er Sehwinkel mit unbewaffnetem Auge ist. Das optische Instrument vergrößert also en Sehwinkel, unter em man einen Gegenstan sieht. Die Eigenschaften vom Linsen beschreibt as Brechungsgesetz: Zur Achse parallele Strahlen weren nach er Brechung urch eine Sammellinse im Brennpunkt F vereinigt. Umgekehrt weren Strahlen urch en Brennpunkt nach er Brechung achsenparallel. Strahlen urch en Linsenmittelpunkt behalten ihre Richtung bei. Bei Zerstreuungslinsen heißt er erste Satz entsprechen: Zur Achse parallele Strahlen verlaufen nach er Brechung so, als ob sie vom Brenpunkt herkämen. Bei er Abbilung mit einer Zerstreuungslinse entsteht nur as virtuelle Bil. Eine Sammellinse agegen kann reelle un virtuelle Biler erzeugen. Ein reelles Bil kann auf einem Schirm sichtbar gemacht weren, währen as virtuelle Bil nur urch eine Linse sichtbar wir. Das virtuelle Bil liegt auf er gleichen Seite er Linse wie er Gegenstan. Das reelle Bil liegt auf er aneren Seite er Linse wie er Gegenstan. Die Abbilung mit einer ünnen Linse läßt sich berechnen nach er Formel: = =D g b f Hierbei ist g ie Gegenstansweite, b ie Bilweite un f ie Brennweite gemessen in Metern. Der reziproke Wert er Brennweite f gibt ie Brechkraft D in Dioptrien er Linse an. Je kürzer ie Brennweite einer Linse ist, esto größer ist ihre Brechkraft D. Bei er Abbilung lassen sich vier einfache Fälle unterscheien, eren Zusammenhang aus obiger Formel leicht ersichtlich ist: (1) Die Gegenstansweite liegt außerhalb er oppelten Brennweite, kurz : g > f. Das Bil, welches ie Linse entwirft ist reell un er Gegenstan erscheint verkleinert. () Die Gegenstansweite ist gleich er oppelten Brennweite, kurz: g = f. Das Bil es Gegenstanes ist reell un ientisch groß mit em Gegenstan selbst. (3) Die Gegenstansweite liegt zwischen er oppelten Brennweite un em Brennpunkt, kurz: f < g< f. Das Bil ist reell, aber er Gegenstan erscheint vergrößert. (4) Die Gegenstansweite ist gleich er Brennweite, kurz: g = f. Das Bil liegt nun im Unenlichen, a ie Strahlen vom Brennpunkt ausgehen un auf er Bilseite er Linse parallel verlaufen. Das menschliche Auge kann ein solches Bil sehen. Auf einem Schirm kann man es allerings nicht abbilen, a man en Schirm praktisch nicht unenlich weit entfernen kann. (5) Die Gegenstansweite liegt innerhalb er Brennebene er Linse, kurz: g < f. Das Bil ist in iesem Fall virtuell un erscheint vergrößert.

2 Die Linsen weren urch Doppelpfeile symbolisiert um en Strahlengang übersichtlicher zu gestalten. Der Gegenstan befinet sich jeweils auf er linken Seite er Linse. Abb. 1: g > f Verkleinerung bei er Abbilung mit einer Sammelli n- se, reelles Bil Abb. : g = f ientische Abbilung mit einer Sammellinse, reelles Bil Abb. 3: f < g< f Vergrößerung bei er Abbilung mit einer Sammellinse, reelles Bil Abb. 4: g = f Parallele Strahlen, unenliches Bil Abb. 5: g < f Vergrößerung bei er Abbilung mit einer Sammellinse, virtuelles Bil Es wir avon ausgegangen, aß sowohl Okular als auch Objektiv ünne Linsen sin. Das heißt, aß ihre Dicke gering ist im Verhältnis zu ihrer Krümmung. Legt man ünne Linsen aufeinaner, so ergibt sich ein System, as sich wieer wie eine ünne Linse verhält. Das Gesamtsystem hat ie Brechkraft, wie ie Summe er Einzellinsen = + = f f f g g b b g 1 1 1

3 3 Bei einem geringen Abstan D er Linsen folgt araus: = + f f f g D f f 1 1 Da fast alle Berechnungen ie Form c Fortpflanzungsgesetz: a a b Fehlerrechnung a = haben, ist er Fehler in c nach em Gaußschen b a bb 1 a a b c = a + b = a + b Vergrößerung Zur Bestimmung er Vergrößerung es Mikroskops wir ein Maßstab in 5 cm Entfernung mit einem Maßstab auf einem Objektträger verglichen. Die beien Maßstäbe weren mit Hilfe eines teilverspiegelten Strahlteilers aufeinanerprojiziert, so aß ein Vergleich er beien Skalen möglich wir. Gemessen wir mit em Okular 1, as eine zehnfache Vergrößerung hat. Die Skalen er Maßstäbe sin in Meter umgerechnet. Maßstab in 5 cm Entfernung [cm] Ablesefehler [cm] Objektträger [µm] Ablesefehler [µm] 10er Objektiv 1 ± 0,1 = 100 ± 10 40er Objektiv,1 ± 0,1 = 50 ± 5 100er Objektiv 1,1 ± 0,1 = 10 ± 1 Wechselblene 1 ± 0,1 = 300 ± 10 Somit kann man ie Vergrößerung er einzelnen Objektive bestimmen. Dabei entspricht 1 mm auf er Skala in 5 cm Entfernung 10 µm auf er Skala auf em Objektträger. Vergrößerung Fehler 10er Objektiv V= 100 ± 14 40er Objektiv V= 40 ± er Objektiv V= 1100 ± 149 Wechselblene V= 33 ± 4 Linsenfehler Sphärische Aberration: Ein Punkt wir nur ann befrieigen abgebilet, wenn alle an er Linse auftretenen Winkel klein sin. Achsferne Strahlen schneien also ie Hauptachse nicht im Brennpunkt.

4 4 Chromatisch Aberration: Die Brechung es Lichts ist von seiner Wellenlänge abhängig. Blaues Licht wir stärker gebrochen als rotes Licht. Eine Linse kann aher von einem weißen Gegenstan höchstens für jeweils eine arin enthaltene Farbe ein scharfes Bil herstellen, as mit anersfarbigen Ränern umgeben ist. Durch Kombination mehrere Linsen kann man ie Farbzerstreuung un auch ie übrigen Linsenfehler erheblich reuzieren. Solche Linsensysteme heißen Achromate. Strahlengang es Mikroskops Ein Mikroskop besteht im Wesentlichen aus einem em Gegenstan zugewanten Objektiv un einem em Auge zugewanten Okular. Das Mikroskop ist so eingestellt, aß as reelle Bil es Objektivs im Brennpunkt es Okulars liegt. Das so entstehene Bil liegt also im Unenlichen un kann nicht mehr auf einem Schirm sichtbar gemacht weren. Das menschliche Auge kann ieses Bil sehen, a es ja auch eine Linse enthält. Der Abstan Auge - Okular ist somit für ie Vergrößerung unerheblich, so aß ein ermüungfreies Beobachten möglich wir. Der Strahlengang eines Mikroskops ist zu konstruieren. Dabei sitzt ie Fellinse zwischen Objektiv un Okular. Das Okularmikrometer befinet sich in er Z B -Ebene. Somit ist es möglich ie Größe es reellen Zwischenbiles zu bestimmen. Aus er bekannten Vergrößerung es Objektivs kann man nun ie Größe es Objekts vermessen. Strahlengang es Mikroskops mit Huygens- Okular Der Brennpunkt es Objektivs ist F Obj, er Brennpunkt er Fellinse ist eckungsgleich mit em zweiten Brennpunkt es Objektivs un liegt bei F. Die beien Okularbrennpunkte sin F Oku. Sowie F A bezeichnet en Brennpunkt es Auges.

5 5 Das Huygens-Okular besteht aus zwei Linsen, er Fellinse un er Augenlinse. Die Fellinse macht ie vom Objektiv kommenen Strahlen noch etwas konvergenter. Das reelle Zwischenbil entsteht somit nicht in er ZB-Ebene, sonern in er Z B -Ebene. Die Strahlen verlassen as Okular parallel un weren erst urch as Auge zum einem Abbil zusammengefügt. Die Vorteile es Huygens-Okulars sin: 1.) Das Sehfel wir größer..) Die sphärischen Aberrationen er beien Linsen heben sich gegenseitig fast auf. 3.) Die chromatische Aberration wir aufgehoben, a as Auge parallele Strahlen in einem Punkt vereinigt. Das hier verwenete Mikroskop besitzt kein Huygens-Okular. Okularmikrometer Das Okularmikrometer, as in en Strahlengang eingefügt wir, ist eine transparenter Skala, ie zuerst geeicht weren muß. Dazu wir er Maßstab auf em Objektträger verwenet. Durch Vergleich er beien Maßstäbe kann ie Größe eines Skalenteils es Okularmikrometers bestimmt weren. Das Okularmikrometer befinet sich im Okular, as eine 1,5-fache Vergrößerung hat. Skalenteile es Okularmikrometers Ablesefehler Maßstab [µm] Ablesefehler [µm] 10er Objektiv 100 ± 1 = 605 ±,5 40er Objektiv 100 ± 1 = 15 ± 1 100er Objektiv 100 ± 1 = 50 ± Wechselblene 65 ± 1 = 990 ± 5 Somit ergibt sich für jees Objektiv eine unterschieliche Skalierung es Okularmikrometers. Das Mikrometer mißt ie Größe es Objekts in µm SKT, (SKT = Skalenteil). µm/skt Fehler [µm/skt] 10er Objektiv 6,05 ± 0,07 40er Objektiv 1,5 ± 0,0 100er Objektiv 0,50 ± 0,0 Wechselblene 15, ± 0,3 Wellenlehre Das Licht hat Wellencharakter. Es lassen sich Erscheinungen finen, ie ies bestätigen. Insbesonere Beugung un Interferenz, ie aus er Akustik bereits bekannt sin. Beugung: Licht verhält sich an Begrenzungsflächen nicht en Regeln er geometrischen Optik gemäß. Es bilen sich keine scharfen Schattengrenzen aus. Das Licht wir in en Schattenraum hineingelenkt, wourch ie Schattengrenze unscharf wir un zusätzliche Interferenzerscheinungen auftreten.

6 6 Interferenz: Als Interferenz bezeichnet man ie Überlagerung zweier kohärenter Wellen,.h. Wellen, ie ie gleiche Frequenz, aber einen Gangunterschie haben. Durch konstruktive Überlagerung entstehen Maxima, urch estruktive Überlagerung Minima er Intensität. In er Optik interferieren nur Lichtstrahlen ie vom selbem Punkt einer Lichtquelle herkommen, aber unterschieliche Wege urchlaufen. Beugung am Spalt Man enkt sich as Bünel, as unter em Winkel α en Spalt verläßt, in n Teilbünel zerlegt. Der Gangunterschie zwischen zwei benachbarten Teilbüneln beträgt ann 1 n s. Man nimmt an, aß innerhalb er Teilbünel kein Gangunterschie stattfinet. Zwei benachbarte Teilbünel löschen sich also genau ann aus, wenn ihr Gangunterschie λ beträgt. Zu jeem Teilbünel gibt es einen Partner mit λ Unterschie, so aß immer Auslöschung stattfinet. Es gilt: s = sinα Bei einer gerazahligen Anzahl Teilbünel ergibt sich also ein Intensitätsminimum unter em Winkel α. Bei einer ungerazahligen Anzahl Teilbünel ergibt sich ein Intensitätsmaximum, a sozusagen ein Teilbünel ohne Partner übrig bleibt, welches ann natürlich nicht ausgelöscht wir. Das Hauptmaximum existiert immer (α=0). Für ie Nebenmaxima gilt: λ ( n + 1) sinα = Für ie Nebenminima gilt analog: λ sinα = n wobei ie Breite er Spaltöffnung ist. Auflösungsvermögen Unvermeilich in allen optischen Geräten sin ie Beugung un ihr Einfluß bei er Bilentstehung. Jee Linsenfassung ebenso wie jee Begrenzung er Prismen, Spiegel, usw. stellt eine beugene Öffnung ar. Das hat zur Folge, as unabhängig von en sonstigen optischen Eigenschaften, ein Lichtpunkt unscharf abgebilet wir. Man spricht in iesem Fall von einem Beugungsscheibchen.

7 7 Von jeem Punkt wir auf em Schirm ein Beugungsscheibchen entworfen. Zwei solche Scheiben sin ann noch zu unterscheien, wenn ihre Maxima minestens um en Raius R er Beugungsscheiben voneinaner entfernt sin (theoretisch ist R wegen er kreisförmigen un nicht rechteckigen Öffnung er Kreisblene um en Faktor 1, größer). Der Winkelabstan er beien Lichtpunkte P 1 un P muß minestens so groß sein, aß as Hauptmaximum es ersten Beugungsscheibchens beim ersten Minimum es zweiten liegt. Also muß er Winkel α ie Minestgröße α = λ besitzen, wenn beie Punkte noch getrennt erkannt weren sollen. Der Kehrwert es minimalen Winkels α heißt Auflösungsvermögen. Damit er Abstan zweier erkennbarer Punkte klein genug bleibt, muß man also ie begrenzene Öffnung groß machen. Betrachtet man ein Objekt urch ein Mikroskop, so liegt er Gegenstan mit er Ausehnung g praktisch in er Brennebene es Objektivs, so aß für en Winkel α = g f gilt (f: Abstan Objekt - Objektiv Brennweite). Für en Abstan zweier noch zu trennener Punkte gilt amit f g = λ un für as Auflösungsvermögen A = 1 = g λf Hierbei ist f aber nichts aneres als ie Apertur N es Objektivs, so aß man auch schreibt A = N λ Die numerische Apertur ist festgelegt urch N = nsin u wobei n er Brechungsinex es Meiums zwischen Objekt un Objektiv ist. Da im Versuch aber keine Immersionsobjekte verwenet weren, kann für Luft n=1 angenommen weren. Für en Aperturwinkel ergibt sich also: sin u = f Das Auflösungsvermögen es Mikroskops ist urch en Abstan zweier noch zu trennener Punkte efiniert. Das Objektiv entwirft in seiner Brennebene ein Bil, as mit em Okular betrachtet wir. Das Okular spielt nun für ie Beugung keine Rolle, a zwei Punkte, eren Beugungsscheibchen sich schon in er Brennebene es Objektivs überlagern, auch nicht urch as Okular entzerrt weren können. Mit em Mikroskop kann man höchstens Gegenstäne erkennen, eren Ausmaße in er Größenornung er Wellenlänge es benutzten Lichtes liegen. Eine Steigerung es Auflösungsvermögens kann man also nur urch Licht mit kürzeren Wellenlängen erreichen. Die Welleneigenschaften setzen em Auflösungsvermögen aller optischen Instrumente eine natürliche Grenze, ie von er Wellenlänge es benutzen Lichtes abhängt.

8 8 Um ie numerische Apertur zu bestimmen, wir im folgenen as Objektiv mit Wechselblene un Okular verwenet. Wie oben gezeigt, folgt aus em Blenenurchmesser un em Abstan Objektiv - Objekt irekt ie numerische Apertur. Blenenurchmesser Abstan Fehler numerische Fehler in N [mm] [mm] [m] Apertur 8 mm 8 34,5 ± 0,5 0,31884 ± 17* mm 4 34,5 ± 0,5 0,11594 ± 8,4*10-4 mm 34,3 ± 0,5 0, ± 4,* mm 1 33,9 ± 0,5 0,09499 ±,*10-4 0,5 mm 0,5 3,4 ± 0,5 0,01543 ± 1,*10-4 Somit ergibt sich aus er Apertur as Auflösungsvermögen mit en verschieenen Blenen, sowie ein minimaler Punktabstan, er gerae noch aufgelöst weren kann. Für weißes Licht ist ein mittlerer Wert er Wellenlänge λ = 550 nm angenommen. Auflösungsvermögen Punktabstan [µm] Fehler [µm] 8 mm ± 3055,37 ± 0,017 4 mm ± 158 4,74 ± 0,034 mm ± 773 9,43 ± 0,069 1 mm ± ,65 ± 0,138 0,5 mm 8058 ± 16 35,64 ± 0,75 Um as Auflösungsvermögen experimentell nachzuprüfen, wir ein Objektträger mit Mirengruppen benutzt. Mirengruppe 8 mm 7/6 4 mm 7/4 mm 6/4 1 mm 5/4 0,5 mm 4/4 Von en beobachteten Mirengruppen weren nun ie Strichabstäne bestimmt. Dazu wir Okular mit em vorher geeichten Okularmikrometer benutzt. Es wir weiterhin auf as Objektiv mit zehnfacher Vergrößerung zurückgegriffen, a ie Vergrößerung es Blenenring - Objektivs nicht mehr ausreicht. Mirengruppe SKT Strichabstan [µm] Fehler [µm] 7/6 0,4,4 ± 0,03 7/4 0,5 3,03 ± 0,03 6/4 1 6,05 ± 0,07 5/4,5 15,13 ± 0,16 4/4 4, 5,41 ± 0,7

9 9 Die gemessenen Strichabstäne sin kleiner als er theoretisch berechnete Punktabstan. Die Strichabstäne ergeben sich irekt aus er Länge eines Skalenteils es Okularmikrometers. Die Werte stimmen nicht mit em hanschriftlichen Versuchsprotokoll überein, a leier mit en Werten er Wechselblene gerechnet wure. Um zu überprüfen, ob as Auflösungsvermögen von er Vergrößerung abhängt, wir für zwei Blenen nochmals mit em Okular 1 gemessen. Blenenurchmesser [m] Mirengruppe mm 0,00 6/6 0,5 mm 0,0005 4/4 Wie bereits oben iskutiert, kann as Okular as Auflösungsvermögen nicht verbessern. Das Experiment stimmt also mit en theoretischen Überlegungen überein. Blaues Licht hat eine kürzere Wellenlänge als weißes Licht ( 550 nm). Wie bereits oben iskutiert, verbessert sich also as Auflösungsvermögen mit blauen Licht. Experimentell konnte as leier nicht nachgewiesen weren. Es konnte keine eutliche Verbesserung es Auflösungsvermögens festgestellt weren. Da as Okular, wie bereits mehrfach erwähnt, as Auflösungsvermögen nicht verbessert, ist ein Blaufilter vor em Okular sinnlos. Eine Veränerung er Wellenlänge ist nur bei er Beleuchtung es Objekts interessant. Theorie von Abbe Die urchleuchteten Objekte haben sehr feine Strukturen, ie mit em Mikroskop erkannt weren sollen. Als Moell für ein strukturiertes Objekt kann man ein Strichgitter nehmen. Das Licht einer punktförmigen Lichtquelle L, ie sich in praktisch unenlicher Entfernung zum Gitter befinet, fällt parallel zur Objektivachse auf as Objektiv. Wäre as Objekt nicht vorhanen, so würe bei völliger Korrektur er Linsenfehler nur ein Lichtpunkt L er Lichtquelle erzeugt. Nun wir aber as Lichtbünel am Objekt gebeugt. Es entstehen so neben iesem Lichtpunkt L auf beien Seiten noch ie abgebeugten, spektral zerlegten Biler er Lichtquelle. Es interessieren aber nicht iese Biler er Lichtquelle, sonern vielmehr ein Bil es Objekts. Das reelle Bil es Objekts liegt in er Brennebene es Objektivs. Die Strahlen, ie ie Beugungsbiler er Lichtquelle liefern, müssen also as reelle Bil es Objekts liefern! Ein unenlich entfernter Lichtpunkt L entwirft einerseits as Zentralbil L, an as sich links un rechts ie mit 1,, bezeichneten Strahlen abgebeugten Strahlen anschließen. In er Zeichnung ist angenommen, aß as Objektiv ie abgebeugten Strahlen erster Ornung noch aufnimmt. Diese bilen ie spektral zerlegten Beugungsbiler -S 1 un +S 1 er Lichtquelle. Die Strahlen zweiter Ornung weren infolge zu kleiner Apertur nicht mehr aufgenommen. Diese rei Strahlen (-S 1, L un +S 1 ) erzeugen auch in er Bilebene es Objektivs ein Abbil es Objekts.

10 10 Ein strukturloses Objekt würe gar kein Beugungsbil er Lichtquelle erzeugen, also auch ein strukturloses Bil ergeben. Die Abbilung er Objektstruktur ist also irekt an as Vorhanensein er Beugungsspektren er Lichtquelle geknüpft. Um ein vollkommen ähnliches Abbil es Objekts zu liefern, müssen alle Beugungsbiler zum Aufbau es reellen Objektbiles mitwi rken. Abbe nennt as Beugungsbil er Lichtquelle as primäre Bil, as reelle Bil es Objekts as sekunäre Bil. In er Zeichnung ist as primäre Bil urch ie rei Punkte -S 1, L un +S 1 angeeutet. Das sekunäre Bil ist ie Bilebene B, in er as reelle Bil liegt. Jee Störung es primären Biles bringt eine Störung es sekunären Biles hervor. Dies ist auch in er Zeichnung er Fall, a hier nicht alle Beugungsornungen in as Objektiv eintreten können. Da ie Intensität er Beugungsbiler mit höherer Ornung stark abnimmt, sin nur ie Beugungsbiler erster Ornung für Bilentstehung wichtig. Abbe hat gezeigt, aß außer em zentralen Lichtbünel minestens noch as Beugungsspektrum erster Ornung urchgelassen wir. Das sekunäre Bil er Struktur wir um so genauer, je mehr Strahlen vom Objektiv erfaßt weren un zur Bilentstehung beitragen. Gangunterschie Es soll er Fall konstruiert weren, aß as Auflösungsvermögen gerae 1 g bereits gezeigt, gilt für ie Apertur N sin u = f = λ g. Bei er Konstruktion es Strahlengangs ist er Abstan er beien aufzulösenen Punkte g=λ. Der Aperturwinkel ergibt sich hiermit zu N = λ ist. Wie oben = f. In iesem Fall gilt also für en Aperturwinkel bei n=1 λ 1 sin u= = u= 30. Die Theorie λ er Beugung am Spalt gilt nur für parallele Lichtbünel. Daher muß er Schirm, auf em ie Interferenzmuster beobachtet weren sollen, eine genügen große Entfernung zum Spalt haben. Bei genügen großer Entfernung liegen ie Intensitätsmaxima auf einer Geraen. Bei kleinem Abstan Schirm - Punkte ist as nicht mehr er Fall, wie man an er Zeichnung eutlich erkennen kann. Gleiches gilt auch für ie Objektivblene, welche ie Interferenzen aufnehmen soll. Die Blene hat somit in er Zeichnung einen relativ großen Abstan zu en Punkten. Im zweiten Fall ist er Punktabstan g=4λ. Somit ergibt sich er Aperturwinkel sin u= = u= 14, 5. λ 1 4λ 4 In beien Fällen ist er Gangunterschie er beien Punkte zum Ran er Objektivblene gleich einer Wellenlänge λ. Die graphische Konstruktion stimmt also mit en theoretischen Überlegungen überein.