Aufgaben zur Großübung

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Hannelore Schräder
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1 Mathematische Methoen II (SoSe 07) Aufgaben zur Großübung Aufgaben für 03. April 07. Bestimmen Sie jeweils f() eplizit un geben Sie en maimalen Definitionsbereich von g(), h() un f() an. f() = (g h)(), g() = log 3 (), h() =. f() = g() h(), g() = + 8, h() = 3. f() = g()h(), g() =, h() = + 6. () f() = (g h)(), g() = log 0 (), h() = +.. Bestimmen Sie folgene (gegebenenfalls uneigentliche) Grenzwerte: () e e + (e) e (5 + ) 5 0 Aufgaben für 0. April 07. Rechnen Sie jeweils in Bogenlänge bzw. Winkelgrae um. π, 5 π, Zeigen Sie ie folgenen Gleichungen mit Hilfe er Aitionstheoreme. cos () = cos (), cos () = cos()+. Hinweis zu : benutze. 3. Bestimmen Sie mit Hilfe er Aitionstheoreme un en speziellen Werten aus er Vorlesung (vgl. Seite 9 im Kapitel Trigonometrische Funktionen ) jeweils en Wert eakt. cos ( ) ( ) 5π, sin π 8. Hinweis zu : benutze Aufgabe.

2 Mathematische Methoen II (SoSe 07). Skizzieren Sie ie Funktion für < f() = für un bestimmen Sie mit Hilfe es Differenzenquotienten ie Ableitung f ( 0 ) für alle 0 R sofern sie eistiert. 5. Bestimmen Sie mit Hilfe es Differenzenquotienten jeweils ie Ableitung er folgenen Funktionen. f() =, f() = 3, f() =. Erkennen Sie ie allgemeine Regel? Aufgaben für. April 07. Seien f() = sin() un g() =. Bestimmen Sie ie Ableitung von f g() un g f() un vergleichen Sie as Ergebnis.. Bestimmen Sie ie Ableitung von f() = 3. Ist f() in = 0 ifferenzierbar? 3. Bestimmen Sie jeweils ie Ableitung er folgenen Funktionen. f() = sin ( ), f() = f() = ++ +, () f() =, tan() ( + sin ( (e) f() = sin ( cos (e ) ), (f) f() = e e + e ++. ) ),. Vergewissern Sie sich, ass ie Funktion sin: [ π, π ] [, ] bijektiv ist. Die Umkehrfunktion arcsin: [, ] [ π, π ] heißt Arkussinus. Bestimmen Sie ie Ableitung von arcsin(). Aufgaben für 08. Mai 07. Bestimmen Sie jeweils alle Ableitungen (,.h. f (), f () () := (f ) (), usw.). f() = + +, f() = e, f() = sin().

3 Mathematische Methoen II (SoSe 07). Zeigen Sie folgene Gleichungen (Hinweis: f() ist eine weitere Schreibweise für f ()). (e) ( ) = 5, ( ) =, () ln ( + e ) = e, (f) ln ( 3 +e ( ) =, =, ) = ln(3). 3. Ein Anfangskapital K 0 wir mit einem Zinssatz p (etwa p = 0.05; also 5%) jährlich verzinst. Bestimmen Sie as Kapital K n nach n Jahren. Sie erhalten ein weiteres Angebot, bei welchem as Anfangskapital K 0 monatlich mit em Zinsatz p verzinst wir. Untersuchen Sie, wie sich as Kapital K n bei iesem Angebot nach n Jahren verhält, un vergleichen Sie mit Teil. Wie entwickelt sich as Kapital, wenn man as Intervall er Verzinsung immer kleiner wählt un en Zinsatz entsprechen anpasst?. Machen Sie sich ie Beispiele.7. bis.7.8 aus em Skript klar. Aufgaben für 5. Mai 07. Bestimmen Sie folgene Grenzwerte: () ( 5+6,, + e ), e, (e) ( ), (f) 3.. Untersuchen Sie ie folgene Funktion auf Monotonie ( + 3) für < 3 f : R R; f() = + 3 für 3 < 0 e für 0. Wie änert sich as Verhalten, wenn wir f() = 3 e für 0 verlangen? Aufgaben für. Mai 07. Ermitteln Sie für ie Funktion f() = ( )e (soweit vorhanen) 3

4 Mathematische Methoen II (SoSe 07) en Definitionsbereich, ie Schnittpunkte mit en Koorinatenachsen, as Monotonieverhalten, () ie relativen Etremwerte, (e) as Konveitätsverhalten, (f) ie Wenepunkte (welche avon sin Sattelpunkte?), (g) ie Polstellen un (h) ie Grenzwerte an en Polstellen un im Unenlichen, Stellen Sie ie Funktionen anhan er Ergebnisse grafisch ar. Aufgaben für 9. Mai 07. Im Folgenen ist eine Funktion f samt ihrer ersten rei Ableitungen grafisch argestellt. Ornen Sie en vier Grafen f(), f (), f () un f () zu. 5 y y 6 y 5 3 f f 6 y 3 6 f 3 6 f

5 Mathematische Methoen II (SoSe 07). Bestimmen Sie ie Nullstellen von f() = Bestimmen Sie ie Wenepunkte er Funktion f() = Welche avon sin Sattelpunkte?. Ermitteln Sie für ie Funktion en Definitionsbereich, f() = ie Schnittpunkte mit en Koorinatenachsen un (h) ie Grenzwerte im Unenlichen. 5. Führen Sie ie folgenen Divisionen urch: ( ) : ( + ), ( ) : ( ). 6. Bestimmen Sie ie Partialbruchzerlegung von Aufgaben für. Juni 07 P () Q() = Skizzieren Sie en Verlauf es folgenen Grenzsteuersatzes: Der Grunfreibetrag beträgt 0000 Euro. Der Eingangssteuersatz soll 0% betragen. Danach soll er Grenzsteuersatz linear verlaufen bis zum Spitzensteuersatz von 50% bei einem obersten Eckwert von Bestimmen Sie nun ie stetige Steuerbetragsfunktion s: R 0 R 0 zur Berechnung er Einkommensteuer in Abhängigkeit vom jährlichen Einkommen.. Bestimmen Sie () (g) ( 6) 3 e, (e) (e y + ), (h) cos(), sin(ln()), (f) π/ π/ sin(), 6 y, y

6 Mathematische Methoen II (SoSe 07) Aufgaben für 9. Juni 07. Bestimmen Sie jeweils en Grenzwert (falls vorhanen) k k für ie folgenen Vektorfolgen: ( ) k sin ( ) k k = k, k = ( ) 3 k 6 k k, ( ) k k = ( ) k. k k. Bestimmen Sie: Bestimmen Sie en Graienten f am Punkt (, π 6, ) er Funktion f(,, 3 ) = sin ( ) ln ( 3 ) Bestimmen Sie en Graienten f (, y) un ie Hesse-Matri,.h. Hess f (, y), er Funktion f(, y) = ( + y ). Erinnerung: Es gilt f(, y) = ( f f (, y), (, y y)) un f (, y) f (, y) Hess f (, y) = f y (, y) 3. Berechnen Sie ie Hauptminoren er Matri Aufgaben für 6. Juni 07 y f y y ( ) (, y). Bestimmen Sie ie lokalen Etrema von f : R R; (, y) ( y )e y.. Bestimmen Sie ie Hessematri er Funktion f(, y) = cos (y) un ie Punkte wo lokale Etrema möglich sin,.h., f = 0. Aufgaben für 3. Juli 07. Bestimmen Sie folgene Integrale: (5 + ) e

7 Mathematische Methoen II (SoSe 07). Bestimmen Sie folgene Grenzwerte: e 3 0 ln(5 ) e 3 3. Hier sehen Sie en Grafen er Ableitung f () einer Funktion f(). 3 a b Bestimmen Sie as Monotonieverhalten von f(). (5 Punkte) Bestimmen Sie ie lokalen Minima un Maima von f(). (6 Punkte) Begrünen Sie jeweils Ihre Antwort.. Ermitteln Sie für ie Funktion f() = ( ) (soweit vorhanen) en Definitionsbereich, ie Schnittpunkte mit en Koorinatenachsen, as Monotonieverhalten, () ie relativen Etremwerte, 7

8 Mathematische Methoen II (SoSe 07) (e) ie Wenepunkte (welche avon sin Sattelpunkte?), (f) ie Grenzwerte an en Ränern es Definitionsbereichs. Stellen Sie ie Funktionen anhan er Ergebnisse grafisch ar. 8

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