Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Für a R {} ist die Reihe ) j+ j! + πa j j a j j! gegeben. a) Untersuchen Sie die Reihe in Abhängigkeit von dem Parameter a auf Konvergenz und Divergenz. Lösungshinweise hierzu: Es gilt ) j+ j! + πa j j a j j! j ) j+ j! a j j! ) j+ a j j + πaj a j j! ) j + π j! ) j + π a j!. Die Glieder der zu untersuchenden Reihe sind also Summe von Gliedern einer geometrischen Reihe und einer Eponentialreihe. Falls a >, so ist < und die geometrische Reihe a j a )j konvergiert, ebenso die Eponentialreihe j π. Nach Satz.9.3 aus der Vorlesung über j! Grenzwerte von Reihen gilt j ) j + π a j! j a) j + π j! und die zu untersuchende Reihe ist insbesondere konvergent. Gilt hingegen a < so bleibt der Term a )j betragsmäßig ) groß, hingegen strebt π für j gegen. Die Folge j! a )j + π sollte also keine j! j N Nullfolge sein, womit man mit Lemma.9. der Vorlesung schließen könnte, dass die zu untersuchende Reihe nicht konvergiert. Diese Vermutung ist jetzt zu beweisen. Untersuchen wir zunächst den Fall < a. Für gerade j gilt: ) j+ a ) j + π j! ) j + π a j! < j ) j, a

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik das heißt, die Folge der Glieder der zu untersuchenden Reihe konvergiert nicht gegen, da sie eine Teilfolge besitzt, die nicht gegen konvergiert. Die Reihe ist also nach Lemma.9. der Vorlesung nicht konvergent. Sei nun a <. Dann ist a a, weiter < a sowie. Damit a gilt Die Folge ) π j! j N j ) j + π a j! j ) j + π a j!. ist konvergent, das heißt es gilt zum Beispiel für : und damit j j : j j j : π j! < ) j + π ) j a j! < + a j) +. Die Folge der Glieder der zu untersuchenden Reihe ist also keine Nullfolge, die Reihe ist demnach wegen Lemma.9. der Vorlesung nicht konvergent. b) Berechnen Sie im Fall, dass die Reihe konvergiert, auch den Wert der Reihe. Lösungshinweise hierzu: Es gilt im Konvergenzfall mit Hilfe der Grenzwersätze.9.3 und dem Wissen über geometrische Reihen.8.4: j a) j a) j + a) ) ) j a j j j j + ) + a +. a Mit Bemerkung.8.7 ergibt sich π j! π j! j j π j ) j! + π + e). j! j Insgesamt berechnet sich der Wert der Reihe zu ) j+ j! + πa j j a j j! + πe ). a +

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H. Konvergenzkriterien Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren. ) a) ) j 3 c) j j ) ) n n ) b) n + + d) 3 n j3 n j + j 4 Lösungshinweise hierzu: a) Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.9.5, denn a j ) j N ist eine monotone Nullfolge. Es gilt: a j )j j ) 3 3 n n! ) 3, aj > a j+, lim a j lim j j j ) 3. j ) n b) Die Reihe konvergiert, denn die Reihen n + und ) n konvergieren nach 3 n n dem Leibniz-Kriterium.9.5 bzw. dem Wurzel-Kriterium.9.6 und damit auch deren Summe nach Satz.9.3. c) Die Reihe konvergiert nach dem Minorantenkriterium nicht, denn es gilt j + j 4 j > j. Die harmonische Reihe ist also eine divergente Minorante. d) Um zu zeigen, dass diese Reihe konvergiert, wird das Quotientenkriterium.9.3 verwendet. Es gilt a n+ 3n+ a n n+)! 3 n n! Damit konvergiert diese Reihe. 3n+ n + )! n! 3 n 3 n + n <. Aufgabe H 3. Grenzwerte von Reihen Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen. 4 a) 3 k k ln ) k+ k b) lnk + ) lnk) k Hinweis: kk + )k + ) k k + + k + ) c) d) kk + )k + ) + ) k k + )! k k

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik k α k k! eα für α R Lösungshinweise hierzu: a) Es handelt sich um eine geometrische Reihe. Um Beispiel.8.4 aus der Vorlesung verwenden zu können, machen wir eine Indeverschiebung. Es folgt k k 3 4 j+) 3 j 3 4 j 3 3 j. b) Formuliert man diese Reihe um, so erhält man ln ) k+ k lnk + ) lnk) lnk + ) lnk) lnk + ) lnk) k k k ) lnk). lnk + ) Es handelt sich also um eine sogenannte Teleskopsumme. Damit ist ln ) k+ k lnk + ) lnk) ln). k c) Bei dieser Reihe benutzt man den Hinweis und erhält die folgenden Teleskopsummen: k kk + )k + ) k k + + k + ) k k k + ) k + ) + k k k ) k + 4. k k + ) k + k + d) Diese Reihe setzt sich aus zwei bekannten Reihentypen zusammen, man erhält ) k + ) k k + )! k k + )! + k k! + e e. ) k+ k + )! k ) ) ) k + k! k Auch hier war eine Indeverschiebung nötig um den Hinweis einsetzen zu können.

5 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Es sind f : M R und g: M R stetige Funktionen. Zeigen Sie: a) f + g: M R: f) + g) ist stetig. b) f g: M R: f) g) ist stetig. Zusatz: Zusätzlich gelte gm) M. Zeigen Sie mit Hilfe konvergenter Folgen: Die Komposition f g: M R: fg)) ist stetig. Lösungshinweise hierzu: Nach.. der Vorlesung gilt für eine Funktion f : f ist stetig in lim f) lim f) + Insbesondere gilt dann lim f) lim + f) f ). Weiter stellen wir fest, dass die Grenzwertsätze für Funktionen.. auch mit Grenzübergängen lim gelten. Mit Aussage.. erhalten wir zum Beispiel:.. lim f) + g)) lim f t) + g t)) t + Es seien f und g als stetig vorausgesetzt. a) Es gilt für eine beliebige Stelle M :.. lim t + f t) + lim t + g t).. lim f) + lim g) lim f + g)) lim f) + g)) lim f) + lim g) + + f, g stetig lim f) + lim g) lim f) + g)) lim f + g)), also ist f + g eine stetige Funktion, da in jeder Stelle M rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen.

6 . Gruppenübung Höhere Mathematik b) Analog gilt für eine beliebige Stelle M : lim f g)) lim f) g)) lim f) lim g) + + f, g stetig lim f) lim g) lim f) g)) lim f g)), also ist f g eine stetige Funktion, da in jeder Stelle M rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen. zum Zusatz: Funktionen f, g sind genau dann stetig, wenn für beliebige konvergente Folgen n ) n N und y n ) n N im jeweiligen Definitionsbereich gilt: lim fy n) f lim y n ) n n lim g n) g lim n ). n n Sei also n ) n N eine konvergente Folge im Definitionsbereich von g, dann ist wegen der Stetigkeit von g die Folge y n ) n N mit y n : g n ) M ebenfalls konvergent. Zu zeigen ist lim n f g n ) f glim n n ). Es gilt das heißt f g ist stetig. Aufgabe H 5. Umkehrabbildung Gegeben seien die folgenden Funktionen f : R {,, } R: a) Berechnen Sie fg)). f g lim n n ) fg lim n n )) f lim n g n )) Lösungshinweise hierzu: Es gilt fg)) ) f lim y n ) lim fy n ) n n lim fg n )) f g lim n ), n n, g: R {} R: )

7 . Gruppenübung Höhere Mathematik b) Ist g auf Grund von a) die Inverse zu f? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösungshinweise hierzu: Nein! Es reicht nicht zu zeigen, dass fg)) für alle D g gilt. Wie in Definition.3.7 festgelegt, muss man ebenfalls überprüfen, dass gf)) für alle D f ist. Mit D f bzw. D g sind die Definitionsbereiche von f bzw. g gemeint. c) Untersuchen Sie unter welchen Einschränkungen g die Inverse zu f ist. Lösungshinweise hierzu: Es gilt gf)) + ) + + ) Schränkt man den Definitionbereich von f auf { R >, } ein, so ist g die Inverse zu f. Denn es gilt für > ) gf)) + +. Aufgabe H 6. a) Laut Vorlesung gilt sin) für [, π ]. Bestimmen Sie die Menge aller R, für welche gilt: sin). b) Sei C. Verwenden Sie die Identitäten sin) ei e i i um zu zeigen, dass ) ± y y sin) ± siny) sin cos Obige Identitäten müssen nicht bewiesen werden. und cos) ei +e i c) Zeigen mit Hilfe der ε δ-bedingung die Stetigkeit von sin, wobei R. d) Zeigen Sie die Stetigkeit von cos. Hinweis: Es gilt cos) sin + π ). e) Bestimmen Sie die maimalen Definitionsbereiche D R der Funktionen tan und cot. Beweisen Sie die Stetigkeit dieser Funktionen in ihren jeweiligen Definitionsbereichen. Lösungshinweise hierzu: a) Offensichtlich gilt auch sin) für [ π, ]. Da sin) gilt sin) für alle R. Also ist M R. ).

8 . Gruppenübung Höhere Mathematik b) Durch äquivalentes Umformen erhält man: ) ) + y y sin) + siny) sin cos e i e i + e iy e iy i +y +y ei i e i y y ei i + e i e i e i + e iy e iy e i + e i y e i y e i c) Mit dem zuvor bewiesenen Additionstheorem gilt ) ) sin) siny) y sin + y cos ) y sin y Für ein beliebig vorgegebenes ε > können wir zum Beispiel δ ε wählen. Somit folgt aus y < δ, dass sin) siny) < ε. d) Da cos) sin+ π ) und sin) stetig ist für alle R, ist auch cos) auf ganz R stetig. e) tan) sin) cos). Die Nullstellen von cos) sind { π + kπ k Z }. Deshalb ist tan) als Verknüpfung von stetigen Funktionen stetig in R { π + kπ k Z }. Analoges gilt für cot) cos) sin) mit R { kπ k Z }. Hinweis: Für die Bearbeitung einer Teilaufgabe ist es oftmals hilfreich, die Ergebnisse anderer Teilaufgaben zu berücksichtigen.

9 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 3. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Potenzreihen Bestimmen Sie die Konvergenzradien und Entwicklungspunkte der folgenden Potenzreihen. Geben Sie an, für welche z R die Reihen konvergieren: z n a) d) 5 n n z n b) c) n n! z n n n z n n! e) f) n n!z + i) n n n ) n 4 z z + ) Lösungshinweise hierzu: a) Wir berechnen den Konvergenzradius ρ mit Hilfe des Quotientenkriteriums. Mit Koeffizienten a n ergibt sich n a n+ a n Wir berechnen n+) n a lim a n+ n a n lim n n + ) + /n + /n. n + /n + /n. Der Konvergenzradius ist ρ. Die Reihe konvergiert für jedes z aus dem a offenen Intervall, ). Um den Konvergenzbereich festzustellen, müssen wir noch das Verhalten in den Randpunkten und untersuchen. Für z ergibt sich die Reihe ) n n. n Diese Reihe ist eine alternierende Reihe, die nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert. Für z dagegen ergibt sich die Reihe n. n Diese Reihe konvergiert auch Beispiel.8. im Skript). z n Daher konvergiert die Reihe sowohl für z als auch für z und daher n n auf dem gesamten Intervall [, ]. Der Konvergenzbereich lautet also K [, ]. Der Entwicklungspunkt ist z.

10 3. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Wir berechnen a lim a n+ n a n lim n n + )! n! lim n n + ) +. So gilt für den Konvergenzradius ρ. Der Entwicklungspunkt ist z. Die Reihe konvergiert nur für den einen Punkt z. c) Wir erkennen, dass n z n n! z ) n Das ist eine Eponentialreihe, in die nicht z, sondern z eingesetzt wurde. Es gilt also n n! n z n n! e z. Da die Eponentialreihe aber für jedes beliebige z C konvergiert ρ + ), gibt das selbe auch für die gegebene Reihe. Der Entwicklungspunkt ist z. d) Wir berechnen den Konvergenzradius mit Hilfe des Wurzelkriteriums a n a n n 5 ) n 5. Konvergenzradius ρ 5 Entwicklungspunkt z. Für z 5 erhalten wir die Reihe n 5 n 5 ) n n 5 n ) n 5 n ) n. n Diese alternierende Reihe divergiert. Für z 5 erhalten wir die Reihe n 5 n 5 ) n 5 n 5 n n. n Diese Reihe divergiert auch a n ) n N mit a n ist keine Nullfolge). Der Konvergenzbereich lautet also K, ). 5 5 e) Wie in b), erhalten wir ρ. Entwicklungpunkt: z + i.

11 3. Gruppenübung Höhere Mathematik f) Wir substituieren z ) u und erhalten ) n 4 z z + ) n n ) n 4 u. Den Konvergenzradius ρ u für u berechnen wir mit Hilfe des Wurzelkriteriums ) ρ lim n n 4 n 4. Damit erhalten wir ρ u 4 und 4 u z ), also z. Folglich ist der Konvergenzradius ρ, der Entwicklungspunkt ist z. Aufgabe H 8. Formen Sie die folgenden Reihen so um, dass die Terme aus sin, cos und ep Funktionen bestehen. Benutzen Sie die Rechenregeln für Potenzreihen aus.4.. a) a n n mit a n : n k ) n n! ) n n! für n gerade für n ungerade n ) b) ) k n+k+ n k)! k + )! n k ) 4k c) 4k )! + 4k 4k )! Lösungshinweise hierzu: a) Um diese Reihe umzuformen, trennt man sie am besten in zwei Teile und betrachte sie für n gerade bzw. g ungerade getrennt. Es gilt: a n n a n n + a n+ n+ n n n ) n n n cos) + sin) n)! + ) n n+ n + )! b) Um diese Reihe umzuformen benötigt man in.4. den 3. bzw. 4. Teil. Es gilt: n ) ) k n+k+ n ) ) k k+ n k n k)! k + )! k + )! n k)! n k n k ) ) k k+ ) m k + )! m! k n sin) ep) m

12 3. Gruppenübung Höhere Mathematik c) Zunächst erinnern wir uns an die Entwickungen von sin, cos und ep. ep) + +! + 3 3! + 4 4! + 5 5! +... sin) 3 3! + 5 5! 7 7! +... cos)! + 4 4! 6 6! +... Bei der ep-funktion tritt jede nichtnegative ganzzahlige Potenz von auf, bei sin nur die ungeraden und bei cos nur die geraden Potenzen. Ferner alterniert bei diesen beiden Funktionen das Vorzeichen. Wenn man die ersten paar Summanden der zu bearbeitenden Reihe aufschreibt stellt man fest, dass eine ähnliche Reihe wie bei der ep-funktion vorliegt. Der Unterschied besteht darin, dass immer zwei Summanden ausgelassen werden und die nächsten beiden verdoppelt werden: ! + 3 3! + 6 6! + 7 7! +! +! +... Ein Vergleich mit der Reihenentwicklung von sin und cos ergibt, dass es sich bei der gesuchten Reihe um e sin) cos) handelt. Aufgabe H 9. Gegeben sind folgende Identitäten: log lim a, + k sin) lim, lim + k log a für a > und k > sowie e ln für >. Diese müssen nicht gezeigt werden. Bestimmen Sie hiermit: a) lim + / b) lim + sin) Lösungshinweise hierzu: a) Zunächst wird der Term umgeformt. Mit dem ersten Hinweis erhält man lim erhält man / e ln / e ln ln. Die ep-funktion ist stetig. Damit lim / e

13 3. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Um diese Teilaufgabe zu lösen, formt man den Term sin) um zu Weiter gilt sin) e ln sin) e sin)ln). sin) ln) sin Mit dem zweiten und dem dritten Hinweis folgen sin lim + lim ln + ln sowie sin lim + ln Da die Funktion a stetig ist erhalten wir lim + sin) e

14 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. a) Bestimmen Sie jeweils den maimalen Definitionsbereich D R und berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen der durch die folgenden Ausdrücke definierten Funktionen: f) 9 ) h) arccos g) ln 4 ) k) sinln) cosln)) b) Berechnen die folgende Grenzwerte: lim tan cos cosh lim e lim π tan3) tan5) ln + 3) sin lim e Hinweis: d d arccos. Lösungshinweise hierzu: a) Der Ausdruck ist nicht definiert für 9 und 9 <. Wir 9 erhalten deshalb als Definitionsbereich D f 3, 3). Mit der Kettenregel..3) bestimmen wir f ) ) ) ) 9 ) ) 3/ 9 ). 3/ Für die zweite Ableitung erhalten wir mit der Quotientenregel..): ) f ) 9 ) 3/ 9 ) 3/ 9 ) 3/) 9 ) 3/) 9 ) 3/ 3 9 ) / ) 9 ) 3 9 ) 3/ ) 5/ ) 5/.

15 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Der Ausdruck g) ln 4 )) ist nicht definiert, wenn 4. Als Definitionsbereich bleibt also das offene Intervall D g, ). Mit der Kettenregel..3) erhalten wir g ) ln 4)) 4 4) 4 4 3) Wir berechnen g ) mit Hilfe der Quotientenregel ) 4 g 3 ) 43 ) 4 ) 4 3 ) 4 ) 4 4 ) 4 ) ) 46 4 ). Der Ausdruck h) arccos )) ist nicht definiert für ; andererseits muss gelten. Als maimalen Definitionsbereich von h erhält man deshalb D h, ] [, ). Mit der Kettenregel erhalten wir die erste und zweite Ableitung von h: )) ) h ) arccos ), ) h ) ) ) ) + ) ) / ) ) 3/. Als Definitionsbereich für k können wir D k R + zulassen. Mit der Produktregel..) und der Kettenregel erhalten wir k ) sinln) cosln)) + sinln) cosln)) sinln) cosln) + cosln ) ) + sinln) sinln), k ) cosln) b) Mit der Regel von l Hospital erhalten wir lim. tan cos tan ) tan + lim lim cos ) sin sin cos + ) lim sin cos ) ) cos ) lim sin cos + sin cos) lim cos) sin ) + cos ) 3 sin) cos.

16 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Wieder ergibt sich mit der Regel von l Hospital: lim π tan3) tan5) lim 3 5 π lim π tan3)) tan5)) lim π 5 sin5) 3 sin3) ) cos3)) 5 cos5)) 3 5 lim π ) cos5) cos3) cosh Es liegt bei lim zwar der Fall vor. Allerdings liefert die Regel von l Hospital e keine Aussage, da egal wie oft man sie anwendet immer der Fall vorliegt. Mit Hilfe der Definition von cosh erhält man aber: cosh lim e e +e lim e lim ) + e. Mit Hilfe der Regel von l Hospital erreicht man zuerst: ln + 3) sin lim lim e 6 ln + 3) 4 sin cos +3 e ln + 3) 3 lim sin + 3)e cos. e Die einzelnen Terme können weiter untersucht werden gegebenenfalls wieder mit l Hospital: Folglich erhalten wir ln + 3) lim lim lim 3 + 3)e 3 sin lim lim 3 +3 cos lim cos e. 3 ln + 3) sin lim e Aufgabe H. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke, indem sie jeweils eplizit eine Formel für die n-te Ableitung bestimmen. Beweisen Sie Ihre Resultate mit vollständiger Induktion sowie den bekannten Differentiationsregeln. a) d d ) n ln), wobei >

17 4. Gruppenübung Höhere Mathematik b) d n d ) a, wobei a, > c) ) d n, wobei d a+b a b Hinweis: Die Identität epln ) für > könnte sich als nützlich erweisen. Lösungshinweise hierzu: Man unterscheide folgende Schreibweisen: n bedeutet hoch n, wohingegen mit n) die n-te Ableitung von gemeint ist. a) Wir wollen mit vollständiger Induktion zeigen, dass die folgende Gleichung gilt. ln)) n) )n n )! n IA Für n gilt ln)) ) )!. IV Die n-te Ableitung von ln lasse sich in der oben genannten Form darstellen. IS Dann gilt für die n + -te Ableitung: ) ) n n )! )n n )! n n n n )n n! )n+ n + )! n+ n+ b) Wie in a) wollen wir zeigen, dass die folgende Gleichung gilt. a ) n) a lna) n IA Für n gilt a ) e ln a) lna)e ln a a lna)). IV Die n-te Ableitung von a lasse sich in der oben genannten Form darstellen. IS Dann gilt für die n + -te Ableitung a lna) n ) e ln a lna) n) e ln a ln a) n+ a lna) n+ c) Und noch einmal: ) n) )n n!b n IA Für n gilt IV Die n-te Ableitung von a+b a + b a + b) n+ ) b a + b a + b) )!b a + b). + IS Dann gilt für die n + -te Ableitung ) n n!b n a + b) n+ lasse sich in der oben genannten Form darstellen. ) )n n!b n n + )a + b) n b )n+ n + )!b n+ a + b) n+ a + b) n+

18 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H. In der folgenden Aufgabe beschränken wir uns auf die reellen Zahlen. a) Geben Sie an, wo cosh streng monoton wächst und wo cosh streng monoton fällt. Bestimmen Sie Maima und Minima von cosh. Untersuchen Sie lim cosh). Skizzieren Sie den Graphen von cosh. lim + cosh) und Lösungshinweise hierzu: Da e > für > folgt die Ableitung von cosh wurde in Beispiel.. bestimmt): cosh ) sinh) > für > und cosh ) sinh) < für <. Dies zeigt mit der Charakterisierung monotoner Funktionen.4.8 aus der Vorlesung, dass cosh für beliebige Intervalle [,a] mit a R + und damit auf [, + ) streng monoton wächst. Analog fällt cosh auf, ] streng monoton. Maima und Minima können nach Lemma.4. aus der Vorlesung notwendigerweise nur an Stellen mit cosh ) sinh) vorliegen. Es gilt also genau dann, wenn cosh ) sinh) e e ) e e lne ) lne ). Die Stelle ist also die einzige Stelle, bei der ein Etremum vorliegen kann. Da cosh für streng monoton fällt und für streng monoton wächst, liegt also bei, ) ein Minimum. Es gilt lim cosh) lim + + e + e ) lim + e + und analog lim cosh) lim e + e ) lim e +. y cosh

19 4. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Finden Sie möglichst sinnvolle) Gebiete D, wo es möglich ist, eine Umkehrfunktion arcosh D zum darauf eingeschränkten cosh D anzugeben. Geben Sie jeweils Definitionsund Wertebereiche dieser Umkehrfunktionen an und skizzieren Sie die Graphen der Umkehrfunktionen. Bestimmen Sie auch jeweils die Ableitungen d d arcosh D). Lösungshinweise hierzu: Eine Umkehrfunktion von cosh D lässt sich nur für Gebiete D finden, wo cosh D injektiv ist. Die Monotonie einer Funktion ist dafür schon hinreichend. Mit a) erhalten wir also: Für cosh R + und cosh R lassen sich jeweils Umkehrfunktionen angeben. Da cosh gerade ist, das heißt cosh) cosh ), dürfen Gebiete D, auf denen cosh D eine Umkehrfunktion besitzen soll, nicht zusammenhängend sein, wenn sie sowohl negative als auch positive Werte enthalten. Wir wollen solche Gebiete deshalb nicht weiter betrachten. Für cosh R + erhalten wir den Wertebereich [, + ) und offensichtlich den Definitionsbereich R +, für cosh R ebenfalls den Wertebereich [, + ) und wieder offensichtlich den Definitionsbereich R. Damit folgt: Die Umkehrfunktion arcosh R + zu cosh R + besitzt den Definitionsbereich besitzt den [, + ) und Wertebereich R +, die Umkehrfunktion arcosh R zu cosh R Definitionsbereich [, + ) und Wertebereich R y cosh R + cosh R y arcosh R + arcosh R Zur Bestimmung der Ableitungen der Umkehrfunktionen beachten wir zunächst: cosh ) sinh ) sinh ) + cosh) sinh + cosh) sinh + cosh) für und sinh + cosh) für.

20 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Für arcosh R + gilt damit arcosh R + y ) R +. Das heißt für die Ableitung: d d y arcosh R + y yy cosh sinh. + cosh) + y Für arcosh R gilt arcosh R y ) R und wir erhalten für die Ableitung: d d y arcosh R y yy cosh sinh. + cosh) + y Zusammenfassend haben wir also gesehen: d d arcosh R + und + d d arcosh R + ). c) Sei nun arcosh cosh R + Beweisen Sie die folgenden Identitäten: arsinh) ln + ) + arcosh) ln + ) für Hinweis: Satz.4.6 aus der Vorlesung kann dabei helfen. Lösungshinweise hierzu: Es gilt nach Beispiel.3.3 und wir berechnen: d d ln + + ) Nach Satz.4.6 gilt dann arsinh arsinh) ln ) + + c. ) +

21 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Setzt man in diese Identität ein, so folgt c ln + ) + + c arsinh) und damit ist arsinh) ln + + ) bewiesen. Für die zweite Identität verfährt man analog. Wir wissen aus b) und berechnen: d d ln + ) arcosh ) Nach Satz.4.6 gilt arcosh) ln + ) + c. Setzt man in diese Identität ein, so folgt c ln + ) + c arcosh) und damit ist arcosh) ln + ) bewiesen.

22 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 3. Kurvendiskussion Die Funktion f sei gegeben durch die Zuordnungsvorschrift f) ln3 + + ). a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich von f in R und untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit. b) Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie. c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f. d) Bestimmen Sie die Etremalstellen von f, sowie jeweils deren Typ und die zugehörigen Funktionswerte. e) Bestimmen Sie die Wendepunkte von f. f) Skizzieren Sie den Graphen von f. Lösungshinweise hierzu: a) Definitionsbereich: Wir erhalten ) >, und damit ist der Definitionsbereich D R. Die Funktion f ist auf dem gesammten Definitionsbereich stetig, da sie ein Verkettung von stetigen Funktionen ist. ln ist stetig; Polynome sind stetig.) b) Symmetrien: Wir erhalten f ) ln3 +). Die Funktion f ist nicht gerade, weil f ) f), und f ist nicht ungerade, da f ) f), deshalb ist f nicht symmetrisch. Aber die verschobene Funktion g) : f ) ist gerade, denn 3 g) f ) ln 3 + ) ln 3 ) + ) g ) c) Nullstellen: d) Etremalstellen: ln3 + + ) 3 + 3,. f ) Zugehörige Funktionswerte: f ) ) ln

23 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Etrema: 3 3 ist ein globales Minimum, weil f ) < für, 3 ) und f ) > für 3, + ). e) Wendepunkte: f) f ) ) ) ) , ln 4 3, , ln 4 3) ), da f ) < Die Wendepunkte heißen 3) ) und für, 4 ), f ) > für 4, 5 ) und f ) < für 5, ) gilt Definition.7.4). y Aufgabe H 4. Bestimmen Sie mit Hilfe des Potenzreihenansatzes f) a n n eine Lösung der Differentialgleichung f f mit den Anfangswerten f) und f ). Benutzen Sie dazu das folgende Vorgehen: a) Bestimmen Sie die Potenzreihe von f und f durch gliedweises differenzieren vgl. Bemerkung..6 und Satz 3.8.4). Lösungshinweise hierzu: Durch gliedweises Differenzieren ergibt sich f ) f ) na n n n n nn )a n n. n

24 5. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a und a indem Sie die Anfangswerte in die Potenzreihe einsetzen. Lösungshinweise hierzu: Es gilt also a und also a f) f ) n n a n n a!, na n n a!, c) Setzen Sie die Potenzreihe in die Differentialgleichung ein. Mit Hilfe des Eindeutigkeitssatzes für Potenzreihen.6.9 erhalten Sie aus der so gewonnenen Gleichung Bedingungen an die Koeffizienten a n der Potenzreihe. Berechnen Sie a n für kleine n N und versuchen Sie damit die Potenzreihe von f und somit f zu identifizieren. Hinweis: Sie können versuchen, eine allgemeine Formel für a n zu raten und diese dann mit vollständiger Induktion zu beweisen. Vergleichen Sie diese mit den Koeffizienten der Eponentialreihe. Wie sieht andererseits die Potenzreihe von sinh aus? Lösungshinweise hierzu: Um später leichter argumentieren zu können, stellen wir zunächst einmal fest f ) nn )a n n n n + )n + )a n+ n. Dies wird nun zusammen mit der Potenzreihe von f in die Differentialgleichung f f eingesetzt: n n + )n + )a n+ n f ) f) n a n n. Mit dem Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen.6.9 können wir also sagen, dass die beiden Potenzreihen in der Gleichung genau dann übereinstimmen, wenn die entsprechenden Koeffizienten übereinstimmen, also n und umgeformt zu n + )n + )a n+ a n a n+ n + )n + ) a n ergibt sich eine Rekursionsformel für die Koeffizienten der Potenzreihe von f. Diese benötigt zwar das vorletzte Element der Folge, da wir aber beide Startwerte a und

25 5. Gruppenübung Höhere Mathematik a bereits ermittelt haben, liegt die Folge von Koeffizienten vollständig fest: a a a a! a 3 3 a 3! a a 4! a a 3 5!. Wir wollen mit vollständiger Induktion beweisen: Die durch die Startwerte a, a und die Rekursionsvorschrift a n+ a n+)n+) n festgelegte Folge a n ) n N von Koeffizienten stimmt mit der durch festgelegten Folge b n ) n N überein. IA Sei n. Dann gilt a b. b n )n IV Sei n N. Es gelte a j b j für alle j n. IS Zu zeigen ist, dass a n+ b n+. Hierbei muss der Fall n separat betrachtet werden, da dort die Rekursionsformel noch nicht greift. Wir sehen aber sofort ein: a + a b b +. Sei nun n >. Es gilt: n! a n+ a n )+ n ) + ) n ) + ) a n n + ) n b n n + ) n )n )n+ n )! n + )! b n+, n + ) n a n wobei für das Einsetzen der Rekursionformel von a n und für IV steht.

26 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Wir haben also gesehen ) n f) n n! n. Diese Potenzreihe wollen wir genauer untersuchen. Es gilt ) n f) n! n n! n )n n! n n n n! n )n n! n n n ) n! n n! )n n n n e e ) sinh). Aufgabe H 5. Approimation der Wurzel Es sei f : R + R:. a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T f,, ). Lösungshinweise hierzu: Es gilt: und damit T f,, ) f )! ) + und f ) 4 3 ) +! + ) 8 ). 4 3! ) b) Skizzieren Sie die Graphen von f sowie der Taylorpolynome T f,, ), T f,, ) und T f,, ).

27 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: y T f,, ) T f,, ) T f,, ) f c) Geben Sie ein geeignetes Taylorpolynom an, um die Approimation +, wenn, das heißt für [ δ, + δ] und < δ <, zu rechtfertigen. Schätzen Sie für δ mit Hilfe eines geeigneten Restgliedes den Betrag des Fehler 8 dieser Approimation ab. Hinweis: Es hilft, den Fehler für [, +δ] und [ δ, ] getrennt abzuschätzen. Lösungshinweise hierzu: Es gilt T f,, ) + ) + Da f im Intervall [ δ, + δ] die Bedingungen des Satzes von Taylor.6. aus der Vorlesung) erfüllt, ist T f,, ) eine geeignete Approimation von f. Das zugehörige Restglied nach Lagrange hat die Form R f,, ) 4 +ϑ, ) 3 mit ϑ, [, ) oder nach Bemerkung.6.3.! R f,, ) 8 ) 8 3 ) + ϑ, ) ξ, 3 ) mit ξ,, ) falls < und ξ,,) falls >. Weiter gilt 3 < 3 falls < ξ,

28 5. Gruppenübung Höhere Mathematik und 3 < 3 ξ, falls >. Damit erhalten wir für den Betrag des Fehlers R f,, ) 3 8 ) < 3 ξ, 8 ) falls < und R f,, ) 3 8 ) < ξ, 8 ) falls > Nun ist der Betrag des Fehlers für [, + ] abzuschätzen. Für < ist ) monoton fallend und wir erhalten ) < ) 56 3,4. Für > ist 8 ) monoton steigend und es ergibt sich 8 ) < ) 8 3,. Insgesamt erhalten wir also die Abschätzung für den Fehler R f,, ) < 56 3 für [ 8, + 8 ].

29 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Bestimmen Sie die Mengen von Stammfunktionen: a) sin)) + tan)) + cos)) d Lösungshinweise hierzu: Wir erinnern uns an folgendes, aus der Schule bekanntes, Additionstheorem: sin) + cos). Zweimaliges Anwenden ergibt sin) + tan) + cos) d + tan) d cos) + sin) d cos) cos) d [tan)]. b) Zu e): d d tan) d d sin) cos)) d sin) cos) cos) + sin) cos) cos) Lösungshinweise hierzu: Wiederum mit dem oben genannten Additionstheorem erhalten wir sin) cos)) d sin) sin) cos) + cos) d sin) cos) d. Wir substituieren beispielsweise u) sin) und erhalten mit u ) cos) die Gleichung sin) cos)) d sin) cos) d [] u)u ) d [ ] u [] u d u [] [ sin) ] Bei der Substituion u cos) hätten wir [ + cos) ] erhalten. Dies verdeutlicht, dass Stammfunktionen nur bis auf eine Konstante eindeutig sind. Zu e): d d sin) ) sin) cos)

30 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Alternativ: d d + cos) ) + cos) sin)) cos) sin) Bevor man in Panik gerät sollte man also erst einmal eine Probe durchführen c) d Lösungshinweise hierzu: d d [ 3 ln )] Da das Polynom im Nenner stets positiv ist, konnten wir uns das Betragszeichen bei der Logarithmusfunktion sparen. Zu e): d 3 d ln ) 3 d d ln ) d) sin) d Lösungshinweise hierzu: Es gilt sin) + sin) sin)) sin) d d d. + sin) + sin) Es ist aber sin)) + cos) ), das heißt sin)) cos). Im Fall cos), das heißt für [ kπ π, kπ + π ], wobei k N, erhalten wir cos) sin) d d. + sin) Dies lässt sich mit Substitution lösen. Setzt man nämlich u) +sin), dann gilt u ) cos) und es ergibt sich mit der Substitutionsregel 3.3. cos) d u ) u)) 3.3. d u d u + sin) [u ] [ ] + sin). Im Fall cos), das heißt für [ k + )π π, k + )π + π ], wobei k N, erhalten wir cos) [ sin) d d ] + sin). + sin)

31 so folgt sin) d { fc c R }. 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Wir haben bislang also die Mengen der Stammfunktionen für einzelne Teilintervalle des Definitionsbereichs bestimmt. Dies wollen wir noch zur Menge der Stammfunktionen auf dem gesamten Definitionsbereich zusammenführen. Dazu müssen die Stammfunktionen auf jeden Fall stetig sein. Wir betrachten für ein festes k N die aneinander grenzenden Intervalle [ kπ π, kπ + ] [ π und k + )π π, k + )π + π ], die sich an der Stelle kπ + π berühren. Für eine Stammfunktion + sin) + c auf [ kπ π, kπ + ] π und eine Stammfunktion + sin) + c auf [ k + )π π, k + )π + π muss also gelten: c + sinkπ + π) + c! + sinkπ + π) + c c, denn + sinkπ + π). Analog verfährt man für die aneinander grenzenden Intervalle [ kπ π, kπ + ] π und [ k )π π, k )π + π ]. Auch hier stellt man fest, dass die additiven Konstanten übereinstimmen müssen. Insgesamt stellen wir fest: Ist für c R ] f c : R R: { [ + sin) + c für kπ π, kπ + π ],k N + sin) + c sonst, Zu e): Für [ kπ π, kπ + π ],k N gilt d d + sin) + c cos) + sin) cos) + sin) cos) sin) sin)) cos) cos) sin) cos) sin) sin) sin) cos) sin) cos)

32 6. Gruppenübung Höhere Mathematik und für [ k + )π π, k + )π + π ],k N gilt d d + sin) + c cos) + sin) cos) + sin) cos) sin) sin)) cos) cos) sin) cos) sin). e) Machen Sie in allen Fällen eine Probe durch Ableiten. sin) sin) cos) sin) cos) Aufgabe H 7. In Abhängigkeit von a,b R + ist f a,b :, π ) R: a + b tan) gegeben. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a,b die Menge der Stammfunktionen f a,b d. Hinweis: Sie können hierfür die Substitution t tan) verwenden und anschließend eine Partialbruchzerlegung durchführen. Lösungshinweise hierzu: Durch die Substitution t) arctant) erhalten wir mit t) die Gleichung +t a + b tan d Der Ansatz für eine Partialbruchzerlegung lautet a + bt) + t ) d t. a + bt) + t ) A a + bt + Bt + C + t A + Bb)t + Ba + Cb)t + A + Ca. Ein Koeffizientenvergleich ergibt A + Bb, Ba + Cb, A + Ca.

33 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Man erhält Also ist A b b a + b, B a + b, C a a + b. a + bt) + t ) d t a + b b a + bt bt + t + a + t d t. Bei den ersten beiden Termen liegt jeweils ein Term der Form f f dritten Term kann zum Beispiel in nachschauen. Also ist b a + b a + bt bt + t + a + t d t a + b [ a + b a + b [ b ln a + bt b ln + t + a arctant) b ln a + bt b ln ] + t + a arctant) [ b ln a + bt + t + a arctant) ]. Resubstituieren ergibt a + b tan d [a + b ln a cos) + b sin) ]. a + b vor. Das Integral für den ] Aufgabe H 8. a) Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass gilt: [ n ] n e d ) n kn! k! k e Lösungshinweise hierzu: IA Wir beginnen damit die Gleichung für n zu beweisen. Es gilt e d e d [e ] k IV Sei die Formel bereits für n bewiesen. [ )! ]! e IS Für n + folgt mit Partieller Integration n+ e d [ n+ e ] [ ) k n + ) n e d. k! k! k e ].

34 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Mit IV gilt weiter [ n+ e ] [ n + ) n e d n+ e n + ) Durch Umformungen erhält man dann insgesamt n+ e d [ n+ ] n ) n kn! k! k e. k ] ) n+ kn + )! k e. k! k b) Zeigen Sie, dass für beliebige m, n N gilt: π sinm) cosn) d. Lösungshinweise hierzu: Mit zweimaliger partieller Integration 3.3.3) erhält man π sinm) cosn) d [ ] π π m sinm) sinn) cosm) sinn) d n n }{{} ] π [ π cosm) cosn) + m n n }{{} Dies kann man unformen und erhält π + m n sinm) cosn) d + π m n ) π sinm) cosn) d sinm) cosn) d. sinm) cosn) d und somit π sinm) cosn) d.

35 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 9. Bestimmen Sie, falls möglich, die folgenden uneigentlichen Integrale: + a) e i + + d b) e d c) 3 + d d) + d Lösungshinweise hierzu: a) Zuerst erkennen wir, dass e i ist, und vereinfachen das Integral zu + e i + + d + d. Mit der Tabelle 3..7 bestimmen wir die Stammfunktion und erhalten als Lösung + e i + d lim b + [arctan)]b π π 4 π 4. b) Nach Definition des uneigentlichen Integrals gilt: + e d lim t + t Mit der Methode der partiellen Integration erhalten wir Dann ist Wir berechnen e d. f ) e, g), also f) e, g ). t Insgesamt erhalten wir e d [ e ) ] t t e ) d [ e ] t [ e ] t te t e t +. lim te t e t + ). t + + e d.

36 7. Gruppenübung Höhere Mathematik c) Wenn man den Integranden vereinfacht, erhält man 3 + d 3 d + d. Das Integral eistiert nicht, denn t d lim t d lim [ln t ]t. d) Im ersten Schritt trennen wir das Integral, um den Betrag weglassen zu können, und erhalten d d + d. + + ) + Danach berechnen wir die beiden Integral getrennt: + ) d + d Insgesamt erhalten wir t lim t lim s + s + ) d + lim s + + d + 4. [ lim ] t + ) t [ + ] s. Aufgabe H. Es sei Γ) : + Verwenden Sie im Folgenden ohne Beweis, dass + t e t d t. e d π gilt. Bestimmen Sie für a R und σ R {}): + ) a) a) ep d b) σ c) Γ ) d) Γ ) Beweisen Sie außerdem + e d

37 7. Gruppenübung Höhere Mathematik e) Γ + ) Γ). Hinweis: Versuchen Sie, die Integrale durch geschicktes Umformen auf eine Form mit bekannten oder berechenbaren Termen zu bringen. Insbesondere wird sich die oben angegebene Identität als nützlich erweisen. Lösungshinweise hierzu: a) Bevor wir substituieren formen wir das Integral um zu + ) + a) ep d ep σ Wir substituieren mit u) a σ erhalten wir + ep ) a) d σ σ ) ) a d. σ und erhalten u ). Mit Hilfe des Hinweises σ + ep ) u d u πσ. b) Weil die Funktion e achsensymmetrisch ist, können wir P 4 a) benutzen und erhalten + e d lim b b + + e d lim b + e d π. c) Den Werte von Γ) kann man direkt ausrechnen durch Γ) + d) Für Γ ) erhält man das Integral ) Γ +b b e t d t [ e t] + ). + e t t d t. e d Substituiert man ut) t erhält man u t). Indem wir in Teil a) a t sowie σ setzen, erhalten wir ) + + Γ e ut) u t) dt e u d u π. e) Wir führen eine partielle Integration durch, mit u e t v t u e t v t.

38 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Es folgt Γ + ) + + t e t d t [ e t t ] + + t e t d t Γ). + + e t t d t Aufgabe H. Berechnen Sie die folgenden Integrale. Nutzen Sie dabei die Symmetrien der Funktionen. a) b) c) π e sin 3 ) d + d π ) cos) sin3) d Lösungshinweise hierzu: a) Man bemerkt, dass die Funktion f : R R: e sin 3 ) punktsymmetrisch ist, d.h. f ) f). Nach Aufgabe P 4 b) gilt e sin 3 ) d. b) Mit Aufgabe P 4 a) kann man das Integral vereinfachen zu + d + d, weil die Funktion g: R R: achsensymmetrisch ist, d.h. f ) f). + Weiter berechnet man das Integral durch + d Insgesamt erhält man + + d [ ln + )] ln). d ln)) ln4). + c) Diesmal liegt Symmetrie zum Punkt π vor. Durch die Substitution u) π erhalten wir u ). Nun müssen wir natürlich auch die Integrationsgrenzen anpassen. In den Substitutionsansatz setzen wir zunächst ein, und erhalten für

39 7. Gruppenübung Höhere Mathematik die neue) untere Grenze u π. Analog erhält man für π als obere Grenze u + π. Also ist π π ) + π cos) sin3) d u cosu + π) sin3u + 3π π ) du. Mit den Hilfe der Eigenschaften cosu + π) cosu) und sin3u + 3π ) sin3u + π + π) cos3u + π) cos3u) vereinfacht sich das Integral zu + π π u cosu) cos3u) du. Da der Integrand u cosu) cos3u) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt nach Aufgabe P 4 b) π π ) + π cos) sin3) d u cosu) cos3u) d u. π

40 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Konvergenzverhalten uneigentlicher Integrale Untersuchen Sie folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz ohne sie zu berechnen): a) d b) + d c) d d) d Lösungshinweise hierzu: a) Wir erhalten d + + ) d + + ) d. Das Integral + ) d konvergiert Satz 3.5.5), weil die Funktion + ) stetig ist und + ) sind stetig, Satz..4). Für >, gilt + ). 4 + Das Integral d konvergiert, weil 4 t lim t + d lim 4 t + t 3 d lim t + ] t [. Mit Hilfe des Majoranten-Kriteriums erhalten wir die Konvergenz des Integrals + + d. Insgesamt konvergiert auch + ) + ) d. b) Wir erhalten + d Das Integral konvergiert nicht, denn + d + + d. t + d lim t + d lim [ln + t ]t. c) Es gilt d d d.

41 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Das erste Integral d konvergiert nach Satz ist jede stetige Funktion 3 + Riemann-integrierbar). Für das zweite Integral erhalten wir + t 3 + d lim t + t 3 + d lim t + [ d lim ] t. t + Mit Hilfe des Majoranten-Kriteriums erhalten wir die Konvergenz des Integrals + + d. Damit konvergiert das Integral d. d) Wir erhalten d d + Das Integral konvergiert nicht, denn + + t 4 + d lim + t t d lim t d. lim t d [ ] 4 ln +. Aufgabe H 3. Geschlossene Form Bestimmen Sie für die folgenden Reihen den Konvergenzradius und eine geschlossene Form im Inneren des Konvergenzkreises. Der Begriff geschlossene Form ist zu verstehen, wie in Aufgabe P 7b). a) b) n n3 n nn ) n nn )n ) n Lösungshinweise hierzu: a) Mit dem Quotientenkriterium erhält man den Konvergenzradius ρ durch ρ lim n + nn ) n + ) n + ) ) ) n + lim n + n Leitet man n nn ) zweimal ab, so erhält man d ) n d ) n n. d nn ) d n

42 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Die Reihe über n lässt sich eplizit berechnen, man erhält n n n n. Weiter berechnet man auf { R < } eine Stammfunktion von d [ ln )] { ln ) + c c R }. Da ln ) + c mit der ersten Ableitung der Reihe muss, können wir mit ln ) + c n n n, für sofort bestimmen, dass c ist. Im nächsten Schritt integrieren wir ln ) und erhalten ln ) d [ + ) ln )]. Zuletzt muss die Integrationskonstante c R so bestimmt werden, dass n n n nn ) + ) ln ) + c. gilt. Mit erhält man, dass c. Als Ergebnis erhalten wir n n nn ) + ) ln ). b) Mit dem Quotientenkriterium erhalten wir den Konvergenzradius ρ durch ) n + ) nn )n ) ρ lim n + n + )nn ) n und erhält n nn ) übereinstimmen Um die Reihe in eine geschlossene Form zu bringen, beginnt man damit, die Partialbruchzerlegung von zu bestimmen. Man erhält n nn )n ) n nn )n ) n + n + n.

43 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Mit dieser Gleichung vereinfacht sich die Summe und es ergibt sich n3 n nn )n ) n Bleibt die Reihe n erhalten als Lösung n3 n n n n3 n3 n n n + n n + n3 n n + + ) n n n n n + n n n n n n n +. n3 n n n n n n + n zu berechnen. Hierzu erinnern wir uns an a) und n nn )n ) n ) log ) +. n n

44 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 4. Niveaulinien & achsenparallele Schnitte Skizzieren Sie die Niveaulinen für die Werte c der folgenden Funktionen. Verwenden Sie zur Unterscheidung verschiedene Farben. Skizzieren Sie weiter achsenparallele Schnitte für a und y b. a) f : R R:,y) + y y mit c {,,, } und a {, }, b {, }. b) g: R R:,y) siny) mit c {, } und a {, }, b { π,π}. Lösungshinweise hierzu: a) Zum Zeichnen der Niveaulinien betrachtet man f,y) c und erhält für y y f,y) + y y c + y ) c +, was einem Kreis mit Radius c + um den Punkt, ) entspricht. Analog verfährt man mit y und erhält das folgende Schaubild. Für die achsenparallelen Schnitte a erhält man für y y y + ) + a, was einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitel,a ) entspricht. Mit y verfährt man genauso. Man erhält als achsenparallelen Schnitt zu a die Menge { a,y,y y + a ) y R }. Für die achsenparallelen Schitte y b erhält man Parabeln der Form + b b, die den Scheitel bei,b b ) hat. Man erhält als achsenparallelen Schnitt zu a die Menge {,b, + b b ) R }. -. z y

45 8. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Zuerst betrachten wir die Niveaulinien zu c. Da ein Produkt nur Null ist, falls einer der beiden Faktoren Null ist, ist die Niveaulinie beschrieben durch {,y) oder y kπ mit k N }. 4 y Um die Niveaulinie c zu zeichnen, bemerken wir, dass siny) hier nicht Null sein kann und erhalten durch äquivalentes Umformen g,y) siny) c c siny). Für die achsenparallelen Schnitte a erhält man Sinus-Funktionen der Form y a siny). Als achsenparallelen Schnitt a erhält man also die Menge { a,y,asiny)) y R }. Für die achsenparallelen Schnitte y b erhält man Geraden der Form sinb). Als achsenparallelen Schnitt y b erhält man also die Menge {,b, sinb)) R } z y

46 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 5. Partielle Differentiation Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich der durch die folgenden Zuordnungsvorschriften zu definierenden Funktionen. f :,y,z) e +y z g:,y,z) 3 y z ) h:,y) arctan. y Berechnen Sie jeweils alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Lösungshinweise hierzu: Die Funktion h ist offensichtlich nicht definiert auf {, ) R}. An allen weiteren Stellen ist die Funktion definiert. Die Funktionen f und g sind für alle,y,z) R 3 definiert. f e +y z + e +y z f y e +y z f z e +y f e +y z + e +y z f yy e +y z f zz f y e +y z + e +y z f z e +y + e +y f yz e +y h h g 3 y z g y 3 yz g z 3 y g 6y z g yy 3 z g zz g y 6 yz g yz 3 y g z 3 y + y ) y y + y h y y + y ) h yy h y + y y y + y ) y + y ) + y y + y ) ) y + y Aufgabe H 6. Ableitung längs eines Vektors ) Gegeben sind die Punkte a,,, b π ),π, 3, c ) ) Vektoren v,, 3 und w 7, 5, 3, sowie die Funktionen π, π, π ), die f : R 3 R:,y,z) + y z, g: R 3 R:,y,z) sin) cosy)z, h: R 3 R:,y,z) sin + y + z 3 ).

47 9. Gruppenübung Höhere Mathematik Berechnen Sie v fa), w fa), v gb), w gb), v hc) und w hc). Lösungshinweise hierzu: Wir benutzen jeweils den Gradienten der entsprechenden Funktion und Satz 4.3. aus der Vorlesung um die Ableitungen längs eines Vektors zu berechnen. Für f erhalten wir f,y,z) Für die Ableitungen erhalten wir y z und damit fa). v fa) fa) v und w fa) fa) w 6. Mit g verfahren wir genau so und erhalten cos) cosy)z g,y,z) sin) siny)z und damit gb) sin) cosy)z Damit ergeben sich die Ableitungen zu v gb) gb) v 8 und w gb) gb) w +8. Mit cosα + π) cosα) erhalten wir für h cos + y + z 3 ) h,y,z) cos + y + z 3 )y und hc) cos π + π 3/ ) cos + y + z 3 )3z Als Ableitungen erhalten wir und v hc) cos π + π 3/ ) + 4 π 9π) w hc) cos π + π 3/ )7 + π + 9π) 6. π 3π. Aufgabe H 7. Stetigkeit Es soll gezeigt werden, dass { f : R R:,y) + y ) sin + y ) für,y), ) für,y), ) stetig ist. Verwenden Sie dazu das folgende Vorgehen:

48 9. Gruppenübung Höhere Mathematik a) Begründen Sie mit Hilfe von Satz 4..8, dass f in Stellen,y ) R {, )} stetig ist. Lösungshinweise hierzu: Mit Satz 4.. sieht man, dass f : R R:,y) + y f : R R:,y) + y stetige Funktionen sind. Für,y) R {, )} gilt somit ) f,y) f,y) sin f,y) und da sin bekanntlich stetig ist, haben wir f als Produkt, Komposition und Quotient stetiger Funktionen dargestellt. Somit ist f nach Satz 4..8 stetig. b) Schließen Sie mit Hilfe von Definition 4..6 ε δ-kriterium) auf die Stetigkeit von f in, ). Lösungshinweise hierzu: Sei ε > vorgegeben. Es gilt für,y), ) f,y) f, ) f,y) f,y) + y ) sin + y ) + y ) sin + y ) + y ),y),y). Um auf Stetigkeit schließen zu können, muss ein δ > gefunden werden, dass wenn folgt,y), ),y) < δ f,y) f, ),y) < ε. Für δ ε ist dies aber gegeben, denn dann gilt Damit ist f stetig in, ). f,y) f, ),y) < δ ε ε.

49 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 8. partielle Ableitungen und Taylorpolynome Sei f : R R:,y) + y. a) Untersuchen Sie an welchen Stellen die Funktion f differenzierbar bzw. zweimal differenzierbar ist. Berechnen Sie dort alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen. b) Berechnen Sie, falls möglich, die Taylorpolynome zweiter Stufe in den Punkten, ),, ) und, ). Lösungshinweise hierzu: a) Zunächst untersuchen wir nur die Betragsfunktion auf Differenzierbarkeit. Wir stellen fest, dass die Betragsfunktion für differenzierbar ist und machen eine Fallunterscheidung > bzw. < um die Ableitung zu verifizieren. Mit dem selben Prinzip stellen wir fest, dass die Betragsfunktion für zweimal differenzierbar ist und die zweite Ableitung gerade ist. Damit ist die Funktion f auf {,y) R } differenzierbar und auch zweimal differenzierbar und wir erhalten die folgenden partiellen Ableitungen: f,y), f y,y) y, f,y), f y,y), f yy,y). b) In, ) ist die Funktion f nicht differenzierbar, weshalb man dort auch kein Taylorpolynom angeben kann. Für die Punkte, ) und, ) erhält man und T f,,y),, )) + ) + y + y T f,,y),, )) + + ) + y + y +. Aufgabe H 9. Etrema Gegeben ist die Funktion f : R R:,y) e +3y 8 6y + 3y ). a) Geben Sie den Wertebereich von f an. b) Berechnen Sie gradf und Hf. c) Geben Sie alle kritischen Punkte von f an d.h. Punkte mit gradf ). d) Bestimmen Sie den Typ der Schmiegquadrik an den Graph von f in den kritischen Punkten.

50 . Gruppenübung Höhere Mathematik e) Bestimmen Sie alle Etrema von f. Lösungshinweise hierzu: a) Es gilt 8 6y + 3y für alle,y) R Die quadratische Form q,y) 8 6y + 3y ist positiv definit, Definition 6..7, Lemma 6..8, Lineare Algebra und Geometrie). Damit erhalten wir den Wertebereich von f : f,y) für alle,y) R. b) Als Gradient erhalten wir gradf f f y ) ) e +3y 8 6y + 3y + 8 3y) 3e +3y 8 6y + 3y. + y) Als Hessematri erhalten wir ) f f Hf y f y f yy mit f 4e +3y 8 6y + 3y + 6 6y + 4 ), f y 6e +3y 8 6y + 3y + 6 y ) f y, f yy 3e +3y 4 8y + 9y + y + ). c) Wir berechnen grad f und erhalten zwei kritischen Punkte von f : P, ), P ) 4,. d) Die Schmiegquadrik an den Graph von f im Punkt P ist durch die Gleichung z T f,,y),p) gegeben Spezialfall 4.4.5). Wir berechnen Taylorpolynom der Stufe in den kritischen Punkten. Für P, ) erhalten wir T f,,y),, )) f, ) + f, ) ) + f y, )y ) + f, ) ) + f y, ) )y ) + f yy, )y ) 8 6y + 3y, und damit ist die Schmiegquadrik im Punkt, ) durch z 8 6y+3y gegeben. Analog erhalten wir das Taylorpolynom der Stufe in Punkt P ) 4, : T f,,y),p ) e ) 9 + ) y + ) + 3 y + ) e 4 e 4 4e e 7 9y y 3 ) y.