Probeklausur zur Analysis für Informatiker

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1 Lehrstuhl A für Mathemati Prof. Dr. R. Stens Aachen, den 28. Januar 20 Probelausur zur Analysis für Informatier Musterlösung

2 Aufgabe Zeigen Sie, dass für alle n N gilt. 2n+ ( ) + Beweis durch vollständige Indution nach n n + (4 Punte) (IA) Es gilt 2 + ( ) + also gilt die Behauptung für n , (IV) Sei n N, und gelte die Behauptung für dieses n. (IS) Es gilt 2(n+)+ ( ) + (IV) 2n+ ( ) + 2n n n + 2n n + 3 2n+2 2n+> (n + ) n + 2 2n n + 3 was die Behauptung mit n + anstelle von n ist, so dass mit dem Indutionsprinzip die Gültigeit der Behauptung für alle n N folgt.

3 Aufgabe 2 Sei M { n 0 2 } n N 0. Bestimmen Sie sup M und max M, oder zeigen Sie gegebenenfalls, dass M ein Supremum beziehungsweise Maximum hat. Hinweis: Geometrische Summenformel (3 Punte) Zeige sup M 2. Dazu zeige zunächst, dass 2 eine obere Schrane von M ist. Für jedes x M existiert ein n N 0 mit x n 0 2 ( 2 )n n (geometrische Summenformel) womit x < 2 folgt, da ( 2 )n > 0 gilt. Damit ist bereits nachgewiesen, dass 2 eine obere Schrane von M ist. Zeige weiter, dass 2 die leinste obere Schrane von M ist. Sei ε R mit ε > 0. Da 2 < ist, gilt nach Vorlesung lim n ( 2 )n 0, also existiert insbesondere ein N N mit ( 2 )n < ε für alle n N mit n N, insbesondere also ( 2 )N < ε. Setzt man x 2 ( 2 )N, so hat man x M nach Definition von M, und es gilt Gemäß Vorlesung folgt nun sup M 2. x 2 2 N > 2 ε Wie bereits gesehen gilt x < 2 für alle x M, also ist sup M / M, womit M ein Maximum hat.

4 Aufgabe 3 Untersuchen Sie f : ( π 2, π ) R, x 2 in allen Punten aus ( π 2, π 2 ) auf Stetigeit. { tan x x, falls x 0, 0, falls x 0 (3 Punte) Sei x ( π 2, π 2 ) \ {0}. Da die Intervalle ( π 2, 0) und (0, π 2 ) offen sind, ist auch ( π 2, π 2 ) \ {0} ( π 2, 0) (0, π 2 ) offen. Auf der offenen Menge ( π 2, π 2 ) \ {0} ist dann f ( π 2, π 2 )\{0} als Vernüpfung stetiger Funtionen stetig (x tan x x ), und somit ist auch f nach Vorlesung in x stetig. Untersuche nun f in 0 auf Stetigeit. Es gilt aufgrund der Stetigeit der auftretenden Funtionen nach L Hospital: lim f (x) lim tan x x 0 x 0 x 0 x + tan 2 x lim 0 0 x 0 also folgt, dass f in 0 nicht stetig ist. + GWS, tan stetig in 0 tan2 (0) 0 f (0)

5 Aufgabe 4 a) Untersuchen Sie die Folge (a n ) n N definiert durch a n 3n + 6 n+ ( 5) n + 6 n für alle n N auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. (3 Punte) b) Untersuchen Sie die durch a 0 und a n a2 n für alle n N definierte Folge (a n ) n N auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. (5 Punte) a) Für alle n N gilt a n 3n + 6 n+ ( 5) n + 6 n 6n (( 3 6 )n + 6) 6 n (( 5 6 )n + 6 ) ( 3 6 )n + 6 ( 5 6 )n +, 6 also folgt wegen 6 3 < und 5 6 < mit den Grenzwertsätzen die Konvergenz von (a n ) n N gegen den Grenzwert lim a ( 3 6 n lim )n + 6 n n ( 5 6 )n b) Beachte zunächst: a 0 0, und da x2 + 0 > 0 für alle x R ist, gilt nach Definition der a n auch a n 0 für alle n N. () Nehme zunächst an, dass (a n ) n N gegen ein a R onvergiert. Dann gilt nach obigem bereits a 0. Da (a n+ ) n N eine Teilfolge von (a n ) n N ist, gilt a lim n a n lim n a n+ lim n a2 n GWS, stetig a2. Weiter hat man a a2 a a 0 4 a2 4 a2 a 0 a 2 Damit ann nur 2 der Grenzwert von (a n ) n N sein. (2) Zeige Beschräntheit der Folge nach oben hier durch Nachweis von a n 2 für alle n N. (IA) Man hat a 0 2, also gilt die Behauptung für n. (IV) Sei n N, und gelte a n 2. (IS) Es gilt, da sowohl x x 2 als auch x x auf [0, ) monoton wachsend sind: a n a2 n (IV), Monotonie

6 was die Behauptung für n + anstelle von n ist. Mit dem Indutionsprinzip folgt nun a n 2 für alle n N. (3) Zeige, dass die Folge monoton wachsend ist durch Nachweis von a n+ a n für alle n N. Für jedes n N gilt mit der Monotonie der Wurzelfuntion a n+ a n an a2 n a n a 2 n 4 a2 n 4 a 2 n, Monotonie a2 n a 2 n und Letzteres ist eine wahre Aussage, da 0 a n 2 nach (2) gilt. (4) Als beschränte (2) und monotone (3) Folge ist (a n ) n N nach Vorlesung onvergent. Nach () gilt somit für den Grenzwert lim n a n 2.

7 Aufgabe 5 a) Berechnen Sie den Wert der Reihe 3 + ( 4) 5. b) Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz. ( ) sin( ) c) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe (3 Punte) (3 Punte) ( ) 2 x. + a) Man hat, da 3 5 < und 4 5 < gilt: b) Definiere 3 + ( 4) ( 3 5 ( 3 5 ( 4) 5 3 ) 4 5 ) ( ( ) ) ( 4 5) geom. Reihe ( 4 ) (3 Punte) a sin( ) für alle N. Sei N. Dann gilt einerseits 0 < +, und andererseits hat man sin( ) sin( + ) 0, denn es gilt + sowie n (0, π 2 ) für alle n N und der Sinus ist monoton wachsend auf [0, π 2 ). Somit folgt a sin( ) sin( + ) + also ist (a ) N monoton fallend. Darüberhinaus gilt a + 0, 0 sin(0) sin( ) sin( ) sin()

8 für alle N (wieder aufgrund der Monotonie des Sinus), und mit den Grenzwertsätzen gilt lim sin() 0 lim 0, also erhält man mit dem Sandwich-Lemma, dass (a ) N eine Nullfolge ist. Mit dem Leibniz-Kriterium folgt nun, dass die zu untersuchende Reihe ( ) a onvergent ist. c) Sei a ( 2 + ) für alle N. Es gilt lim a lim 2 + lim 2 + GWS woraus man mit dem Wurzelriterium erhält, dass der Konvergenzradius der zu untersuchenden Reihe ( 2 + ) x gleich 2 ist.

9 Aufgabe 6 Berechnen Sie den Grenzwert arctan x lim x 0 sin x, oder zeigen Sie, dass dieser Grenzwert in R {±} nicht existiert. Es gilt mit L Hospital (2 Punte) arctan x lim x 0 sin x 0 0 lim x 0 +x 2 cos x GWS, cos stetig +0 2 cos 0.

10 Aufgabe 7 a) Untersuchen Sie f : R R, x { sin x x, falls x 0,, falls x 0 auf Stetigeit und Differenzierbareit im Punt x 0. (3 Punte) b) Sei f : [, ] R stetig in 0. Zeigen Sie, dass dann g : [, ] R, x x f (x) in 0 differenzierbar ist mit Ableitung g (0) f (0). (2 Punte) a) Es gilt f (0 + h) f (0) h sin(h) h h sin(h) h h 2 für alle h R \ {0}, also hat man aufgrund der Stetigeit der auftretenden Funtionen mit L Hospital: lim h 0 f (0 + h) f (0) h h 0 sin 0 GWS, sin stetig 2 sin(h) h cos(h) lim h 0 h 2 lim 0 0 h 0 2h 0. sin(h) lim 0 0 h 0 2 Dies zeigt, dass f in 0 differenzierbar ist (und dort den Ableitungswert 0 hat). Damit ist f nach Vorlesung auch stetig in 0. Idee einer Alternativlösung: sin x x besitzt Potenzreihendarstellung, diese onvergiert auf ganz R und stimmt auch in 0 mit f überein, Potenzreihen sind auf ihrem Konvergenzintervall stetig differenzierbar. (Muss dann natürlich alles entsprechend gezeigt werden.) b) Für alle h R \ {0} gilt g(0 + h) g(0) h Da f stetig in 0 ist, folgt somit diret h f (h) 0 h f (h). g(0 + h) g(0) lim h 0 h lim f (h) f (0). h 0 h 0 Dies zeigt nach Definition, dass g in 0 differenzierbar ist mit Ableitung g (0) f (0).

11 Aufgabe 8 Berechnen Sie das Integral cos(x) log(sin(x)) dx. auf (0, π). (3 Punte) Beachte zunächst, dass der Integrand wegen sin x > 0 für alle x (0, π) stets wohldefiniert ist. Es gilt dann cos(x) log(sin(x)) dx Subst. ysin x dy dx cos x log y dy log y dy part. Int. y log y f (y)y f (y) g(y)log y y log y y sin(x) log(sin(x)) sin(x). Resubst. y y dy

12 Aufgabe 9 a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von p(x) x + 3 x 3 + x 2 x. (5 Punte) b) Berechnen Sie das Integral 0 2 x + x 2 + 2x + 2 dx. (Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis soweit wie möglich.) (3 Punte) a) Zerlege den Nenner x 3 + x 2 x in für die Partialbruchzerlegung geeignete Produte. Durch Ausprobieren sieht man, dass eine Nullstelle ist. ( x 3 +x 2 x ) : (x ) x 2 + 2x + x 3 x 2 2x 2 x 2x 2 2x x x 0 Daher gilt x 3 + x 2 x (x )(x 2 + 2x + ) (x )(x + ) 2 für alle x R. Da der Zählergrad leiner als der Nennergrad ist, existieren A, B, C R mit x + 3 x 3 + x 2 x A x + B x + + Durch Multipliation mit dem Nenner erhält man daraus C (x + ) 2 für alle x R \ {, }. x + 3 A(x + ) 2 + B(x )(x + ) + C(x ) A(x 2 + 2x + ) + B(x 2 ) + C(x ) (A + B)x 2 + (2A + C)x + (A B C) für alle x R. Mit Koeffizientenvergleich ommt man auf das Gleichungssystem A + B 0 2A + C A B C 3.

13 Mit dem Gauß-Algorithmus hat man nun , also ist A und B sowie C. Insgesamt folgt damit b) Es gilt 0 2 x + 3 x 3 + x 2 x x x + (x + ) 2 für alle x R. x + x 2 + 2x + 2 dx x 0 x [ 2, 0] Subst. yx+ xy dx dy log x 0 x log( ) log( 3 ) + log 3 + arctan y (x + ) 2 + dx y log 3 + (arctan arctan( )) y 2 + dy log 3 + ( π 4 ( π 4 )) log 3 + π 2.

14 Aufgabe 0 Zeigen Sie, dass onvergiert. x sin x dx Wegen sin x [, ] für alle x R gilt 2 + sin x für alle x R. Damit folgt x sin x x sin x x 2 x 2 (3 Punte) für alle x [, ). Da zudem der Integrand als stetige Funtion auf allen Intervallen der Form [, b] für b (, ) eigentlich integrierbar ist, folgt nun mit dem Vergleichsriterium aufgrund der absoluten Konvergenz von dx auch die absolute Konvergenz und damit x 2 die Konvergenz des zu betrachtenden Integrals. ( dx onvergiert nach Vorlesung, da x 2 für den Exponenten 2 < gilt.)

15 Aufgabe Beweisen oder widerlegen Sie jeweils die Aussage. a) Sind a, b R mit a < b sowie f : [a, b] (0, ) stetig, so existiert ein α R mit α > 0, so dass f (x) α für alle x [a, b] gilt. (2 Punte) b) Ist f : R R differenzierbar mit f (x) 0 für alle x (0, ), so ist f [0, ] injetiv. (2 Punte) c) Sind (a n ) n N und (b n ) n N divergente Folgen, so ist auch (a n + b n ) n N divergent. (2 Punte) a) Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist ompat. Da f stetig auf dem Kompatum [a, b] ist, gibt es nach dem Maximum-Minimum Satz von Weierstraß ein x 0 [a, b] mit f (x 0 ) f (x) für alle x [a, b]. Durch die Voraussetzung an den Zielbereich von f gilt zudem f (x 0 ) > 0. Mit α f (x 0 ) ist die Behauptung also erfüllt. b) Annahme: f [0, ] ist nicht injetiv. Dann gibt es also x 0, x [0, ] mit x 0 < x und f (x 0 ) f (x ). Nach Voraussetzung ist f differenzierbar auf [x 0, x ], und damit auch stetig. Da f (x 0 ) f (x ) gilt, existiert nach dem Satz von Rolle ein x (x 0, x ) (0, ) mit f (x) 0, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist. Somit war die Annahme falsch, also muss f [0, ] injetiv sein. c) Definiere a n n und b n n für alle n N. Dann sind (a n ) n N und (b n ) n N unbeschränt (Archimedisches Prinzip), und somit nach Vorlesung divergent. Jedoch gilt a n + b n 0 für alle n N. Damit ist (a n + b n ) n N als onstante Folge onvergent (mit Grenzwert 0). Somit ist die Behauptung falsch.

16 Aufgabe 2 Geben Sie die folgenden Definitionen beziehungsweise Sätze im Sinne der Vorlesung wieder. Formulieren Sie eine vollständige Aussage (wie Ein a R heißt Häufungspunt einer reellen Folge (a n ) n N, wenn... gilt ), und achten Sie darauf, dass Sie auch die Voraussetzungen orret angeben. a) Definition eines Häufungspuntes einer Menge M R (2 Punte) b) Definition von gleichmäßiger Stetigeit einer Funtion f : D R in D (2 Punte) c) Weierstraßsches Majorantenriterium zur gleichmäßigen Konvergenz einer Funtionenreihe n f n in D R (2 Punte) a) Sei M R. Der Punt x 0 R heißt Häufungspunt von M, wenn für alle ε > 0 stets (B ε (x 0 ) \ {x 0 }) M ((x 0 ε, x 0 + ε) \ {x 0 }) M gilt. b) Sei D R und f : D R. f heißt gleichmäßig stetig in D, wenn für alle ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x, x 2 D mit x x 2 < δ stets f (x ) f (x 2 ) < ε gilt. c) Seien D R und f n auf D definierte Funtionen für alle n N. Existieren M n R für alle n N, so dass f n (x) M n für alle x D und alle n N gilt und n M n onvergiert (also n M n < gilt), dann onvergieren die Funtionenreihen n f n und n f n gleichmäßig in D.