Taylor-Reihenentwicklung. Bemerkungen. f(z) = a k (z z 0 ) k mit a k,z 0,z C. z k z C. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k mit x 0,x R.

Transkript

1 8.2 Potenzreihen Definition: Eine Reihe der Form f(z) = a ( ) mit a,z 0,z C heißt (omplexe) Potenzreihe zum Entwiclungspunt z 0 C. Beispiel: Die (omplexe) Exponentialfuntion ist definiert durch die Potenzreihe exp(z) = z! z C. Weiterhin: Elementare Funtionen sind über Potenzreihen definiert: log(z), cos(z), sin(z),... 2 Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Taylor-Reihenentwiclung. Betrachte für f : R R, f C,dieTaylor-Reihe Bemerungen. T(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) mit x 0,x R.! Die Taylor-Reihe einer C -Funtion ist im Allgemeinen nicht onvergent. Konvergiert die Taylor-Reihe T(x), so nicht notwendigerweise gegen f(x). Falls f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 )! so nennt man die Funtion f reell-analytisch. 22

2 Konvergenzradius einer Potenzreihe. Satz: Zu jeder Potenzreihe a ( ) mit a,z 0,z C gibt es eine Zahl r 0 mit den Eigenschaften <r = a ( ) >r = a ( ) Die Zahl r 0 heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Die Potenzreihe onvergiert für alle ρ mit 0 ρ<rauf sogar gleichmäßig. K ρ (z 0 )={z C : ρ} 23 absolut onvergent divergent Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Beweis: Definiere r := sup { w : } a w onvergent Dann gilt 0 r und für >rist die Potenzreihe divergent. Gilt r = 0, so ist die Potenzreihe nur für z = z 0 (absolut) onvergent. Sei nun r>0und 0<ρ<r. Dann gibt es ein w C mit w >ρ, so dass a w onvergiert. Insbesondere ist die Folge (a w ) 0 beschränt, d.h. es gibt eine Schrane M>0mit a w M für alle 0. 24

3 Für z C mit ρ< w gilt somit a ( ) = a w w M w und weiterhin w w so dass die geometrische Reihe w < für alle, onvergiert. Mit dem Majorantenriterium von Weierstraß onvergiert die Potenzreihe a ( ) absolut und gleichmäßig für alle z C mit ρ. 25 Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Die Formel von Cauchy-Hadamard. Satz: Den Konvergenzradius r 0 einer Potenzreihe a ( ) mit a,z 0,z C ann man mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: r = lim sup a. Beweis: Verwende hierzu das Wurzelriterium, zusammen mit der Äquivalenz 0 : a ( ) q< lim sup a ( ) < lim sup < a < lim sup a 26

4 Konvergenz von Potenzreihen. Satz: Für eine Potenzreihe a ( ) gelten folgende Aussagen. (a) Falls einer der beiden Grenzwerte r = lim a oder r = lim a a + existiert (oder falls r = ), so stimmt dieser Grenzwert mit dem Konvergenzradius der Potenzreihe überein. (b) Differenziert man die Potenzreihe, so erhält man wiederum eine Potenzreihe, f (z) = a ( ), = deren Konvergenzradius mit dem Konvergenzradius r der Ausgangsreihe übereinstimmt, auch im Fall r = 0 oder r =. 27 Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Beweis: Der erste Teil von (a) folgt aus der Formel von Cauchy-Hadamard. Verwende für den zweiten Teil von (a) das Quotientenriterium: a + ( ) + a ( ) < a + a < und somit lim a + ( ) + a ( ) < < lim a a + Zu Teil (b): Berechne den Konvergenzradius mit Cauchy-Hadamard, womit lim sup a = lim sup a wegen für. Somit sind die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen identisch. 28

5 Beispiele. Die Reihe!z onvergiert nur für z = 0, denn (!z ) 0 ist für z 0 eine Nullfolge. Der Konvergenzradius ist in diesem Fall r = 0. z hat den Konvergenzradius r =. Die geometrische Reihe Die Exponentialreihe z! hat den Konvergenzradius r =. Aus der Differentiation der geometrischen Reihe ( z) 2 = ( z) 3 = 2 z = z ergibt sich: z = + 2z + 3z 2 + 4z für z < = ( )z 2 = ( 2 + 6z + 2z ) für z < 2 =2 29 Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Potenzreihenentwiclung des Logarithmus. Beachte: Die integrierte Potenzreihe a C + + () + besitzt den gleichen Konvergenzradius wie die Potenzreihe a ( ). Anwendung: Die Integration der Potenzreihe + z = ( ) z für z <. liefert eine Potenzreihenentwiclung der Logarithmusfuntion ( ) log( + x) = + x+ für <x<. 30

6 Potenzreihenentwiclung von arctan. Weitere Anwendung: Integration der Potenzreihe d dx arctan(x) = + x = ( ) x 2 2 liefert Potenzreihenentwiclung Bemerungen: arctan(x) = ( ) 2 + x2+ für <x< für <x<. Eine Potenzreihe ist innerhalb ihres Konvergenzreises K r (z 0 ) stetig. Reelle Potenzreihen sind C -Funtionen auf (x 0 r, x 0 + r). Eine reelle Potenzreihe stimmt mit einer Taylor-Reihe überein: f () (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) für x x 0 <r! 3 Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Identitätssatz und Abelscher Grenzwertsatz. Identitätssatz für Potenzreihen: Sind a (x x 0 ) und b (x x 0 ) reelle Potenzreihen, die in einem Intervall (x 0 ε, x 0 + ε) die gleiche Funtion darstellen, so gilt a = b für alle 0. Abelscher Grenzwertsatz: Reelle Potenzreihen der Form f(x) = a (x x 0 ) sind überall dort stetig, wo sie onvergieren, insbesondere in den Randpunten ihres Konvergenzintervalls. 32

7 Beispiel. Die Reihe log( + x) = ( ) + x+ für <x< onvergiert auch für x =+. Somit ist nach dem Abelschen Grenzwertsatz insbesondere die Gleichung gültig. Daraus folgt die Darstellung log( + ) = log(2) = ( ) + + ( ) Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Rechenregeln für Potenzreihen. Satz: Seien f(z) = a z und g(z) = b z Potenzreihen mit den Konvergenzradien r >0und r 2 >0. Dann gilt: (a) (b) f(z)+g(z) = (a + b )z, für z < min(r,r 2 ); λ f(z) = λa z, für z <r und mit λ C; (c) Cauchy-Produt für Potenzreihen ( ) f(z) g(z) = a l b l z, für z < min(r,r 2 ). l=0 34

8 Weitere Rechenregeln für Potenzreihen. Satz: Seien f(z) = a z und g(z) = b z Potenzreihen. Dann: (d) Ist f(0) =0, soläßt sich die Potenzreihe f(z) in die Potenzreiheg(z) einsetzen, d.h. es gibt ein r 3 >0und eindeutige Koeffizienten c C mit (g f)(z) =g(f(z)) = c z, für z <r 3 ; (e) Ist f(0) 0, so besitzt die Funtion /f(z) eine Potenzreihenentwiclung, d.h. es gibt ein r 4 >0und eindeutige Koeffizienten d C mit f(z) = d z, für z <r 4 ; die sich nach dem Cauchy-Produt in (c) wie folgt reursiv berechnen. a 0 d 0 =, a 0 d = d l a l, für =,2,... l=0 35 Kapitel 8: Potenzreihen und elementare Funtionen Beispiele zu den Rechenregeln für Potenzreihen. Beispiel. Wir definieren den cosinus hyperbolicus für x R mit cosh(x) = 2 ( e x + e x) und ersetzen e x durch die Potenzreihe exp(x) = cosh(x) = 2 = (! x + x!. Dann gilt! ( x) ) (2)! x2 für alle x R. Analog erhält für x R den sinus hyperbolicus mit sinh(x) = ( e x e x) = 2 (2 + )! x2+, für alle x R. 36

9 Beispiele zu den Rechenregeln für Potenzreihen. Beispiel 2. Für erhalten wir cos(x) x = = f(x) = cos(x), <x<, x ( ) ( ( ) (2)! x2 ( x2 2! + x4 = + x + + ( 2! ( 2! + ) 4! l=0 x l ) ) 4!... ( + x + x ) ) ( x 2 + ) x 3 2! x für <x<. 37