Analysis I. Def. Äquivalenzrelation: Eine Relation mit den Eigenschaften: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

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1 1 Analysis I Grundlagen der Logi und Mengenlehre Symbole: Nicht a b= ( a b) Und a ( b c) = ( a b) ( a c) Oder => wenn, dann <=> genau dann, äquivalent Quantoren: für alle a a es existiert a a Mengenoperationen: Vereinigung Durchschnitt C Komplement x Kartesisches Produt Pa ( ) Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) Immer und Menge selbst Def. Relation: Eine Relation ist eine Teilmenge von A x A. Def. Äquivalenzrelation: Eine Relation mit den Eigenschaften: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität Def. Äquivalenzlasse Keine Äquivalenzlasse ist leer. Beweis: Wegen Reflexivität ist immer x enthalten Zwei Äquivalenzlassen sind (1) identisch nämlich falls x ~ y (2) disjunt nämlich falls nicht x y Beweis: (1) ein beliebiges z aus x ist auch in y und ein beliebiges z aus y ist auch in x (2) Indiret: Annahme dass es ein gemeinsames gibt führt zu Widerspruch Satz über Äquivalenzrelationen Jede Äquivalenzrelation in einer Menge A induziert eine Zerlegung von A in nichtleere, paarweise disjunte Äquivalenzlassen. Def. Ordnungsrelation Eine Relation mit den Eigenschaften: Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität Def. Totalordnung Eine Ordnungsrelation, bei der zusätzlich gilt x~y oder y~x. Def. Abbildung oder Funtion Eine Relation, die jedem Element aus A genau ein y aus B zuordnet. x~y und x~z => y=z Def. surjetiv, injetiv, bijetiv

2 2 Surjetiv: Injetiv: Bijetiv: Jedes Bild besitzt mindestens ein Urbild Wenn jedes Bild höchstens ein Urbild besitzt (Urbilder ungleich => Bilder ungleich, Bilder gleich => Urbilder gleich) Surjetiv und Bijetiv Im Falle von Bijetivität existiert die Umehrabbildung. Def. Familie, Indexmenge Spezialfall: Eine Familie mit Indexmenge nennt man Folge. Zahlenräume Natürlichen Zahlen PEAND-Axiome Prinzip der vollständigen Indution Natürliche Zahlen sind linear geordnet und sogar wohlgeordnet (jede Teilmenge besitzt leinstes Element) Bemerungen 1. Ein leinstes Element ist eindeutig bestimmt. (Beweis: Annahme es gibt zwei => gleich) 2. In jeder (halb)geordneten Menge gilt (Wohlordnung => Totalordnung) (Beweis: Zweierpärchen) Def. Mächtigeiten Gleichmächtig: Falls es eine Bijetion zwischen den Mengen gibt Weniger mächtig: Falls es eine Injetion in die größere Menge gibt Endlich: Falls sie gleich einem Abschnitt von ist Abzählbar unendlich: Falls eine Bijetion auf existiert Überabzählbar: Sonst Erweiterung auf durch Darstellung von Lösungen der Gleichung n + x = m als Paare (m,n) und Zusammenfassung zu Äquivalenzlassen. Ganze Zahlen Kommutativer Ring, Totalordnung, eine Wohlordnung, Nullteilerfrei Erweiterung auf durch Darstellung von Lösungen der Gleichung n x = m als Paare (m,n) und Zusammenfassung zu Äquivalenzlassen. Rationale Zahlen Körper, Totalordnung, Kleinster linear geordneter Körper, der enthält. und sind abzählbar. Beweis: 0,-1,1,-2,2 und Cantorsches Diagonalverfahren Reelle Zahlen Körper, aber nicht alle Potenzen sind Lösbar. Beweis: x 2 =2 nicht lösbar durch Widerspruchsbeweis Teilerfremdheit. Def. Beschränt Es existiert eine obere Schrane (alle Elemente der Menge sind leiner als diese) Def. Supremum Kleinste Obere Schrane. Eindeutig Beweis: Annahme, dass zwei => gleich Falls Supremum / Infimum in A werden sie Maximum und Minimum genannt.

3 3 Def. Ordnungsvollständigeit, Supremumseigenschaft Ein Körper heißt Ordnungsvollständig, wenn er die sog. Supremumseigenschaft besitzt, d.h. jede nichtleere nach oben beschränte Teilmenge ein Supremum besitzt. In jedem vollständig linear geordnetem Körper besitzt auch jede nach unten beschränte Teilmenge ein Infimum. Beweis: Spieglung an 0 nicht vollständig x 2 < 0 besitzt ein Supremum. Erweiterung von auf durch DEDEKINDsche Schnitte. Satz Die Menge die sich so ergibt, ist linear geordnet, besitzt die Supremumseigenschaft und ann ordnungsverträglich darin eingebettet werden. Beweis: ---lang--- Es gibt nur einen vollständig linear geordneten Körper, der enthält, genannt der Körper der reellen Zahlen. Ergänzt man um +, so ann die Körperstrutur nicht fortgesetzt werden. Satz (Archimedes) ist archimedisch angeordnet. Es gibt ein n mit n x > y. Beweis: y wäre sonst Supremum => Widerspruch Folgerungen: Es gibt 0 < 1/n < ε und n > y ist nicht beschränt. Satz ( liegt dicht in ) Zwischen wie reellen Zahlen liegt eine rationale Zahl. Beweis: Archimedes und Wohlordnung von N Satz (Existenz von Wurzeln) Es gibt für alle y: x n = y Beweis: x n < y bring Widerspruch zu Supremumseigenschaft, x n > y bringt Widerspruch zu Supremumseigenschaft Satz (Prinzip der Intervallschachtelung) Jede monoton Fallende Folge abgeschlossener Intervalle besitzt einen nichtleeren Durchschnitt. Beweis: Rechte Seite der Intervalle und Line Seite bilden Folge, die eine Obere Schrane bzw. Untere Schrane besitzt => Supremum Satz ( ist überabzählbar) Beweis: Reursive Folge von Intervallen => ein Element liegt drinnen, das ein x ist. Erweiterung auf damit alle x n = y lösbar sind. D.h. -1 = i 2 Komplexe Zahlen Keine lineare Ordnung. Division durch Multipliation mit onjugiert Komplexer. Arithmetische Vetorräume R n Salarprodut definiert mit Bilinearität, Symmetrie, Positive Definitheit Eulidische Norm mit Positive Definitheit, Homogenität, Dreiecsungleichung Beweis: Für 3: Schwarzsche Ungleichung

4 4 Topologie des R n Normierte Räume Ein reeller normierter Raum ist ein Vetorraum über R, auf dem eine Längenfuntion oder Norm gegeben ist mit den Eigenschaften: Positive Definitheit, Homogenität, Dreiecsungleichung. Umgeehrte Dreiecsungleichung. Beweis: y + y Def. Topologischer Grundbegriffe (є-umgebung, Umgebungssystem) Satz (Hausdorfsche Trennungseigenschaft) Zu je zwei verschiedenen Punten x, y eine normierten Raumes gibt es Umgebungen mit leerem Durchschnitt. Beweis: є = ½ x y und Annahme, dass z Element des Durchschnitts erzeugt Widerspruch Def. Offenheit, Abgeschlossenheit und X sind selbst offen und abgeschlossen. є-umgebungen sind offen. Offene Intervalle sind Offen. Vollugeln oder Abgeschlossene Intervalle sind abgeschlossen. (auch mit Unendlich). Satz Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Beweis: Jedes x ist in einer offenen Menge. Quantorentausch. 2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Beweis: Jedes x ist in allen offenen Mengen, Quantorentausch durch Ersetzung von є durch Minimum der є. Satz In R n liefern 1-Norm, eulid. Norm und Max-Norm dieselben Umgebungssysteme und damit dieselben offenen Mengen. Beweis: Beidseitige Inlusionen Folgerungen: Man ann in R n mit runden oder ecigen є-umgebungen rechnen. Def. Kompat, Beschränt Satz (Heine-Borel) Eine Teilmenge des R n ist genau dann ompat, wenn sie abgeschlossen und beschränt ist. Beweis: ompat => beschränt Kugeln um 0 bis Unendlich ompat => abgeschlossen x aus Menge und y aus Komplement, Hansdorfsche Trennungseigenschaft abgeschlossen => ompat Teilwürfel Puntfolgen im R n Def. Konvergenz Jeder Umgebung fast alle. => Konvergenzverhalten wird nicht verändert durch abändern endlich vieler Folgenglieder. Satz Jede onvergente Folge ist beschränt und ihr Grenzwert ist eindeutig bestimmt. Beweis: Maximum der endlich vielen Folgenglieder => Beschränt. Fast alle würden in Umgebungen um die beiden Grenzwerte liegen (Hansdorfsche-Trennungseigenschaft) Widerspruch => Eindeutig Satz Rechenregeln für onv. Puntfolgen Beweis: Geeignetes wählen von є

5 5 Satz Eine Puntfolge onv. genau dann gegen a, wenn jede Komponentenfolge gegen a onvergiert. Beweis: => Über Def. + Quantorentausch; <= Durch m gleich Maximum aller m. Satz (Sandwich-Theorem) Beweis: In jeder є-umgebung liegen fast alle. a [ x, y ] Satz (Konvergenzriterium für mon. Zahlenfolgen) Eine Monotone Zahlenfolge onv. genau dann, wen sie beschränt ist. Beweis: => nach Satz 2.2.2; <= monoton + beschränt: Supremum Def. Häufungspunt Jede onv. Folge hat genau einen HP ihren Limes. Def. Teilfolge Jede Teilfolge einer onv. Folge onvergiert und besitzt denselben Grenzwert. Satz (Bolzand-Weierstrass) 1. Jede beschränte Folge in R n besitzt mindestens einen HP. 2. Jeder HP einer Folge in R n ist Grenzwert einer onvergenten Teilfolge. Beweis: 1. Annahme es gibt einen HP. Offene Überdecung (in jeder nur endlich viele Folgenglieder), da ompat (Heine-Borel) endlich viele Mengen => Nur endlich viele Folgenglieder Widerspruch. 2. Reursiv definierte Teilfolge für den HP. є=1/n. Jeder Umgebung liegt ein Folgenglied. In gibt es einen größten und einen leinsten HP. Satz Ist (x ) eine beschränte Zahlenfolge, dann ex eindeutig der Limsup und Liminf. Def. Cauchyfolge Jede onv. Folge ist eine Cauchyfolge. Beweis: Cauchybetrag x + x Satz (Cauchy-Konvergenz Kriterium für Folgen) Eine Puntfolge in R n onvergiert genau dann, wenn sie Cauchyfolge ist. Beweis: => siehe oben <= Cauchyfolgen sind beschränt (wähle є > 1).Nach Bolzand-Weierstrass existiert ein HP und somit eine onvergente Teilfolge. є-kriterium für diese Folge + Cauchyriterium + x + x ergibt allgemeines є-kriterium l l Nicht in jedem normierten Raum onvergieren alle Cauchy-Folgen. z.b. die Folge, die e ergibt nicht in. Normierte Räume, in denen jede Cauchyfolge onvergiert, heißen vollständig oder BANACH-Räume. Insgesamt: n ordnungsvollständig (Supremumseigenschaft) => Heine-Borel => Bolzand-Weierstrass => n vollständig (es gilt das Cauchyriterium) Alle obigen Eigenschaften sind im Wesentlichen in archimedischen linear geordneten Körpern äquivalent. Def. Uneigentliche Konvergenz

6 6 Unendliche Reihen im R n / C Def. Unendliche Reihe, Summe Alle Sätze aus 2.2 lassen sich sinngemäß auf die Reihen (als spez. Folgen) übertragen. Satz (Notwendiges onv. Kriterium) Die Glieder einer onv. unendlichen Reihe im R n bilden eine Nullfolge. Hinreichendes div. Kriterium: Bilden sie eine Nullfolge, so ist die Reihe Divergent. Beweis: ( sl) s ( sl+ 1) s ( xl+ 1) = ( sl+ 1 sl) s s= 0 ( xl) 0 Satz (Cauchysche onv. Kriterium für Reihen) Bem: x onv. x onv. = 1 = p Rechenregeln für Reihen Klammersetzten Bei einer onvergenten Reihe erhält man durch Setzten einfacher Klammern eine neue Reihe, die wieder onvergiert mit derselben Summe. Weglassen von Klammern ann aber eine divergente Reihe erzeugen. Def. Alternierende Reihe Satz (Leibnizsche Regel) Eine altern. Reihe, bei der die Beträge der Glieder eine monotone Nullfolge bilden ist onvergent. Beweis: Umlammern => eine monoton steigende beschränte und eine monoton fallende beschränte, mit gleichem Grenzwert Zusatz: Fehlereinschätzung s sl x l + 1 Def. Absolut onv. Reihen Satz Absolut onvergente Reihen onvergieren Beweis: Cauchyriterium + Dreiecsungleichung Für Reihen in mit nichtnegativen Gliedern ist Konvergenz = absolute Konvergenz. Satz Eine Reihe in mit nichtnegativen Gliedern onvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge der Partialsummen beschränt ist. Beweis: Die Folge der Partialsummen ist monoton steigen und Satz Def. Majorante Minorante Satz (Majoranten-/Minorantenriterium) 1. Eine Reihe in mit einer onv. Majorante onvergiert (absolut) 2. Eine Reihe in mit einer diverg. Minorante divergiert Beweis: 1. Cauchyriterium ab da, wo Majorantenriterium nicht nur für fast alle sondern für alle gilt 2. Die x währen sonst eine Majorante von Minorante; Widerspruch Satz (Quotientenriterium) Beweis: Konvergenz: Vergleich mit Geometrische Reihe Divergenz: eine Nullfolge

7 7 Satz (Wurzelriterium) Beweis: Konvergenz: Vergleich mit Geometrische Reihe Divergenz: eine Nullfolge Warnung: es genügt nicht 1 für Konvergenz Folgerungen: Erleichterte Verwendung durch Verwendung von Limita Def. Unbedingte Konvergenz Satz (leiner Umordnungssatz) Jede absolut onv. Reihe ist unbedingt onvergent (und umgeehrt). Beweis: => Umordnung vergrößern, bis alle bei Cauchy benötigten Glieder dabei sind. Stetige Abbildungen Def. Stetigeit Satz (є б Kriterium für Stetigeit) Satz Komposition stetiger Abbildungen ist stetig. Beweis: Über Definition und geeignete Inlusionen Def. Folgenstetigeit Satz Eine Abbildung ist genau dann stetig, wenn sie in x 0 folgenstetig ist. Beweis: => falls f stetig folgt es durch Anwendung der Definitionen (<=) nichtstetig nicht folgenstetig (durch Anwendung der Definitionen) Satz (Alle gewöhnlichen Rechenoperationen sind Stetig) Satz Eine vetorwertige Abbildung ist genau dann stetig, wenn jede Komponentenfuntion stetig ist. Beweis: Nach Satz Def. Konvergiert bei Annäherung x x0 Dieser Grenzwert ist eindeutig. Rechenregeln für onv. Puntfolgen übertragen sich. Eigenschaften Stetiger Abbildungen Satz (Permanenzprinzip) Ist f in x 0 stetig mit f(x 0 )>0, dann gibt es eine ganze Umgebung U von x 0 mit f(x)>0. Beweis: Folgt diret aus Stetigeit Satz (Hauptsatz über stetige Abb. auf Kompata) Bei einer stetigen Abbildung ist das Bild einer Kompaten Menge K wieder ompat. Beweis: Offene Überdecung von f[x] wird durch Stetigeit zu offener Überdecung von K (Kompat) Satz (Satz von Maximum und Minimum) n Eine stetige Funtion f : K auf einer Kompaten Menge K ist beschränt und besitzt ein (globales) Maximum und Minimum. Beweis: Hauptsatz über stetige Abb. + Heine-Borell

8 8 Def. Gleichmäßige Stetigeit Satz (Satz über gleichmäßige Stetigeit) Eine stetige Abb. f auf einer nichtleeren Kompaten Menge ist dort auch gleichmäßig stetig. Beweis: Offene Überdecung von K mit Dreiecsungleichung Satz (Zwischenwertsatz / ZWS) Die Funtion f :[ a, b] sei stetig. Dann ex. zu jedem Wert c zwischen f(a) und f(b) ein x0 [ ab, ] f x0 = c. Beweis: Das Supremum der Menge aller Elemente leiner als c erfüllt die Eigenschaft. Da f(sup)<c und f(sup)>c mit dem Permananezpinzip einen Widerspruch zum Supremum gibt. mit ( ) Folgerung: (Nullstellensatz von Bolzand) Eine Funtion, die das Vorzeichen ändert besitzt mindestens eine Nullstelle. Folgerung: (Erhalt des Zusammenhangs) Ein Bild eines beliebigen Intervalls I einer Stetigen Funtion ist wieder ein Intervall. Insbesondere ist das Bild eines abgeschlossenen Intervalls wieder ein abgeschlossenes Intervall. Beweis: Anwendung des Zwischenwertsatzes auf alle Elemente des Intervalls. I ist ompat (Heine- Borell) damit ist das Bild nach auch ompat und damit abgeschlossen. Das Bild eines offenen Intervalls braucht nicht offen zu sein! Monotone Funtionen Bei einer stetigen und bijetiven Funtion ist die Umehrfuntion i.a. nicht stetig. Bei Bijetionen auf Intervallen ann das nicht passiern. Satz Eine stetige Funt auf einem Intervall ist genau dann injetiv, wenn sie streng monoton ist. Beweis: <= lar (=>) falls nicht monoton, so gibt es nach dem Zwischenwertsatz Elemente, die gleiche Bilder haben. nicht injetiv Satz f : I J sei auf dem Intervall stetig und bijetiv. Dann ist auch die Umehrfuntion f 1 : J I stetig. Beweis: Bilder Umgebungen von x = f y sind auch Umgebungen von y 0, die die Stetigeit und 1 0 ( 0) Monotonie (Bijetiv) von f ergeben die Stetigeit von f -1. Bijetionen bei denen f und f -1 stetig sind heißen Homöomorpismen. Funtionsfolgen Def. Funtionsfolgen onvergent / Grenzfuntion Def. Gleichmäßige Konvergenz Veranschaulichung in R: Die Graphen der Glieder f liegen für m ganz in einem ε -Streifen um die Grenzfuntion. Satz Jede glm. onv. Funtionenfolge/reihe onvergiert auch puntweise und zwar gegen die Grenzfuntion/Summe. Die Umehrung gilt i.a. nicht.

9 9 Satz Sei f stetig. Dann gilt: 1. ( f : D K) glm. onvergent => f = lim f (in x 0 ) stetig l 2. f glm onvergent => s= f = 1 (in x 0) stetig i= 1 Beweis: Aus Definitionen + Dreiecsungleichung. Folgerung (Vertauschung von Grenzwerten) Falls die Grenzwerte existieren gilt 1. limlim f ( x) = limlim f ( x ) 2. x x0 x x0 x x x0 x x0 = 1 = 1 lim f ( x) = lim f ( ) Beweis: Es existiert eine stetige Fortsetzung. Satz (Cauchyriterium für glm. Konvergenz) Beweis: => Wie bei Puntfolgen, Dreiecsungleichung <= Folgt logisch aus Cauchyriterium für Puntfolgen und lim f l (x) f(x) Satz (Majorantenriterium für glm. Konvergenz) Besitzt eine Funtionenreihe eine (gleichmäßig) onvergente Majorante, d.h. eine onv. Reihe in mit nichtnegativen Glieder c, für die gilt: f ( x) c für alle x D und fast alle, dann onvergiert f (absolut) und gleichmäßig. = 1 Beweis: Folgt aus dem Cauchyriterium und der Abschätzung mit c.