Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2017:
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- Ida Meinhardt
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1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung 017: Pflichtteil Wahlteil ufgabe W1a 10 Wahlteil ufgabe W1b 1 Wahlteil ufgabe Wa 14 Wahlteil ufgabe Wb 15 Wahlteil ufgabe W3a 18 Wahlteil ufgabe W3b 0 Wahlteil ufgabe W4a Wahlteil ufgabe W4b 4
2 ufgabe P1: ür den Umfang des reiecks gilt: u = + +, wobei = cm bereits angegeben ist ie Länge kann im reieck C mit der Kosinusfunktion berechnet werden, wenn man den Winkel kennt (siehe igur 1) ür den Winkel gilt laut ufgabenstellung =, wobei im reieck C mit der Kosinusfunktion berechnet werden kann (siehe igur ) ür die Länge gilt: = C C ie Länge C kann im reieck C mit der Tangensfunktion berechnet werden ie Länge C kann im reieck C mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden (siehe igur ) Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Lösungsansatz erkennen, sollten Sie zuerst im reieck C die Länge C und den Winkel berechnen us erhält man =, womit man dann im reieck C die Längen und C berechnen kann erechnung des Umfangs des reiecks : ür den Umfang des reiecks gilt: u = + + erechnung der Länge : ür gilt im reieck C (siehe igur 1): cos = ür den Winkel gilt laut ufgabenstellung = er Winkel kann im reieck C mit der Kosinusfunktion berechnet werden (siehe igur ) s gilt: igur 1 C cos 8,5 und damit = 57,0 C insetzen von = 57 in cos = ergibt: cos 57 = = cos 57 : cos 57 bzw = 10,65 cm igur erechnung der Länge : ür gilt: = C C ie Länge C kann im reieck C mit der Tangensfunktion berechnet werden (siehe igur 1) Mit = 57 gilt: C tan 57 = 8,93 = C bzw C = 8,93 cm ie Länge C kann im reieck C mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden (siehe igur ) s gilt: Mathematik-Verlag 017, wwwmatheverlagcom
3 C + = C + 33,64 = 43,56 33,64 C = 9,9 C = 3,15 cm Mit C = 8,93 cm und C = 3,15 cm folgt für = C C: = 5,78 cm Mit = 10,65 cm und = 5,78 cm erhält man schließlich: u = 10,65 cm + cm + 5,78 cm = 3,03 cm rgebnis: er Umfang des reiecks beträgt u = 3,03 cm ufgabe P: ür die Länge gilt: = ie Länge kann im reieck C mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe igur 1) ür die Länge gilt: = M (siehe igur ) ie Strecke M kann im reieck M berechnet werden, wenn man den Winkel bei Punkt kennt (siehe igur ) a dieser Winkel ein Stufenwinkel zu ε ist, beträgt er ebenfalls 7,0 Tipp: Wenn Sie überhaupt keinen Lösungsansatz erkennen, sollten Sie zuerst im reieck C alle Seitenlängen und den fehlenden Winkel berechnen ußerdem sollten Sie im gleichschenkligen reieck die Höhe auf die Grundseite einzeichnen eachten Sie auch, dass = C gilt, weil C ein Quadrat ist erechnung der Länge : ür die Länge gilt: = C erechnung der Länge : ür gilt im reieck C (siehe igur 1): sin = = sin erechnung der Länge : : sin bzw = 1,41 cm Zur erechnung der Länge muss man zuerst die Höhe h des gleichschenkligen reiecks einzeichnen und beachten, dass die Höhe h die Grundseite halbiert: M = 0,5 Im reieck M der igur gilt dann: cos 0,5 Mathematik-Verlag 017, wwwmatheverlagcom 3 igur 1 h igur M C
4 a der Winkel ein Wechselwinkel zu ε = ist, gilt: (Hinweis: kann auch mit 90 berechnet werden en Winkel erhält man aus der Summe der Innenwinkel in reieck C: 18 ) Mit folgt für cos cos = 0,5 0,5 : :0,5 7,9 = bzw = 7,9 cm ür die Länge = folgt mit = 1,41 cm und = 7,9 cm: = 1,41 cm 7,9 cm = 5,1 cm rgebnis: ie Länge der Strecke beträgt = 5,1 cm h igur 3 M C ufgabe P3: ie Oberfläche O zus des zusammengesetzten Körpers setzt sich aus dem Mantel der Pyramide und der Oberfläche des halben Zylinders zusammen (ohne die quadratische Kontaktfläche) s gilt also (siehe ormelsammlung): O zus = a h s + 1 (π r + π r h) = a h s + π r + π r h arin ist a die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche, h s ist die Höhe eines Seitendreiecks der Pyramide, r ist der Radius des Halbkreises des Halbzylinders und h ist die Höhe des Halbzylinders ür r und h gilt (siehe igur 1): r = 0,5a und h = a Zur erechnung der Oberfläche O zus des zusammengesetzten Körpers benötigt man also die Seitenlänge a und die Höhe h s iese beiden Größen können mit den angegebenen Größen h p = 16,0 cm und ε = 58,0 berechnet werden (siehe igur 1 und ) erechnung der Oberfläche O Zus des zusammengesetzten Körpers: ür die Oberfläche O zus des zusammengesetzten Körpers gilt: O zus = M Pyr + O HZyl ür die Mantelfläche M Pyr der Pyramide gilt (siehe ormelsammlung): M Pyr = a h s 1 ür die Oberfläche O HZyl des Halbzylinders gilt (siehe ormelsammlung): O HZyl = (π r + π r h) = π r + π r h amit ist O zus = a h s + π r + π r h Mit r = 0,5a und h = a erhält man: O zus = a h s + π (0,5a) + π (0,5a) a = a h s + π 0,5a + π 0,5a erechnung der Länge a: Im markierten reieck der igur 1 gilt mit h p = 16 und ε = 58 : 16 tan 58 = 0,5a : tan 58 0,5a a h p 0,5a r = 0,5a h p = 16,0 ε ε = 58 h = a 0,5a = 10,0 :0,5 a = 0,0 cm igur 1 Mathematik-Verlag 017, wwwmatheverlagcom 4
5 erechnung der Seitenhöhe h s : Im markierten reieck der igur gilt mit h p = 16 und ε = 58 : 16 sin 58 = h s : sin 58 h s h s = 18,87 cm h p h s h p = 16,0 ε = 58 ε a Mit a = 0,0 cm und h s = 18,87 cm folgt für O zus = a h s + π 0,5a + π 0,5a : O zus = 754,8 cm + 94,5 cm = 1697,3 cm igur rgebnis: ie Oberfläche des zusammengesetzten Körpers beträgt O zus = 1697,3 cm ufgabe P4: Überprüfung der ussage P(S = 6) > P(S = 9): ei folgenden reignissen ist die ugensumme S = 6: (1; 5), (; 4), (3; 3), (4; ), (5; 1) arin steht die erste Zahl für die ugenzahl des ersten Würfels und die zweite Zahl für die ugenzahl des zweiten Würfels ie reignisse, bei denen die ugensumme S = 9 ist, sind: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) a jede ugenzahl bei einem idealen Würfel die gleiche Wahrscheinlichkeit hat nämlich p = 6 1, hat jedes der obigen reignisse die Wahrscheinlichkeit Mit der Summenregel folgt: P(S = 6) = 5 13,9 % und P(S = 9) = 4 11,1 % ie ussage P(S = 6) > P(S = 9) ist also richtig ie Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf gewinnt: Nele gewinnt dann, wenn die ugensumme (S) ihres Wurfs größer als 8 ist; also bei S = 9; 10; 11 oder 1 ie Wahrscheinlichkeiten für diese ugensummen sind: P(S = 9) = 4 (siehe oben) P(S = 10) = P(4; 6) + P(5; 5) + P(6; 4) = 3 P(S = 11) = P(5; 6) + P(6; 5) = P(S = 1) = P(6; 6) = 1 Mit der Summenregel erhält man: P(Nele gewinnt) = P(S = 9) + P(S = 10) + P(S = 11) + P(S = 1) = = 7,8 % rgebnis: 10 ie Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt, beträgt 7,8 % Mathematik-Verlag 017, wwwmatheverlagcom 5
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Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus.
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