Tag der Mathematik 2018

Transkript

1 Mathematische Hürden Aufgaben mit

2 Mathematische Hürden H1 Aufgabe H1 Ein normales Buch wird zufällig aufgeschlagen. Das Produkt der beiden sichtbaren Seitenzahlen ist 156. Welche Seitenzahlen sind es? Für die gesuchten Seitenzahlen s und s + 1 gilt s(s + 1) = 156 und somit 0 = s + s 156 = (s 1)(s 13). Also sind 1 und 13 die gesuchten Seitenzahlen.

3 Mathematische Hürden H Aufgabe H Ein großer Würfel ist aus 7 kleineren, weißen Würfeln zusammengesetzt. Die Oberfläche des großen Würfels wird komplett blau gefärbt. Danach wird der Würfel in die kleineren Würfel zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf mit einem zufällig ausgewählten kleineren Würfel blau gewürfelt wird? Variante 1: Es gibt 8 Würfel mit drei blauen Seiten, 1 mit zwei, 6 mit einer und einen mit keiner blauen Seite. Die Wahrscheinlichkeit blau zu würfeln beträgt also: Variante : = 1 3 Die Anzahl der gefärbten Flächen ist 6 3 3, die Anzahl aller Flächen ist 7 6. Damit ist die Wahrscheinlichkeit blau zu würfeln = 1 3.

4 Mathematische Hürden H3 Aufgabe H3 Schreibe 018 als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen (die Summe muss aus mindestens zwei Summanden bestehen). Versuchen wir die Zahl 018 durch zwei Summanden auszudrücken, erhalten wir n + (n + 1) = n + 1 = : ist allerdings keine natürliche Zahl. Enthält die Summe drei Summanden, so müsste n + (n + 1) + (n + ) = 3n + 3 = 018 gelten. Wieder ist 015 : 3 keine natürliche Zahl. Für vier Summanden muss gelten: n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) = 4n + 6 = 018 Wir errechnen dann 01 : 4 = 503. Damit ist = 018 eine Darstellung als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen (übrigens auch die einzige).

5 Mathematische Hürden H4 Aufgabe H4 Für welches x R gilt = (3 3) x? Wir schreiben 3 1 } 31 {{ } = 3 x = 3 39/ und erhalten durch Vergleich der Exponenten x = 13.

6 Mathematische Hürden H5 Aufgabe H5 In drei Boxen mit jeweils zwei Schubladen sind drei Gold- (G) und Silbermünzen (S) wie folgt verteilt: G G S G S S Nun wird zufällig eine Schublade geöffnet. Diese enthält eine Silbermünze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der anderen Schublade derselben Box auch eine Silbermünze liegt? Sei B 1 die Box, die zwei S enthält und B die Box, die eine S enthält. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine S aus B 1 gezogen wurde ist /3, aus B 1/3. Wenn S aus B 1 gezogen wurde, enthält die andere Schublade der Box eine S. Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit /3.

7 Mathematische Hürden H6 Aufgabe H6 Welcher ganzen Zahl entspricht folgender Wurzelterm? ( ) Variante 1: Es ist ( ) ( = ) = ( + 6) ( 3) 4 3 = ( ) ( 3) = 4 = 4 Variante : Wir berechnen das Quadrat: ( r := 4 + ) ( = ) ( = 16 + ) 3 + = 16 3 Also gilt r = 4 für den ursprünglichen Ausdruck, denn dieser ist offensichtlich positiv.

8 Mathematische Hürden H7 Aufgabe H7 Für die Variablen x 1,..., x 018 ist das Gleichungssystem x 1 + x = 1 x + x 3 = x 3 + x 4 = 3. x x 018 = 017 gegeben. Bestimme den Wert von x 1 + x 018. Variante 1: Durch geschicktes Addieren und Subtrahieren der Gleichungen erhalten wir x 1 + x = 1 x + x 3 = + x 3 + x 4 = 3. x x 017 = x x 018 = 017 Variante : x 1 + x 018 = }{{}}{{}}{{} = 1008 ( 1) = Das Gleichungssystem ist bereits in Zeilenstufenform. Deshalb können wir die Gleichungen nach einer Variablen auflösen und von unten nach oben einsetzen: x 017 = 017 x 018 x 016 = 016 x 017 = x 018 x 015 = 015 x 016 = x 018 x 014 = 014 x 015 = x 018. x 1 = 1 x = x }{{}}{{}}{{} } 1 {{ 1 } = 1009 x 1 + x 018 = 1009

9 Mathematische Hürden H8 Aufgabe H8 Im Inneren eines Quadrats (Seitenlänge ) werden zufällig fünf Punkte ausgewählt und ihre Abstände berechnet. Zeige, dass mindestens zwei Punkte einen Abstand kleiner haben. Unterteilt man das Quadrat durch seine Mittellinien in vier kleinere Quadrate, so müssen mindestens zwei Punkte in einem dieser kleineren Quadrate liegen. Der maximale Abstand ist die Länge der Diagonalen, also

10 Mathematische Hürden H9 Aufgabe H9 Einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlänge 1 wird wie gezeigt ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben. Wie groß ist dessen Seitenlänge?? 1 Wir bezeichnen die gesuchte Seitenlänge mit x und ermitteln mittels Symmetriebetrachtungen und dem Satz des Pythagoras zunächst folgende Abmessungen: x x x 3 x 1 Die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks entspricht der halben Grundseite. Wir erhalten also die Beziehung 1 = x 3 x +. Aufgelöst liefert dies: x = 1 + 3