Aufgabenblatt 5 (Schnellübung)

Transkript

1 Frühlingssemester 0, Aufgabenblatt (Schnellübung) Aufgabenblatt (Schnellübung) 30 Punkte Aufgabe (Kettenbrüche) a) Bestimme [b 0, b,..., b ] = [,... ], die Kettenbruchentwicklung von r = 3/9. b) Bestimme eine möglichst gute Näherung p/q für r = 3/9 mit 00 > p, q N. c) Bestimme eine möglichst gute Näherung p/q für r = 3/9 mit 000 > p, q N. 9 a) Zuerst bestimmen wir ggt(3, 9) mit dem Euklidschen Algorithmus. Diese Rechnung benutzen wir nun, um = = = = = = in einen Kettenbruch zu entwickeln: 3 9 = = + = = = Jedes korrekte eingerahmte b k ergibt P. b) Wir machen eine Tabelle: k 0 b k 3 p k 0 4 q k Der gesuchte Näherungsbruch ist somit [, 3, ] = 4 = p q (P) (aber [, 3] = 4 3 = p q nur P) c) Wir machen wieder eine Tabelle: k b k 3 3 p k q k Der gesuchte Näherungsbruch ist also [, 3,, 3, ] = = p4 q 4 (P) ([, 3,, 3] = 9 = p 3 q 3 nur P) Aufgabe (Dezimaldarstellung) a) Bestimme die Länge der Vorperiode in der Dezimaldarstellung von x = 9/3.

2 Frühlingssemester 0, Aufgabenblatt (Schnellübung) b) Bestimme die Länge der Periode der Dezimaldarstellung von x = 9/3. Hinweis: 0 3 = = = 0 3 ((((((0 ) ) ) ) ) ). (Also fortlaufend quadrieren und modulo rechnen.) c) Wie lautet die 099. Nachkommastelle in der Dezimaldarstellung von x = 9/3? 7 Wir verwenden den Satz auf Seite 3. In unserem Fall ist p = 9 und q = 3. Dass ggt(9, 3) = gilt, wissen wir schon aus Aufgabe. a) a) Wir schreiben q als Produkt q q, wobei q teilerfremd zu 0 sein soll. Es gilt 3 = 63, d.h. q = und q = 63. Gesucht ist nun die kleinste 0er Potenz, die ein Vielfaches von ist. Da 0 =, haben wir r =. Unser Bruch hat also eine Vorperiode der Länge. (P) b) Die Länge der Periode ist nach dem Satz die kleinste natürliche Zahl n, so dass gilt q 0 n. Wegen q 0 n k Z mit k q = 0 n k Z mit 0 n = k q + ist die kleinste natürliche Zahl n gesucht, so dass 0 n mod q. Das heisst, wir müssen die Ordnung von 0 in Z 63 bestimmen. Da 63 eine Primzahl ist, gilt φ(63) = Z 63 = 6. Ausserdem muss die Ordnung von 0 in Z 63 die Zahl φ(63) = 6 = 3 teilen. Die Teiler von 6 sind T(6) = {,, 3, 6}. Da 0 00 mod 63 / mod 63, müssen wir nur überprüfen, ob 0 3 mod 63 gilt. (P) Dazu verwenden wir den Hinweis. Es gilt (jede richtig gerechnete Zeile /P): 0 3 = 000 mod 63, mod 63, = 36 mod 63, mod 63, mod 63, mod 63, mod 63, und schliesslich / mod 63. Also ist n = 6 (Periodenlänge maximal). (/P) c) Falls wir ein k > n + r haben, gilt Da 099 = , gilt somit Und da ist b 099 = b 3 =. (P) b k n = b k. b 099 = b n = b ,

3 Frühlingssemester 0, Aufgabenblatt (Schnellübung) Aufgabe 3 (ganzzahlige en) a) Bestimme alle ganzzahligen en (x, y, z) Z 3 der Gleichung 0x + 0y + 0z = 00. Gib die en in der Form x p + m k + n k mit ganzzahliger partikulärer x p = (x p, y p, z p ), mit ganzzahligen, vorwärts abgestuften Vektoren k und k des Kerns (und mit Parametern m, n Z). 3 b) Ein Franken kann auf 0 verschiedene Arten in 0, 0, und 0 Rappenstücke gewechselt werden. Bestimme die entsprechenden 0 Parameterpaare (m, n) in der der Aufgabe 3 a). c) Weshalb ist k = (,, 0), k = (0,, ) keine zulässige vorwärts abgestufte Basis des Kernes in 3 a) für die Darstellung aller ganzzahliger en? 9 a) Wegen ggt(0, 0, 0) = 0 und 0 00 haben wir unendlich viele en. Wir können die Gleichung vereinfachen: x + y + z = 0 Eine ganzzahlige Partikulärlösung x p = (0, 0, 0), können wir direkt ablesen. Die ganzzahligen, vorwärts abgestuften Vektoren k und k können wir bestimmen, indem wir zwei Vektoren der Form finden, welche die homogene Gleichung k = (ggt(, ),?,?) = (,?,?) k = (0,?,?) (P) x + y + z = 0 () erfüllen. Wir bestimmen zuerst die drei en von (), wo eine der Koordinaten = 0 ist. Diese können direkt abgelesen werden: l x = (0,, ) l y = (, 0, ) l z = (,, 0) Somit haben wir k schon gefunden, nämlich k = l x = (0,, ). Um k zu bestimmen, schreiben wir = ggt(, ) als Linearkombination von und, also (P) = ggt(, ) =. Somit haben wir k = (, 0, ) (,, 0) = (,, ). Die ganzzahlige smenge der Gleichung ist also (P) L = {(0, 0, 0) + m (,, ) + n (0,, ) m, n Z}. b) Wir bezeichnen mit x, y, z die Anzahl der 0-, 0- bzw. 0-Rappenstücke. Ein Franken kann auf die folgenden 0 Arten in 0-, 0- und 0-Rappenstücke gewechselt werden : x y z x y z

4 Frühlingssemester 0, Aufgabenblatt (Schnellübung) Nun müssen wir jedem Tripel (x, y, z) ein Parameterpaar (m, n) zuordnen, so dass die Gleichung (0, 0, 0) + m (,, ) + n (0,, ) = (x, y, z) erfüllt ist. Das heisst, wir müssen das Gleichungssystem 0 + m = x m + n = y () m n = z (3) lösen. Aus der ersten Gleichung folgt m = x 0. Wenn wir die Gleichungen () und (3) addieren, erhalten wir m + 3n = y + z. Auflösen dieser Gleichung nach n liefert Somit haben wir folgende Zuordnung: n = y + z m. 3 x y z m n (/P pro korrekte Zuordnung) Bei anderer Wahl von x p etc. sind (m, n) natürlich verschieden. (Teilpunkte, wenn a) nur z.t. richtig) c) Für die erste Komponente von k muss x =ggt(0, 0)/ggT(0, 0, 0) = gelten (siehe Skript S.37) (P) Mit der Wahl k = (,, 0) und k = (0,, ) können nur en (x, y, z) mit nur einer Parität von x dargestellt werden. Wenn wir wie in Teil a) x p = (0, 0, 0) wählen, können wir z.b. dem Tripel (x, y, z) = (,, ) kein Zahlenpaar (m, n) mit m, n Z zuordnen, denn m = 0 Z. Aufgabe 4 (Näherungslösungen) In der vollständigen Liste auf S.4 im Skript entspricht das Zahlenpaar (x, z ) = (, 7) mit x z = + der Näherungslösung a +(a+) = 3 +4 = = c für ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen, da z = a + b = a + = 7. In diesem Dreieck ist die Kathete b = a + = 4 um 33.3% länger als die Kathete a = 3. a) Welchen Kathetenlängen a und b = a + enspricht das nächste Zahlenpaar (x 4, z 4 ) in dieser Liste, das ein solches näherungsweise gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen liefert? Um wieviel % ist b länger als a? b) Gib ganzzahlige Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks (mit lauter ganzzahligen Seiten), die sich um weniger als % unterscheiden. 3 4

5 Frühlingssemester 0, Aufgabenblatt (Schnellübung) a) Aus der vollständigen Liste auf S.4 im Skript entnehmen wir x 4 = x 3 + z 3 = + 7 = 9 z 4 = x 3 + z 3 = + 7 = 4 (Achtung: Druckfehler im Skript bei Rekursionsformel z n+ =... ). Weiter wissen wir, dass z 4 = a + b = a + = 4 und somit entspricht das Zahlenpaar (9, 4) den Kathetenlängen a = 4 = 0 b = a + =. b ist um länger als a. Da die Kathetenlänge a 00% entspricht, ist b um (P) 00 0 = % (P) länger als b. b) Nach Skript S.4 entspricht jedes zweite Zahlenpaar der vollständigen Liste einer Näherungslösung a + (a + ) = c für ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. Wir berechnen zuerst die nächsten beiden Zahlenpaare, nämlich (x, z ) und (x 6, z ). Es gilt (x, z ) = (x 4 + z 4, x 4 + z 4 ) = (9 + 4, 9 + 4) = (70, 99) und (x 6, z 6 ) = (x + z, x + z ) = ( , ) = (69, 39). Wegen z 6 = a + = 39, b = a + und c = x 6 sind die Seitenlängen also (P) (P) a = 39 = 9, b = 0, c = 69. b ist um % < % länger als a. Also haben wir die gesuchten ganzzahligen Katheten gefunden, 9 nämlich a = 9, b = 0. (P)