Musterlösung Zahlentheorie Frühlingssemester 2015, Aufgabenblatt 1

Transkript

1 Aufgabenblatt 1 40 Punte Aufgabe 1 (Teilermengen) Seien a = 128 und b = 129. a) Beschreiben Sie die Teilermengen T(a) und T(b) in aufzählender Form. 2 b) Seien p, q zwei verschiedene Primzahlen. (i) Wie sieht die Teilermenge von p und q aus? 1 (ii) Wie sieht die Teilermenge von p q aus? 1 (iii) Wie sieht die Teilermenge von p m q n aus, für n, m N? 1 a) Wir haben T(a) = T(128) = T(2 7 ) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128} T(b) = T(129) = T(3 43) = {1, 3, 43, 129} b) (i) Die Teiler von p sind {1, p} jene von q sind {1, q}. (ii) Somit sind die Teiler von p q also {1, p, q, p q}. (iii) Die Teiler von p m p n sind also gerade {p i q j i {0,..., m}, j {0,..., n}} Aufgabe 2 (Eulidischer Algorithmus) Laut dem Satz auf Seite im Sript ist die leinste positive Zahl, die wir als Linearombination von a und b schreiben önnen gerade der ggt der beiden Zahlen. Das heisst, wir finden immer Zahlen n, m Z, so dass gilt m a + n b = ggt(a, b) Bestimmen Sie nun solche n, m für die Zahlenpaare mit dem Erweiterten Eulidischen Algorithmus a) a =, b = 8 2 b) a = 24, b = 34 2 c) a = 0, b = 1 1 a) Zuerst machen wir die schrittweise die Division mit Rest, bis wir auf den Rest 0 ommen. Anschliessend önnen wir vom zweitletzen Rest (= ggt) zurücrechnen, und erhalten so die gesuchten Zahlen. = (4) 8 = (3) = (2) 3 = (1) 2 =

2 Somit gilt also ggt(, 8) = 1. Wir lösen nun die Gleichungen (1) (3) nach dem Rest auf, und erhalten 8 1 = 3 (3 ) 1 3 = 2 (2 ) = 1 (1 ) Nun setzen wir (2 ) in (1 ) ein, und erhalten 1 = 3 1 ( 1 3) = = Hier önnen wir nun noch (3 ) einsetzen, und erhalten so 1 = 2 (8 1 ) 1 = = Das heisst, die Zahlen m = 3, n = 2 erfüllen m + 8 n = 1 = ggt(, 8) b) Mit dem selben Vorgehen wie oben 24 = = = Somit ist ggt(24, 34) = 2. Durch zurücrechnen erhalten wir also 2 = = 34 2 ( ) = = Somit sind zum Beispiel die Zahlen m = 2, n = 1 so dass m 24 + b 34 = 2 c) Jede natürliche Zahl ist ein Teiler von 0. Der grösste gemeinsame Teiler von 0 und einer anderen natürlichen Zahl ist somit die andere Zahl selber. Also ggt(0, 1) = 1. Mögliche Zahlen m, n sind zum Beispiel also m = 1, n = 1. Aufgabe 3 (Ganzzahlige von Gleichungen) Bestimmen Sie alle ganzzahligen spaare (m, n) der Gleichung m 24 + n 1 = 27 Als erstes müssen wir überprüfen, dass 27 ein Vielfaches von ggt(2, 1) ist. Da der ggt(2, 1) = 3 ist und 27 = 3 3 ist dies der Fall. Die Gleichung hat somit ganzzahlige en. Nun lösen wir die Homogene Gleichung m 24 + n 1 = 0 Diese önnen wir noch mit ggt(24, 1) = 3 ürzen, und erhalten m 8 + n = 0 Die ganzzahligen en davon önnen wir somit diret ablesen als {(, 8) t t Z} 2

3 Als letztes brauchen wir noch eine Partiulärlösung. Das heisst eine onrete der gleichung m 24 + n 1 = 27 Hier haben wir mehrere Möglicheiten eine zu finden Eventuell sehen wir diret eine; leider nicht der Fall hier. Eventuell önnen wir eine leicht ausrechnen; 27 ist ein Vielfaches von 24 oder 1 alleine, deswegen ommen wir hier auhc nicht weiter. Notfalls verwenden wir den eulidischen Algorithmus Wir finden ja immer Zahlen m, n so dass gilt m 24 + n 1 = ggt(24, 1) = 3. Da wir ja anfangs überprüft hatten, dass 27 ein Vielfaches von ggt(24, 1) = 3 ist önnen wir also, wenn wir so ein spaar gefunden haben, dieses mit 9 multiplizieren, und erhalten so (9 m) 24 + (9 n) 1 = 9 ggt(24, 1) = 27. also eine der Ursprünglichen Gleichung. Wir müssen also nur urz die Zahlen m, n bestimmen: Somit gilt 24 = = = = = = 9 1 (1 1 9) = = 2 (24 1 1) 1 1 = Das heisst m = 2 und n = 3 ist so ein Zahlenpaar. Somit löst (18, 27) die ursprüngliche Gleichung. Als letztes müssen wir die Resultate noch zusammensetzen L = {(18, 27) + (, 8) t t Z} Falls man will ann man die (18, 27) noch etwas verschönern, in dem wir (, 8) 3 davon abziehen, so erhalten wir (3, 3), und wir schreiben die smenge als L = {(3, 3) + (, 8) t t Z} Aufgabe 4 (ggt dreier Zahlen) Analog wie zum ggt von zwei Zahlen, önnen wir den ggt auch für drei (und mehr) Zahlen definieren: ggt(a, b, c) = max (T(a) T(b) T(c)) Es gilt wieder, dass diese Zahl die leinste positive Linearombination der drei Zahlen darstellt. Berechnen Sie nun a) ggt(11, 1, 36) 2 b) und Zahlen m, n, o so dass gilt m 11 + n 1 + o 36 = ggt(11, 1, 36). 3 Verwenden Sie dazu, dass gilt ggt(a, b, c) = ggt(a, ggt(b, c)) = ggt(ggt(a, b), c) = ggt(ggt(a, c), b) 3

4 Wir verwenden dass ggt(11, 1, 36) = ggt(ggt(11, 1), 36) ist. Das heisst, wir rechnen zuerst den grössten gemeinsamen Teiler von 11 und 1 aus. Somit gilt ggt(11, 1) = und weiter 11 = = = = = 1 1 (11 7 1) = Nun müssen wir noch den grössten gemeinsamen Teiler von und 36 ausrechnen. 36 = = Somit ist Somit gilt auch ggt(, 36) = 1 = ggt(11, 1, 36) = ggt(, 36) = 1 = = ( ) = a) Also ggt(11, 1, 36) = 1 und b) zum Beispiel m = 7, n = 6, o = 1. Aufgabe (Anzahl der Teiler einer Zahl I) In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass die Zahl n N mit der Primfatorzerlegung gerade (r 1 + 1) (r 2 + 1) (r + 1) Teiler hat. p r 1 1 pr 2 2 pr a) Für welche Zahlen ist die Anzahl der Teiler 2? 1 b) Für welche Zahlen ist die Anzahl der Teiler prim? 2 c) Für welche Zahlen ist die Anzahl der Teiler ungerade? 2 Beweisen Sie ihre Behauptung. Wir stellen fest: Kommt eine Primzahl p in der Primfatorenzerlegung mit Potenz p r vor, dann trägt sie den Fator (r + 1) 2 zur Anzahl der Teiler bei. a) Mit der Vorüberlegung von oben wissen wir, dass somit nur genau eine Primzahl in der Primzahlzerlegung auftauchen darf, und diese sogar nur mit Potenz 1. Das heisst, alle Zahlen der Form n = p 1 = p für eine Primzahl p haben genau 2 Teiler. b) Die Fatoren (r i + 1) der Anzahl der Teiler sind ja jeweils 2. Insbesondere darf also hier auch wieder nur exat eine Primzahl in der Primfatorzerlegung auftauchen. Wir haben also n = p r für ein r, so dass gilt r + 1 ist Prim. Oder anders, alle Zahlen der Form n = p q 1 mit p, q Primzahlen haben eine Primzahl Anzahl Teiler c) Ein Produt von Zahlen ist genau dann ungerade, wenn alle Fatoren ungerade sind. Das heisst, jeder der einzelnen Fatoren (r i + 1) musst Ungerade sein. Das heisst aber, dass jedes der vorommenden r i gerade sein muss. Das heisst wir önenn schreiben r i = 2 s i für eine natürliche Zahl s i. 4

5 Das heisst, wir suchen Zahlen der Form n = p r 1 1 pr = p 2 s 1 1 p 2 s = (p s 1 1 )2 (p s ) 2 = (p s 1 1 ps ) 2 (mit den Potenzgesetzen x ab = (x a ) b und x a y a = (xy) a ). Das heisst, das sind gerade Quadratzahlen. Aufgabe 6 (Anzahl der Teiler einer Zahl II) Welche Zahlen in {1,..., 00} haben 18 Teiler? Wir suchen also Zahlen n = p r1 1 pr die einerseits in {1,..., 00} liegen, und andererseits auch genau 18 Teiler haben. Wir wissen, dass die obige Zahl gerade (r 1 + 1) (r + 1) Teiler hat. Dies soll nun 18 sein. Wir müssen uns also fragen, wie önnen wir 18 aufteilen in ein solches Produt, wo alle Fatoren 2 sind? Es gilt: 18 = 2 9 = 3 6 = Das heisst, wir haben vier Fälle: I: 18, Zahlen der Form n = p 17, p Primzahl II: 2 9, Zahlen der Form n = p q 8, p, q verschiedene Primzahlen III: 3 6, Zahlen der Form n = p 2 q, p, q verschiedene Primzahlen IV: 2 3 3, Zahlen der Form n = p q 2 r 2 mit p, q, r paarweise verschiedene Primzahlen. Wir önnen nun die vier Fälle separat abarbeiten und schauen welche Zahlen der jeweiligen Form im Intervall {1,..., 00} liegen. I: 2 17 = > 00. Das heisst die leinste solche Zahl ist schon grösser als 00. Dieser Fall liefert uns also eine en. II: Als erstes stellen wir fest, dass 2 8 = 26 und 00/26 < 3 ist. Das heisst, auch hier finden wir eine en. III: Wir schauen uns zuerst, was wir für q einsetzen önnen. Da = 312 > 00 muss q entweder 2 oder 3 sein. q = 2, 2 = 32, 00/32 < 16 Das heisst wir suchen noch alle von 2 verschiedenen Primzahlen p mit, p 2 1. Somit p {3}. Das heisst, wir haben hier nur die q = 3, 3 = 243, 00/243 < 3 < 4 = 2 2. Dieser Fall liefert uns also eine en = 288 IV: Es bleibt also noch die Zahlen mit Primfatorzerlegung n = pq 2 r 2 zu untersuchen. Da pq 2 r 2 = pr 2 q 2 önnen wir voraussetzen, dass q < r gilt. Wir überlegen uns zuerste, welche solchen Primzahlenpaare q, r möglich sind. 2, 3: dann muss p 00/36 < 14 sein. Somit p {, 7, 11, 13} Das heisst, wir haben die en {180, 22, 396, 468} 2, : dann muss p 00/100 = sein. Somit p = 3. Das heisst, wir haben die = 300

6 2, 7: dann muss p 00/196 < 3 sein. Somit finden wir ein p. Wir önnen also insbesondere für r 7 eine weiteren en mehr finden. 3, : dann muss p 00/22 < 3 sein. Das heisst, die einzig mögliche hier ist p = 2. Und somit = 40 Weiter sehen wir dass es ein weiteres Paar r, q mehr mit en geben ann. Somit sind wir fertig. Wir tragen alle sieben en zusammen, und erhalten so {288, 180, 22, 396, 468, 300, 40} Oder nach der Grösse sortiert {180, 22, 288, 300, 396, 40, 468} Aufgabe 7 (Restlassen & 9-er Regel) a) Stellen Sie Additions- und Multipliationstabelle für Z 9 auf. 2 b) Was ist der Zusammenhang zwischen der Quersumme einer Zahl und ihrem Repräsentanten in Z 9? 2 c) Wir wissen, dass gilt a + b = a + b und a b = a b Erlären Sie damit die 9-er Regel 1 1 a) Die Tabellen sind b) Eine Zahl im Zehnersystem hat die Darstellung n = a i 10 i wobei die Ziffern a i {0,..., 9} sind. Zum Beispiel ist 123 = = Die 9-er Regel besagt, dass man bei einer Rechnung die Quersumme ansehen ann, um zu überprüfe ob man sich eventuell verrechnet hat. 6

7 Schauen wir uns nun an, was passiert wenn wir die Zahl n modulo 9 betrachten: n = a i 10 i = a i 10 i = a i 10 i = a i 10 i = a i 1 i = a i 1 i = a i 1 a i = a i = Wir sehen also, dass die Zahl n den gleichen Rest modulo 9 hat, wie ihre Quersumme. Insbesondere hat sie den selben Rest, wie ihre iterierte Quersumme (das heisst, wenn wir die Quersumme so lange weiter machen, bis die Zahl < 10 wird). Das heisst die iterierte Quersumme einer Zahl n ist gerade ihr Repräsentant in Z 9. c) Wir önnen überprüfen, ob eine Rechnung nicht stimmt in dem wir sie Modulo 9, das heisst mit den Quersummen der Zahlen nachrechnen. Zum Beispiel sehen wir sofort, dass = 1119 nicht stimmen ann, denn 123 = 6, somit = 6 6 = 0 8 = Aber, wir sehen nicht, dass ebenfalls falsch ist (es müsste 1129 sein). Modulo 9 stimmt die Gleichung. Sie ist aber falsch = 1219 Mere: Mit der 9er Probe erennt man nicht wenn man sich um ein Vielfaches von 9 verrechnet hat! Aufgabe 8 (Vollommene Zahlen) Eine Zahl n heisst vollommen, wenn die Summe ihrer echten Teiler gerade n ist die echten Teiler von n sind T(n) {n}. Zeigen Sie: Ist p = 2 1 eine Primzahl, so ist n = 2 1 p vollommen. Wir benutzen Aufgabe 1; die Teiler von 2 1 p sind gerade die Zahlen {2 m p s m {0,..., 1}, s {0, 1}} 7

8 In aufzählender Schreibweise sind das also gerade die Zahlen {2 0, 2 1,..., 2 1, 2 0 p, 2 1 p,..., 2 1 p} Die echten Teiler sind alle bis auf die letzte, also müssen wir das folgende zusammenzählen: S = p p p S = p p p = ( ) p p auslammern = (2 1) + (2 1 1) p 2x Geom. Reihe = p + (2 1 1) p Definition von p = ( ) p p auslammern = 2 1 p Das heisst die Summer der echten Teiler von n = 2 1 p ist in der Tat wieder n selber. Und n somit vollommen. 8