Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden? Eine Antwort durch Modulo- Rechnen

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1 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Zahlentheorie I Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden? Modulo-Rechnen XI XII I X II IX III VIII IV Zahlentheorie I VII VI V Die Mathematik ist die Königin der Wissensch Königin der Mathematik. (Carl Friedrich Gauß, 1 Wieviel Uhr ist es in hundert Stunden? Eine Antwort durch Modulo- Rechnen Problem 1. Um 14 Uhr sollte der Zug abfahren. Lei Verspätung. Wie viel Uhr wird es sein, wenn der Z Thema vom 16. November Einsenden der Lösungen bis 1 Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, Re Königin der Mathematik. (Carl Friedrich Gauß, ) schueler.zirkel@mathem Problem 1. Um 14 Uhr sollte der Zug abfahren. Leider hat der Zug hundert Stunden Verspätung. Wie viel Uhr wird es sein, wenn der Zug kommt? Auf diesem Themenblatt beschäftigen wir uns mit Zahlentheorie (früher auch Arithmetik genannt). Das ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich dem Studium der ganzen Zahlen widmet. In späteren Themenblättern (Zahlentheorie II, Zahlentheorie III,... ) werden wir weitere Themen aus dieser Theorie behandeln. Thema vom 16. November Einsenden der Lösungen bis 18. Januar Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, Regensburg schueler.zirkel@mathematik.uni-regensburg.de

2 1 Modulo-Rechnen Wir rechnen im Alltag ständig modulo, hier zwei Beispiele: 1. Wochentage: Wenn heute Sonntag ist, welchen Wochentag werden wir in 22 Tagen haben? Da sich der Wochentag nach sieben Tagen wiederholt, haben wir nach = 21 Tagen wieder Sonntag. Deswegen ist nach 22 Tagen Montag. Aus der Sicht eines Mathematikers wurde modulo 7 gerechnet. 2. Minuten: Klaras Bus fährt immer zur vollen Stunde direkt vor ihrer Haustür. Im Momemt ist es Viertel nach. Wie lange wird sie auf ihren Bus warten müssen, wenn sie zuerst noch eine DVD anschaut, die 202 Minuten dauert? Nach = 180 Minuten ist es wieder Viertel nach. Wegen 202 = ist es nach dem Anschauen der DVD = 37 Minuten nach voller Stunde. Klara muss also = 23 Minuten auf den Bus warten. Hier wurde modulo 60 gerechnet. Hinter solchen alltäglichen Rechnungen steckt ein mathematisches Konzept. Ordnen wir im ersten Beispiel den Wochentagen Sonntag, Montag, Dienstag,..., Samstag die Zahlen 0, 1, 2,..., 6 zu, so entspricht der gesuchte Wochentag gerade der Zahl, die als Rest beim Teilen von 22 durch 7 übrig bleibt. Da 22 beim Teilen durch 7 den Rest 1 hat, ist der gesuchte Wochentag also Montag. Wir sagen, 22 ist gleich 1 modulo 7, und schreiben dafür 22 1 (mod 7). Allgemeiner sind zwei Zahlen gleich modulo 7, wenn Sie bei der Division durch 7 den gleichen Rest lassen. Z.B. ist (mod 7), denn beiden Zahlen lassen den Rest 1. Eine Möglichkeit zu testen, ob zwei Zahlen gleich sind modulo 7, ist zu überprüfen, ob ihre Differenz durch 7 teilbar ist. Beispiel (mod 7), da 22 8 = 14 durch 7 teilbar ist, oder weil 22 und 8 bei der Division durch 7 beide den Rest 1 lassen. 7 0 (mod 7), weil 7 0 = 7 durch 7 teilbar ist (mod 7), denn = 14 ist durch 7 teilbar. 6 8 (mod 7), weil ( 6) 8 = 14 durch 7 teilbar ist (mod 7), weil 9 17 = 8 nicht durch 7 teilbar ist. Wir können 7 durch beliebige positive natürliche Zahlen austauschen: Beispiel (mod 12), denn 1 ( 23) = 24 ist durch 12 teilbar. 2

3 13 10 (mod 3), da = 3 durch 3 teilbar ist oder weil 13 und 10 bei der Division durch 3 beide den Rest 1 lassen (mod 4), denn bei Division durch 4 lässt 4 den Rest 0 und 13 lässt den Rest 1. x x (mod 2) für jede ganze Zahl x, weil sich x ( x) = 2x durch 2 teilen lässt. Für jede positive ganze Zahl a gilt entweder a 0 (mod 2) oder a 1 (mod 2). Das ist so, weil man bei Division durch 2 immer nur 0 oder 1 erhalten kann (überlege dir das!). Ebenso gilt entweder a 0 (mod 3) oder a 1 (mod 3) oder a 2 (mod 3). Welche Möglichkeiten gibt es bei modulo 5, modulo 6,...? Wenn a = b für zwei ganze Zahlen a und b gilt, dann ist a b (mod 60). Lasst uns mit der Modulo-Technik nochmal Klaras Wartezeit zum Bus nachrechnen. Da der Bus alle 60 Minuten fährt, rechnen wir modulo 60. Die gesuchte Zahl ist die Wartezeit, welche wir mit x bezeichnen. Die Wartezeit ist die Zeit bis zur vollen Stunde, also x 0 (mod 60), d. h x 0 (mod 60). Umstellen liefert x = 23 (mod 60). Dabei haben wir beim Umformen die Zahl 240 hinzuaddiert, was ja beim Rechnen modulo 60 nichts verändert, da 240 durch 60 teilbar ist, oder in modulo-sprache: da (mod 60). Außerdem haben wir bei der Lösung die modulo-gleichung einfach nach x aufgelöst, aber dürfen wir das? Schauen wir genauer: Was passiert beim Auflösen nach x? Auf beiden Seiten der Gleichung wird die Zahl 217 abgezogen! Und das ist erlaubt, denn wenn die Zahlen a und b den selben Rest bei Division durch 60 haben, dann haben auch die Zahlen a 217 und b 217 densleben Rest bei Division durch 60. Genauso dürfen wir natürlich jede andere ganze Zahl auf beiden Seiten einer modulo-gleichung subtrahieren oder addieren. Wir können diese Tatsache sogar allgemeiner machen und nennen das dann einen mathematischen Satz: Satz 1. Sind a, b, c, d ganze Zahlen mit a b (mod 60) und c d (mod 60), so gelten die folgenden Eigenschaften: (A) a + c b + d (mod 60) (M) ac bd (mod 60) 3

4 Beweis. (A) Wegen a b (mod 60) und c d (mod 60) wissen wir, dass a b und c d durch 60 teilbar sind. Wir müssen zeigen, dass a + c b + d (mod 60) gilt. Dafür müssen wir überprüfen, ob die Differenz durch 60 teilbar ist. Also: (a + c) (b + d) = a + c b d = (a b) + (c d) ist durch 60 teilbar, weil a b und c d durch 60 teilbar sind. Wir mussten nur die Reihenfolge der Variablen verändern! (M) Wir testen wieder mit der Differenz: ac bd = ac bc+bc bd = (a b)c+b(c d) ist ebenfalls durch 60 teilbar, da auch alle Vielfachen von a b und c d durch 60 teilbar sind. Hier haben wir einen kleinen Trick bei der Umformung benutzt: Wir haben den Term bc + bc eingefügt, damit wir danach ausklammern konnten. Dieselbe Überlegung funktioniert natürlich auch mit jeder anderen positiven ganzen Zahl anstelle von 60. Wir dürfen also mit modulo-gleichungen auf beiden Seiten Additionen und Multiplikationen durchführen, wie wir es bei den normalen Gleichungen gewohnt sind! Beispiel 3. Wegen 10 2 (mod 8) gilt (mod 8) (nach Eigenschaft (M)) und (mod 8). Damit haben wir (mod 8) (nach Eigenschaft (A)). Addieren wir auf beiden Seiten 3 (wieder Eigenschaft (A)), so erhalten wir (mod 8). Zusammen können wir berechen: (mod 8). Um dem Rest von 123 bei Division durch 8 zu bestimmen, hat es also gereicht, die Reste von 10 und 11 zu kennen. Mit ähnlichen Tricks kann man auch den Rest sehr großer Zahlen ermitteln, siehe Beispiel 5 und Aufgabe 3. 2 Beispielaufgaben Beispiel 4. Zeige, dass 9 n 2 n für jede positive ganze Zahl n durch 7 teilbar ist. Lösung. Es ist 9 2 (mod 7). Mit Eigenschaft (M) folgt (mod 7). Wiederholtes Anwenden von (M) liefert {{ n-mal = {{ n-mal (mod 7). Nun addieren wir auf beiden Seiten 2 n und bekommen 9 n 2 n 2 n 2 n 0 (mod 7). Beispiel 5. Welchen Rest lässt bei der Division durch 5? 4

5 Lösung. Durch mehrfaches Anwenden der Regel (M) auf die Gleichung (mod 5) erhalten wir (mod 5). Wir schreiben 2 37 aus: 2 37 = 2 2 {{... 2 = ( ) ( )... ( ) 2 {{ 37-mal 9-mal = {{ = mal Wegen 16 1 (mod 5) gilt nach Eigenschaft (M) (mod 5). Zusammen erhalten wir (mod 5). Also ist 2 der Rest von bei Division durch 5. Beispiel 6. Zeige, dass es keine ganze Zahl x gibt, die die Gleichung x 3 4x + 2 = 0 löst. Lösung. Hier wenden wir die Technik des Widerspruchsbeweises an (auch indirekter Beweis genannt, siehe Hinweisblatt Wie beweise ich etwas? (Link auf der letzten Seite)). Wir nehmen an, dass es doch eine Lösung der Gleichung in den ganzen Zahlen gibt, nennen wir sie a. Dann gilt natürlich die Gleichung auch, wenn wir modulo rechnen. Wir probieren es modulo 3, d. h. a 3 4a (mod 3). Da die Zahl a gleich 0, 1 oder 2 ist, wenn wir modulo 3 rechnen (das sind die einzigen möglichen Reste bei der Division), können wir durch Einsetzen in die modulo-gleichung also probieren, welcher Fall es sein kann. a 0: Nach (M) und (A) gilt (mod 3). a 1: Nach (M) und (A) gilt (mod 3). a 2: Nach (M) und (A) gilt (mod 3). Wir sehen, dass es eine solche Zahl a nicht geben kann! Unsere Annahme war also falsch! Die Gleichung hat keine Lösung modulo 3 und daher auch keine Lösung insgesamt! Beispiel 7. Wenn a b 1 (mod 2), dann ist a 2 + b 2 nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl, also nicht 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9,... Lösung. Wegen a 1 (mod 2) ist a 1 durch 2 teilbar, also ist auch a+1 = (a 1)+2 durch 2 teilbar. Daher ist (a + 1)(a 1) = a 2 1 durch 2 2 = 4 teilbar, was gerade a 2 1 (mod 4) bedeutet. Selbe Argumentation liefert b 2 1 (mod 4). Ähnlich wie in Beispiel 6 zeigen wir in einem Widerspruchsbeweis, dass es keine natürliche Zahl x geben kann, für die die Gleichung x 2 = a 2 + b 2 erfüllt ist. Gäbe es eine solche Zahl x, so wäre die Gleichung auch modulo 4 richtig, das heißt es würde gelten: x 2 a 2 + b (mod 4). 5

6 Da 0, 1, 2, 3 die einzigen möglichen Reste bei Division von x durch 4 sind, müsste aber auch gelten: oder oder oder (mod 4) (Widerspruch!). Also hat die Gleichung x 2 = a 2 + b 2 keine Lösung. 3 Übungsaufgaben Aufgabe 1 ( ). Wenn heute Samstag ist, welchen Wochentag haben wir dann in 100 Tagen? Aufgabe 2 ( ). 1. Entscheide und begründe jeweils, ob 22 2 (mod 12), 7 4 (mod 11) gilt. 2. Finde drei verschiedene positive natürliche Zahlen n, die 39 4 (mod n) erfüllen. Aufgabe 3 ( ). Max sagt seinem Freund Philipp, dass er die letzte Ziffer von weiß. Daraufhin probiert es Philipp mit dem Taschenrechner aus und bekommt nur eine Fehlermeldung, weil die Zahl zu groß ist. Hilf Philipp, indem du folgende Aufgabe löst: 1. Für welche natürliche Zahl x zwischen 0 und 9 gilt x (mod 10)? 2. Begründe, warum x Max gesuchte Ziffer ist. Aufgabe 4 ( ). Zeige, dass x 5 6x + 3 = 0 keine Lösung x in den ganzen Zahlen hat. Aufgabe 5 ( ). Anna soll prüfen, ob das Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Mit Modulo-Rechnen erkennt sie die Antwort sofort: Zeige, dass die Quersumme einer Quadratzahl bei Division durch 3 nicht den Rest 2 lassen kann. (Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern, beispielsweise hat die Quersumme = 22.) Aufgabe 6 ( ). Auf jedem Schwimmbadausweis steht eine 10-stellige Nummer (zum Beispiel (9)). Um Fälschungen schnell zu entdecken, haben sich die Ingenieure eine Prüfziffer ausgedacht, welche an der zehnten Stelle der Nummer in Klammern steht (in unserem Beipiel ist die Prüfziffer 9) und wie folgt mit den ersten neune Ziffern zusammenhängt: Man multipliziere die erste Ziffer mit 1, die zweite mit 2, die dritte mit 3 und so fort bis zur neunten Ziffer, die mit 9 multipliziert wird. Man addiere die Produkte und teile die Summe ganzzahlig mit Rest durch 11. Der Divisionsrest ist die Prüfziffer. Falls der Rest 10 beträgt, ist die Prüf-ziffer ein X. 6

7 1. Auf einem Ausweis steht die Nummer (1). Ist dieser Ausweis echt? 2. Welche Prüfziffer gehört zur Nummer (?)? 3. Gib eine Ausweisnummer mit Prüf-ziffer X an! 4. Zwei unterschiedliche Ziffern einer gültigen Ausweisnummer werden vertauscht. Warum kann die neue Nummer zu keinem gültigen Ausweis gehören? 5. Die Nummern der Ausweise von Lisa und Hans unterscheiden sich genau durch eine Ziffer. Warum ist einer der Ausweise gefälscht? Weiterführende Links Einführung in das Rechnen mit Resten: graebe/skripte/reste.pdf Ausführlicher, anschaulicher Artikel mit vielen Beispielen: Sehr schöne Seite zu verschiedenen Themen in der Zahlentheorie mit vielen Videos: Heidelberg/Zahlentheorie Tipps zum Bearbeiten einer Aufgabe/Wie beweise ich etwas?/aktuelle Aufgaben: 7