Bilder von Zahlen - Arithmetik und Algebra geometrisch darstellen. Rauter Bianca ( ) Graz, am 10. Dezember 2014

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1 Bilder von Zahlen - Arithmetik und Algebra geometrisch darstellen Rauter Bianca (101038) Graz, am 10. Dezember 014 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster 3 Die Quadratzahlen 4 3 Die Dreieckszahlen 5 4 Die Polygonalzahlen 7 5 Die Hex Zahlen 9 6 Die zentrierten Quadratzahlen 10 7 Hexpyramiden oder Würfel 11 8 Die Tetraederzahlen 11 9 Die quadratischen Pyramidalzahlen 1 10 Die Oktaederzahlen 1

3 1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster Diese Seminararbeit ist angelehnt an das Kapitel FIGURES FROM FIGURES: DOING ARITHMETIC AND ALGEBRA BY GEOMETRY aus dem Buch THE BOOK OF NUMBERS von John Horton Conway und Richard K. Guy. Die Bilder, außer dem ersten Bild auf Seite 9, stammen ebenfalls aus diesem Buch. 1 Abbildungen von Zahlen - Beweise durch Muster Wenn wir eine Tabelle mit zwei Spalten erstellen und sie mit den natürlichen Zahlen, beginnend bei 0 von links nach rechts beziehungsweise von oben nach unten, befüllen, erhalten wir in der linken Spalte die geraden Zahlen und in der rechten Spalte die ungeraden Zahlen. Wir können natürlich Tabellen mit beliebig vielen Spalten erstellen, dabei bekommt man dann in der linken Spalte die Vielfachen der Zahl, die die Anzahl der Spalten bestimmt. Außerdem können wir in dieser Grafik die verschiedenen Restklassen ablesen. Wir wissen, dass zwei Zahlen dann kongruent modulo n sind, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von n ist. Unser n ist hier die Anzahl der Spalten und alle Zahlen, die in der selben Spalte stehen, liegen auch in der selben Restklasse, sind also kongruent modulo n. Die Neunerprobe Bei modulo 9 liegen 1, 10, 100, 1000,... in der selben Kongruenzklasse. Aus diesem Grund gibt es eine Probe, die man anwenden kann, um zu überprüfen, ob man sich bei Rechenoperationen mit großen Operationen verrechnet hat. Diese Probe nennt man die Neunerprobe. Addiert man zum Beispiel die Zahlen 111 und 65431, so erhält man Das wollen wir jetzt überprüfen. Dazu bestimmt man die Ziffernsumme 3

4 Die Quadratzahlen von den ersten beiden Zahlen und den Rest bei Division durch 9. Das wäre dann also 9 0 und 1 3. Dann addieren wir die erhaltenen Zahlen und bilden wieder den Rest bei Division durch 9. In unserem Fall ist das also 3. Jetzt müssen wir das Ergebnis der Rechnung überprüfen. Die Ziffernsumme von ist Also stimmt es. Die Probe funktioniert analog mit Multiplikation und Subtraktion, sie erkennt aber den Fehler nicht, wenn zwei Ziffern vertauscht wurden, da dies die Ziffernsumme nicht beeinflusst, oder wenn eine 9 durch eine 0 ersetzt wurde und umgekehrt. Die Quadratzahlen Die Quadratzahlen sind jene Zahlen, die auf der Hauptdiagonale der Multiplikationstafel stehen. Schreibt man sich nun die Zahlen von 0 bis 103, wie im Bild, in 8 Spalten auf, erkennt man schnell, dass die ungeraden Quadratzahlen alle kongruent 1 modulo 8 sind. Das Bild liefert uns den, im wahrsten Sinne des Wortes, äußerst anschaulichen Beweis zu dieser Behauptung. An dieser Stelle möchte ich den Begriff Gnomon einführen. Ein Gnomon ist ein Stück, das man zu einer ebenen Figur hinzufügen kann, um sie zu vergrößern, ohne ihre Form 4

5 3 Die Dreieckszahlen zu verändern. In diesem Bild hat jedes Gnomon eine andere Farbe. Interessant ist dabei die Tatsache, dass jedes Gnomon der Quadratzahlen eine ungerade Zahl darstellt. Das Bild beweist die Behauptung, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen gleich n ist. Das kann man auch für die Addition eines weiteren Gnomons sehr schön aufschreiben: n + (n + 1) = (n + 1) 3 Die Dreieckszahlen Bei den Dreieckszahlen sind die Gnomone die natürlichen Zahlen. Also ist die n-te Dreieckszahl die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, was, wie unser kleiner Carl Friedrich Gauß schon in frühen Jahren entdeckte, durch die Formel 1 n(n + 1) berechnet werden kann. Diese Formel Σ n i=1i = 1 n(n+1) (Induktionsvoraussetzung = IV) kann nun durch vollständige Induktion wie folgt bewiesen werden: Induktionsbeginn: n = 1 linke Seite: Σ 1 i=1i = 1 rechte Seite: 1 1 (1 + 1) = 1 5

6 3 Die Dreieckszahlen Induktionsschritt: zu zeigen: Σ (n+1) i=1 i = 1 (n + 1)(n + ) Σ (n+1) i=1 i = Σ (n) i=1i + (n + 1) = (IV) 1 n(n + 1) + (n + 1) = ( 1n + 1) (n + 1) = 1 (n + 1) (n + ) oder eben auch durch Figuren. Hier kommen wir nun zu den Pronischen Zahlen. Wenn wir ein Rechteck aus zweimal der n-ten Dreieckszahl bilden, so hat es die Länge n und die Breite n+1. Wenn wir also den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechen, so erhalten wir n (n + 1). Dies ist also auch der doppelte Flächeninhalt der n-ten Dreieckszahl. Also ist die Formel für die n-te Dreieckszahl 1 n(n + 1). Man findet aber auch noch weitere Zusammenhänge zwischen Dreieckszahlen und anderen Zahlen. Zum Beispiel ergeben zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen eine Quadratzahl. 6

7 4 Die Polygonalzahlen 4 Die Polygonalzahlen In der Graphik sehen wir verschiedene Polygonalzahlen, wobei wir die Quadratzahlen und die Dreieckszahlen schon kennengelernt haben. Betrachtet man die Graphik näher, fällt dabei auf, dass die Differenz des Wachtums der Zahlen jeweils in Schritten wächst, die um kleiner sind, als die Anzahl der Seiten des Polygons. Bei den Dreieckszahlen, die wir ja schon kennengelernt haben, ist die Differenz der jeweils zu addierenden Zahlen also 1. Wir starten mit einem Punkt, brauchen dann zusätzliche Kleckse, dann 3, dann 4 etc. Außerdem ist die dritte Zahl einer Kategorie immer ein Vielfaches von 3. Dasselbe 7

8 4 Die Polygonalzahlen gilt auch für die fünfte und die siebte Zahl, die dann durch 5 beziehungsweise durch 7 teilbar sind. Die Polygonzahlen sind zurückzuführen auf eine bestimmte Anordnung von Punkten, die schon seit mindestens 540 v.chr. bekannt sind. Zwischen den Polygonalzahlen gibt es auch ein paar interessante Zusammenhänge. Um diese Zusammenhänge zu erkennen, reicht es wieder, die Graphik zu betrachten. Wir können außerdem die Polygonalzahlen mit Hilfe der Dreieckszahl berechnen. Jede Hexagonalzahl ist eine Dreieckszahl. Dabei ist jede ungeradseitige Dreieckszahl auch eine Hexagonalzahl. Dies zeigt das Bild unterhalb sehr schön. Außerdem zeigt die dritte Abbildung in diesem Bild auch die Gültigkeit der Formel für die n-te Hexagonalzahl = n (n 1). Jede Pentagonalzahl ist ein Drittel einer Dreieckszahl. Graphisch ist das beweisbar 8

9 5 Die Hex Zahlen durch eindrücken des Daches beim Fünfeck und das Zusammenbauen dreier so erhaltener Trapeze zu einem Dreieck, wie man in der Graphik unterhalb gut erkennen kann. 5 Die Hex Zahlen Die Hex Zahlen sollte man nicht mit den Hexagonalzahlen verwechseln. Die n-te Hexzahl wird mit der Formel hex n = n 1 = 1 3n + 3n berechnet. Einerseits sehen wir an der Zeichnung sehr gut, dass die einzelnen Gnomone immer ein Vielfaches von 6 sind. Da wir mit einem einzelnem Klecks starten und immer ein Vielfaches von 6 dazuzählen, heißt das also, dass jede Hex Zahl immer hex n 1 modulo 6 entspricht. Weiters lässt sich der Zusammenhang zwischen den Hex Zahlen und den Dreieckszahlen, der schon in der Formel aufgezeigt wird, durch das Bild sehr gut veranschaulichen. Wir sehen, dass sich um den Klecks in der Mitte 6 Dreiecke sammeln, die bei der n-ten 9

10 6 Die zentrierten Quadratzahlen Hex Zahl, der (n 1)-ten Dreieckszahl entsprechen. Dies unterstreicht noch einmal, dass die Hex Zahlen 1 modulo 6 entsprechen, da wir ja immer 6 Dreieckszahlen und einen zentralen Punkt haben. 6 Die zentrierten Quadratzahlen Nun kommen wir zu den letzten Zahlen in der zweiten Dimension, nämlich zu den zentrierten Quadratzahlen. Ähnlich wie bei den Hex Zahlen, sind nun die zentrierten Quadratzahlen immer 1 modulo 4. Bei der vierten zentrierten Quadratzahl sieht man, dass die einzelnen Gnomone immer ein Vielfaches von vier bilden und bei der fünften zentrierten Quadratzahl sieht man wiederum, dass sich um einen zentralen Punkt vier Dreieckszahlen sammeln. Somit kann man die Aussage, dass die zentrierten Quadratzahlen immer 1 modulo 4 entsprechen, durch einfache Zeichnungen beweisen. Aus der Zeichnung kann man auch die allgemeine Formel zur Berechnung der n-ten zentrierten Quadratzahl leicht erkennen. zq n = n 1 10

11 Die dritte Dimension 7 Hexpyramiden oder Würfel 7 Hexpyramiden oder Würfel Wir kommen nun zu Hex Pyramiden und Würfeln. Das sind aber die selben Zahlen, da die Hex Pyramiden, im Grunde genommen, nichts anderes als die Projektionen von Würfeln sind. Im Bild sieht man oberhalb die Hex Pyramiden und unterhalb die Würfel. Die Gnomone von den Hex Pyramiden werden dabei von den Hex Zahlen gebildet. Diese sind einfach Schatten oder Projektionen von Würfeln. Die allgemeine Formel zur Berechnung der n-ten Zahl lautet also ganz einfach n 3. 8 Die Tetraederzahlen So wie gerade Hex Zahlen zu Hex Pyramiden gestapelt wurden, kann man auch Dreieckszahlen zu Pyramiden stapeln. Diese ergeben dann die Tetraederzahlen. Man kann die n-te Tetraederzahl 6 mal in eine Box mit den Maßen n (n + 1) (n + ) stapeln. Daraus ergibt sich zur Berechnung der n-ten Tetraederzahl die allgemeneine Formel T n = 1 n (n + 1) (n + ) 6 11

12 9 Die quadratischen Pyramidalzahlen 9 Die quadratischen Pyramidalzahlen Wenn wir nun Quadratzahlen so stapeln, wie wir es schon mit Dreieckszahlen und Hex Zahlen gemacht haben, erhalten wir die quadratischen Pyramidalzahlen. Von diesen können wir 6 in eine Box mit den Maßen n (n + 1) (n + 1) packen. Also ergibt sich die allgemeine Formel qp yr n = 1 n (n + 1) (n + 1) 6 10 Die Oktaederzahlen So ähnlich, wie wir vorher in der zweiten Dimension zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu Quadratzahlen zusammengefügt haben, kann man nun auch zwei aufeinanderfolgende quadratische Pyramidalzahlen zusammenfügen und erhält die Oktaederzahlen. Für die n-te Oktaederzahl ergibt sich also die Formel Oct n = qp yr n 1 + qp yr n = 1 3 n (n + 1) 1

13 10 Die Oktaederzahlen Quelle: CONWAY, John Horton; GUY, Richard K.: The book of numbers. New York: Springer- Verlag