Station Figurierte Zahlen Teil 3. Arbeitsheft. Teilnehmercode

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1 Station Figurierte Zahlen Teil 3 Arbeitsheft Teilnehmercode

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3 Mathematik-Labor Station Figurierte Zahlen Liebe Schülerinnen und Schüler! Schon die alten Griechen haben Zahlen mit Hilfe von Zählsteinen dargestellt: Anhand der Figuren, die mit solchen Steinchen gelegt werden können, haben sie wichtige Eigenschaften von Zahlen untersucht und aufgezeigt. Und noch viele Jahrhunderte später, bevor man die heutzutage üblichen Schreibweisen verwendete, wurden mit Hilfe von Figuren und regelmäßigen Mustern mathematische Aussagen bewiesen. In dieser Station lernt ihr einige dieser figurierten Zahlen näher kennen die ebenen geometrischen Figuren, die sie darstellen, sind euch längst bekannt: Quadrate, Rechtecke, gleichseitige und rechtwinklige Dreiecke Über die vielen neuen Eigenschaften und Zusammenhänge, die ihr bei genauerer Betrachtung der figurierten Zahlen und Zahlenfolgen entdecken könnt, werdet ihr sicherlich staunen! Arbeitet bitte die folgenden Aufgaben der Reihe nach durch - bitte keine Aufgaben überspringen! Falls es mit der Zeit knapp wird, dann arbeitet trotzdem der Reihe nach weiter. Notfalls bearbeitet ihr die letzten Aufgaben nicht. Falls ihr nicht wisst, wie ihr an eine Aufgabe herangehen sollt, oder bei eurer Bearbeitung stecken bleibt, könnt ihr die Hilfestellungen (kleines Heft) nutzen. Wenn es zu einer Aufgabe eine Hilfestellung gibt, könnt ihr dies am Symbol am Rand neben der Aufgabe erkennen. Nutzt diese bitte nur, wenn ihr sie auch benötigt! Wenn eine Simulation zu einem Thema vorhanden ist und verwendet werden soll, könnt ihr das am Symbol am Rand neben der Aufgabe erkennen. Das Symbol verweist darauf, dass hier mit einem gegenständlichen Modell gearbeitet werden soll. Die Simulationen und weiterführende Informationen zum Thema eurer Laborstation findet ihr auf der Internetseite des Mathematik-Labors Mathe ist mehr unter der Adresse oder Wir wünschen euch viel Spaß beim Experimentieren und Entdecken! Das Mathematik-Labor-Team 1

4 Wie ihr euch sicherlich vorstellen könnt, gibt es neben den Dreiecks-, Quadrat- und Rechteckzahlen noch weitere figurierte Zahlen: Eine sehr schöne, symmetrische Form weisen die Figuren der Sechseckzahlen auf. Um diese Zahlen mit Hilfe geometrischer Formen darstellen und untersuchen zu können, stehen euch als Material Legebretter (auf beiden Seiten benutzbar) und Holzkugeln in zwei Farben zur Verfügung: Material Legebretter (auf beiden Seiten benutzbar) Holzkugeln in zwei Farben zwei Holzpinzetten (zum Greifen der Holzkugeln) Sechsecke kennt ihr vielleicht von den Bienenwaben her, die dazugehörigen Sechseckzahlen werden wir nun genauer untersuchen. Schaut euch dazu Simulation 8 genau an. 3.1 Legt die Folge der ersten 4 Sechseckzahlen mit Kugeln auf den Legebrettern (Seite A) nach. Zeichnet dann die Figuren mit Hilfe von Kreisen in das nachstehende Feld. Notiert die Anzahl der Kreise unter die entsprechenden Figuren. Denkt daran, dass die erste Sechseckzahl wieder die 1 ist! 2

5 Wenn ihr euch die Figuren zu den Sechseckzahlen nun genauer anschaut, werdet ihr feststellen, dass sich durch eine andere Anordnung der Kreise bekanntere Figuren herstellen lassen. Betrachtet die Abbildung zum Umlegen der Kreise der Sechseckzahl S 3 : 5 3 S 3 Die Sechseckzahl S 3 lässt sich nun ganz einfach herleiten: Man bestimmt einfach die Anzahl der Kreise im dazugehörigen Rechteck! Um auch größere Sechseckzahlen bestimmen zu können, stellen wir euch nun einen kleinen Trick vor: Wie ihr in der nächsten Abbildung erkennen könnt, kann man das Rechteck so um eine weitere Reihe erweitern, dass zwei nebeneinander liegende Quadrate dabei entstehen. Mit Hilfe der Quadrate kann man nun die Anzahl der dunklen Kreise, also die dazugehörige Sechseckzahl, sehr leicht bestimmen. 3.2 Ergänzt auch die fehlenden Angaben im Term unterhalb der Abbildung. 3 S S = 2 2 3

6 3.3 Findet nun für die Sechseckzahl S 4 eine ähnliche rechteckige Anordnung. Legt das dazugehörige Rechteck im Legebrett (Seite A). Ergänzt das Rechteck so um eine Reihe, dass wieder zwei nebeneinander liegende Quadrate entstehen. Zeichnet das Rechteck in das nachstehende Feld und tragt auch die fehlenden Angaben unterhalb der Figuren ein. S = Wie lautet also ein Term zur Berechnung einer beliebigen Sechseckzahl S n? Tauscht euch in der Gruppe aus und notiert euren Term hier. S n = 4

7 3.5 Es gibt noch weitere Möglichkeiten, Terme zur Bestimmung einer beliebigen Sechseckzahl S n aufzustellen. Schaut euch die beiden folgenden Abbildungen an und tragt die fehlenden Terme unter den Abbildungen ein. a) n 2n - 1 S n = b) n n n - 1 S n = 5

8 3.6 Vergleicht die beiden Terme aus Aufgabe 3.4 mit dem Term aus Aufgabe 3.3: Was fällt euch auf? Tauscht euch in der Gruppe aus und haltet eure Überlegungen fest. 3.7 Nun könnt ihr die Tabelle mit den ersten Sechseckzahlen schnell und bequem ausfüllen, denn ihr könnt dafür einen der Terme zur Berechnung von S n verwenden: Setzt einfach die Zahlen 1 bis 10 nacheinander für n in den Term ein und tragt eure Ergebnisse in die Tabelle ein. Bezeichnung S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 Sechseckzahl Veränderung Nun könnt ihr sicherlich auch die 100. Sechseckzahl leicht bestimmen... 6

9 Auch die Sechseckzahlen hängen eng mit den Dreieckszahlen zusammen. Einen solchen Zusammenhang könnt ihr mit Hilfe von Termen nachweisen. Dazu benötigt ihr außer dem Term zur Berechnung einer Dreieckszahl D n auch einen Term zur Berechnung der vorausgegangenen Dreieckszahl D n Notiert euch noch einmal einen Term zur Berechnung der Dreieckszahl D n. Wie lautet dann der Term zur Berechnung der vorausgegangenen Dreieckszahl D n 1? Notiert auch diesen. D n = D n 1 = 3.10 Stellt nun zur folgenden Behauptung einen Term auf und formt ihn anschließend so um, dass ihr damit zeigen könnt, dass es sich um eine wahre Aussage handelt. Jede Sechseckzahl S n lässt sich als Summe aus der Dreieckszahl und dem 3-fachen der vorangegangenen Dreieckszahl D n 1 darstellen. D n D n + 3 D n 1 = = S n 7

10 Zusätzliche Aufgabe: Habt ihr schon einmal im Supermarkt darauf geachtet, wie Obst oder Pralinen manchmal pyramidenförmig gestapelt werden? Solche Anordnungen wählt man, weil sie platzsparend und besonders stabil sind und außerdem schön aussehen. Einige figurierte Zahlen lassen sich in einer ähnlichen Weise darstellen, also in Form einer räumlichen Figur. Wählt man als Grundlage anstelle einer rechteckigen oder quadratischen Form (wie in dem Foto) eine dreieckige Ausgangsform, so erhält man die sogenannten Tetraederzahlen. Tetraederzahlen lassen sich gut auf den Legebrettern darstellen: 3.11 Baut auf dem Legebrett (Seite A) eine Pyramide mit dreieckiger Grundseite. Legt die Kugeln vorsichtig aufeinander und verwendet dabei zum Greifen und Ablegen die Holzpinzetten, damit eure Gebilde nicht zusammenfallen! Zuletzt muss eine Kugel auf die Spitze gesetzt werden. Damit habt ihr eine Tetraederzahl räumlich dargestellt. Um welche Tetraederzahl es sich dabei genau handelt, hängt davon ab, aus wie vielen Schichten und Kugeln das Gebilde besteht Vervollständigt die Tabelle mit den ersten Tetraederzahlen. Achtet besonders auf die Veränderung von einer Tetraederzahl zur nächsten! Bezeichnung T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 Tetraederzahl Veränderung +3 Allgemein lässt sich eine beliebige Tetraederzahl T n wie folgt berechnen: T n = n (n + 1) (n + 2) 6 8

11 Es lässt sich durch Nachrechnen leicht überprüfen, dass die Tetraederzahlen T 1 bis T 7, die aus Aufgabe 3.12 schon bekannt sind, mit Hilfe des obigen Terms berechnet werden können Welchen Zusammenhang zwischen Tetraederzahlen und anderen figurierten Zahlen erkennt oder vermutet ihr? Tauscht euch in der Gruppe aus und notiert eure Überlegungen hier Stellt zu folgender Behauptung einen Term auf und formt ihn anschließend so um, dass ihr zeigen könnt, dass es sich um eine wahre Aussage handelt. Addiert man zu einer Tetraederzahl T n die entsprechende Dreieckszahl D n, so erhält man die darauffolgende Tetraederzahl T n+1. Herzlichen Glückwunsch, ihr habt nun alle Aufgaben bearbeitet und dabei einige figurierte Zahlen und viele ihrer Eigenschaften kennengelernt. Aber ihr habt noch mehr erreicht: Durch das Aufstellen und Umformen von Termen war es euch möglich, einige dieser Eigenschaften mathematisch zu beweisen! 9

12 Mathematik-Labor Mathe-ist-mehr Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen) Institut für Mathematik Universität Koblenz-Landau Fortstraße Landau Erstellt von: Rolf Oechsler Betreut von: Prof. Dr. Jürgen Roth Variante A Veröffentlicht am: