11. Übung zur Vorlesung Zahlentheorie. im Wintersemester 2016/17. Untersuche mit dem Lucas-Lehmer-Test, ob die Zahl n = prim ist.

Transkript

1 11. Übung zur Vorlesung Aufgabe 41. Untersuche mit dem Lucas-Lehmer-Test, ob die Zahl n = prim ist. Aufgabe 42. Beweise das folgende Kriterium von Proth mit dem Pocklington-Test: Sei n > 1 gegeben. Wenn natürliche Zahlen a und k mit den Eigenschaften F = 2 k teilt n 1 2 k > n a (n 1)/2 1 mod n existieren, dann ist n prim. Aufgabe 43. Faktorisiere mit dem Fermat-Algorithmus die Zahl Aufgabe 44. Faktorisiere die Zahl 7429 mit dem quadratischen Sieb zur Faktorbasis b = ( 1, 2, 3, 5, 7). Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

2 10. Übung zur Vorlesung Aufgabe 37. Entscheide, ob die folgenden Gleichungen eine Lösung besitzen und berechne gegebenenfalls die ersten drei Stellen einer Lösung. X 2 = 7 in Z 3, X 2 = 17 in Z 5003, X 2 = 1 in Z 2 Aufgabe 38. Zeige für jede Primzahl p: (a) Z p ist kompakt (b) Q p ist lokalkompakt Aufgabe 39. Zeige, dass das Polynom (X 2 13)(X 2 17)(X ) Z[X] modulo jeder natürlichen Zahl n N eine Nullstelle hat, aber keine Nullstelle in Z besitzt. Aufgabe 40. Sei p eine Primzahl. Zeige, dass die diophantische Gleichung x 3 = y 4 +p keine Lösung x, y Z p besitzt mit x y 0 mod p. Die online-plattform für Ihre HiWi-Bewerbung zum Sommersemester 2017 ist ab sofort geönet. Alle qualizierten InteressentInnen werden um ihre Bewerbung gebeten. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

3 9. Übung zur Vorlesung Aufgabe 33. Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlkörper. Zerlege die Hauptideale (p), p P in O K in Primideale. Aufgabe 34. Bestimme die Fundamentaleinheit des Ringes ganzer Zahlen des Zahlkörpers Q( 47). Aufgabe 35. Zeige, dass x = 3 5 und y = 2 3 Elemente in Z 7 sind und berechne die ersten vier Stellen der Potenzreihenentwicklung. Aufgabe 36. Berechne eine Lösung der Gleichung 7X 2 2 mod Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

4 8. Übung zur Vorlesung Aufgabe 29. Es seien m, n Z zwei quadratfreie, teilerfremde ganze Zahlen von denen mindestens eine 1 mod 4 ist. Betrachte K := Q( m, n). Zeige: i) Ist 1, ω bzw. 1, ω eine Ganzheitsbasis von O Q( m) bzw. O Q( n), so ist 1, ω, ω, ωω eine Ganzheitsbasis von O K ii) Berechne den Ring der ganzen Zahlen für (m, n) = (3, 5) und (m, n) = (5, 13). iii) Was ist jeweils die Diskriminante der obigen Zahlkörper? Hinweise: Schreibe ein α O K als α = β 0 + β 1 ω mit β i Q[ω]. Bezeichne mit d bzw. d die Diskriminanten von O Q( m) bzw. O Q( n). Zeige: d,d sind teilerfremd. Zeige nun β i d O Q( m) und folgere, dass d α Koezienten in Z besitzt. Vertausche nun die Rollen von d und d, um i) zu zeigen. Aufgabe 30. Betrachte den Zahlkörper K = Q(α), wobei α das Minimalpolynom f(t ) = T 3 T 4 besitzt. i) Berechne die Diskriminante der Q-Basis 1, α, α 2. Hinweis dazu: Ist T 3 + pt + q = (T α 1 )(T α 2 )(T α 3 ), so gilt i<j (α i α j ) 2 = 4p 3 27q 2. ii) Berechne eine Ganzheitsbasis von O K. iii) Berechne K. Aufgabe 31. Berechne im Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers K = Q( 2) die Inversen der Ideale I = (3, ) und J = (7, ) Aufgabe 32. Berechne die Klassenzahl von Q( 7). Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

5 7. Übung zur Vorlesung Aufgabe 25. (a) Sei α eine Nullstelle des Polynoms X 3 X 4 Z[X]. Zeige, dass 1 2 (α + α2 ) eine ganze algebraische Zahl ist, 1 2 (1 + α) aber nicht. (b) Sei β eine Nullstelle des Polynoms X 3 2X 2 + 6X + 40 Z[X]. Zeige, dass 1 2 β nicht ganz über Z ist, obwohl Norm und Spur ganze Zahlen sind. Aufgabe 26. Bestimme den Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers Q( 3 5). Aufgabe 27. Sei ζ eine primitive p-te Einheitswurzel für p > 2 prim. In zwei Teilen sollen der Ganzheitsring O Q(ζ) und die Diskriminante des Kreisteilungskörpers Q(ζ) berechnet werden. Zeige zuerst O Q(ζ) = Z[ζ] wie folgt. (a) Zeige, dass Φ p (x) := X p 1 + X p X + 1 = Xp 1 X 1 das Minimalpolynom von ζ ist. Wende dazu das Eisenstein-Kriterium auf Φ p (X + 1) an. Insbesondere hat die Körpererweiterung Q(ζ)/Q also den Grad p 1. (b) Zeige nun, dass das durch p gegebene Ideal po Q(ζ) eine Potenz des von λ := 1 ζ erzeugten Hauptideals ist, genauer, po Q(ζ) = (λ) p 1. Betrachte dazu Φ p (X) = p 1 i=1 (X ζi ) für X = 1 und 1 ζ i = (1 ζ)(1+ζ +...+ζ i 1 ) um p = λ p 1 ɛ zu folgern. Zeige: ɛ ist eine Einheit in O Q(ζ). (c) Berechne für ein ganzes Element α = a 0 + a 1 ζ a p 2 ζ p 2 Q[ζ] die Spuren der Elemente αζ k αζ, k = 0,..., p 2 um pα Z[ζ] zu zeigen. (d) Schreibe pα = p 2 i=0 c iλ i und zeige mittels Induktion, dass c i 0 mod p. Benutze die Norm, um daraus p c i für alle i zu folgern. Schlieÿe, dass bereits die pa i durch p teilbar waren und somit α Z[ζ] ist, wenn α ganz ist. Nach dem Obigen ist 1, ζ,..., ζ p 2 eine Ganzheitsbasis. Um nun deren Diskriminante zu bestimmen, gehe wie folgt vor.

6 (e) Zeige, dass (1, ζ,..., ζ p 2 ) = ± p 1 i j(ζ i ζ j ) = ± Φ p(ζ i ). i=1 (f) Zeige durch Ableiten von (X 1)Φ p (X) = X p 1 und einsetzen, dass Φ p(ζ i ) = Bestimme damit die Diskriminante (bis auf Vorzeichen). p ζ i 1 ζ i. Aufgabe 28. Löse die Weihnachtsbaumaufgabe. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

7 6. Übung zur Vorlesung Aufgabe 21. Man kann die Pellsche Gleichung x 2 dy 2 = 1 für d Z auch schreiben als ( ) x dy det = 1. y x Zeige, dass damit die ganzzahligen Lösungen der Pellschen Gleichung zu einer Untergruppe der Gruppe Gl(2, Q) werden. Aufgabe 22. Berechne jeweils 3 Lösungen der Pellschen Gleichungen x 2 13y 2 = 1 und x 2 13y 2 = 4, die sich nicht nur um ein Vorzeichen unterscheiden. Aufgabe 23. Untersuche die folgenden komplexen Zahlen darauf, ob sie ganz über Z oder zumindest algebraisch über Q sind: 4 25, 1 + 5, exp(2πi/17). 7 Aufgabe 24. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) Für α C existiert ein Zahlkörper K, so dass α K. (b) Es existiert ein Polynom 0 f(x) Z[x], so dass f(α) = 0. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

8 5. Übung zur Vorlesung Aufgabe 17. Berechne die Kettenbruchentwicklung von 49 13, und Aufgabe 18. Berechne den Wert der Kettenbrüche [2, 3], [1, 2, 3], [3, 2, 1] und [0, 2, 4, 2, 1, 3, 2]. Aufgabe 19. Entwickle m 2 1 und m für m N in einen Kettenbruch. Aufgabe 20. Berechne die Kettenbruchentwicklung der Zahl x > n, die x 2 = nx + 1 für N N erfüllt. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

9 4. Übung zur Vorlesung Die Online-Tests werden am Montag, den , um 14 Uhr auf Ilias veröentlicht. (Dazu auf nach WS16/17 suchen.) Für die Zulassung zur Klausur der müssen in allen Online-Tests alle Fragen richtig beantwortet werden. Die Tests dürfen bis zum beliebig oft durchgeführt werden. Aufgabe 13. Berechne die Jacobi-Symbole ( ) ( und ). Aufgabe 14. Sei p 3 prim. Zeige: ) (a) = 1 genau dann, wenn p 1 mod 6. (b) (c) ( 3 p ( 3 p) = 1 genau dann, wenn p 1 mod 12 oder p 11 mod 12. ( ) 2 p = 1 genau dann, wenn p 1 mod 8 oder p 3 mod 8. Aufgabe 15. Stelle die Zahlen 178, 373 und 5525 als Summe zweier Quadrate dar. Aufgabe 16. Finde die kleinsten Zahlen n N, die sich auf zwei bzw. drei wesentlich verschiedene Weisen als Summe zweier Quadrate darstellen lassen. Warum ist die Quadratsummendarstellung bei zusammengesetzten Zahlen im Allgemeinen nicht eindeutig? Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

10 3. Übung zur Vorlesung Aufgabe 9. (a) Berechne U n als abelsche Gruppe der Form i Z/pm i i Z für alle 9 n 16 mit nicht notwendigerweise verschiedenen Primzahlen p P. Gebe für jeden Faktor auch einen Erzeuger der zyklischen Gruppe an. (b) Zeige, dass die Einheitengruppe U n genau dann zyklisch ist, wenn entweder n = 4, n = p r+1 oder n = 2p r (für r N 0 und p P \ {2}). Aufgabe 10. Finde alle Primitivwurzeln zu p = 19 und p = 41. Drücke jeweils alle Primitivwurzeln zu p = 19 durch Potenzen einer gefundenen aus. Aufgabe 11. (a) Sei U n eine zyklische Gruppe und ζ ein Erzeuger. Zeige, dass { ζ i i Z, ggt(i, ϕ(n)) = 1} die Menge aller Erzeuger von U n ist, insbesondere hat U n also ϕ(ϕ(n)) Erzeuger. (b) Für welche a U 128 hat die Gleichung x 2 = a vier verschiedene Lösungen in U 128? Aufgabe 12. Berechne log 2 18 in F 37 und log 5 22 in F 547 mit dem baby steps - giant steps Algorithmus. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

11 2. Übung zur Vorlesung Aufgabe 5. Löse die folgende simultane Kongruenz: 3x 1 mod 4, 3x 4 mod 5 und x 1 mod 6. Aufgabe 6. (a) Bestimme die letzten zwei Ziern von und (b) Berechne mod 19. Aufgabe 7. Es bezeichne ϕ(n) die Eulersche ϕ-funktion, d.h. die Mächtigkeit der Einheitengruppe U n. Zeige: (a) ϕ(n) ist gerade für n 3. (b) ϕ(n) ist eine Zweierpotenz genau dann, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist. (c) n ist prim genau dann, wenn ϕ(n) = n 1. (d) n = d n ϕ(d). Aufgabe 8. Es seien p = 241, q = 251 und n = pq deren Produkt. Bestimme ϕ(n) und nde ein e > 1 mit ggt(e, ϕ(n)) = 1. Dann bestimme ein d mit ed 1 mod ϕ(n). Kodiere daraufhin x = 24 unter der Einwegfunktion E(x) = x e. Überprüfe das Ergebnis durch Dekodieren. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.

12 1. Übung zur Vorlesung Wichtige Informationen: Aktuelle Informationen zur Vorlesung/Übung und Übungsblätter gibt es im Netz auf der Seite Die Übungen dürfen in Zweiergruppen abgegeben werden. Aufgabe 1. Zeige, dass Z[ 3] euklidisch ist. Aufgabe 2. Zeige: Z[ 13] und 2 Z[ 13] sind irreduzibel, aber nicht prim. Hinweis: Betrachte (1 + 13)(1 13) = 2 7. Aufgabe 3. Sei p k die k.-te Primzahl. Zeige (a) p k+1 p 1 p 2 p k + 1, (b) p k 2 2k 1, (c) π(x) = #{p N p x, p prim } log log x. Aufgabe 4. Zerlege die Zahl 2310 Z in Primelemente innerhalb Z[i]. Abgabe am Freitag, den , um 13 Uhr.