MATHEMATIK WETTBEWERB RHEINLAND-PFALZ

Transkript

1 . Runde 015 Die Lösungswege müssen mathematisch begründet und übersichtlich dargestellt werden. Nachmessen oder Nachrechnen einiger Beispiele genügt als Lösung nicht. Aufgabe 1: Auf einer Boule-Kugel mit dem Radius r = 37 mm sollen, wie in der Abbildung zu sehen, sechs gleich große Kreise eingraviert werden. Ihre acht Schnittpunkte bilden die Ecken eines Würfels. Bestimme den Radius r dieser Kreise. Aufgabe : Man bildet die Summe, die Differenz (größere Zahl minus kleinere Zahl), das Produkt und den Quotienten (größere Zahl dividiert durch die kleinere Zahl) zweier verschiedener natürlicher Zahlen. Die Summe der vier Ergebnisse ist 187. Bestimme alle möglichen Paare von natürlichen Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Aufgabe 3: Bei seinen Besuchen im Spielcasino spielt Sheldon Cooper schon seit Jahren immer das Spiel Top oder Flop, bei dem man im Falle des Gewinns den doppelten Einsatz ausgezahlt bekommt, im Falle der Niederlage den Einsatz verliert. Bei jeder Spieldurchführung setzt er denselben Anteil p des jeweils ihm noch zur Verfügung stehenden Geldes. Nach einem langen Abend im Casino möchte Sheldon schnellstmöglich ins Bett und verrät seinem Mitbewohner Lennard nur noch, dass er genauso viele Spiele gewonnen wie verloren hat. Auf die Frage nach dem Gewinn reagiert Sheldon schon gar nicht mehr. a) Nimm an, Sheldon habe an jenem Abend.000 $ zur Verfügung gehabt, bei jedem Spiel 40 % des jeweils ihm noch zur Verfügung stehenden Geldes gesetzt und je 8 Spiele gewonnen und verloren. Berechne, mit wie viel Geld Sheldon nach Hause gekommen ist. b) Lennard ist allerdings nicht bekannt, wie viel Geld Sheldon heute Abend mit ins Casino genommen, welchen Anteil p er gewählt und wie oft er insgesamt gespielt hat. Kann er darauf hoffen, dass Sheldon ihm am nächsten Tag von dem Gewinn ein Getränk spendiert? Aufgabe 4: Gabi spielt gerne mit Zahlen und geometrischen Figuren. An rechtwinkligen Dreiecken untersucht sie die Kathetenlängen und die Hypotenusenlänge und entdeckt folgende Beziehungen: 1 3² + 4² = 5² 5² + 1² = 13² 3 7² + 4² = 5² 4 9² + 40² = 41² a) Wie lautet die zehnte Zeile? b) Finde eine Gleichung für die n-te Zeile und zeige, dass die Gleichung für alle natürlichen Zahlen n wahr ist.

2 Aufgabe 1:. Runde 015, Lösungen Die Raumdiagonale des Würfels ist der Durchmesser der Kugel: d = 74 mm Für die Raumdiagonale b eines Würfels mit der Kantenlänge a gilt: b = a 3 Aus b = d ergibt sich: a 3 = 74 a = Der Radius r der Kreise ist die Hälfte der Diagonalen einer Würfelseitenfläche: r = 1 a = = ,1 Somit besitzen die Kreise einen Radius von 30,1 mm. Aufgabe : Lösung 1: Bezeichnet man die beiden gesuchten natürlichen Zahlen mit a und b ( a > b > 0 ), so lassen sich die Anweisungen der Aufgabenstellung wie folgt formulieren: a) a + b = n1 b) a b = n c) a b = n3 d) a : b = n4 Aus n1 + n + n3 + n4 = 187 folgt: a + b + a b + a b + a : b = 187 a + a b + a : b = 187 l b ab + a b + a = 187b a (b + b + 1 ) = 187 b a = 187 b (b + 1) ( ) Die beiden aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen b und b+1 sind immer teilerfremd. Deshalb sind auch b und (b+1) teilerfremd zueinander. Da der Quotient eine natürlich Zahl darstellt, muss (b+1) ein Teiler von 187 sein. Aus der Primfaktorzerlegung von 187 = 3 7 folgt, dass (b+1) eine Potenz von 3 mit einem

3 Exponenten kleiner 7 sein muss. Daraus ergeben sich die drei Lösungen b + 1 = 3 b + 1 = 9 b + 1 = 7 und daraus für b die Werte b = b = 8 b = 6 Aus diesen drei Lösungen für b ergeben sich zusammen mit (*) für a die Werte a = 486 bzw. a = 16 bzw. a = 78. Lösungspaare: (486; ), (16; 8), (78; 6) Lösung : Bezeichnet man die beiden gesuchten natürlichen Zahlen mit a und b ( a > b > 0 ), so ergeben die ersten drei Bedingungen a + b, a b und a b sind ebenfalls natürliche Zahlen. Da die Summe der vier Zahlen n1 + n + n3 + n4 aus IN sein soll, muss auch der Quotient a : b eine natürlich Zahl k sein. Mit a = k b lassen sich die Bedingungen der Aufgabenstellung wie folgt schreiben: k b + b + k b b + k b + k = 187 kb + kb + k = 187 k (b + b + 1) = 187 k (b + 1) = 3 7 Aus der Bedingung a, b, k IN und a > b > 0 folgen die drei Möglichkeiten: (k = 3 5 b + 1 = 3 1 ) (k = 3 3 b + 1 = 3 ) (k = 3 1 b + 1 = 3 3 ) und daraus für b die Werte b = b = 8 b = 6 Aus diesen drei Lösungen für b und k ergeben sich für a die Werte a = 486 bzw. a = 16 bzw. a = 78. Lösungspaare: (486; ), (16; 8), (78; 6)

4 Aufgabe 3: Teil a): Gewinnt Sheldon ein Spiel, so ist der jeweils ihm noch zur Verfügung stehende Betrag mit 1,4 zu multiplizieren, verliert er es, so ist der Betrag mit 0,6 zu multiplizieren. Wegen der Kommutativität der Multiplikation ist die Reihenfolge, in denen er die Spiele gewonnen bzw. verloren hat, unerheblich. Für den Restbetrag am Ende des Abends gilt somit: Restbetrag = 000 $ 1,4 8 0,6 8 = 495,75 $ Teil b): G: Geldmenge zu Beginn p: Anteil (des noch vorhandenen Geldes), den er jeweils setzt n: Anzahl der Spiele an diesem Abend g: verbliebene Geldmenge vor einem bestimmten Spiel Gewinnt er dieses Spiel, besitzt er anschließend g + pg = (1+p)g, verliert er, so beläuft sich sein Restgeld auf g pg = (1-p)g. Somit ist g entweder mit (1+p) oder mit (1-p) zu multiplizieren. Wegen des Kommutativgesetztes ist die Reihenfolge der n Faktoren (1+p) sowie der n Faktoren (1- p) irrelevant, und es ergibt sich nach den n Spielen ein Restbetrag in Höhe von: Restbetrag = G (1 + p) n (1 p) n = G ((1 + p) (1 p)) n = G (1 p ) n Da 0 < p < 1 ist, gilt (1 p ) n < 1. Somit hat er einen Verlust erlitten.

5 Aufgabe 4: b) Sei n die Nummer der Zeile: Die Gleichungen beginnen mit den Quadraten der ungeraden Zahlen (n + 1). Der zweite Summand ist das Quadrat von (n (n + 1) + n) = n² + n. (oder das Quadrat von (n+1) 1 = n² + n ) Die rechte Seite ist das Quadrat von (n (n + 1) + n + 1) = n² + n + 1. Daher ist für alle n zu zeigen: (n + 1) + (n + n) = (n + n + 1)². Linke Seite: (n + 1) + (n + n) = 4n² + 4n n 4 + 8n³ + 4n² = 4n 4 + 8n³ + 8n² + 4n + 1 Rechte Seite: (n + n + 1) = 4n 4 + 8n³ + 8n² + 4n + 1. Damit ist die Behauptung wahr. a) Aus der Lösung von b) folgt für die zehnte Zeile: