MATHEMATIK-STAFFEL Minuten Zeit für 20 Aufgaben. Die Gesamtzahl der zu erreichenden Punkte ist 500

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1 MATHEMATIK-STAFFEL Minuten Zeit für 20 Aufgaben. Die Gesamtzahl der zu erreichenden Punkte ist (20 Punkte) Eine lange Zahl Es werden die Jahreszahlen von 1 bis 2013 hintereinander (ohne Leerzeichen, ohne Komma o.ä.) aufgeschrieben: Wie viele Ziffern hat die dabei entstehende Zahl? 2 (30 Punkte) Abstand auf halbem Wege Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 1. Der Punkt S ist der Schnittpunkt des Kreises, der A als Mittelpunkt hat und durch B verläuft, mit dem Kreis, der B als Mittelpunkt hat und durch A verläuft. P ist der Punkt auf dem einen Kreis, der auf der Hälfte des Weges zwischen A und S liegt. Q ist der Punkt auf dem anderen Kreis, der auf der Hälfte des Weges zwischen B und S liegt. S P Q A B Welchen Abstand haben P und Q zueinander? 3 (20 Punkte) Reste Wir teilen 2009 durch eine einstellige positive ganze Zahl n und erhalten als Rest 5. Welchen Rest erhalten wir, wenn wir 2013 durch n teilen? 4 (20 Punkte)

2 Drei flächengleiche Teile Es sei ABCD ein Rechteck. Auf den Seiten AB und AD liegen wie in der Skizze Punkte P und Q, sodass das Rechteck durch die Strecken CP und CQ in drei flächengleiche Teile zerlegt wird. D C Q A P B Wie groß ist das Verhältnis AP : BP? (Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht!) 5 (30 Punkte) Schneller oder langsamer Herr Frei fährt zu seinem Urlaubsort. Wenn er 10 km/h schneller fährt, kommt er eine halbe Stunde früher an, wenn er 10 km/h langsamer fährt, kommt er 36 Min. später an. Wie viele Kilometer fährt er? 6 (30 Punkte) Schneewand Die erste Abbildung beschreibt eine geöffnete Schiebetür LVR, auf die man von oben herabschaut. Die Tür ist an L fest mit der Mauer verbunden. Beim Öffnen und Schließen läuft ihr rechtes Ende R auf der eingezeichneten Schiene entlang. Es ist V ein weiteres Scharnier. Die Strecke LV bzw. VR ist 80 bzw. 60 cm lang.

3 Nun wird die Tür geschlossen. Dabei wird ein Teil des Schnees bei Seite geschoben. Das ist in der zweiten Abbildung zu sehen. Der Rand der Schneewand besteht aus einem konkaven Stück (d.h. rechtsgekrümmt; von der linken Mauer bis P ) und einem konvexen Stück (d.h. linksgekrümmt; von P bis zur rechten Mauer). Beide Stücke treffen sich in P. Wie viele cm ist P von der Schiene entfernt? 7 (20 Punkte) Zusammen ein Achtel Gib alle Paare (n, m) ganzer Zahlen mit 0 < n m an, die erfüllen 1 n + 1 m = (20 Punkte) Ein Dodekaederstumpf Ein Dodekaederstumpf besteht aus zwölf Fünfecken und einer Menge von Dreiecken. Wieviele Dreiecke sind es genau? 9 (30 Punkte) Wahr oder Falsch Gegeben sei eine Liste von zwanzig Aussagen, von denen jede entweder wahr oder falsch ist. Die Aussagen tragen die Nummern 1 bis 20. Die Aussagen 6 bis 20 lauten: Von den vorherigen fünf Aussagen ist eine ungerade Anzahl wahr.

4 Die Aussagen 20 und 16 sind beide wahr; die Aussagen 19, 18 und 17 sind falsch. Welche der ersten fünf Aussagen sind wahr? (Gib die Nummern der Aussagen an.) 10 (30 Punkte) Arbeitsteilung Arbeiten alle Handwerker gemeinsam, so ist die Arbeit in 12 Tagen getan. Sind drei der Handwerker krank, so dauert es 14 Tage. Wie lange müssen die verbleibenden Handwerker arbeiten, wenn sieben von ihnen krank sind? 11 (20 Punkte) Faltlinie Die Abbildung zeigt ein Rechteck mit Länge 2 und Breite 1. Wir falten es so, dass zwei diagonal gegenüberliegende Eckpunkte aufeinander liegen. Wie lang ist die Faltlinie? 12 (30 Punkte) Pythagoras Wir schreiben daswort PYTHAGORAS in ein 2 5-Rechteck. Dabei steht jeder Buchstabe in genau einem Feld. Benachbarte Buchstaben müssen in benachbarten Feldern stehen, gegebenenfalls diagonal. Der Buchstabe P muss im mittleren Feld der unteren Reihe stehen. Die Abbildung zeigt ein Beispiel. A O G Y T R S P A H Wieviele Möglichkeiten haben wir, das Wort PYTHAGORAS zu schreiben, wenn wir von diesem Feld starten?

5 13 (20 Punkte) Ein Mittelwert Von einem Klausurergebnis ist bekannt: Fünf Teilnehmer erreichten die Maximalzahl von 100 Punkten, Jeder Teilnehmer hatte mindestens 60 Punkte, Die durchschnittliche Punktzahl war 76. Wie viele Personen haben mindestens an der Klausur teilgenommen? 14 (30 Punkte) Eine Gleichung 3. Grades Gesucht sind alle Lösungen (x,y) N N der kubischen Gleichung Gib alle Lösungspaare (x,y) an. x 3 y 3 = 3xy (20 Punkte) Ein Achteck Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 6. Die Eckpunkte des Quadrates werden mit den Mittelpunkten der nicht angrenzenden Seiten durch Strecken verbunden. So entsteht im Inneren des Quadrates ein Achteck. Wie groß ist der Umfang dieses Achtecks? 16 (20 Punkte) Socken und Schuhe Eine Katze hat für jeden ihrer 4 Pfoten eine spezielle Socke und einen speziellen Schuh, wobei sie natürlich immer zuerst die Socke und dann den Schuh anzieht. In wie viel verschiedenen Reihenfolgen kann die Katze alle Socken und Schuhe anziehen?

6 17 (20 Punkte) Ein Dezimalbruch Eine rationale Zahl ist als Dezimalbruch gegeben, der mit 0, beginnt. Jede folgende Ziffer ist die absolute Differenz der beiden vorhergehenden. Diese Zahl soll jetzt als gekürzter Bruch geschrieben werden. Welches ist der Zähler dieses gekürzten Bruches? 18 (30 Punkte) Zwei verschiedene Abstände Zwischen 4 verschiedenen Punkten in der Ebene gibt es 6 Abstände, die teilweise gleich oder verschieden sein können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 4 Punkte in der Ebene so anzuordnen, dass zwischen ihnen nur 2 verschiedene Abstände existieren? 19 (30 Punkte) Ein wackelnder Tisch Ein ellipsenförmiger Couchtisch hat eine lange Achse von 160 cm und eine kurze Achse von 120 cm. An den Enden der langen Achse hat der Tisch zwei Beine, die 70 cm lang sind, an den Enden der kurzen Achse zwei Beine, die 50 cm lang sind. Auf ebenem Boden wackelt daher der Tisch. Wenn der Tisch auf einem Boden steht, der die Form einer Kugel mit genügend großem Radius hat, wackelt der Tisch nicht mehr. Wie groß ist der Radius einer solchen Kugel? 20 (30 Punkte) Das Haus des Nikolaus Bekanntlich kann man das Haus des Nikolaus zeichnen, ohne den Stift vom Papier zu nehmen und ohne Linien doppelt zu zeichnen.

7 Wie viele Möglichkeiten gibt es, das Haus des Nikolaus auf diese Weise zu zeichnen? [Jede solche Zeichnung kann natürlich in zwei Richtungen ausgeführt werden, dies soll jedoch als eine Möglichkeit gezählt werden.]

8 MATHEMATIK-STAFFEL 2013 Antworten : km 6 48 cm 7 (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16) und Tage (x, y) = (6, 1) und (x, y) = (9, 7) cm 20 44