Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2005:

Transkript

1 Inhalt der Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtteil Wahlteil ufgabe W1 10 Wahlteil ufgabe W 14 Wahlteil ufgabe W3 18 Wahlteil ufgabe W4 3 Wichtige Hinweise zum opyright: Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und nur für die eigene Nutzung zugelassen Kopieren und Vervielfältigen der vorliegenden Datei ist verboten! Jede Nutzung in anderen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlags Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung vervielfältigt oder in ein Netzwerk eingestellt werden Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen ildungseinrichtungen usgenommen von diesen Regelungen ist die Verwendung für folgende Unterrichtszwecke: So dürfen Lehrkräfte alle Dateien der D zu Unterrichtszwecken ausdrucken, mit elektronischen Projektionsverfahren (wie Laptop und eamer) einsetzen und von allen Dateien OHP-Folien erstellen Verboten ist allerdings die Weitergabe der Dateien auf elektronischen Datenträgern Verstöße werden strafrechtlich verfolgt! Mathematik-Verlag 013, Mosbach Mathematik-Verlag Rainer Hild Steige Mosbach Internet: wwwmatheverlagcom info@matheverlagcom

2 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich ufgabe P1: erechnung des Pyramidenvolumens: Für das Volumen V p einer Pyramide gilt: V P = 1 3 a h Dabei ist a die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche und h die Höhe der Pyramide Zur erechnung des Volumens müssen also die Kantenlänge a und die Höhe h bestimmt werden erechnung der Kantenlänge a: Die Kantenlänge a berechnet man, indem man die angegebene Mantelfläche M = 54,9 cm und die Seitenhöhe h s = 6,1 cm in die Mantelformel einer a hs quadratischen Pyramide M = 4 = a h s einsetzt: 54,9 = a 6,1 54,9 = 1,a : 1, 4,5 = a bzw a = 4,5 cm erechnung der Höhe h: Für die Höhe h gilt im Dreieck MD : h = h s,5 h = 6,1,5 h = 5,67 cm Damit erhält man für das Pyramidenvolumen V P = 1 3 a h : V P = 38,7 cm 3 M 4,5 cm h h s = 6,1 cm,5 cm D ufgabe P: erechnung der Oberfläche des zusammengesetzten Körpers: Die Oberfläche O ges des zusammengesetzten Körpers setzt sich aus dem Kegelmantel M Ke, dem Mantel des Zylinders M Z und der kreisförmigen Grundfläche G des Zylinders Es gilt also: O ges = M Ke + M Z + G O ges = π r Ke s + π r Z h z + π r Z (siehe Formelsammlung) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

3 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich erechnung des Kegel- bzw Zylinderradius r Ke = r Z : Der Kegelradius kann man mithilfe des angegebenen Kegelvolumens berechnet werden Ke Es gilt: V Ke = π 3 r h Und mit den angegebenen Werten folgt Ke s = h Z r Ke = r Z 9,0 cm 115 = π 3 r Ke 9 h Z 115 = 9,4 r Ke 1,1 = r Ke :9,4 r Z 3,49 = r Ke bzw r Ke = 3,5 cm Und damit auch: r Z = 3,5 cm erechnung der Zylinderhöhe h Z bzw der Seitenlänge s: Die Seitenlänge s erhält man mit dem Satz des Pythagoras Im Dreieck M gilt: s = 3,5 + 9,0 s = h Z 9,0 cm s = 93,5 s = 9,66 cm 3,5 cm M Damit ist laut ufgabenstellung auch h Z = 9,66 cm h Z 3,5 cm Durch Einsetzen der oben berechneten Werte in die Oberflächenformel O ges = π r Ke s + π r Z h z + π r Z erhält man: O ges = π 3,5 9,66 + π 3,5 9,66 + π 3,5 O ges = 106, cm + 1,43 cm + 38,48 cm O ges = 357,13 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 3

4 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich ufgabe P3: Die Lösung der Gleichung: (x 5) (3x + 4) ( 3x) = (x + 3) + 67 (4x 10) (3x + 4) (4 1x + 9x ) = x + 6x x + 16x 30x x 9x = x + 6x x x 44 = x + 6x + 76 ( x + 6x + 76) x 8x 10 = 0 : x 4x 60 = 0 p p Mit der p,q-formel x1, ( ) x = = 10 1 x = +60 = 6 = ± q erhält man: Damit lautet die Lösungsmenge: IL = { 6; 10 } ufgabe P4: erechnung der Parabelgleichung: Zur erechnung der Parabelgleichung benötigt man deren Scheitelpunkt Da der Scheitelpunkt der Schnittpunkt zwischen den Geraden g 1 und g sein soll, muss man beide Geraden miteinander schneiden Dazu benötigt man allerdings zuerst die Geradengleichung von g erechnung der Geradengleichung von g : Da die Steigung der Geraden g bekannt ist (m = 1 ), fehlt zur vollständigen Funktionsgleichung nur noch der y-chsenabschnitt b: g : y = 1 x + b Den Wert für b erhält man durch Einsetzen der Punktkoordinaten von P(0 3): 3 = b 3 = b bzw b = 3 Die Gerade g hat also die Gleichung: y = 1 x + 3 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 4

5 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich erechnung des Scheitelpunkts bzw des Schnittpunkts der Geraden g 1 und g : Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt: x = 1 x x +,5x = 5 :(,5) x = Die y-koordinate erhält man, indem man diesen Wert x = in eine der beiden Geradengleichungen einsetzt Einsetzen in y = 1 x + 3 ergibt: y = 1 ( ) + 3 = Der Schnittpunkt und damit auch der Scheitelpunkt der Parabel p hat die Koordinaten S( ) Indem man nun die Koordinaten von S( ) in die Scheitelform y = (x d) + c einsetzt, erhält man die gesuchte Parabelgleichung: y = (x ( )) + y = (x + ) + y = x + 4x y = x + 4x + 6 Die Parabel hat also die Gleichung p: y = x + 4x + 6 ufgabe P5: erechnung der Strecke E: Die Strecke E kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden Im Dreieck FE gilt: D E E = EF + F E = EF + F 8,0 cm Es müssen also noch die Strecken EF und F berechnet werden 57 F Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 5

6 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich erechnung der Strecke EF : D E Die Strecke EF kann mit der Sinusfunktion im Dreieck FE berechnet werden Es gilt: sin 57 = EF 8,0 8,0 8,0 sin 57 = EF bzw EF = 6,71 cm 57 8,0 cm F erechnung der Strecke F: Für die Strecke F gilt: F = F Weil das Viereck D ein Quadrat ist, gilt = EF Und damit ist = 6,71 cm Die Strecke F kann mit der Kosinusfunktion im Dreieck FE berechnet werden Es gilt: cos 57 = F 8,0 8,0 8,0 cos 57 = F bzw F = 4,36 cm Für F = F ergibt sich also: F =,35 cm Und damit erhält man für E = EF E = 7,11 cm + F : ufgabe P6: erechnung der Strecke E : Zunächst müssen die Hilfslinien F und EF eingezeichnet werden Die Strecke E kann dann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden Im Dreieck FE gilt: E E = F + EF E = F + EF Zur erechnung von E benötigt man also noch die Strecken F und EF F ,4 cm D Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 6

7 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich erechnung der Strecke F : E Für die Strecke F gilt: F = M 1 + M M 1 ist die Hälfte von = 5,4 cm Es gilt also: M 1 =,7 cm Die Strecke M kann mit der Kosinusfunktion im Dreieck M E berechnet werden Es gilt: cos 74 = M 10,3 10, ,3 cm F M 1 M D 10,3 cos 74 = M M =,84 cm Damit ergibt sich für F = M 1 + M : F = 5,54 cm erechnung der Strecke EF : Für die Strecke EF gilt: EF = EM FM Die Strecke EM kann mit der Sinusfunktion im Dreieck M E berechnet werden Es gilt: sin 74 = EM 10,3 10,3 10,3 sin 74 = EM bzw EM = 9,90 cm Für die Strecke FM gilt: FM = M 1 E M 1 kann im Dreieck M 1 mit der Tangensfunktion berechnet werden Es gilt: tan 48 = M 1,7,7 tan 48 = M 1,7 M 1 = FM = 3,0 cm F Damit ergibt sich für EF = EM FM : EF = 6,90 cm M,7 cm 1 M D Durch Einsetzen der Werte F = 5,54 cm und EF = 6,90 cm in die Formel E = F erhält man: E = 8,85 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 7 + EF

8 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich ufgabe P7: erechnung des Zinssatzes im dritten Jahr: Um den Zinssatz im dritten Jahr berechnen zu können, benötigt man das Kapital am Ende des dritten Jahres und am nfang des dritten Jahres erechnung des Endkapitals nach drei Jahren: Da sich das Startkapital K 0 = 8000 in den drei Jahren um 8,73 % erhöht, beträgt das Endkapital K 3 = 1, = 8698,40 erechnung des Kapitals am nfang des dritten Jahres: Das Kapital am nfang des dritten Jahres erhält man, indem man die gesamte Kapitalentwicklung verfolgt Mit K 0 = 8000 ergibt sich: Jahr Kapital am Jahresanfang Zinsfaktor q Kapital am Jahresende Zinsen ,0 8160, ,00 Wird nicht benötigt 8160, ,00 = 8364,00 04, ,00 q , (Die roten Zahlen sind berechnet worden) Dabei gelten die eziehungen: 1) (Kapital am Jahresanfang) x (Zinsfaktor q) = (Kapital am Jahresende) ) Zinsfaktor q = 1+ p 100 3) Kapital am Jahresanfang + Zinsen dieses Jahres = Kapital am Jahresende Den Zinsfaktor q 3 im dritten Jahr erhält man, indem man das Endkapital (= 8698,40 ) durch das Kapital am nfang des dritten Jahrs teilt: q 3 = 8698,40 : 8364,00 q 3 = 1,04 Dies entspricht einem Zinssatz von 4 % im dritten Jahr Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 8

9 005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich ufgabe P8: Zur eantwortung aller drei Fragen benötigt man die Formel für den erhöhten bzw verringerten Grundwert: G ± = q G erechnung der prozentualen Verringerung der Miete einer 4-Zimmer-Wohnung: Der Mietpreis der Großstadt ist der Grundwert G, und der Mietpreis der Kleinstadt ist der verringerte G Für den Vergleich der Preise einer 4-Zimmer-Wohnung ergibt sich durch Einsetzen in die obige Gleichung: 615 = q 750 :750 0,8 = q bzw q = 0,8 Dies entspricht einer prozentualen Verringerung um 18 % gegenüber der Großstadtmiete für eine 4-Zimmer-Wohnung erechnung des Mietpreises einer -Zimmer-Wohnung in der Großstadt: Man muss davon ausgehen, dass die prozentuale Veränderung unabhängig von der Zimmerzahl ist Der Mietpreis M einer -Zimmer-Wohnung ist also in der Kleinstadt ebenfalls um 18 % günstiger Mit dem Veränderungsfaktor q = 0,8 erhält man die Gleichung: 369 = 0,8 M : 0,8 450 = M bzw M = 450 erechnung der Mietpreise für eine 1-Zimmer-Wohnung: Der Mietpreis für eine 1-Zimmer-Wohnung in der Großstadt sei M 1 Dann beträgt die Miete in der Kleinstadt M 1 54 Mit dem Veränderungsfaktor q = 0,8 erhält man die Gleichung: M 1 54 = 0,8 M 1 1 M 1 54 = 0,8 M 1 0,8 M ,18 M 1 = 54 : 0,18 M 1 = 300 (= Mietpreis in der Großstadt) Der Mietpreis in der Kleinstadt ist laut ufgabenstellung um 54 geringer, er beträgt also nur 46 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 9

10 005 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W1 ufgabe W1a: Lösungsübersicht: Zur erechnung der Länge GF muss man das Dreieck FHG einzeichnen (siehe Figur 1) Darin kann GF mit der Sinusfunktion berechnet werden Die dazu benötigte Strecke FH ist die Oberseite des gleichschenkligen Trapezes HF In diesem Trapez gilt: F = H = 3,0 cm ußerdem sind beide asiswinkel gleich groß (= 65 ) (siehe Figur ) Mit diesen Werten kann die Strecke FH und damit auch GF berechnet werden Zur erechnung des Flächeninhalts des Vierecks GF muss man das Viereck in das Trapez HF und in das rechtwinklige Dreieck FHG aufteilen Um sowohl die Trapezfläche als auch die Dreiecksfläche berechnen zu können, benötigt man außer den im ersten Teil berechneten Längen, FH und GF noch die Länge der Trapezhöhe h und der Strecke GH (siehe Figur 3) Die Höhe h kann mit der Sinusfunktion berechnet werden, die Strecke GH kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck FHG berechnet werden erechnung der Strecke GF: Da alle Seiten der Pyramide gleichschenklig sind, ist der Winkel ŒS genauso groß wie β = 65 Und wegen der Parallelität von FH und ist auch der Winkel ŒFHG 65 Somit gilt im Dreieck FHG mit der Sinusfunktion: GF sin 65 = FH FH E S G H F 65,0 65 GF = FH sin 65 erechnung der Strecke FH: Figur 1 65,0 Für die Strecke FH gilt: FH = 5,6 cm x Und die Strecke x kann mit der Kosinusfunktion im markierten Dreieck berechnet werden Es gilt: x cos 65 = 3,0 x = 1,7 cm 3,0 65 3,0 cm F x 5,6 cm H x 3,0 cm 65 Und damit folgt: FH = 3,06 cm Figur Und für GF = FH sin 65 erhält man: GF =,77 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 10

11 005 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W1 erechnung des Flächeninhalts des Vierecks GF: Der Flächeninhalt des Vierecks GF setzt sich aus dem Trapez HF und dem rechtwinkligen Dreieck HGF zusammen: = T + D F,77 cm 3,06 cm G H Es gilt also (siehe Formelsammlung): = 5,6 + 3,06 h +,77 GH 3,0 cm 5,6 cm h 3,0 cm 65 Figur 3 erechnung der Trapezhöhe h: Die Trapezhöhe h kann mit der Sinusfunktion im grünen Dreieck berechnet werden Darin gilt: sin 65 = 3,0 sin 65 = h h 3,0 3,0 3,0 cm F,77 cm 3,06 cm G H h 3,0 cm h =,7 cm 5,6 cm 65 Figur 4 erechnung der Strecke GH: Die Strecke GH erhält man mit dem Satz des Pythagoras im blauen Dreieck FHG Es gilt: GH = 3,06 -,77 GH = 1,70 GH = 1,30 cm Damit folgt für den gesuchten Flächeninhalt = 5,6 + 3,06 h +,77 GH : = 5,6 + 3,06,7 +,77 1,30 = 11,78 + 1,80 = 13,6 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 11

12 005 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W1 ufgabe W1b: Lösungsübersicht: Die zu beweisende Formel kann im markierten Dreieck der Figur 1 nachgewiesen werden, wenn man die Strecken x und y in bhängigkeit von e kennt Die Strecke x kann im Dreieck mithilfe der Kosinusfunktion in bhängigkeit von e ausgedrückt werden (siehe Figur ) Die Strecke y kann im Dreieck D mit dem Satz des Pythagoras in bhängigkeit von e ausgedrückt werden (siehe Figur 3) Nachweis der Formel tan α 1 = 1 / 3 : Für tan α 1 gilt im blau markierten Dreieck: tan α 1 = x y e 5 x e α 1 y Figur 1 erechnung der Strecke x: Die Strecke x kann mit der Kosinusfunktion im Dreieck in bhängigkeit von e berechnet werden Für den Winkel Œ gilt: Œ = = 45 Für x gilt: cos 45 = x e e cos 45 = x e α 1 e 5 y Figur 45 x 135 e x = e cos 45 Mit cos 45 = folgt: (s Formelsammlung) x = e Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 1

13 005 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W1 erechnung der Strecke y: Die Strecke y kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck D in bhängigkeit von e berechnet werden Darin gilt: e 5 e y = ( ) y = e 5 e 4 y = 5e 0,5e D α 1 e 5 y Figur 3 x = e e y = 4,5e y = e 4,5 Durch Einsetzen von x = e und y = e 4,5 in tan α 1 = x y tan α 1 = e e 4,5 erhält man: tan α 1 = tan α 1 = tan α 1 = tan α 1 = e e 4,5 4,5 4,5 9 4,5 4,5 4,5 (Rationalmachen des Nenners) tan α 1 = 3 9 tan α 1 = 1 3 Was zu beweisen war Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 13

14 005 Wahlbereich ufgabe W Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W ufgabe Wa: Lösungsübersicht: Zur erechnung der Geradengleichung benötigt man zunächst die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel Diese Scheitelkoordinaten bestimmt man mithilfe einer quadratischen Ergänzung der angegebenen Parabelgleichung Durch Einsetzen der Koordinaten der beiden Geradenpunkte S und P in die Gleichung y = mx + b erhält man ein Gleichungssystem, das nach m und b aufgelöst werden kann Um die Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen zu können, muss man die Gleichung der Parabel p kennen Diese Gleichung erhält man, indem man die Koordinaten von S in die Scheitelform y = (x x s ) + y s einsetzt Die fehlende Koordinate y s berechnet man mithilfe der Gleichung der Geraden g 1, auf der der Scheitelpunkt S liegt Durch Gleichsetzen der beiden Parabelgleichungen p 1 und p werden dann die Koordinaten des Schnittpunkts berechnet Zur erechnung der Koordinaten des Schnittpunkts zwischen g und der Parabel p benötigt man zunächst die Gleichung der Geraden g Da g parallel zu g 1 verlaufen soll, hat sie die gleiche Steigung wie g 1 Den y-chsenabschnitt von g bestimmt man durch Einsetzen der Koordinaten von in die Gleichung y = mx + b Durch Gleichsetzen der Gleichung der Geraden g mit der Parabelgleichung p werden dann die Koordinaten des gesuchten Schnittpunkts berechnet erechnung der Gleichung der Geraden g 1 : Die Geradengleichung von g 1 wird mit den Koordinaten des Scheitels von p 1 und dem Punkt P(6 5) berechnet, durch die die Gerade g 1 laufen soll Die Scheitelkoordinaten der Parabel p 1 : y = x + 4x + 1 werden folgendermaßen berechnet: erechnung der Scheitelkoordinaten von p 1 : Eine quadratischen Ergänzung von y = x + 4x + 1 ergibt: y = x + 4x y = (x + ) y = (x + ) 3 Damit hat der Scheitel die Koordinaten S 1 ( 3) Die Geradengleichung kann man nun mithilfe der beiden Geradenpunkte S 1 ( 3) und P(6 5) berechnen: Durch Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte in die allgemeine Gleichung y = m x + b erhält man folgende zwei Gleichungen: Mit S 1 ( 3): 3 = m ( ) + b 3 = m + b (I) Mit P(6 5) : 5 = m (6) + b 5 = 6m + b (II) (I) (II) ergibt: 8 = 8m :( 8) m = 1 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 14

15 005 Wahlbereich ufgabe W Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W Einsetzen von m = 1 in Gleichung (II) 5 = 6m + b ergibt: 5 = b 5 = 6 + b 6 1 = b bzw b = 1 Die Funktionsgleichung der Geraden g 1 lautet also: y = x 1 erechnung des Schnittpunkts zwischen den beiden Parabeln: Den Schnittpunkt berechnet man durch Gleichsetzen der beiden Parabelgleichungen Zunächst benötigt man die Funktionsgleichung der Parabel p erechnung der Parabelgleichung p : Man erhält diese durch Einsetzen der Koordinaten des Scheitels S (3 y s ) in die Scheitelform y = (x x s ) + y s Zuvor muss allerdings die Koordinate y s berechnet werden: erechnung der Koordinate y s : Da S auf der Geraden g 1 liegt, erhält man die y-koordinate y s durch Einsetzen der x-koordinate x = 3 in die Geradengleichung g 1 : y = x 1 Man erhält: y s = 3 1 = Der Scheitel der Parabel p hat also die Koordinaten S (3 ) Einsetzen der Scheitelkoordinaten von S (3 ) in die Scheitelform y = (x x s ) + y s ergibt: y = (x 3) + y = x 6x y = x 6x + 11 Die Parabel p hat also die Funktionsgleichung y = x 6x + 11 Den Schnittpunkt beider Parabeln erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsterme: x + 4x + 1 = x 6x + 11 x 4x + 1 = 6x x 1 10x = 10 :1 x = 1 Die y-koordinate erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Parabelgleichungen Einsetzen in y = x + 4x + 1 ergibt: y = = 6 Der Schnittpunkt beider Parabel hat also die Koordinaten (1 6) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 15

16 005 Wahlbereich ufgabe W Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W erechnung des Schnittpunkts zwischen g und p : Den gesuchten Schnittpunkt berechnet man durch Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen Zunächst benötigt man also die Funktionsgleichung der Geraden g erechnung der Gleichung der Geraden g : Da g parallel zu g 1 verläuft ist die Steigung m von g ebenfalls: m = 1 Den y-chsenabschnitt b erhält man durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes (1 6) in die Gleichung y = 1 x + b: 6 = b 6 = 1 + b 1 5 = b bzw b = 5 Die Geradengleichung von g lautet also: y = x + 5 Den Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Parabel p erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsterme: x 6x + 11 = x + 5 x 5 x 7x + 6 = 0 p p Mithilfe der p,q-formel x1, ( ) x 1 = 3,5 + 3,5 6 x = 3,5 3,5 6 = 6 = 1 = ± q erhält man: Die y-koordinaten erhält man jeweils durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen Einsetzen von x 1 = 6 in y = x + 5 ergibt: y 1 = 11 Der eine Schnittpunkt hat also die Koordinaten (6 11) Einsetzen von x = 1 in y = x + 5 ergibt: y = 6 Der zweite Schnittpunkt zwischen g und p ist der Punkt (1 6) ufgabe Wb: Die ruchgleichung: x + 57x 1 x + 1 3x 1 = 6(x 4)(x +3) 3x 1 x + 6 Lösungsübersicht: Zunächst faktorisiert man alle Nenner soweit wie möglich, um den Hauptnenner bestimmen zu können Die Werte, bei denen der Hauptnenner 0 wird, gehören nicht zur Definitionsmenge Indem man die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert, erhält man eine äquivalente, nennerfreie Gleichung Die Lösungen dieser Gleichung bilden die Lösungsmenge, sofern sie in der Definitionsmenge enthalten sind Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 16

17 005 Wahlbereich ufgabe W Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W estimmen des Hauptnenners und der Definitionsmenge: Faktorisieren der Nenner und estimmen des Hauptnenners: 1 Nenner = 6(x 4) (x + 3) = 6 (x 4) (x + 3) Nenner = 3x 1 = 3(x 4) = 3 (x 4) 3 Nenner = x + 6 = (x + 3) = (x + 3) Hauptnenner = 6 (x 4) (x + 3) Der Hauptnenner wird 0 für x 1 = 4 und x = 3 Damit lautet die Definitionsmenge: ID = IR \ { 3 ; 4} erechnen der Lösungsmenge: Erweitern aller rüche auf den HN = 6 (x 4) (x + 3) ergibt: x + 57x 1 (x + 1) (x + 3) (3x 1) 3(x 4) = 6(x 4)(x +3) (3x 1) (x + 3) (x + 6) 3(x 4) HN Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner fallen alle Nenner weg: x + 57x 1 = (x + 1) (x + 3) (3x 1) 3(x 4) x + 57x 1 = (x + 1) (x + 6) (3x 1) (3x 1) x + 57x 1 = 4x + 1x + x + 6 [9x 36x 3x + 1] x + 57x 1 = 4x + 14x + 6 9x + 36x + 3x 1 x + 57x 1 = 5x + 53x 6 +5x 53x + 6 3x + 4x 15 = 0 :3 x x 5 = 0 ( ) x 1 = = 5 3 und ( ) x = + 5 = Da x = 3 nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge: IL = { 5 3 } Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 17

18 005 Wahlbereich ufgabe W3 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W3 ufgabe W3a: Lösungsübersicht: Zur erechnung des Pyramidenvolumens muss man noch die Pyramidenhöhe h und die Höhe h 1 eines Grundflächendreiecks berechnen (siehe Figur 1) Die Höhe h kann im Dreieck M 1 S mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn man die Seitenhöhe h s kennt (siehe Figur 3) Die Seitenhöhe h s lässt sich mit der angegebenen Mantelfläche M bestimmen Die Dreieckshöhe h 1 kann im Dreieck M 1 mit der Tangensfunktion bestimmt werden (siehe Figur ) erechnung des Pyramidenvolumens: Für das Volumen der Pyramide gilt: V = 1 3 G h Die Grundfläche G setzt sich aus 9 gleichschenkligen Dreiecken zusammen Jedes dieser Dreiecke (M) hat den Flächeninhalt = a h 1 Damit ist die Grundfläche G = 9 a h 1 = 4,5 a h 1 Und mit a = 6,4 cm folgt: G = 8,8 h 1 Damit folgt für das Volumen: V = 1 3 8,8 h 1 h Zur erechnung von V benötigt man also noch die Dreieckshöhe h 1 und die Pyramidenhöhe h a = 6,4 cm h 1 S h Figur 1 erechnung der Dreieckshöhe h 1 : Die Höhe h 1 kann mit der Tangensfunktion im Dreieck M 1 berechnet werden Es gilt: tan 0 = 3, h 1 h h 1 tan 0 = 3, : tan 0 Hinweis: h 1 = 8,79 cm Der Winkel Œ ist = 360 : 9 = 40 Da die Höhe h 1 das (gleichschenklige) Dreieck halbiert, beträgt der Winkel ŒM 1 = 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 18 3, cm M 1 h 1 Figur

19 005 Wahlbereich ufgabe W3 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W3 erechnung der Pyramidenhöhe h: Die Höhe h kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden Im Dreieck M 1 S gilt: S h = h s 8,79 h = h s 77,6 Die Seitenhöhe h s kann man mit der gegebenen Mantelfläche M = 300 cm berechnen Für den Mantel der neunseitigen Pyramide gilt: M = 9 a h s = 4,5 a h s Und mit a = 6,4 cm: h s h M = 8,8 h s Mit M = 300 cm ergibt sich: 300 = 8,8 h s : 8,8 M 1 8,79 cm Figur 3 10,4 = h s h s = 10,4 cm Damit ergibt sich für h = h s 77,6 : h = 5,60 cm Durch Einsetzen von h 1 = 8,79 cm und h = 5,6 cm in die Gleichung V = 1 3 8,8 h 1 h erhält man schließlich: V = 47,6 cm 3 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 19

20 005 Wahlbereich ufgabe W3 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W3 ufgabe W3b: Lösungsübersicht: Die Gleichung r = e kann mit der Mantelfläche M = π r s für den Kegel nachgewiesen werden, wenn man die Mantelfläche M und die Seitenlinie s des Kegels in bhängigkeit von e kennt M und s werden folgendermaßen in bhängigkeit von e bestimmt: Die Seitenlinie s des Kegels ist gleichzeitig der Radius der angegebenen Kreisausschnitte K 1 und K und damit auch gleich der Seitenlinie des Kegels 1 (siehe Figur ) Die Seitenlinie s kann mit dem Satz des Pythagoras im markierten Dreieck der Figur 1 berechnet werden Den dazu benötigten Kegelradius r 1 erhält man mithilfe des angegebenen Volumens von Kegel 1 Zur erechnung des Kegelmantels M muss man beachten, dass M gleich dem Kreisausschnitt K ist Die Fläche von K kann in bhängigkeit von e bestimmt werden, wenn man den Winkel α des Kreisausschnitts kennt Der Radius dieses Kreisausschnitts ist die Seitenlinie s, die schon zuvor berechnet wurde (siehe Figur ) Für den Winkel α gilt: α = 360 α 1 Der Winkel α 1 kann über die Mantelfläche M 1 des Kegels 1 bestimmt werden (siehe Figur 3) Nachweis der eziehung r = e: Die Gleichung r = e kann mit der Mantelformel M = π r s für den Kegel nachgewiesen werden uflösen nach r ergibt: M = π r s : (π s) M π s = r bzw r = M π s erechnung der Mantellinie s in bhängigkeit von e: Die Mantellinie s kann mit dem Satz des Pythagoras im markierten Dreieck des Kegels 1 berechnet werden Es gilt: s = (4e) + (r 1 ) 4e s r 1 erechnung des Kegelradius r 1 in bhängigkeit von e: Figur 1 Für das Kegelvolumen V 1 gilt: V 1 = π 3 r h (siehe Formelsammlung) Mit V 1 = 1 π e 3 und h 1 = 4e folgt: 1 π e 3 = π 3 r 1 4e 3 : π 36 e 3 = r 1 4e 9e = r 1 : 4e 3e = r 1 bzw r 1 = 3e Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 0 1 1

21 005 Wahlbereich ufgabe W3 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W3 Durch Einsetzen von r 1 = 3e in s = (4e) + (r 1 ) erhält man: s = 16e + 9e s = 5e s = 5e erechnung der Mantelfläche M = K und des Radius r in bhängigkeit von e: Für die Mantelfläche M gilt: M = K Und für K gilt: K = π R α 360 (siehe Formelsammlung) Der Radius des Kreisausschnitts R ist gleich der Seitenlinie s = 5e: s = 5e s = 5e s = 5e K1 K Kegel 1 Kegel Figur Mit R = 5e folgt: K = π (5e) α 360 bzw M = π (5e) α 360 erechnung der Winkels α in bhängigkeit von e: Für den Winkel α gilt: α = 360 α 1 Den Winkel α 1 kann man mit der Gleichung M 1 = K 1 berechnen Mit K 1 = π (5e) α und M 1 = π r 1 s erhält man die Gleichung: 5e K 1 = M 1 α 1 α K = M π r 1 s = π (5e) α Mit r 1 = 3e und s = 5e folgt: π 15e = π (5e) α Figur 3 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 1

22 005 Wahlbereich ufgabe W3 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W3 π 15e = π 5e α :(π e ) 15 = 5 α = 5 α 1 :5 16 = α 1 bzw α 1 = 16 Damit ist α = 144 Und mit α = 144 folgt durch Einsetzen in M = π (5e) α 360 : M = π (5e) M = 10π e Durch Einsetzen von s = 5e und M = 10π e in die usgangsformel r = 10π e r = π 5e r = e Was zu beweisen war M π s erhält man: Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

23 005 Wahlbereich ufgabe W4 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W4 ufgabe W4a: Lösungsübersicht: Zur erechnung der Fläche des Dreiecks benötigt man die Länge der Dreiecksgrundseite und die Dreieckshöhe h = M (siehe Figur 1) Die Strecken und M können folgendermaßen berechnet werden: Die Strecke ist die Diagonale der quadratischen Grundfläche des Pyramidenstumpfs Da man die Seitenlänge a 1 dieses Quadrats kennt, kann die Diagonale mit der entsprechenden Formel berechnet werden Die Strecke M kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck MD berechnet werden (siehe Figur ) Die dazu benötigten Strecken D und h werden so berechnet: D ist die halbe Diagonale der oberen Quadratfläche und kann mit a = 6, cm und der entsprechenden Formel berechnet werden Die Stumpfhöhe h erhält man mit dem Satz des Pythagoras im markierten Dreieck der Figur 3 erechnung des Flächeninhalts des Dreiecks : Die Höhe des (gleichschenkligen) Dreiecks ist die Strecke M bezüglich der Seite Damit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks : = M (siehe Formelsammlung) Die Strecke ist die Diagonale im Quadrat mit der Seitenlänge a 1 = 10,8 cm Damit gilt für : = 10,8 a 1 M a s = 15,7 cm M Figur 1 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 3

24 005 Wahlbereich ufgabe W4 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W4 erechnung der Strecke M: Die Strecke M kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck MD berechnet werden Darin gilt: M = D + h M = D + h Die Strecke D ist die halbe Diagonale des oberen Quadrats mit der Seitenlänge a = 6, cm Es gilt also: D = 0,5 6, D = 4,38 cm Die Höhe h kann ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras im grünen Dreieck berechnet werden a 1 D h M a Figur s Darin gilt: h = s x h = s x D a Die Seitenkante s ist vorgegeben (s = 7,5 cm), und die Strecke x ist die Differenz der halben Diagonalen: x = 5,4 4,38 = 3,6 cm Damit folgt für die Höhe h = s h = 6,75 cm x : Für die Strecke M folgt damit: M = 8,05 cm a 1 h s = 7,5 cm M x Figur 3 Durch Einsetzen der Werte M = 8,05 cm und = 15,7 cm in = = 61,46 cm M erhält man: Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 4

25 005 Wahlbereich ufgabe W4 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W4 ufgabe W4b: Lösungsübersicht: Zur erechnung der Trapezfläche DEF benötigt man außer der bekannten Strecke FE (= 5 cm) noch die Trapezhöhe h und die Länge der Strecke D (siehe Figur 1) eide Strecken können folgendermaßen berechnet werden: Die Trapezhöhe h kann mit der Sinusfunktion im Dreieck GF berechnet werden (s Figur ) Die Strecke D kann mit dem zweiten Strahlensatz berechnet werden (siehe Figur 3) Die dazu benötigte Strecke kann im Dreieck mit der Sinusfunktion berechnet werden (siehe Figur 4) erechnung der Trapezfläche von DEF: Für den Flächeninhalt T des Trapezes DEF gilt: T = (D + FE) h (siehe Formelsammlung) Die Strecke FE ist bekannt: FE = 5,0 cm Es müssen also noch die Strecken h und D berechnet werden F 5,0 cm E h α D Figur 1 erechnung der Trapezhöhe h: Die Länge der Höhe h kann mit der Sinusfunktion im Dreieck GF berechnet werden Es gilt: sin 44 = h 7,1 7,1 sin 44 = h h = 4,93 cm 7,1 7,1 cm F E h 44 G D Figur Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 5

26 005 Wahlbereich ufgabe W4 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - ufgabe W4 erechnung der Strecke D: Die Strecke D kann mit dem zweiten Strahlensatz in der markierten Strahlensatzfigur (Zentrum bei ) berechnet werden Es gilt: D 5 = F D = F 5 5 Und mit F = 7,1 cm folgt: D = 5 7,1 7,1 cm F 5,0 cm E 44 D Figur 3 erechnung der Strecke : Die Strecke kann im Dreieck mit der Sinusfunktion berechnet werden Es gilt: sin 44 = 14 sin 44 = 14 : sin 44 = 0,15 cm F E 14,0 cm Damit folgt für die Strecke D = D = 7,7 cm 5: 7,1 44 D Figur 4 Durch Einsetzen der Werte FE = 5,0 cm, D = 7,7 cm und h = 4,93 cm in die Formel T = (D + FE) h erhält man schließlich: T = 31,35 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 6