Flächeninhalt ebener Vielecke

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1 Flächeninhalt ebener Vielecke 1. In einem Rechteck gilt: = = 5cm und = = 3cm. Weiter gilt: = = R = S = 1cm β R S α Lösung: (a) - - (a) Übertrage die Zeichnung auf dein latt. (b) erechne den Flächeninhalt des Vierecks RS möglichst exakt. (c) Es gilt α = 75,96. erechne das Winkelmaß β auf zwei Stellen nach dem Komma genau. (b) RS = 9cm (c) β = 14,04. ie eine Seite eines Rechtecks RS ist doppelt so lang wie die andere Rechtecksseite. as Rechteck besitzt einen Flächeninhalt von 1,6dm. (a) erechne die beiden Seitenlängen des Rechtecks. (b) erechne die Länge einer iagonalen. Lösung: (a) 9cm, 18cm (b) d = 405cm 0,1cm 3. Von einem Trapez weiß man: (1 1), (9 5), (x 7, 5) und ( 6). ußerdem gilt: [] []. Zeichne das Trapez und berechne x. Lösung: x = Ein Trapez besitzt die Höhe h = 4,cm und die beiden parallelen Seiten [] und []. abei gilt: = 8,5cm und = xcm erechne x so, dass der Flächeninhalt des Trapezes 30,03cm groß ist. Lösung: x = 5,8 1

2 5. IneinemTrapez,dessenFlächeninhalt 13cm beträgt,sinddiebeidenseiten [] und [] parallel. Weiter gilt: as Trapez ist 3,5cm hoch und = 5,cm. erechne die Länge der Strecke []. Lösung: =,8cm 6. Eine Raute RS besitzt einen Flächeninhalt von 4cm. Eine iagonale ist 1cm lang. (a) erechne die Länge der zweiten iagonalen. (b) erechne den Umfang dieser Raute. Lösung: (a) e = 4cm (b) u = 4 40 cm 5,8cm 7. Während der Übertragung der US-Tennismeisterschaften 003 in New York war im Fernsehen ein Firmenlogo zu sehen, das so ähnlich aussah wie die bbildung unten. as weiße Viereck ist ein uadrat. Es gilt = F = acm. Zusätzlich ist hier das reieck EF eigezeichnet. F E G K (a) Zeichne die Figur für FG = 3,cm so, dass die Strecke [K] waagrecht liegt. (b) erechne in deiner Zeichnung den Flächeninhalt uadrates. (c) Untersuche ohne Verwendung des Taschenrechners, ob das reieck EF gleichschenklig ist. Gilt dein Ergebnis auch dann noch, wenn die Figur verkleinert oder vergrößert wird? egründe deine nsicht. erechne den Flächeninhalt dieses reiecks auf drei verschiedene rten in bhängigkeit von a.

3 Lösung: (a) [FG] ist genauso lang wie die iagonale [] des uadrates. lso gilt: a = 3, a = 3,,6. Für die Zeichnung: F = K = acm 5,5cm. F H E G N K (b) () = a cm = ( 3, ) cm = 5,1cm (c) Wegen E = 0,5 müsste gelten: a = 1,5a (a 0) = 1,5 = 4 3. Weil aber irrational ist, liegt hier ein Widerspruch vor. ieser Widerspruch lässt sich auch durch Vergößerung oder Verkleinerung der Figur nicht auflösen: Jede Vergrößerung oder Verkleinerung ist eine winkeltreue bbildung. Wenn in der usgangsfigur keine zwei Winkel maßgleich sind, dann wird dies auch bei einer Größenänderung nicht anders. Es wird nur mit aßzahlen gerechnet. 1. öglichkeit: (EF) = 0,5E F = 0,5 1,5a a = 1,5a.. öglichkeit: (EF) = 0,5 F E = 0,5 a 1,5a = 1,5a. 3. öglichkeit: as Lot [F ] zelegt das reieck EF in die beiden rechtwinkligen Teildreiecke F und EF. as reieck F ist so groß wie das uadrat : (F) = a. Weil [F] [HN] ist, folgt (EF) = (FH) = 0,5a. (EF) = a +0,5a = 1,5a. 8. erechne den Flächeninhalt des unten skizzierten feiles. abei gilt: = 6cm, L = cm, FG = 3cm, HI = 1,5cm, J = 5,5cm 3

4 F H L J E I G Lösung: er Flächeninhalt beträgt 8,65cm. 9. as ist ein ild der Nationalflagge der Tschechischen Republik. x cm E x cm F G 8 cm Es gilt: = 8cm und = EF = xcm mit x R +. Hinweis: lle Ergebnisse sind gegebenenfalls auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. (a) Zeichne die Figur für x = 4,5. (b) erechne den Flächeninhalt T des Trapezes FE in bhängigkeit von x. [ Ergebnis: T (x) = (0,5x +x)cm ] (c) Untersuche auf verschiedene Weise, ob es eine elegung für x gibt, so dass der Flächeninhalt des Trapezes FE den Wert 33cm annimmt. (d) erechne x so, dass die Inhalte aller drei Teilflächen im Inneren des Rechtecks gleich groß sind. (e) erechne x so, dass das reieck E gleichseitig wird. (f) erechne x so, dass das reieck E gleichschenklig-rechtwinklig wird. Lösung: (a) (b) T (x) = 8+x x cm = x +8x cm = (0,5x +x)cm 4 4

5 (c) 1. öglichkeit (mühsam): 0,5x +x = 33 0,5(x+4) = 37 (x+4) = 148(*) Wegen x R + ist (*) gleichwertig mit x = 37 4 > 8, was wegen EF = xcm = 8cm nicht geht.. öglichkeit: amit das reieck E existiert, muss x < 8 gelten. as Trapez FE nimmt stets weniger als die Hälfte des Rechtecks ein. lso muss stets T < 3cm sein und damit kann dieser Flächeninhalt nicht größer als 3cm (nämlich 33cm ) sein. (d) er Flächeninhalt des Rechtecks muss dreimal so groß sein wie der Flächeninhalt des Trapezes F E: 3 (0,5x +x) = 8x 0,75x x = 0 x(0,75x ) = 0 x = 0 wegen x R + 0,75x = 0 x,67 (e) Es muss gelten: 8 x = x 3 x = x 4,9 (f) Es muss gelten: x+ x = 8 1,5x = 8 x 5, as ist ein ild der Nationalflagge von England. Zusätzlich ist noch das Viereck RS eingezeichnet. x cm R x cm S a cm b cm (a) Zeichne die Figur für a = 5, b = 8 und x = 1. (b) egründe: as Viereck RS ist ein arallelogramm. (c) Zeige: ie erechnung des Flächeninhalts der Vierecke RS in bhängigkeit von a, b und x ergibt: (x) = ab 0,5x cm. (d) egründe: Für alle x R + gilt: (RS) < 0,5 (). Lösung: 5

6 (a) (b) R = S SR =. amit sind je zwei gegenüber liegende Seiten des Vierecks RS gleich lang. lso handelt es sich um ein arallelogramm. (c) er gesuchte Flächeninhalt ergibt sich z.. dadurch, dass man an den Eckpunkten des Rechtecks die vier jeweils paarweise kongruenten rechtwinkligen reiecke abschneidet. Es gilt: R = 0,5(a x)cm = S = 0,5(b x)cm =. (SR)+() = [0,5 0,5(a x) 0,5(b x)]cm = 0,5(a x)(b x)cm Weiter gilt: R = 0,5(b+x)cm = = 0,5(a+x)cm = S. (R)+(S) = [0,5 0,5(b+x) 0,5(a+x)]cm = 0,5(a+x)(b+x)cm Im Folgenden wird nur mit aßzahlen gerechnet. (RS) = ab [0,5(a x)(b x)+0,5(a +x)(b+x)] = ab 0,5[ab ax bx+x +ab+ax+bx+x ] = ab 0,5ab 0,5x (RS) = 0,5(ab x ), was zu zeigen war. (d) Für die aßzahlen gilt: ab 0,5x = 0,5ab 0,5x Wegen 0,5x > 0 (für alle x R + ) folgt: ab 0,5x =< ab = 0,5ab = 0,5 (). 11. Klaus will den Flächeninhalt des Vierecks berechnen. Er hat dazu in das Viereck Strecken eingezeichnet. y (3 5) (9 3) 0 (1 1) x (5 1) (a) Weshalb hat Klaus diese Einteilung vorgenommen? Kann er auf diese Weise den Flächeninhalt exakt berechnen? egründe deine ntwort. (b) Zeichne das Viereck und berechne seinen Flächeninhalt auf eine andere Weise. (c) Zeichneeinrachenviereck, dasdenselbenflächeninhaltwiedasviereck besitzt. 6

7 Lösung: (a) ie Katheten der reiecke sind jeweils zu einer der Koordinatenachsen parallel. Ihre Längen können deshalb mit Hilfe der Koordinaten der Eckpunkte einfach bestimmt werden. (b) = 6cm (c) Gegeben sind die unkte ( 1 4) und ( 1) sowie die Gerade g : y = x + 9. unkte n wandern auf der Geraden g, so dass laufend reiecke n erzeugt werden. (a) Zeichne die Gerade g und für 1 (x 1 7) das reieck 1 in ein Koordinatensystem. latzbedarf: x 7 und 4 y 10 (b) Zeige, dass für den Flächeninhalt der reiecke n in bhängigkeit von x gilt: (x) = (9 1,5x)cm (c) Gib zwei elegungen von x an, für die es keines dieser reiecke n gibt. egründe deine Wahl, z.. anhand deiner Zeichnung. (d) Untersuche zeichnerisch, ob es unter allen reiecken n rechtwinklige gibt, welche die Seite [] als Kathete besitzen. (e) ngenommen, die unkte n würden nicht auf der Geraden g, sondern auf einer anderen Geraden g wandern. iese Gerade g soll so liegen, dass dann der Flächeninhalt der reiecke n konstant bleibt. Zeichne eine solche Gerade g ein. Lösung: (a) -.- (b) -.- (c) x = 6: as reieck entartet zur Strecke. x = 7: as betreffende reieck erhält den falschen rehsinn. (d) Es gibt zwei solche reiecke: an errichte im unkt und im unkt jeweils eine Senkrechte zur Strecke. (e) g muss so zu parallel liegen, dass der korrekte rehsinn gewahrt bleibt. 13. Ein uadrat besitzt einen Flächeninhalt von 39,69cm. erechne die Länge einer iagonalen. Lösung: d = 6,3 cm 8,91cm 14. Gegeben ist das reieck durch (4 1), ( 5) und ( 4 3). (a) Zeichne das reieck in ein Koordinatensystem. latzbedarf: 5 x 5 und 1 y 6 7

8 Lösung: (a) - - (b) erechne den Flächeninhalt dieses reiecks, indem du seine Grundlinie und seine Höhe abmisst. (c) erechne den Flächeninhalt des reiecks exakt mit Hilfe eines geeigneten Rechtecks, das du einzeichnest. [Ergebnis: = 10cm ] (d) Zeichne zwei rechtwinklige reiecke, die zwar jeweils den gleichen Flächeninhalt wie das reieck besitzen, die aber nicht kongruent sind. (b) - - (c) Ergebnis: = 10cm (d) Von einem Trapez weiß man: (1 1), (9 5), (x 7, 5) und ( 6). ußerdem gilt: [] []. Zeichne das Trapez und berechne x. Lösung: x = Ein Trapez besitzt die Höhe h = 4,cm und die beiden parallelen Seiten [] und []. abei gilt: = 8,5cm und = xcm erechne x so, dass der Flächeninhalt des Trapezes 30,03cm groß ist. Lösung: x = 5,8 17. Gegeben sind die unkte ( 1 4) und ( 1) sowie die Gerade g : y = x + 9. unkte n wandern auf der Geraden g, so dass laufend reiecke n erzeugt werden. (a) Zeichne die Gerade g und für 1 (x 1 7) das reieck 1 in ein Koordinatensystem. latzbedarf: x 7 und 4 y 10 (b) Zeige, dass für den Flächeninhalt der reiecke n in bhängigkeit von x gilt: (x) = (9 1,5x)cm (c) Gib zwei elegungen von x an, für die es keines dieser reiecke n gibt. egründe deine Wahl, z.. anhand deiner Zeichnung. (d) Untersuche zeichnerisch, ob es unter allen reiecken n rechtwinklige gibt, welche die Seite [] als Kathete besitzen. (e) ngenommen, die unkte n würden nicht auf der Geraden g, sondern auf einer anderen Geraden g wandern. iese Gerade g soll so liegen, dass dann der Flächeninhalt der reiecke n konstant bleibt. Zeichne eine solche Gerade g ein. 8

9 Lösung: (a) -.- (b) -.- (c) x = 6: as reieck entartet zur Strecke. x = 7: as betreffende reieck erhält den falschen rehsinn. (d) Es gibt zwei solche reiecke: an errichte im unkt und im unkt jeweils eine Senkrechte zur Strecke. (e) g muss so zu parallel liegen, dass der korrekte rehsinn gewahrt bleibt. 18. Ein uadrat besitzt einen Flächeninhalt von 39,69cm. erechne die Länge einer iagonalen. Lösung: d = 6,3 cm 8,91cm 19. Gegeben sind die beiden Geraden g 1 und g durch die Gleichungen g 1 : y = 0,5x und g : y = 0,5x+. ie unkte n (x 0,5x) auf der Geraden g 1 erzeugen zusammen mit den unkten n auf der Geraden g Kreise k n mit dem urchmesser [ n n ]. ie bszisse der unkte n ist stets um größer als die bszisse x der unkte n. (a) Zeichne die beiden Geraden g 1 und g und deren Schnittpunkt S in das Koordinatensystem. Zeichne für x = 5 den Kreis k 1 mit seinem urchmesser [ 1 1 ] und für x = 3 den Kreis k mit seinem urchmesser [ ] ein. y 1 O 1 x (b) Zeige, dass n (x+ 0,5x+1) gilt. 9

10 (c) egründe auf verschiedene Weise, dass der urchmesser [ ] auf der Geraden g senkrecht steht. (d) Es gibt einen Kreis k 3, der die Gerade g 1 berührt. erechne den zugehörigen x-wert. (e) erechne die Gleichung der Ortslinie der ittelpunkte n. (f) Zeige: Für die Länge der urchmesser [ n n ] gilt in bhängigkeit von x: n n (x) = x x+5 cm (g) Fritzbehauptet: WenndieKreisflächeminimalwird,dannliegtderbetreffende Kreismittelpunkt dem Geradenschnittpunkt S am nächsten. egründe auf verschiedene Weise, dass Fritz Recht hat. (h) Unter allen Kreisen k n gibt es zwei, welche einen Flächeninhalt von 17πcm aufweisen. erechne die zugehörigen bszissenwerte. (i) Unter allen Kreisen k n gibt es zwei, welche die y-chse berühren. erechne die zugehörigen x-werte. Lösung: (a) g y g 1 β G H S O x α F 1 (b) Es gilt: n (x+ 0,5 (x+)+) n (x+ 0,5x+1) (c) 1. öglichkeit: aus der Zeichnung Im rechtwinkligen reieck F gilt: α+β = 90. (*) ie Katheten des rechtwinkligen reiecks F sind jeweils doppelt so lang wie die des rechtwinkligen reiecks H G. lso sind diese beiden reiecke zueinander ähnlich. lso gilt: H G = α und G H = β. Wegen (*) muss der unkt der Scheitel eines rechten Winkels sein. lso folgt: [ ] g 1.. öglichkeit: rechnerisch er Steigungsfaktor der Strecke [ ] müsste so groß wie der negative Kehrwert des Steigungsfaktors 0,5 der Geraden g sein. Er müsste also den Wert besitzen: ( 3 0,5 ( 3)+1) = ( 3 1,5) und 10

11 ( 3+ 0,5 ( 3)+1) = ( 1,5) lso gilt: m [ ] =,5+1,5 1+3 =, was zu zeigen war. lso folgt: [ ] g 1. (d) Einer der urchmesser [ n n ] muss auf der Geraden g 1 senkrecht stehen, wenn der betreffende Kreis die Gerade g 1 berühren soll. er Wert eines der Steigungsfaktoren der urchmesser [ n n ] muss also der negative Kehrwert des Steigungsfaktors der Geraden g 1 sein. Somit ergibt sich : m [n n] = ( 0,5x+1) 0,5x (x+) x x+1 lso: = x = 5 (e) Es gilt: n ( (x+)+x = x+1 ( 0,5x+1)+0,5x ) = (x+1 0,5) er y-wert ist also immer konstant 0,5. lso heißt die Gleichung der Ortslinie der ittelpunkte n : y = 0,5. ie Kreismittelpunkte liegen also auf einer arallelen zur x-chse im bstand von 0,5cm, die durch den I. und II. uadranten verläuft. (f) n n (x) = (x+ x) +( 0,5x+1 0,5x)cm n n (x) = +(1 x) cm n n (x) = x x+5 cm (g) 1. öglichkeit: mit Hilfe der Zeichnung ie Kreisfläche wird minmal, denn der betreffende Kreisdurchmesser am kleinsten ist. as Ergebnis der ufgabe (f) weist darauf hin, dass es solch einen kürzesten urchmesser [ 0 0 ] gibt. ie Kreisdurchmesser sind die Hypotenusen der begleitenden rechtwinkligen reiecke (siehe z.. das reieck F in der Zeichnung). ie waagrechte Kathete dieser reiecke ist stets cm lang. Kürzer als cm kann der Kreisdurchmesser also nicht werden. Um dieser Länge möglichst nahe zu kommen, muss der urchmesser daher möglichst waagrecht liegen. lle unkte n auf der Geraden g 1, die rechts vom unkt S liegen, erzeugen schräg abwärts gerichtete Kreisdurchmesser, die mit wachsenden bszissenwert x eher steiler als flacher verlaufen. Ebenso geht es mit urchmessern [ n n ], deren Endpunkte beide links von S liegen: Sie lassen sich nicht in die Waagrechte zwingen. lso kann der gesuchte waagrechte urchmesser nur dort gefunden werden, wo ein Endpunkt links und der andere rechts von S liegt. us Symmetriegründen muss dann der betreffende Endpunkt 0 1cm links und der zugehörige unkt 0 1cm rechts von S liegen: 0 (1 0,5) und 0 (3 0,5). ie Strecke [ 0 0 ] ist dann cm lang und stellt das zur Strecke entartete begleitende reieck dar. er Streckenmittelpunkt 0 ( 0,5) kommt danndem unkts am nächsten. Fritz hatrecht. etrachte auch die Zeichnung.. öglichkeit: durch Rechnung x x+5 = (x 1) +4 x = 1 liefert den minimalen urchmesser d min = cm und damit auch die minimale Kreisfläche. ie Koordinaten des zugehörigen ittelpunktes 0 sind nach ufgabe (e): ( 0,5). 11

12 us der Zeichnung kann man die Koordinaten des Geradenschnittpunktes S ablesen: ( 1), was du durch Einsetzen in beide Geradengleichungen bestätigen könntest. lso stellt die Strecke [ 0 S] die kürzeste Entfernung zwischen der Ortslinie und dem unkt S dar. Fritz hat Recht. (h) ( 1 ) x x+5 π = 17π x x+5 = 4 17 x x 63 = 0... x 1 = 9 und x = 7 (i) er bstand der betreffenden ittelpunkte zur y-chse, also ihr bszissenwert x + 1 muss genauso groß wie der zugehörige Kreisradius sein: ( 1 ) x x+5 = x+1 x x+5 = 4x +8x+4 3x +10x 1 = 0 = 11 und 10,58 x 1; 10±10,58 6 x 1 3,43 und x 0,10. Für beide bszissenwerte existieren die betreffenden urchmesser. nmerkung: Für diese ufgabe gibt es die GEONExT-atei 09eh118 l1.gxt. 0. Gegeben sind die beiden Geraden g 1 und g durch die Gleichungen g 1 : y = 1 3 x+,5 und g : y = 3 x 0,5. unkte n (x 1 3 x+,5) auf der Geraden g 1 erzeugen zusammen mit unkten n auf der Geraden g Rauten n n n n mit dem jeweiligen ittelpunkt n. ie unkte n und n haben dabei stets den gleichen bszissenwert und die iagonalen [ n n ] sind stets 4cm lang. (a) Zeichne die beiden Geraden g 1 und g und deren Schnittpunkt S in das Koordinatensystem. Zeichne für x = 6 die Raute und für x = 1,5 die Raute ein. 1

13 y 1 O 1 x Lösung: (a) (b) Für welche elegungen von x erhält man solche Rauten n n n n? (c) Zeige: Für die iagonalenlängen n n erhält man in bhängigkeit von x: n n (x) = x 3 cm. estätige mit diesem Ergebnis das Ergebnis der ufgabe (b). (d) erechne x so, dass die entsprechenden Rauten uadrate sind. (e) Unter allen Rauten n n n n gibt es solche, deren Flächeninhalt 0cm beträgt. erechne die zugehörigen x-werte. (f) erechne die Koordinaten der ittelpunkte n in bhängigkeit von x. [ Ergebnis: n (x 16 x+1 )]. (g) Unter allen Rauten n n n n gibt es eine Raute , deren ittelpunkt 0 demkoordinatenursprungamnächstenliegt.erechnedenzugehörigen x-wert und die minimale istanz. (h) Unter allen Rauten n n n n gibt es die Raute , deren iagonale [ 3 3 ] auf der x-chse liegt. erechne die Koordinaten der Eckpunkte dieser Raute auf verschiedene Weise. 13

14 y g 1 1 S O 1 1 x g (b) Wenn sich die Rauten n n n n auf den Geradenschnittpunkt S zubewegen, dann werden die iagonalen [ n n ] immer kürzer. Im Schnittpunkt S selbst entartet die betreffende Raute zur Strecke. us der Zeichnung ergibt sich: S(3 1,5). Rechnung: g 1 g : 1 3 x+,5 = 3x 0,5 x = 3. lso gibt es nur Rauten für x R\{3}. (c) Es gilt: n (x 3x 0,5). Wir rechnen im Folgenden meist nur mit aßzahlen. n n (x) = (x x) + [ ( 3 x 0,5) ( 1 3 x+,5)] = (x 3) n n (x) = x 3 cm... und nicht nur (x 3)cm! Fürx = 3 wirddieiagonalenlänge 0. lso gibtes fürdiesen x-wert keine Raute. (d) Wenn eine der Rauten n n n n zum uadrat werden soll, müssen dessen iagonalen gleich lang sein. lso: x 3 = 4 x 3 = 4 x 3 = 4 L = { 1; 7)} (e) Für den Flächeninhalt der Rauten n n n n gilt in bhängigkeit von x: (x) = 1 4 x 3 cm = x 3 cm lso: x 3 = 0 x 3 = 10 x 3 = 10 L = { 7; 13} ( x+x (f) n ( 1 3 x+,5)+ 3 x 0,5) ) = (x 1 6 x+1) (g) Für die Entfernungen O n gilt in nhängigkeit von x: 14

15 O n (x) = x +( 1 6 x+1) cm = x x + 1 3x+1 cm O n (x) = x + 1 3x+1 cm [ = 37 x + 1 ( ) ] x cm 37 [ ( = 37 x+ 6 ) ] ( 37 O n (x) = x+ 6 ) + 36 cm x = ,16 lieferto 0 = cm 0,97cm.as istdiekürzesteentfernung. 37 merkung: Es gibt zu dieser ufgabe eine GEONExT-atei: 09eh119.gxt (h) 1. öglichkeit: Wenn die iagonale [ 3 3 ] auf der x-chse liegt, dann liegt auch der zugehörige ittelpunkt 3 auf ihr. ann muss dessen y-wert 0 sein: 1 6 x+1 = 0 x = 6 3( ( 6)+,5) = ( 6 4,5) Weiter folgt: 3 ( 6 3 ( 6) 0,5) = ( 6 4,5) er unkt 3 liegt LE weiter links von 3 auf der x-chse: 3 ( 8 0). er unkt 3 liegt LE weiter rechts von 3 auf der x-chse: 3 ( 4 0).. öglichkeit: Wie du in der 1. öglichkeit gesehen hast, muss die x-chse die Symmetrieachse der Raute sein, denn die y-werte der unkte 3 und 3 unterscheiden sich lediglich durch das Vorzeichen. lso kannst du jetzt z.. ansetzen: y n = y n. 3 x 0,5 = ( 1 3 x+,5) 3 x 0,5 = 1 3 cm x,5 x = 6 er Rest ist schon in der 1. öglichkeit dargestellt. 1. n das uadrat ist das gleichseitige reieck E angefügt worden: E (a) Zeichne die Figur für = 4cm. (b) egründe: ie getönten reiecke besitzen den gleichen Flächeninhalt. 15

16 Lösung: (a) K E L (b) In der Figur ist die Gerade E die Symmetrieachse. eshalb sind die beiden reiecke E und E kongruent, insbesondere also flächengleich. er Flächeninhalt der reiecke und ist ebenfalls gleich. ie reiecke und E besitzen dieselbe Grundseite []. ußerdem sind die zugehörigen Höhen [L] bzw. [KE] gleich lang. lso besitzen die beiden reiecke und E und damit auch das reieck den gleichen Flächeninhalt, nämlich 5% der uadratfläche.. (1) G (3) () as Königreich l Gebr besteht aus drei gleich großen rovinzen. as ild seiner Nationalflagge ist oben dargestellt. (1): Küstenregion, (): Südregion und (3): Nordregion. ie unkte, und sind Seitenmittelpunkte. er König von l Gebr hat den Eindruck, dass die drei rovinzen im Flaggenbild nicht gleich groß dargestellt sind. Er möchte das geändert haben. (a) Zeichne die Flagge für = 6cm und = G = 4cm. egründe, dass der König mit seinem Eindruck in diesem Fall Recht hätte. 16

17 (b) Er beauftragt seine Rechenmeister und esigner, den unkt G bei sonst unveränderlicher ufteilung so zu legen, dass die drei farbigen Flächen im Flaggenbild gleich groß sind. Es gilt G = xcm. Zeige: Für den Flächeninhalt der Südregion gilt: = (x+3)cm erechne x so, dass alle drei Teilflächen gleich groß sind. Wie sieht die Flagge dann aus? Lösung: (a) eschrifte deine Zeichung mit aßzahlen: 3 E 3 (1) G K (3) 4 L () (b) 3 F 3 1. öglichkeit: durch Rechnung as grüne und das rote Trapez sind kongruent. Rote Fläche 3 = 0,5 (4+3) cm = 7cm ie blaue Fläche (1) lässt sich in zwei kongruente Trapeze zerlegen: 1 = [0,5 (+3) ] cm = 10cm > 3 er Eindruck hat den König nicht getäuscht.. öglichkeit: anschaulich ie Hilfslinie [EF] verläuft durch die unkte K und L, die die ittelpunkte der Strecken [G] und [G] sind. ann besitzt das Fünfeck G den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck F E. Ebenso besitzt dann das Fünfeck G den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck F E. ie blaue Fläche nimmt also knapp die Hälfte der Flagge ein. ann kann dies für die rote und die grüne Fläche der Flagge nicht auch noch gelten. er König hat sich nicht getäuscht. 3 3 (1) G (6 x)cm (3) xcm () 3 3 Für die trapezförmige Südregion gilt: = 0.5 (x + 3) cm = (x + 3)cm = 3. ie blaue Fläche lässt sich 17

18 in zwei kongruente Trapeze zerlegen. Somit muss = 1 gelten: x + 3 = 0,5 [3+(6 x)] x+3 = 18 x x = 5 ie Flagge sieht dann so aus: G 3. xcm acm Im aumarkt werden quadratische Fliesen wie oben abgebildet angeboten. as uadrat mit der Seitenlänge a cm ist aus jeweils kongruenten Rauten, reiecken und kleineren uadraten mit der Seitenlänge x cm zusammengefügt. (a) egründe: ie reiecke müssen gleichschenklig-rechtwinklig sein. a (b) Zeige, dass x = + gilt. (c) Zeige, dass x = a a gilt. 18

19 S E R acm ie unkte R und S sind die ittelpunkte der beiden Kreisbögen. egründe, dass das so konstruierte uadrat R eines der kleinen uadrate in der Fliese darstellt. (d) Konstruiere die Figur für a = 8cm. Lösung: (a) S E xcm R K L F () acm us Symmetriegründen ist das reieck EF gleichschenklig. ie iagonale [S] im uadrat RS ist ebenfalls iagonale im uadrat KLES. ELS = 45 LE = 135 LEF = 45 FE = = 45 Im reieck EF haben damit beide asiswinkel das aß 45, also ist dieses reieck gleichschenklig-rechtwinklig. (b) Sämtliche Rauten besitzen die gleiche Seitenlänge x cm. as reieck EF ist ein halbes uadrat mit der Seitenlänge xcm und der iagonalenlänge E = x cm. Nun folgt: RS = acm = (x+x +x)cm a = x (+ ) a x = + a x = + = a ( ) = a a 19

20 (c) Es gilt S = a cm = S R = SR S = (a a )cm, was zu zeigen war. (d) Klar. 4. S F R E Lösung: (a) asuadratrs wirddurchdiestrecken[e]und[f]inviergleicheuadrate aufgeteilt. (a) Zeichne die Figur für = 8cm. egründe: as reieck ist rechtwinklig. (b) Es sei jetzt = acm. Wie viel rozent der Fläche des uadrates RS wird vom reieck bedeckt? Vergleiche dazu die Flächeninhalte der reiecke F R und R. (c) In welchem Verhältnis teilt der unkt die Strecke [R]? Zeichne dazu im reieck RS eine geeignete Hilfslinie ein. (d) In welchem Verhältnis teilt der unkt die Strecke [F ]? 0

21 S F δ ε δ R H δ ε E ε acm m unkt erkennst du: ε+δ = 90. ie Rechtecke E, ERS und RF sind kongruent. E = FR = SR = ε und = RE = FR = δ. Wegen ε + δ = 90 und der Innenwinkelsumme von 180 im reieck R muss R = 90 gelten. lso ist das reieck rechtwinklig. (b) ie reiecke R und FR sind zueinander ähnlich. ie Hypotenuse [R] im reieck R ist doppelt so lang wie die die Hypotenuse [FR] im reieck FR. lso ist der Flächeninhalt des reiecks R viermal ( = 4) so groß wie der des reiecks FR. amit ist der Flächeninhalt des reiecks FR fünfmal so groß wie der des reiecks FR. Weil die reiecke FR und RS kongruent sind, ist der Flächeninhalt des reiecks RS auch fünfmal so groß wie der des reiecks FR. Wir bezeichnen den Flächeninhalt des reiecks FR kurz mit. ann gilt: RS = 0 und = = 6. RS = 6 0 = 3 10 = 30%. nmerkung ie ufgabe (b) ist auch ohne den Vergleich der Flächen der beiden reiecke FR und R lösbar. ann brauchst du jedoch den Satz des YTHGORS und die Flächenformel für rechtwinklige reiecke. azu ein paar Stichpunkte: F = a 5, R = a und = 4a. 5 5 acm (c) R = 1 a 5 4a 5 = 4a 5. = 4a a 4a 5 = 6 5 a usw. 1

22 S ε F δ ε δ R δ G K E ε ie gesuchte Hilfslinie ist das Lot [SG] vom Eckpunkt S auf die iagonale [R]. ie rechtwinkligen reiecke RS, SGR und F R sind zueinander ähnlich. Eine Kathete ist jeweils doppelt so lang wie die andere. Weil der unkt F die Hypotenuse [SR] halbiert, ist der unkt der ittelpunkt der Kathete [GR] im reieck SGR. ie reiecke GS und F R sind kongruent: Ihre beiden Hypotenusen sind gleich lang und sie stimmen in allen Innenwinkelmaßen paarweise überein. Es gilt also: G = G = G. = 3 G und R = G. lso folgt: R : = : 3. (d) uf der Strecke [F ] spielt der unkt die gleiche Rolle wie der unkt G auf der Strecke [R]. lso folgt: F : = 1 : E as Grundstück hat die Form eines gleichseitigen reiecks mit einer Seitenlänge a = 75 m. ie Grundstücksfläche E ist ein Rasenspielfeld. er Rest ist asphaltiert. Es gilt: =. (a) Zeichne die Figur mit den unkten E, und im aßstab 1 : (b) erechne den nteil der Rasenfläche am Grundstück in rozent. Lösung: (a)

23 ϕ ϕ ϕ E a (b) In einem gleichseitigen reieck hat jeder Innenwinkel das aß 60. as bedeutet hier: ϕ = 30. Somit sind die reiecke, und E halbe gleichseitige reiecke. = = 0.5a = 0,5 = 0.5 0,5a = 0,5a = = a 0,5a = 0,75a Weiter gilt: E. Streckungsfaktor k = = 0,75a = 0,75. a Es ist hier also gleichgültig, wie lang die Seite des Grundstückes ist. Nun gilt: E = 0,75 E = 1 0,565 = 8,15%. as ist der prozentuale nteil der asphaltierten Fläche an der Gesamtfläche (100%). ie Rasenfläche nimmt also knapp 7% des Grundstückes ein. 6. H 4 G 5 3 K F 6 1 E acm 3

24 Lösung: (a) as reieck ist gleichseitig mit der Seitenlänge acm. ie unkte, E, F, G, H und K dritteln jeweils die reiecksseite, auf der sie liegen. (a) Zeichne die Figur für a = 7,5. (b) egründe: ieunkte,e,f,g,h undk sindscheitel vonrechtenwinkeln. Zeichne dazu den ittelpunkt der asis [] sowie die Gerade ein und vergleiche die Teilverhältnisse auf den Strecken [] und []. (c) erechne das Verhältnis k 1 der Flächeninhalte des sechszackigen Sterns und des reiecks. [ Ergebnis: k 1 = 4 9 ] (d) egründe: as Verhältnis k der Flächeninhalte des inneren Sechsecks und des reiecks ist halb so groß wie k 1. Zeichne dazu im Sechseck geeignete Hilfslinien ein. (e) Konstruiere ein gleichseitiges reieck, das denselben Flächeninhalt aufweist wie der sechszackige Stern. Konstruiere ein gleichseitiges reieck, das denselben Flächeninhalt aufweist wie das innere Sechseck H G K F 6 1 acm (b) ie Gerade [] ist eine Symmetrieachse des reiecks, die auf der asis [] senkrecht steht. Nun gilt = 1 und = = 1, weil ja z.. der unkt die Strecke [] drittelt. lso teilt der unkt die Strecke [] im Verhältnis : 1. asselbe Streckenverhältnis erzeugt aber auch der unkt H auf der Strecke []. lso sind die beiden reiecke und H zueinander ähnlich. [H] [] H = 90. us Symmetriegründen sind die unkte E, F, G, H und K ebenfalls Scheitel von rechten Winkeln. 4 E

25 (c) Wir rechnen meist ohne die Einheiten cm bzw. cm. ( ) ( ) 1 as reieck F ist rechtwinklig: F = 3 a 3 a = 1 3 a. ie reiecke F, HF und H sind kongruent. F = FH = H. ie reiecke EG, KG und EK sind kongruent. EG = GK = KE. lso sind die beiden reiecke F H und EGK gleichseitig. ie sechs kleinen reiecke über den Sechsecksseiten sind ebenfalls gleichseitig und kongruent. as Sechseck ist damit regelmäßig. FH = 1 4 F 3 = a 3 = 1 1 a 3cm. Weil z.. 1 = 1 F gilt, folgt: 3 ( ) 1 E 1 = FH = a = 1 3cm 108 a. er Stern besteht z.. aus den reieck FH, an das drei kleine reiecke vom Typ E 1 angefügt worden sind: ( ) ( ) 1 1 Stern = 3 1 a a = 1 3cm 9 a k 1 = ( ) ( ) Stern 1 1 = 3 9 a : 3 4 a = 4 9 (d) ie gesuchten Hilfslinen sind die iagonalen des Sechsecks. urch sie wird dieses Sechseck in sechs kongruente gleichseitige reiecke zerlegt. Wenn u diese sechs kongruenten gleichseitigen reieck nach außen klappst, hast du den Stern erzeugt. lso besteht der Stern insgesamt aus 1 solcher reiecke. amit ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks im Inneren halb so groß wie der des Sterns: (e) k = 0,5 k 1 = 9. nmerkung: Eine egründung muss also nicht unbedingt rechnerisch erfolgen. Trotzdem kannst du auch wieder das Verhältnis als ruch von Flächeninhalten herleiten. as ist aber umständlicher. 5

26 E Für das gesuchte reieck mit der Seitenlänge a cm gilt: = Stern = 4 9 = a = 3 a. ( ) 3 Errichte also z.. unter der Strecke [] das gesuchte reieck mit der Seitenlänge = a. (Siehe Zeichnung oben.) Für das gesuchte reieck mit der Seitenlänge a cm gilt: ( ) = Sechseck = 9 = 3 ( ) 1. a = 3 a = 3 a ( ) 1 er Term 3 a lässt sich als iagonalenlänge eine uadrates mit der Seitenlänge 1 a deuten. 3 In der Zeichnung oben ist das reieck ein halbes uadrat mit der Seitenlänge = 1 3 a. amit hat die iagonale [ ] die Länge ( 1 3 a) cm = a cm. lso ist das reieck das gesuchte. as dunkel getönte gleichseitige reieck hat den doppelten Flächeninhalt wie das hell getönte reieck. 7. 6

27 k h d L c F c Für die Figur gilt: =. ie Kreislinie k berührt die Seiten des reiecks in den unkten F, und. (a) Zeichne die Figur für c = 5cm und h = 1cm. (b) Zeige: d = h c h +c. (c) Zeige: Für den Flächeninhalt des reiecks F gilt: F = 1 h c h +c. (d) Es seien F der Flächeninhalt des Vierecks F und der Flächeninhalt des reiecks. Zeige: F = 1 c h +c. (e) In welchem Verhältnis müssen die Höhe h des reiecks und dessen asislänge stehen, damit das Viereck F 40% der Fläche des reiecks ausmacht? (f) arkus meint: Wenn das reieck gleichseitig wäre, dann wäre der Flächenanteil des Vierecks F am reieck genau.... Was hat arkus erkannt? Wie würdest du seine Entdeckung auf verschiedene Weise begründen? Lösung: (a) ie Figur wurde im aßstab 1 : gezeichnet. 7

28 k h c d L c F Hier gilt: F =. er Inkreismittelpunkt ergibt sich aus dem Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden des reiecks. (b) ie reiecke L und F sind zueinander ähnlich: L F =. (*) F: = h +c. lso folgt mit (*): d = h c h +c. c d h = (c) F = 1 c d = 1 c h c h +c = 1 h c h +c. (d) F = F : F = 1 F = 1 c h +c = 0,4 (e) 1 1 h c h +c c h c h +c = 0,6 c h +c = 1 c h +c. c = 0,36h +0,36c 0,64c = 0,36h c h = 6 8 = 3 4 c : h = 3 : 4..h. die asislänge = c müsste 1,5 mal so lang wie die Höhe dieses gesuchten reiecks sein. (f) 1. öglichkeit: anschaulich: Im gleichseitigen reieck fällt der Inkreismittelpunkt mit dem Höhenschnittpunkt zusammen: 8

29 k F ie Seiten [F], [] und [F] zerlegen das gleichseitige reieck in vier kongruente Teildreiecke. Zwei davon nimmt jetzt das Viereck F ein. lso beträgt der Flächenanteil des Vierecks F am gleichseitigen reieck genau 50%.. öglichkeit: rechnerisch: Wenn das reieck gleichseitig ist, gilt: h = c 3. Eingesetzt in das Ergebnis der ufgabe (d): F = 1 c (c ) 3 +c = 1 c 4 c = 1 1 = 50%. 8. In das regelmäßige Seckseck mit der Seitenlänge a = 6cm ist ein sechszackiger Stern einbeschrieben, in dem das itsubishi-logo ( rei iamanten ) eingebettet ist. Wenn du das ild lange genug betrachtest, entdeckst du auch 3 schräge Würfel. (a) Zeichne die Figur. (b) egründe: ie drei itsubishi-vierecke sind kongruente Rauten. (c) Ermittle den prozentualen nteil des Sterns am Seckseck. (d) Ermittle den prozentualen nteil des itsubishi-logos am Seckseck. 9

30 Lösung: (a) (b) as ild ist im aßstab 1 : dargestellt. Zeichne zunächst einen Kreis mit Radius 6 cm. Um die Eckpunkte auf der Kreislinie zu erhalten, trägst du den Kreisradius 6-al auf der Kreislinie ab. eginne am linken oder am rechten Eckpunkt, dann liegen die oberste und die unterste Seite des Sechsecks waagrecht. Verbinde dann dünn mit dem leistift immer zwei entsprechende Seitenmittelpunkte miteinander, so wie es die Zeichnung darstellt. amit bist du praktisch fertig. Es gilt jetzt nur noch, die entstandenen Teilflächen entsprechend auszumalen. K H g F G E h ie beiden gestrichelten Linien und die Zentrale h zerlegen das regelmäßige Seckseck in 6 kongruente gleichseitege reiecke. lso sind die Vierecke HK und HK kongruente Rauten. Weil die unkte und E Seitenmittelpunkte des Sechsecks sind, schneidet die Gerade g die Rautendiagonalen [K] bzw. [H] in den Rautenmittelpunkten F und G. amit sind die unkte F und G Seitenmittelpunkte des reiecks HK. lso gilt: FG = GF. as Viereck GF ist eine Raute. urch rehung um 10 lässt sich ein rotes Viereck mit einem anderen zur eckung 30

31 bringen. (c) etrachte erneut die Figur in der Lösung der ufgabe (b): ie drei gefärbeten Trapeze sind kongruent. lso ist das reieck gleichseitig. us Symmetriegründen müssen dann alle 3 weißen, alle drei roten und alle sechs grünen Rauten in der usgangsfigur kongruent sein. as Seckseck enthält 1 Rauten, der Stern enthält 6 Rauten und die itsubishi-figur enthält 3 Rauten. 6Rauten rozentualer nteil des Sterns am Sechseck: = 0,5 = 50%. 1Rauten (d) rozentualer nteil des Logos am Sechseck: 3Rauten = 0,5 = 5%. 1Rauten 9. S ie Figur ist dem Logo eines Verlages in ünchen nachempfunden. Ihr liegt ein regelmäßiges Sechseck zugrunde. ie sechs Seiten sind jeweils die iagonalen der uadrate. Im Inneren ist ein Stern zu sehen. (a) Zeichne zunächst das regelmäßige Sechseck mit einer Seitenlänge von 6 cm. Füge dann die uadrate hinzu. (b) erechne den Flächeninhalt eines uadrates. (c) erechne den Flächeninhalt des Sterns. Lösung: (a) Zeichne zunächst einen Kreis mit Radius 6 cm. Um die Eckpunkte auf der Kreislinie zu erhalten, trägst du den Kreisradius 6-mal auf der Kreislinie ab. eginne am oberen, dann am unteren Eckpunkt. Um die uadrate zu kostruieren, zeichnetst du am besten einen THLES-Kreis, dessen urchmesser irgendeine Seite des regelmäßigen Sechsecks ist. Ein solcher ist schon 31

32 (b) in der arstellung oben gestrichelt eingezeichnet. eachte sodann, dass die iagonalen in jedem audrat gleich lang sind und aufeinander senkrecht stehen. ie Eckpunkte der restlichen uadrate erhältst du z.. durch unkt- bzw. chsenspiegelungen. S ieser usschnitt der Gesamtfigur ist im aßstab 1 : dargestellt. (c) ie iagonalenlänge jedes der 6 uadrate beträgt 6 cm. uadrat = 1 6 cm = 18cm (d) erechne zunächst den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks. Es besteht aus 6 kongruenten gleichseitigen reiecken mit der Seitenlänge 6 cm. Sechseck = cm = 54 3cm 93,53cm. Um den Stern zu erhalten, musst du aus diesem Sechseck 6 halbe uadrate ausschneiden. ie Fläche des Sterns erhältst du also dadurch, dass du von seinem Flächeninhalt den von 3 uadraten subtrahierst: Stern = 54 3cm 3 18cm = 18(3 3 4)cm 1,53cm. 30. R S ie Seite [] des Rechtecks ist 6cm und die Seite [] ist xcm lang. ie unkte und R sind die ittelpunkte der betreffenden Rechtecksseiten. as Viereck RS ist ein uadrat. (a) Zeichne die Figur für x = 3. Wie viel rozent der Rechtecksfläche nimmt das uadrat jetzt ein? (b) Zeichne die Figur für x = 8. Für welche elegungen von x liegen die unkte S und des uadrates nicht außerhalb des Rechtecks? egründe. 3

33 (c) erechne x so, dass das uadrat 40% der Rechtecksfläche bedeckt. Lösung: (a) x = 3: R S xcm In jedem uadrat stehen die iagonalen aufeinander senkrecht. ußerdem sind sie gleich lang, und sie halbieren sich. lso gilt R = S = 3cm. Flächeninhalt des uadrates: = 1 3 cm = 4,5cm. Flächeninhalt des Rechtecks: R = 6cm 3cm = 18cm. Flächenanteil: = 4,5cm = 0,5 = 5%. R 18cm (b) x = 8: R S 8cm (c) Es muss gelten: S = xcm 6cm, also x 6. (ann wird das Rechteck selbst zum uadrat.) = 0,5 x = 40% = 0,4 mit x R +. R 6x 0,5 x = 0,4 x = 4,

34 31. y 1 O 1 x Lösung: (a) ieunkte n liegen aufder Geradeng mit der Gleichung y = 0,5x+.Siebesitzen jeweils den gleichen bszissenwert x wie die unkte n (x 0). Zusammen mit den unkten n und n entstehen dadurch Trapeze n n n n wobei Folgendes gilt: n g, n n = 3LE und [ n n ] [ n n ]. (a) Zeichne die Gerade g und für x = 1 und x = 4 die beiden Trapeze bzw. in das obige Koordinatensystem. (b) erechne alle elegungen von x, für die es Trapeze n n n n gibt. (c) Zeige: n (x+3 0,5x+3,5). (d) Zeige: Für den Flächeninhalt aller Trapeze n n n n gilt in nhängigkeit von x: (x) = (1,5x+8,5)FE (e) Unter allen Trapezen n n n n gibt es eines, das einen Flächeninhalt von 53, 5 FE aufweist. erechne x. (f) Unter allen Trapezen n n n n gibt es das Trapez , dessen Seite [ 3 3 ] fünf al so lang ist wie die Seite [ 3 3 ]. erechne x. 34

35 y g S 1 O 1 1 x (b) ie Gerade g schneidet die x-chse im unkt S. Wenn einer der unkte n auf S liegt, dann entartet das betreffende Trapez zum reieck; es ist also kein Trapez mehr. Falls einer der unkte n im III. uadranten liegt, wird der Umlaufsinn der Trapeze n n n n falsch. g {x chse} = {S} : 0,5x+ = 0 x = 4. lso gibt es nur für x > 4 solche Trapeze n n n n. (c) Wegen n g gilt: n (x 0,5x +) x = x+3 n (x+3 0,5 (x+3)+) = (x+3 0,5x+3,5). (d) n n n n = n n + n n n n [ ] (0,5x+)+(0,5x+3,5) (x) = 3FE (x) = (1,5x+8,5)FE (e) 1,5x+8,5 = 53,5 x = 30. (f) n n = 5 n n 0,5x+3,5 = 5 (0,5x+) x = 3,5 nmerkung: Zur Veranschaulichung der Lösung gibt es die atei 09eh065.gxt. 3. E ie Seitenlänge des uadrates beträgt 6m. er unkt halbiert die Seite []. ie reiecke E und E sind flächengleich. 35

36 (a) erechne den Flächeninhalt des reiecks. (b) egründe: er bstand des unktes E zur Seite [] ist doppelt so groß wie der zur Seite. (c) erechne den Flächeninhalt des reiecks E. uelle: ayerischer athematiktest 1998 Lösung: F d E h 1 h h (a) = 0,5 = 0,5 6m 3m = 9m (b) Zeichne zunächst die beiden genannten bstände ein. (Hier: h 1 und h ) en Flächeninhalt von reiecken berechnest du gewöhnlich mit dem Term 0,5 Grundlinie Höhe. Wähle als Grundlinie in den beiden reiecken E und E die Strecken [] bzw. []. Es gilt hier = 3m und = 6m. Weil die beiden reiecke den gleichen Flächeninhalt haben, muss zum usgleich die zugehörige Höhe h 1 doppelt so groß wie die Höhe h sein: h 1 = 4m und h = m. (c) Zeichne zunächst den bstand d des unktes E zur Seite [] mit dem Fußpunkt F und die Höhe h des reiecks E ein. ie beiden reiecke und EF sind zueinander ähnlich: ie Strecke [F] ist doppelt so lang wie die Strecke [F]. as bedeutet: F = 1 3. Wegen der Ähnlichkeit muss dieses Verhältnis auch für die beiden anderen Katheten der reiecke und EF gelten: F = 1 = 1m h = 5m. 3 E = 0,5 6m 5m = 15m

37 S Fünf gleichseitige reiecke wurden zu dem Trapez zusammengefügt. (a) Zeichne die Figur für = 1cm. (b) erechne das Verhältnis der Flächeninhalte der reiecke S und S. (c) In welchem Verhältnis teilt der iagonalenschnittpunkt S die Trapezhöhe? (d) erechne den prozentualen nteil der Fläche des reiecks S am Trapez. Lösung: (a) 4cm R 4cm α S α 4cm (b) ie beiden reiecke S und S sind zueinander ähnlich: Es gilt z..: α = α (Z-Winkel). 4cm 4cm = 8 1 = 3 S S = ( ) = (c) Es muss gelten: RS : S = : 3. (Siehe Lösung (a).) (d) Für die Trapezhöhe [R] gilt: R = 4 3cm = 3cm. Wegen des Teilverhaltnisses von : 3 teilst du gedanklich [R] in +3 = 5 gleiche Teile. 3 Teile davon entfallen auf die Strecke [S] und Teile davon entfallen auf die Strecke [RS]. lso: RS = 5 3cm = 0,8 und S = 3 5 3cm = 1,. S = 0,5 8cm 0,8 cm 0,5 (1+8)cm cm = 4 5 = 16%

38 a T G R as ist das Logo einer japanischen Firma, die Speichermedien herstellt. Im Zentrum befindet sich das gleichseitige reieck G. as reieck R und die gestrichelten Strecken wurden zusätzlich eingezeichnet. ie Länge der uadratseite ist a. (a) Zeichne die Figur für a = 4cm. (b) Vergleiche den Flächeninhalt der beiden gleichseitigen reiecke G und R in rozent. Lösung: (a) a T R G m besten beginnst du mit dem gleichseitigen reieck G im Zentrum. Errichte dann die drei uadrate über den Seiten dieses reiecks G. (b) er unkt ist das Zentrum des Logos und gleichzeitig der ittelpunkt des gleichseitigen reiecks G. ie Strecke [T] stellt ein rittel der Höhe h dieses gleichseitigen reiecks dar: 38

39 T = a 3 = 1 6 a 3 Für die Strecke [] gilt: = 1 6 a 3+ 1 a = a 6 ( 3+3). ie Strecke [] stellt zwei rittel der Höhe h des gleichseitigen reiecks R dar: 3 h = a 6 ( 3+3) h = a 4 ( 3+3) Nun gilt: ( ) G h = R h = a 3 a 4 ( 3+3) 0,5359 = 53,59% as bedeutet: as reieck R besitzt knapp 54% des Flächeninhaltes des reiecks G. 35. F E acm G H Über der Hypotenuse [] des gleichschenklig-rechtwinkligen reiecks liegt das Viereck F, das sich aus fünf gleichseitigen reiecken mit der jeweiligen Seitenlänge a cm zusammensetzt. (a) Zeichne die Figur für a = 3. (b) Zeige: Für den Flächeninhalt 1 des Vierecks HEG gilt in bhängigkeit von a: ( ) 1 (a) = a 3+3 cm 4 (c) egründe: as Viereck GF besitzt den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck HEG. egründe: as Viereck HEG bedeckt weniger als ein rittel der Fläche des Fünfecks F. (d) Zeige: Für den Flächeninhalt des Vierecks HEG gilt in bhängigkeit von a: 39

40 ( (a) = a 5 ) 3+9 cm 4 (e) Wie viel rozent der Fläche des Fünfecks F wird vom Viereck HEG eingenommen? Lösung: (a) F E acm G H r (b) as Viereck HEG ist ein achsensymmetrischer rachen, der sich aus den beiden reiecken HG und GHE zusammensetzt. er THLES-Halbkreis mit dem urchmesser [] und dem Radius r macht deutlich, dass = = 1,5acm gilt. 1 (a) = ( 1 ) ( ) a 3 a 1,5a+ 3 cm = 4 4 a + a 3 cm 4 1 (a) = a 4 ( 3+3)cm (c) ie reiecke GF und GHE sind kongruent, also flächengleich. ie beiden reiecke G und HG haben gleich lange Grundlinien: G = GH. er Kreisradius r stellt stellt die gemeinsame Höhe auf die beiden genannten Grundlinien dar (im reieck G liegt diese Höhe außerhalb). lso sind beide reiecke flächengleich. amit sind auch beide Vierecke flächengleich. ie beiden Vierecke GF und H sind aus Symmetriegründen kongruent, also flächengleich. aher sind im Fünfeck F drei Vierecke von der Größe des Vierecks HEG und zusätzlich noch die beiden gleichseitigen reiecke GF und H enthalten. lso bedeckt das Viereck HEF weniger als ein rittel der Fläche des Fünfecks F. (d) (a) = (5 a 4 a ) a 1,5a cm = a ( 5 ) 3+9 cm 4 (e) 1(a) (a) = 4 ( 3+3)cm a ( 5 ) 0,679 = 6,79% 3+9 cm 4 as Viereck HEG bedeckt also etwas mehr als 5% der Fünfecksfläche. 40

41 36. F acm Über der Hypotenuse [] des gleichschenklig-rechtwinkligen reiecks liegt das Viereck F, das sich aus fünf gleichseitigen reiecken mit der jeweiligen Seitenlänge a cm zusammensetzt. Lösung: (a) Klar. (a) Zeichne die Figur für a = 3. (b) Vergleiche den Flächeninhalt des Vierecks F mit dem des reiecks. (b) ei dem Viereck F handelt es sich um ein achsensymmetrisches Trapez. essen Flächenterm könntest du zwar ohne Weiteres aufstellen, aber die Summe der Flächeninhalte der fünf gleichseitigen reiecke ist bequemer: F = 5 a 4 3cm = a 4 5 3cm as reieck ist ein halbes uadat mit der iagonalenlänge = 3acm: = 1 1 (3a) cm = a 4 9cm er Faktor a taucht in beiden Flächentermen auf. 4 lso musst du nur noch den Rest vergleichen, nämlich 5 3 mit 9: 5 3 < 8,67 < 9. lso ist der Flächeninhalt des Trapezes F kleiner als der des reiecks. (as Trapez ist jedoch nur um knapp 4% kleiner als das reieck.) 37. Gegeben ist das Viereck durch ( 4 5),(0 ),( 1) und (3 4). (a) Zeichne dieses Viereck in ein Koordinatensystem. latzbedarf: 5 x 4 und 3 y 6 (b) erechne den Flächeninhalt dieses Vierecks. 41

42 (c) Ersetze in der Zeichnung den unkt durch einen anderen unkt E, so dass das Viereck E den gleichen Flächeninhalt aufweist wie das Viereck. Lösung: (a) y E 1 O 1 x (b) ( 0+4 = 5 ( ) ( +4 6 = = [ 1 = ) = ( 4 7 ) ) ; ( 3+4 = ) = ( 7 1 ) ] cm = 7cm (c) Z..: E(4 3) (siehe Zeichnung). nmerkungen: Wenn der unkt seine Lage verändert, dann bleibt der Flächeninhalt des reiecks konstant. lso musst du nur darauf achten, dass der unkt so platziert wird, dass der Flächeninhalt des reiecks unverändert bleibt. Egal, wo du den unkt hinlegst: ie Grundlinie [] des reiecks bleibt erhalten. amit sich der Flächeninhalt dieses reiecks nicht ändert, muss also die Höhe und damit der bstand des unktes zur Grundlinie [] unverändert bleiben. er gesuchte unkt E muss sich dann auf der arallelen (siehe gestrichelte Linie) zur iagonalen [] durch den unkt aufhalten, weil alle unkte auf dieser arallelen den gleichen bstand zur Grunlinie [] besitzen. Es gibt daher beliebig viele Lösungen

43 4,8 cm 3,6 cm 6,0 cm erechne den Flächeninhalt des reiecks. ie Zeichnung ist nicht maßstabgerecht. Lösung: Es gilt: 3,6 +4,8 = 6 lso ist das reieck rechtwinklig. = 1 3,6cm 4,8cm = 8,64cm. 39. Eingleichschenkliges reieck besitzteinenflächeninhaltvon7cm.ieasis [] ist 9cm lang. (a) Fertige eine Skizze an. erechne die Länge der Höhe auf die asis. (b) er Umfang dieses reiecks ist 4 cm lang. erechne die Länge der Schenkel. (c) Welche bmessungen könnte ein Rechteck haben, das denselben Flächeninhalt wie dieses reieck aufweist? Lösung: (a) a h a c = 9 cm Es gilt also: 7cm = 0,5 9cm h h = 6cm. (b) Hier gilt: 9cm+a = 4cm a = 7,5cm. (c) Für das z.. xcm breite und ycm hohe Rechteck gilt dann: x y = 7. Es könnte also z.. 9cm breit und 3cm hoch sein oder 0cm breit und 1,35cm hoch sein oder

44 Figur 1 Figur 1LE π 1LE 1LE π 3LE E Im Jahre 188 bewies der deutsche athematiker Ferdinand LINENN, dass die Konstruktion einer Strecke mit der Länge πle nicht möglich ist, wenn man nur Zirkel und Lineal verwendet. ie Konstruktion einer solchen Streckenlänge kann also mit Zirkel und Lineal nur näherungsweise erfolgen: ie Streckenlängen in der Figur 1 und E in der Figur stellen zwei Ergebnisse von Näherungskonstruktionen einer Strecke mit der aßzahl π LE dar, wobei aus Gründen der Übersichtlichkeit die Konstruktion rechter Winkel mit Zirkel und Lineal weggelassen worden ist. (a) erechne den Näherungswert für π in der Figur 1. erechne die prozentuale bweichung dieses Näherungswertes vom Taschenrechnerwert für π auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. (b) erechne die Streckenlänge E in der Figur. Vergleiche die beiden Näherungen für π in der Figur 1 und in der Figur. RHIEES benutzte für π den Wert. Vergleiche diesen Wert mit π 7 auf deinem Taschenrechner und mit dem Wert aus der Figur. (c) Laut einem Tabellenwerk ist der Äquatorradius r der Erde 6378, 388 km lang. eachte für die Lösung der folgenden ufgaben, dass immer nur drei Nachkommastellen verwendet werden dürfen, weil der Erdradius auch auf drei Nachkommastellen angegeben ist (warum eigentlich?). erechne die Äquatorlänge l 1 mit Hilfe des Näherungswertes E. erechne die Äquatorlänge l mit Hilfe von π auf deinem Taschenrechner. Wie groß ist die ifferenz dieser beiden Ergebnisse? Für wie schwerwiegend hältst du diesen Unterschied? egründe. Lösung: (a) Figur 1: π 3 +1 = 10 3, Taschenrechner: π 3, , , ,0066 = 0,66% 3, (b) : = 1 +1 = : E = = +1 = 3 lso π + 3 3,

45 eim Näherungswert für π in der Figur 1 stimmt die erste Kommastelle und in der Figur stimmen die erste und die zweite Kommastelle. RHIEES: 7 = 3, Taschenrechner: π = 3, Figur : + 3 = 3, (c) l 1 = 6378,388km 3, ,871km l = 6378,388km 3, ,790km l 51km. ieser Unterschied ist praktisch bedeutungslos, weil der Erdäquator nur näherungsweise eine Kreisline darstellt. ußerhalb der eeresoberfläche führt die Äuatorline z.. in Ecuador in Südamerika über die ndenkette hinweg oder in Kenia in frika dicht an dem über 5000 m ount Kenia vorbei. uch die Ozeane bilden keine einheitliche Oberfläche. er eeresspiegel variiert global in seiner Höhe bis zu 00m. 41. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y = x 9 und der efinitionsmenge R. Entscheide, ob folgende ussagen über den Graphen von f jeweils richtig oder falsch sind. richtig falsch er Graph schneidet die y-chse im unkt. (0 9) [ ] [ ] er unkt (4 6) liegt auf dem Graphen. [ ] [ ] Für x ] 3;3[ verläuft der Graph unterhalb der x-chse. [ ] [ ] er Graph ist zur y-chse symmetrisch. [ ] [ ] ayerischer athematik-test für die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 005 Lösung: falsch, falsch, richtig, richtig 4. 1,0 m x m 45

46 Familie Subku zieht um. In einer Zimmerecke ihrer neuen Wohnung steht ein würfelförmiger Karton mit einer Kantenlänge von 1,0m. ie öbelpacker haben ihm einen kleineren Karton mit der Kantenlänge x m entnommen und so hingestellt, dass sich eine Seitenfläche des großen und eine des kleinen Kartons berühren. Es stellt sich heraus, dass die einsehbare Oberfläche des großen und die einsehbare Oberfläche des kleinen Würfels übereinstimmen. (a) Zeige: Es muss dann x = 0,4 15 gelten. (b) Wie viel rozent des Volumens großen Würfels nimmt der kleine Würfel ein? Lösung: (a) Vom großen Würfel sind zwei Seitenflächen voll sichtbar: 1 = 1, m. Von der vorderen Seitenfläche sind = (1, x )m zu sehen. Vom kleinen Würfel sind vier Seitenflächen sichtbar: 3 = 4 x m. Es muss gelten: 1 + = 3 : 1, +(1, x ) = 4 x 3 1, = 5 x 3 5 x = 1, 5 = 0, (b) V ( ) 3 klein 0,4 15 = V groß 1, 3 0,4648 = 46,48% 43. S 1 R In das gleichschenklige reieck mit der Setenlänge = 6cm werden Rechtecke n n R n S n mit n n = xcm so einbeschrieben, wie es die arstellung anhand des eispielrechtecks 1 1 R 1 S 1 für x = 1,6 zeigt. (a) Für welche elegungen von x gibt es solche Rechtecke n n R n S n? (b) Zeige: Für den Flächeninhalt der Rechtecke n n R n S n gilt in bhängigkeit von x: 3 ( (x) = x +1x ) cm 4 46

47 (x) (c) Zeige: = ( 0,08x +0,4x)cm (d) UnterallenRechtecken n n R n S n gibtdierechtecke R S und 3 3 R 3 S 3, die 3% der Fläche des reiecks einnehmen. erechne die zugehörigen elegungen von x. (e) Unter allen Rechtecken n n R n S n gibt es das uadrat 0 0 R 0 S 0. Zeichne dieses uadrat farbig ein. Untersuche, ob das uadrat 0 0 R 0 S 0 unter allen möglichen Rechtecken n n R n S n das flächengrößte ist. Lösung: E S 1 F R 1 S 0 R O 1 0 (a) x ]0; 6[ R (b) In diesem Fall geht es auch ohne Vierstreckensatz: ie beiden rechtwinkligen reiecke n S n und n R n lassen sich zu einem gleichseitigen reieck mit der Seitenlänge y = (3 x )cm = (6 x)cm zusammenfügen. ann gilt: n nr ns n = ns n SnR n [ 6 (6 x) x ] = cm = 4 ( x x x )cm 3 ( (x) = x +1x ) cm 4 3 (x) (c) = 4 ( x +1x) cm = ( x +6x)cm (d) Es gilt: 18 ( x +6x) = 3% = 0,3 x +6x 5,76 = 0 x 1 = 1, und x = 4,8 47

48 (e) Siehe Zeichnung oben: Zeichne zunächst ein robequadrat, z.. das uadrat E. Weil alle uadrate und damit alle halben uadrate zueinander ähnlich sind, muss z.. der gesuchte unkt S 0 der Schnittpunkt der Strecken [] und [EO] sein. ie Lage der restlichen gesuchten unkte ist dann klar. ie reiecke und S n R n sind zueinander ähnlich. lso gilt: = O S n R n F 6 x = x x = = ndererseits gilt nach (b): (x) = ( x +6x)cm. [ ] (x) = (x 3) cm. 4 Einerseits beträgt die Seitenlänge des uadrates 0 0 R 0 S 0 (1 3 18)cm,78cm. ndererseits beträgt die Seitenlänge des maximalen Rechtecks 3 cm. lso ist das maximale Rechteck kein uadrat. 44. In ein Rechteck RS mit den Seitenlängen = 8cm und R = 6cm werden reiecke n n einbeschrieben. abei gilt: Lösung: (a) n [R] und n [RS] n = S n = xcm (a) Zeichne das Rechteck RS und für x = das reieck 1 1. (b) Für welche elegungen von x gibt es solche reiecke n n? (c) Zeige:FürdenFlächeninhaltderreiecke n n giltinbhängigkeitvonx: (x) = (4 0,5x )cm (d) Unterallenreiecken n n gibtesdasreieck,dessenfläche34,64% des Rechtecks RS bedeckt. erechne x. (e) Unter allen reiecken n n gibt es das rechtwinklige reieck 3 3 mit der Hypotenuse [ 3 ]. erechne x. (f) Unter allen reiecken n n gibt es das gleichschenklige reieck 4 4 mit der asis [ 4 ]. erechne x. 48