Exponentialfunktionen

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1 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen Aufgabe: Exponentialfunktionen Eine Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 800 m 2 groß. Jede Woche schaffen die Bagger 550 m 2 neue Fläche dazu. Eine Blume vermehrt auf dieser Fläche exponentiell. Zu Beginn ist die Fläche zu 80 m 2 mit Blumen bedeckt. Jede Woche verdoppelt sich die mit Blumen bedeckte Fläche. Nach wie vielen Wochen hat die Blume die Fläche bedeckt? Lösung: Vorgehensweise: 1. Zuerst stellt man zu beiden Aussagen zwei Funktionen auf. 2. Danach stellt man Wertetabellen auf. 3. Nun setzt man die Funktionen gleich und berechnet den Schnittpunkt. 1. a) f(x)=550x+800 b) f(x)=80 2 x 2. a) b) Zeit (Wochen) Fläche (m 2 ) Zeit (Wochen) Fläche (m 2 ) (5120) vorhandene Fläche: 4100

2 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen x+800=80*2 x Lineares und exponentielles Wachstum Dies rechnet man mit dem Taschenrechner aus. (Schnittpunkt der beiden Funktionen im grafischen Taschenrechner) x=5,46 y=3532 Nach etwa 5,46 Wochen hat die Blume die Fläche komplett bedeckt. Lineares Wachstum: Bei a) findet ein lineares Wachstum mit einer Wachstumsrate statt. Immer werden 550 addiert. a) Zeit Fläche (Wochen) (m 2 ) Exponentielles Wachstum: Bei b) findet ein exponentielles Wachstum mit einem Wachstumsfaktor statt. Die y-werte werden pro x-einheit mit einem bestimmten Faktor multipliziert. Zeit (Wochen) Fläche (m 2 ) *2= *2=320 n f(n-1)*2

3 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen Aufgaben: 1. Bestimme, ob ein lineares oder exponentielles Wachstum vorliegt. a) x y b) x y c) x y 0,02 0,004 0,0008 0, d) x y Beschreibe die Form des Wachstums. Stelle für die zugehörige Funktion eine Wertetabelle auf. Zeichne den Graphen. a) Monique bekommt monatlich 30 Taschengeld. Jedes Jahr soll es um 5 erhöht werden. b) Karina verdient als Tischlerin 10 in der Stunde. Jedes Jahr soll der Stundenlohn um 6% steigen. c) Eine 10 cm hohe Kerze wird angezündet. Jede Minute brenn sie um 2 mm herunter. d) Ein Computer kostet Jedes Jahr verliert er die Hälfte seines Wertes. e) Eine Hefekultur mit 5 g Hefe verdreifacht stündlich ihre Masse. f) Ein Öltank enthält 800 l Öl. In den Tank werden je Minute 200 l Öl gepumpt.

4 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen Ein Kapital von 150 wird mit 4% verzinst. Berechne wie viel Geld man nach 4 Jahren hat. Stelle eine Funktion auf. 4. a) Ein Kapital von 7000 wird mit einem festen Zinssatz von 5% jährlich verzinst. Wie groß ist der Wachstumsfaktor (Zinsfaktor) des Kapitals von einem Jahr zum nächsten? Auf wie viel wächst das Kapital nach Ablauf von 5 Jahren mit Zinsen und Zinseszinsen? b) Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?

5 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen Lösungen : 1. a) Lineares Wachstum. Wachstumsrate : 2 f(x)=3x+2 b) Exponentielles Wachstum. Wachstumsfaktor: 4 f(x)=4*4 x c) Exponentielles Wachstum. Wachstumsfaktor: 0,2 f(x)=0,02*0,2 x d) Weder lineares noch exponentielles Wachstum.

6 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen a) Lineares Wachstum f(x)=5x+30 b) Exponentielles Wachstum f(x)=10*6/100 x c) Lineares Wachstum f(x)=100x-2 d) Exponentielles Wachstum f(x)=2000- ½ x e) Exponentielles Wachstum f(x)=5*3 x f) Lineares Wachstum f(x)=200x+800

7 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen Jahre Kapital , , , , Exponentielles Wachstum: f(x)=150(1+4/100) x Formel für die Zinsrechnung: f(x)=k*(1+p/100) x 4. f(x)=8000(1,05) x 16000=8000(1,05) x :8000 2=1,05 x x=14 Bei einer Vermehrung um gleiche prozentuale Wachstumsraten liegt exponentielles Wachstum vor. Wächst zum Beispiel eine Bevölkerung oder ein Kapital um p%, lautet der Wachstumsfaktor (1+p/100).

8 Mathematik Buch / 3. Funktionen / Zuordnungen Aufgaben zu exponentiellem Wachstum: 1. Ergänze im Heft die fehlenden Werte so, dass ein exponentielles Wachstum vorliegt. a) x y Die Papierformate nach DIN entstehen durch fortlaufendes Halbieren, z.b. ergibt ein Blatt DIN-A4 beim Halbieren zwei Blätter DIN-A5. Ein Blatt DIN-A0 hat einen Flächeninhalt von 1 m 2. Berechne den Flächeninhalt eines DIN-A3 (A4-, A5-) Bogens. Lösungen: 1. a) x y ,25 8,438 6,328 4,746 Wachstumsfaktor: ¾ f(x)=20*( ¾ ) x 2) A 3: 12,5 2 A 4: 6,25 2 A 5: 3,125 2