Weg zur e-funktion. Zur Einstimmung werden einige Wachstumsverläufe skizziert. 1. Exponentielles Wachstum. 2. Begrenztes (beschränktes) Wachstum

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1 Weg zur e-funktion Zur Einstimmung werden einige Wacstumsverläufe skizziert.. Eponentielles Wacstum. Begrenztes (bescränktes) Wacstum

2 Wacstumsverläufe. Logistisces Wacstum. Vergiftetes Wacstum

3 Eponentielles Wacstum Funktionen für eponentielles Wacstum, Beispiele:. K n = K 0 q n Zinseszinsformel, q = + p 00. f() = a Verdopplung des Bestands pro Zeiteineit, Anfangsbestand a. f() = a Verdopplung in jeweils Zeiteineiten. f() = a ( ) Halbierung des Bestands pro Zeiteineit. f() = a, f() = a 0,8 00 =,, %-iger Zuwacs pro Zeiteineit = 0,8, %-ige Abname pro Zeiteineit, %-iger Zerfall

4 f() = Uns interessiert die Ableitung von f() =. Das allgemeine Vorgeen (-Metode), um die Ableitung an der Stelle zu ermitteln, lautet: m Tangente = lim 0 f(+) f() m Tangente = lim 0 + Hieraus erkennen wir: f () = f (0) f() = lim } 0 {{ } f (0) Für die Ableitung der Eponentialfunktionen f() = a gilt: f () = k f(), k = f (0) ist ein Streckfaktor. Erläutere: Für das eponentielle Wacstum gilt: Der Zuwacs ist proportional zum Bestand.

5 f () = f() Grapisce Differentiation (Zeicnen der Tangenten und Ablesen der Steigungen) der Funktionen f() = und f() = - die Ableitung liegt einmal unteralb, einmal oberalb der jeweiligen Funktion - fürt zur Frage: Gibt es ein a, für das gilt: (a ) = a? (Später kommen wir auf die Ableitung von f() = zurück.) f() = f() = f f Die Tangentengleicung im Ursprung wäre = +, beacte f (0) =. f() = a Für kleine müsste dann gelten: a + Mit = n wäre für große n: a n + n ( ) n = a (+ n ) n Setzen wir für n große Zalen ein (0, 0, 0, 0 ), so eralten wir gute Näerungen für den Grenzwert der Folge: = + a n = (+ n ) n

6 Eulersce Zal n (+ n ) n 0,9 0 0, , 9 9 0,8 9 0,8 8 0, ,8 8 Der Grenzwert lim n (+ n ) n wird nac Euler (0-8) mit e bezeicnet (e von eponential), e =, Siee auc die Kettenbrucentwicklungen von e unter Versciedenes. Für die e-funktion f() = e gilt: (e ) = e. An anderer Stelle (Approimation der e-funktion) wird ergeleitet: e = +! +! +! +! +... Erläutere den Bezug zu (e ) = e. Wie lautet die Ableitung von f() = e? Erläutere: f () = lim 0 e (+) e = lim 0 e + e = lim 0 e e = e e lim = e } 0 {{ } f (0) = Um f() = abzuleiten, müssen wir uns zunäcst mit Logaritmen zur Basis e befassen. Dann sind wir in der Lage, f() = = e ln mit der Kettenregel abzuleiten, f () = ln.

7 kurz gefasst

8 f () = f() f() = f() = f f Grapisce Differentiation der Funktionen f() = und f() = - die Ableitung liegt einmal unteralb, einmal oberalb der jeweiligen Funktion - fürt zur Frage: Gibt es ein a, für das gilt: (a ) = a? Die -Metode, um die Ableitung an der Stelle zu ermitteln, lautet: m Tangente = lim 0 f(+) f() m Tangente = lim 0 a + a = a a lim } 0 {{ } f (0) f() = a f (0) muss sein, damit (a ) = a gilt. Für a folgt: a = lim(+) 0 Setze = 0,00, = 0 9, = 000 = a Der Grenzwert a wird nac Euler (0-8) mit e bezeicnet. e =,

9 Eponentielles Wacstum Mit den Funktionen f() = ae k erfassen wir eponentielle Wacstumsvorgänge. Hierbei ist a der Anfangsbestand zur Zeit = 0. f() = ae k f () = ae k k f () = kf() Die Wacstumsgescwindigkeit (Änderungsrate) ist proportional zum Bestand Mit f() = a (+ p 00 ) eralten wir den Zusammenang zwiscen der Wacstumskonstante k und dem Prozentsatz des järlicen Wacstums, es gilt e k = + p 00. Für einen Wacstumsprozess sei p = %. Ermittle k Für einen eponentiellen Abnameprozess f() = ae k bzw. f() = a ( p 00 ) gilt entsprecend e k = p 00. Zeige, dass für die Halbwertszeit T, das ist die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglic vorandenen Stoffmenge zerfallen ist, gilt: T = ln k 9

10 Begrenztes Wacstum f() = 00 0 e k Mit der Funktion f() = G ae k erfassen wir begrenztes Wacstums. Von der Grenze G wird eine Funktion g() für die eponentielle Abname subtraiert. Hierbei ist G a der Anfangsbestand zur Zeit = g() = 0 e k f() = G ae k f () = ae k k f () = k(g f()) Die Wacstumsgescwindigkeit (Änderungsrate) ist proportional zur Differenz G f() Für die eponentielle Abname g() = a e k bzw. g() = a ( p 00 ) gilt e k = p 00. Eine Flasce Milc wird aus dem Külscrank ( C) genommen. Die Temperatur in der Küce beträgt C. Anfangs nimmt die Temperatur der Milcflasce rect scnell zu. Je näer ire Temperatur jedoc dem Wert C kommt, desto langsamer erfolgt der weitere Temperaturanstieg. Die Temperaturzuname kann als begrenztes Wacstum aufgefasst werden. Dabei soll angenommen werden, dass die Temperatur pro Minute um % der noc bis C felenden Temperaturdifferenz zunimmt. Wird lange dauert es, bis sic die Milcflasce auf 0 C erwärmt at? 0

11 Eine Flasce Milc wird aus dem Külscrank ( C) genommen. Die Temperatur in der Küce beträgt C. Anfangs nimmt die Temperatur der Milcflasce rect scnell zu. Je näer ire Temperatur jedoc dem Wert C kommt, desto langsamer erfolgt der weitere Temperaturanstieg. Die Temperaturzuname kann als begrenztes Wacstum aufgefasst werden. Dabei soll angenommen werden, dass die Temperatur pro Minute um % der noc bis C felenden Temperaturdifferenz zunimmt. Wird lange dauert es, bis sic die Milcflasce auf 0 C erwärmt at? f() = 0,9 f() = e 0,008 Minuten 0 f

12 Zu- und Abfluss Die DGL des bescränkten Wacstums f () = k (G f()), k > 0, lässt sic leict umformen zu: f () = kf()+k G, bzw. f () = kf()+b Die Änderungsrate setzt sic nun aus einem zum Bestand proportionalen Anteil (mit negativem Vorzeicen) und einer konstanten Zuflussrate b = k G zusammen. Abfluss gestoppt 8 f() = G ae k Zufluss gestoppt Zu jedem Zeitpunkt 0 liegt ein Zufluss mit konstanter Änderungsrate b vor. Gleiczeitig erfolgt eine eponentielle Abname gemäß f( 0 ) e k bzw. f( 0 ) ( p 00 ). Es gilt e k = p 00. Da mit größer werdendem f() der Abfluss ansteigt, wird scließlic ein Gleicgewictszustand erreict. Würde ab einem bestimmten Zeitpunkt entweder der Zu- oder Abfluss gestoppt, so verliefe die weitere Entwicklung gemäß des verbleibenden Grapen (siee Abb.). Bei einer Tropfinfusion werden konstant pro Minute mg eines Wirkstoffs zugefürt. Gleiczeitig baut der Körper pro Minute % des jeweils im Blut vorandenen Wirkstoffs über Leber und Niere wieder ab. Die Infusion wird nac einer Stunde abgebrocen. Wie oc ist die erreicte Wirkstoffmenge?

13 Bei einer Tropfinfusion werden konstant pro Minute mg eines Wirkstoffs zugefürt. Gleiczeitig baut der Körper pro Minute % des jeweils im Blut vorandenen Wirkstoffs über Leber und Niere wieder ab. Die Infusion wird nac einer Stunde abgebrocen. Wie oc ist die erreicte Wirkstoffmenge? f () = kf()+, k = ln(0,9) = 0,008 f () = k(g f()), G = b k = 9,0 f() = G Ge k f(0) =,8 ungenau: k = 0,0 G = 0,0 f(0) =, beacte: 00 G =