4. Aufgaben zur Integralrechnung (Kap.14)

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1 . ugaben zur Integralrecnung Kap.. Geben Sie ür die Funktionen jeweils die Funktionsgleicung einer Stammunktion F an und erläutern Sie insbesondere Ire Vorgeensweise:. Geben Sie ür die Funktionen jeweils die Funktionsgleicung einer Stammunktion F an und erläutern Sie insbesondere Ire Vorgeensweise: a F d F a F d F b F e F b F e F c F F c F F g geben Sie ür die Funktion vier versciedene Stammunktionen an: F g geben Sie ür die Funktion ün versciedene Stammunktionen an: F F F F F F F F F Erläuterungen zu a g: Bei der Bestimmung einer Stammunktion wird ür jede einzelne Potenz von der Eponent um eins eröt. Der zugeörige Eponent wird jeweils durc den neuen Eponenten geteilt. Regeln ür die Stammunktionen von Potenzunktionen konstante Faktoren Summen bzw. Dierenzen: Buc S. - Leitet man die Stammunktion ab erält man die usgangsunktion. Zu g: Zu jeder Funktion gibt es unendlic viele Stammunktionen da immer eine beliebige Konstante zur Stammunktion addiert bzw. von ir subtraiert werden kann. Leitet man die Stammunktion ab ällt jede Konstante weg.

2 . Berecnen Sie die olgenden bestimmten Integrale: a [ d b [ d c [ d d d. Berecnen Sie die olgenden bestimmten Integrale: a [ F F d b [ F F d c [ F F d d [ F F d. Berecnen Sie die olgenden bestimmten Integrale: a [ F F d

3 b [ F F d c [ F F d d [ F F d. Berecnen Sie die olgenden bestimmten Integrale indem Sie zuvor die Recenregeln ür bestimmte Integrale zur Vereinacung benutzen Buc Seite und. a [ F F d d d d d Die Integrationsgrenzen sind ier bei beiden Integralen identisc. Daer kann man entsprecend der Dierenzenregel ier zusammenassen indem man die Dierenz der beiden Funktionen berecnet und über das Ergebnis im Ramen der ursprünglicen Integrationsgrenzen integriert. b d Die obere und die untere Integrationsgrenze stimmen ier überein somit muss das Ergebnis Null sein. Man muss F F berecnen! c [ F F d d d Die Funktionen der beiden Integrale sind identisc und die obere Integrationsgrenze des ersten Integrals ist die gleice wie die untere Integrationsgrenze des zweiten Integrals. Daer kann ier die Regel der Intervalladditivität benutzt werden und direkt von der unteren Grenze des ersten Integrals bis zur oberen Grenze des zweiten Integrals integriert werden. d [ F F d d d d d d Die Integrationsgrenzen sind ier bei allen drei Integralen identisc. Daer kann man entsprecend der Dierenzenregel bzw. Summenregel die Integrale zusammenassen und dann im Ramen der ursprünglicen Integrationsgrenzen integriert.

4 . Berecnen Sie die olgenden bestimmten Integrale indem Sie zuvor die Recenregeln ür bestimmte Integrale zur Vereinacung benutzen Buc Seite und. a [ d d d d d b [ d d d c [ d d d d d d d d. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall I eingesclossen wird: a [ ; I Scnittstellen von mit der -cse: :.: Bed CHTUNG: Hier muss überprüt werden ob Scnittstellen mit der -cse im Intervall [ ; I liegen. Die Nullstelle liegt im Intervall I d.. es sind zwei Teilläcen zu berecnen. [ d [ d ges

5 b I [ ;. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall I eingesclossen wird: Scnittstellen von mit der -cse: Bed. : ² ² / / p q Formel CHTUNG: Hier muss überprüt werden ob Scnittstellen mit der -cse im Intervall l I [ ; I liegen. Die Nullstelle liegt im Intervall I d.. es sind zwei Teilläcen zu berecnen. d a Nullstellen von : Bed.: I [ ; NR pq Formel Nebenrecnung : Polynomdivision : : Linearaktor : CHTUNG: Hier muss überprüt werden ob Nullstellen im Intervall I liegen. Die Nullstelle liegt im Intervall I d.. es sind zwei Teilläcen zu berecnen: d d d ges ges

6 b g I [ ; I. Scnittstellen mit der -cse bestimmen: II. z z g z z z z Fläcenmaßzal bestimmen: Nur die Scnittstelle z Substitution : : liegt im Intervall I [ ; d [ z d [ ges Rücksubstitution. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall I eingesclossen wird: a Bestimmung der Nullstellen Bed.: I [ ; ausklammern : pq Formel Die Nullstellen sind N / N / und N / aber nur die ersten beiden Nullstellen liegen inneralb des vorgegebenen Intervalls I [ ;. Es muss daer von - linke Intervallgrenze bis - von - bis und von bis integriert werden. Berecnung der Fläcenmaßzal d [ [ d [ d Gesamtläce:

7 b I [ ; I [ ; c I. Scnittpunkte mit der -cse: Bed : Scnittstellen mit der -cse bestimmen Bed.: z z z z z Substitution : pq Formel z z z Resubstitution z lso: N N und N / / / II. Berecnung der Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall [ ; d I eingesclossen wird. [ F F Teilläcen berecnen d... d... d [ F F d...

8 . Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse eingesclossen wird: a. Scnittstellen mit der -cse bestimmen Bed. : : pq Formel. Teilläcen bestimmen Da nur Scnittstellen eistieren ist auc nur eine Teilläce zu bestimmen von Scnittstelle zu Scnittstelle! d [. Teilläcen bestimmen [ d [ d ges. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse eingesclossen wird: b. Scnittstellen mit der -cse bestimmen Bed.: : ausklammern pq Formel a I. Nullstellen bestimmen: Bedingung: II. Fläcenmaßzalen bestimmen: : pq Formel CHTUNG: Hier muss lediglic von jeder Nullstelle zur näcsten Nullstelle integriert werden also zwei Teilläcen bestimmt werden.

9 d d [ d d [ b I. Nullstellen bestimmen: Bedingung: II. Fläcenmaßzalen bestimmen: : pq Formel CHTUNG: Hier muss lediglic von jeder Nullstelle zur näcsten Nullstelle integriert werden also zwei Teilläcen bestimmt werden.. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse eingesclossen wird:. Nullstellen bestimmen Bed.: a Polynomdivision pq Formel Nebenrecnung: Polynomdivision lso ist der Linearaktor:. :

10 Y *X^-*X^-*X y b I. Nullstellen bestimmen Bed.: Y *X^-*X^-*X y Y *X^-*X^-*X Y d z z z Substitution : z z pq Formel z z z z Re substitution II. Teilläcen bestimmen [ d F F d [ d F F d [ F F

11 . Gegeben ist die Funktion mit. a Bestimmen Sie ür die Funktion die Scnittpunkte mit der -cse. Bed. Somit: S S und / / / : S. pq Formel c Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall I [ eingesclossen wird. ; weil zwei Nullstellen von in dem Intervall I [ d [ ; liegen. d d [ F F F F -cse b Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse eingesclossen wird. [ d [ F F d F F. Gegeben ist die Funktion mit a Berecnen Sie ür die Funktion mit Scnittpunkte mit der -cse. Bed:. Hinweis: die Nullstellen sind und. : die lso: N N und / / N /.

12 b Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der - cse eingesclossen wird. Es gibt drei Nullstellen daer sind zwei Teilläcen zu berecnen. Jeweils von Nullstelle zu Nullstelle. d [ d [ d d [ ges c Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der - cse über dem Intervall [ ; I eingesclossen wird. Keine Nullstelle liegt inneralb des Intervalls I [ ; Teilläce zu berecnen. [ daer ist nur eine d d Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der - cse über dem Intervall I [ Die Nullstellen und daer sind drei Teilläcen zu berecnen. ; eingesclossen wird. liegen inneralb des Intervalls I [ d [ ;. Gegeben ist die Funktion mit a Berecnen Sie ür die Funktion mit Scnittpunkte mit der -cse.. Hinweis: die Nullstellen sind und. Bed: lso: N N und / / : die N /.

13 b Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der - cse eingesclossen wird. Es gibt drei Nullstellen daer sind zwei Teilläcen zu berecnen. Jeweils von Nullstelle zu Nullstelle. d [ F F d [ d F F d [ F F d [ F F c Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall [ eingesclossen wird. Keine Nullstelle liegt inneralb des Intervalls [ Teilläce zu berecnen. d daer ist nur eine [ F F d Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der - cse über dem Intervall I [ Die Nullstellen und daer sind drei Teilläcen zu berecnen. ; eingesclossen wird. liegen inneralb des Intervalls I [ ;. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g eingesclossen wird: a I. Scnittstellen bestimmen: Die Scnittstellen beinden sic bei und.

14 II. Fläcenmaßzal bestimmen: [ d d [ d d ges Da die Dierenzunktion punktsymmetrisc ist sind somit auc die eingesclossenen Fläcen symmetrisc und somit gleic groß. Mit dieser rgumentation ätte die zweite Fläcenberecnung unterbleiben können und die Gesamtläce wäre doppelt so groß wie die erste eingesclossene Teilläce gewesen. b I. Scnittstellen bestimmen: Formel pq ausklammern Hier muss von Scnittstelle zu Scnittstelle integriert werden. Daer sind zwei Teilläcen zu berecnen. [ d d [ d d. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g eingesclossen wird: a g. Scnittstellen bestimmen : : Formel pq ausklammern g Scnittstellen:

15 . Fläcen bestimmen [ d [ d b g. Scnittstellen bestimmen Formel pq ausklammern g Scnittstellen:. Fläcen berecnen [ d [ d ges. Bestimmen Sie ür die olgenden Funktionen die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g über dem Intervall [ I ; eingesclossen wird: g. Scnittstellen bestimmen Polynomdivision g Formel pq Scnittstellen sind also:

16 Nebenrecnung Polynomdivision lso ist der Linearaktor:.. Fläcen bestimmen ierbei Intervalle und Scnittstellen beacten! : Nur eine der Scnittstellen liegt im Intervall I [ ;. Das Intervall wird also durc diese Scnittstelle in zwei Teile unterteilt. Somit sind zwei Teilläcen zu berecnen: d [. Gegeben sind die Funktionen mit. und mit a Bestimmen Sie die Scnittpunkte der Grapen von und. i. Scnittstellen bestimmen: ii. y-koordinaten bestimmen: ausklammern pq Formel iii. Scnittpunkte angeben: S / S / und S / d [ b Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und eingesclossen wird. Hier muss von Scnittstelle zu Scnittstelle integriert werden. Daer sind zwei Teilläcen zu berecnen. d d [

17 d d [. Gegeben sind die Funktionen mit und mit g. a Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und der -cse eingesclossen wird. I. Scnittstellen mit der -cse bestimmen: c Berecnen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und über dem Intervall I [ Die Scnittstelle und ; eingesclossen wird. liegen in dem Intervall I [ ;. Das Intervall wird durc die Scnittstellen in drei Teile unterteilt. Somit sind drei Teilläcen zu berecnen. z z z z z z Substitution : : z z Rücksubstitution d d [ d d d [ d s.o. II. Fläcenmaßzal bestimmen: d [ d [

18 [ d ges b Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g eingesclossen wird. I. Scnittstellen bestimmen: g g II. Fläcenmaßzal bestimmen: [ d d [ d somit: c Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g über dem Intervall [ ; I eingesclossen wird. Da sic keine Scnittstellen in dem vorgegebenen Intervall beinden siee a sind die Intervallgrenzen die Integrationsgrenzen der einen zu berecnenden Fläce. [ d d Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g über dem Intervall [ I ; eingesclossen wird. In diesem Intervall beindet sic die Scnittstelle also liegt die erste Fläce zwiscen und und die zweite Fläce zwiscen und. [ d d

19 d d [ d somit:. Gegeben ist die Funktion mit. a Bestimmen Sie ür die Funktion die Scnittpunkte mit der -cse. Zur Kontrolle: Die Nullstellen sind und. I. Nullstellen bestimmen: Bedingung: : pq Formel c Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und I ; eingesclossen wird. der -cse über dem Intervall [ Da die Nullstellen sic bei beinden d.. eine der Nullstellen liegt außeralb des Intervalls ergeben sic olgende Teilläcen: d lso S S und S / / / b Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse eingesclossen wird. d CHTUNG: Hier muss lediglic von Nullstelle zu Nullstelle integriert werden. d

20 d Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und dem Grapen der Funktion mit eingesclossen wird. I. Scnittstellen bestimmen: : CHTUNG: Hier muss von Scnittstelle zu Scnittstelle integriert werden. II. Fläcenmaßzal bestimmen: [ d d [ d d somit:. Gegeben ist die Funktion mit. a Bestimmen Sie ür die Funktion die Scnittpunkte mit der -cse. Bed. Formel pq : ausklammern Somit: / S X / S und / S. b Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse eingesclossen wird. [ F F d [ F F d

21 c Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die vom Grapen von und der -cse über dem Intervall I [ ; eingesclossen wird. d [ F F II. y-koordinaten bestimmen: d [ F F Somit ergeben sic die olgenden Scnittpunkte der beiden Grapen: S / S und / S /. d Bestimmen Sie die Scnittpunkte des Grapen von mit dem Grapen der Funktion mit. I. Scnittstellen bestimmen: : ausklammern pq Formel e Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und dem Grapen der Funktion mit eingesclossen wird. d d [ d d [

22 . Gegeben sind die Funktionen mit und g mit g. a Bestimmen Sie ür die Funktion die Scnittpunkte mit der -cse. d [ F F z z z z z z z Substitution : pq Formel z d [ F F z z Rückksubstitution : z ges Somit: S / S S / und / X / S. b Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und der -cse über dem Intervall I [ ; eingesclossen wird. b die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und der -cse eingesclossen wird. Fläcenmaßzalen bestimmen: d [ F F Im Intervall liegt nur eine Nullstelle. d [ F F

23 d [ F F ges II. y-koordinaten bestimmen: Somit ergeben sic die olgenden Scnittpunkte der beiden Grapen: S / S / und / S. c Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g eingesclossen wird. I. Scnittstellen bestimmen: : ausklammern II. Fläcenmaßzalen bestimmen: d d [ d d [ somit:

24 d Bestimmen Sie die Maßzal der Fläce die von den Grapen von und g über dem Intervall I [ ; eingesclossen wird. Inneralb dieses Intervalls liegt keine Scnittstelle! d d [ II. Hinr. Bed.: : pq Formel t t > lso liegt ier ein Tiepunkt TP. t < lso liegt ier ein Hocpunkt HP. III. Y-Koordinaten:. n einer Wetterstation in Essen werden regelmäßig alle relevanten Klimadaten augezeicnet. Für einen bestimmten Tag im pril wurde von den zuständigen Meteorologen ermittelt dass die Temperatur dieses Tages nac Stunden näerungsweise durc die Funktion t mit t bescrieben werden kann. Da diese Näerung nur ür diesen Tag einigermaßen genau ist gilt: [ ; ID. a Eine Variante mit der Meteorologen die Durcscnittstemperatur eines Tages angeben ist es die tieste Temperatur des Tages und die öcste Temperatur des Tages zu addieren und das Ergebnis durc zu teilen d.. den aritmetiscen Mittelwert zu bestimmen. Berecnen Sie diesen Durcscnittswert mit Hile der Funktion t. Um die öcste und tieste Temperatur des Tages zu bestimmen müssen die Hoc- und Tiepunkte der Funktion ermittelt werden: I. Notw. Bed: t t t t Somit ergeben sic die olgenden Punkte: / / HP. TP und Die Durcscnittstemperatur anand dieser Werte ergibt sic als t Genauer wird die Berecnung der Durcscnittstemperatur durc die Berücksictigung aller Temperaturangaben dieses Tages. Der Mittelwert einer Funktion über das Intervall [ a; b b I wird berecnet mit: M b a a d.

25 b Berecnen Sie die Durcscnittstemperatur dieses Tages mit der obigen Formel. M d d. Ein Supermarkt ürt eine neue Kaeesorte als Eigenmarke ein. Die Funktion mit stellt näerungsweise die Verkauszalen nac Wocen dar. Diese Näerung gilt ür das erste Jar nac der Einürung dar daer ist ID [ ;. [ a Bestimmen Sie die Gesamtzal der im ersten Jar verkauten Packungen dieser Kaeesorte. Ges d [ F F Im ersten Jar wurden also ca. Packungen dieser Kaeesorte verkaut. c Die Sonne ging an diesem Tag um : Ur au und um : Ur unter. Berecnen Sie mit der obigen Formel die Durcscnittstemperatur ür diese Zeitspanne. M T d [ d b Wie viele Packungen dieser Sorte wurden im ersten Jar durcscnittlic pro Woce verkaut? d s.o. Es wurden im ersten Jar durcscnittlic ca. Packungen dieser Sorte pro Woce verkaut. Nur zur Verdeutlicung eine Zeicnung des Funktionsgrapen: Y -*X^*X^-*X y - -

26 . Bei der Ban gibt es spezielle Lokomotiven die ür Wartungsarbeiten eingesetzt werden. Wärend einer actstündigen Scict d.. [ ; ID wird die Gescwindigkeit einer solcen Lok in km/ kontinuierlic augezeicnet. Die Funktion v mit v gibt näerungsweise die Gescwindigkeit nac Stunden an. Ein negativer Funktionswert bedeutet dabei dass die Lok rückwärts gearen ist. d [ a Bestimmen Sie jeweils die Zeitintervalle der erassten rbeitszeit in der die Lok vorwärts bzw. rückwärts gearen ist. Bed.: v ausklammern : pq Formel c Wie weit ist die Lok insgesamt wärend der Scict gearen? Ist sie von irem usgangspunkt aus insgesamt zurück oder vorwärts gearen? S d [ Dies bedeutet dass die Lok bis zum Ende der Scict letztlic km rückwärts gearen ist. Somit sind drei Intervalle zu überprüen: [ I ; v vorwärts [ I ; v rückwärts [ I ; v vorwärts. In ein Staubecken das zu Beginn des Jares m Wasser entält ließt Wasser ein. Die Zulussrate d.. das Volumen des zuließenden Wassers in m kann durc die Funktion mit t t t bescrieben werden. Dabei gibt t die Zulussrate nac t Tagen an. Ein negativer Funktionswert weist dabei au einen bluss von Wasser in. Diese Näerung gilt ür die ersten Tage des Jares. b Bestimmen Sie die jeweils die Durcscnittsgescwindigkeit die wärend der in c bestimmten Intervalle erreict wurde. d [ d [ a Bestimmen Sie um wie viel die Wassermenge in m nac Tagen zubzw. abgenommen at. t t dt [ t t t V F F

27 b Bestimmen Sie die im Staubecken nac Tagen vorandene Wassermenge in m. e Bestimmen Sie jeweils die durcscnittlice Zuname bzw. bname ür die in d bestimmen Teilintervallen. Für die vorandene Wassermenge gilt: V. Es sind dann also ca. m Wasser im Becken. c Bestimmen Sie die im Staubecken nac Tagen vorandene Wassermenge in m. t t dt [ t t t F F In diesem Zeitraum nimmt die Wassermenge durcscnittlic täglic um m² zu. V t t dt [ t t t F F t t dt [ t t t F F Nac Tagen die Wassermenge um / m abgenommen. In diesem Zeitraum nimmt die Wassermenge um m² durcscnittlic täglic ab. Für die vorandene Wassermenge gilt: V also ca. m Wasser im Becken.. Es sind dann d Bestimmen Sie diejenigen Perioden Teilintervalle an denen die Wassermenge - wärend der ersten Tage des Jares - zunimmt bzw. abnimmt. Bed.: t t t t t t t t t t Somit sind zwei Intervalle zu überprüen: [ ; : pq Formel I Zuname [ ; I bname