Mathematik GK 11 m3, AB 06 Klausurvorbereitung Differentialq. Lsg x 3 9x 4 2x 2 x 4. 4x 3 9x 4 : 2x 2 x 4 =2x 1 x 3 2x 2 8x

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1 Aufgabe : Berecne a) 4x 5x 5x 4x b) 4x 9x 4 x x 4 4x 5x 5x : 4x x x 4x x 4x 5x 4x x 4x 4x 4x 9x 4 : x x 4 x x x 8x x x 4 x x 4 c) 4x 4 x 8x 4x 4 x 4x 4 x 4 x 4x x : x x x x 4 4x 4x x x x x Aufgabe : Bestimme a) lim x x 4 4 x x b) lim a 5 a a 5 a 5 z c) lim z z z lim z a 5 x z x lim,5 x 4 x a 5 a 5 a a 5 z z lim z z z Seite von 9

2 Aufgabe : Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen a) g x x x n b) f x x x 4 x 4 x Einfac ablesen: x ; x 4 ; x 4; x 4 x n - x n x n c) x 4 x x 4 x n x n 4 x n 8 x n 4 p-q-formel: x / 4± 4 44± 56 x,48 x,48 d) f x x 4 x 6x 6x In jedem Summanden stet ein x. Also ist x die erste Nullstelle (man kann x ausklammern) f x x x x 6x 6 Betracte nur noc, wann die Klammer gleic null wird. x x 6x 6 Probiere, ob x die Gleicung erfüllt: 6 6 stimmt. Also ist x die zweite Nullstelle. Berecne: x x 6x 6: x x 6 x x 6x 6 6x 6 Bleibt die Betractung von x 6 6 x 6 x / 4 ±4 Also sind x ; x ; x 4 ; x 4 4 Seite von 9

3 Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktion f x x 5 4x 4 x x 4. Zeige mit zwei versciedenen Metoden, dass x keine Nullstelle von f x ist.. Ausprobieren: f und nict gleic null.. Polynomdivision: Beim Teilen durc (x-) darf kein Rest übrig bleiben. (x^5-4x^4 - x^ x^ 4) : (x - ) x^4 x^ x^ x 6 Rest 6 x^5-6x^4 x^4 - x^ x^ 4 x^4-4x^ x^ x^ 4 x^ - x^ x^ 4 x^ - 6x 6x 4 6x - 6 Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f x 4x x 4x. Bestimme alle Stellen der Funktion (alle x-werte), für die f x ist. Lösen der Gleicung 4x x 4x - 4x x 4x Probiere x o.k. also ist x der erste gesucte x-wert. Berecnung der weiteren x-werte mit Polynomdivision: ( - 4x^ x^ 4x - ) : (x - ) -4x^ 8x - 4x^ 4x^ 8x^ 4x - 8x^ - 8x x - x - Seite von 9

4 Also noc Lösen von 4x 8x : (-4) x x p-q-formel x / ± ± x ; x Die gesucten x-werte sind x ; x ; x Aufgabe 6: Berecne den Differenzenquotienten der folgenden Funktionen im Intervall [ ; ] Der Differenzenquotient ist die Steigung der linearen Näerungsfunktion im Intervall a) f x x 5 m f x f x x x b) f x 5 x m f x f x x x c) f x x x x m 5 Aufgabe 7: Berecne den Differentialquotienten der folgenden Funktionen an der Stelle x. a) f x x 5 mit der x-metode f ' x lim x x f x f x lim x x x 5 5 x x x lim x x x 8 x Nebenrecnung Polynomdivision: x 8 : x x 4 x 4x 4x 8 4x 8 f ' lim x x x Seite 4 von 9

5 b) f x x x x mit der -Metode f ' x lim f x f x lim lim lim lim 5 4 lim Aufgabe 8: Berecne die Ableitung von f an der Stelle x, also f ' x. a) f ( x) x x, x f '() lim o ( )² ( ) lim (9 6 ²) ² lim lim b) f ( x), x ² 9 x f '() lim ² 9 o ² 9( ² 9) 9 9 ² 9 9( ² 9) 9( ² 9) lim 9( ² 9) ² lim 9( ² 9) c) f ( x) x x² x, x ( ) ( )² ( ) f '( ) o ² ( ² ) ( ² ) ( ² ) d) f ( x) x x² 8x, 4 4 x (4 ) (4 )² 8(4 ) ( 4 f '(4) 4 4 o 6 4 ² ² 8 4) (64 48 ² ) (6 8 ²) lim 4 Seite 5 von 9

6 Aufgabe 9: Gegeben ist die Funktion f x,5x a) Stelle die Funktionsgleicung der Tangenten von f(x) am Punkt P auf. Der Punkt P at die Koordinaten P x f x, also ist x und f x Berecnung des Differentialquotienten an der Stelle x, der gleic der Steigung der Tangenten ist. Also ist die Steigung der Tangenten m t f ' x Entweder mit x- oder mit der -Metode, je nac Gescmack. Je öer der Grad der Funktion, desto eer bietet sic die x-metode an. Hier -Metode: f x f ' x f ' lim f x,5,5 lim,5 6, lim lim 4 6,5 4 6,5 lim lim lim 6,5 6 6 Die Tangentengleicung ist eine Geradengleicung und lautet: f x m t x n Einsetzen von m t und vom Punkt P, also die x-koordinate für x und die y-koordinate für f(x). 6 n n n Die Tangentengleicung lautet also: f x 6 x b) Stelle die Funktionsgleicung der Normalen von f(x) am Punkt P auf. Die Normale stet senkrect zu der Tangenten. Also wieder erst den Differentialquotienten berecnen, um die Tangentensteigung zu ermitteln. Hier aben wir das scon in Aufgabe a) gemact, also m t 6 Für zwei senkrecte Geraden gilt: m m Hier: m n m t also m n m t 6 6 Einsetzen von P in f x m t x n 6 n n 7 n Also lautet die Normalengleicung f x 6 x 7 Seite 6 von 9

7 Aufgabe : In Segelflugzeugen sind äufig Flugscreiber eingebaut, die die Flugöe in Abängigkeit von der Flugzeit automatisc aufzeicnen. a) Berecne die mittlere Höenänderungsrate (Steiggescwindigkeit) zwiscen Punkt E und Punkt H. ( t ) ( t ) m mit E 4,5 7, H 6 5, also m, 4 t t 4,5 6 7 A: Die mittlere Höenänderungsrate zwiscen Punkt E und Punkt H beträgt -,4 m/min, d.. das Flugzeug sinkt mit einer Gescwindigkeit von etwa,9 m/s. b) Gib eine lineare Näerungsfunktion g(t) für den Abfall der Flugöe zwiscen Punkt E und Punkt H an. g t m t n Zeit t in Minuten. Mit der berecnten Steigung g t,4 t n Setze Punkt H in die Funktionsgleicung ein: 5,4 6 n n85,7 g t,4t 85,7 Seite 7 von 9

8 c) Erstelle, unter Verwendung der in b) berecneten Näerungsfunktion, eine Prognose, auf welcer Flugöe sic das Flugzeug zum Zeitpunkt t 8 befinden wird. g t,4 t 85,7, t8 g 8,4 8 85,77, A: Das Flugzeug wird sic nac einer Flugzeit von 8 Minuten voraussictlic in einer Höe von 7, Metern befinden. Aufgabe : Herr V. färt leidenscaftlic gerne scnelle Autos. m nac dem Ortsausgang von Abu Dabi muss er nocmal an einer Ampel steen bleiben. Danac bescleunigt er seinen Wagen maximal. Bei Vollgas bewegt sic sein Ferrari nac dem Weg-Zeit-Gesetz s t,5 t (Gerecnet ab Ortsausgang). a) Welce Gescwindigkeit at sein Ferrari nac Sekunde, nac Sekunden, nac Sekunden? Lösung: Die Gescwindigkeit v an der Stelle t ist die Ableitung von s(t ): v t s' t Berecnen von s'(t ) nac der -Metode für t ; t ; t sek. s' t s t s t s' s s,5,5,5,5 s',5 7,5,5 7,57 für Die Berecnung für t und t get analog. Ergebnis: s' 4, s' A: Nac Sekunde at das Auto eine Gescwindigkeit von 7 m/s.nac Sekunden at das Auto eine Gescwindigkeit von 4 m/s. Nac Sekunden at das Auto eine Gescwindigkeit von m/s. b) 8 m nac der Ampel stet eine Radarfalle der Polizei. Die maximale Höcstgescwindigkeit beträgt 7,7 m/s (also km/). Berecne, ob Herr V. geblitzt wird oder nict. Lösung: Zunäcst muss ermittelt werden, zu welcem Zeitpunkt das Auto 8m von der Ampel entfernt ist. Es muss also das rictige t bestimmt werden und von diesem t die Ableitung (also Gescwindigkeit). 8m inter der Ampel sind m inter dem Ortsausgang. Da die Funktion die Strecke ab Ortsausgang berecnet, muss auc dieser Wert eingesetzt werden, um das rictige t zu bestimmen. Also: Seite 8 von 9

9 ,5 t 8,5t t 8,5 t ± 8 ±4,8 sek,5 Pysikalisc sinnvoll ist nur, dass t positiv ist (keine negative Zeit). Zur Berecnung der Gescwindigkeit muss also die Ableitung von werden. s' t für t 4,8 gebildet Ergebnis berecnet wie in a): s' 4,8,6m/s Antwort: 8 Meter nac der Ampel at das Auto eine Gescwindigkeit von,6 m/s. Diese Gescwindigkeit liegt über den erlaubten 7,7 m/s (auc über der Toleranz, die ier nict berücksictigt wird). Herr V. muss also mit einem Strafzettel recnen. Seite 9 von 9