Übungen zum Mathematik-Abitur. Geometrie 1

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Birgit Giese
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1 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 Übungen zum atematik-abitur Geometrie Gegeben sind die Punkte ( 4 ) und ( 5 6 4) P und die Gerade 7 4 g: x= + r 4 Aufgabe : Die Ebene E entält g und Bestimmen Sie die Koordinatengleicung von E (Lösungsinweis: x+ x + x = ) n Entwicklung der Ebenengleicung durc die Normalenform: E : ( x p ) n = mit n= n n und dem Zusammenang, dass für die Koordinatengleicung E: nx+ nx + nx = d gilt 4 Sei u g = 4 der Rictungsvektor zur Geraden g und 7 5 v = 4 = der 4 Differenzvektor des Stützvektors der Geraden g und dem Ortsvektor m vom Punkt Diese beiden Vektoren liegen in der Ebene E und sind linear unabängig Daraus folgt, dass die beiden die Ebene E aufspannen Also gilt: ug n ug n= und v n v n= und somit folgt: ug n + ug n + ug n = 4n+ 4n + n = vn + vn + vn = 5n n 4n= Durc ultiplikation der zweiten Zeile mit und danac durc Addition der mit der ersten Zeile folgt: 6n 6n = n = n Wäle n = n = und mit ersten Zeile der Gleicungen folgt: 4 + 4n + = n = und somit ist der Normalenvektor n der Ebene E : n = und für die Koordinatengleicung ergibt sic: E:x+ x + x = d it der Punktprobe für in E folgt: + 4+ = d = und somit ergibt sic E:x+ x + x = Seite von 6

2 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 Aufgabe : Fällen Sie das Lot von auf g Geben Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L und die Länge d des Lotes an E g Erläuterungen zur Skizze: E ist eine Ebene die ortogonal zur Geraden g stet und den Punkt entält L ist der Durcstoßpunkt der Geraden mit der Ebene L Konstruktion der Hilfsebenen E : sei E und der Rictungsvektor u g der Geraden g ist der Normalenvektor n E E : 4x+ 4x + x = d mit der Punktprobe für folgt: = = d E : 4x + 4x + x = vereinfact E : x+ x + x = 6 Berecnung des Punktes L : sei L= E g x = 7 4r aus g x = + 4r eingesetzt in E ergibt: ( 7 4r) + ( + 4r) + ( + r) = 6 x = + r 4 + 8r r + r = 6 8r = 8 r = 7 4 eingesetzt in g ergibt: l = + 4 = 6 L( 6 ) Die Länge des Lotes ist gleic dem Abstand zwiscen L und dl ( ; ) = m l= 4 6 = ( ) + ( ) + ( ) = 9 = LE Aufgabe : Bestimmen Sie diejenigen Punkte A und B auf g, die von L die Entfernung d aben Um die Länge d auf einer Geraden abzutragen, benötigt man einen Vektor der Geraden der Länge eins wir bilden den Eineitsvektor des Rictungsvektor u g Seite von 6

3 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 4 Länge des Vektors ( ) u g = 4 = = = 6 4 Daraus folgt für den Eineitsvektor u g = 4 6 = und für die Ortsvektoren a und b ergibt sic: a = l d u g und b= l+ d u g 5 a = 6 = 6 = 4 und b = 6 + = 6 + = 8 A 5 4 B 8 ( ) und ( ) Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Punkte C und D, so dass das Viereck ABCD ein Quadrat mit dem ittelpunkt ist Skizze: D A C B 5 m= a+ c c= m a= C = 5 m= b+ d d = m b= = D ( ) ( 4 5) ( ) 4 8 ( ) Aufgabe 5: Die Gerade g und der Punkt P bilden die Ebene E Bestimmen Sie die Koordinatengleicung von E Berecnen Sie die den Scnittwinkel der Ebenen E und E Gleices Vorgeen und Argumentation wie bei Aufgabe zur Bestimmung der Koordinatengleicung Seite von 6

4 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/ ug = 4 ; v = 6 = aus n u 4n + 4n + n = und aus n v n 4n 6n = E g E Durc Addition der beiden Gleicungen n 4n = n = n Wäle n = 5 n = und daraus folgt ( ) 4n 6 = n = Durc ultiplikation des Normelenvektors mit erält man eine scönere Darstellung der Koordiantenform: E : 4x 5x + x = d mit Punktprobe für P folgt: = 4= d E : 4x 5x + x = 4 Für den Scnittwinkel zweier Ebenen mit den Normalenvektoren n und n gilt: n n cosα = n n Daraus folgt: 4 5 n n cosα = = = = = = α 6, 45 n n 5 Aufgabe 6: Über dem Quadrat ABCD wird eine senkrecte Pyramide errictet, von der eine Seitenfläce in der Ebene E liegt Berecnen Sie die Koordinaten der Spitze S und das Volumen der Pyramide Idee: Da die Pyramide senkrect ist, liegt die Spitze S auf der ortogonalen Geraden zur Grundfläce ABCD durc den Punkt Die Gerade S nennen wir g Der Normalenvektor der Ebenen E ist der Rictungsvektor Stützvektor wird der Ortsvektor m verwendet g : x= 4 + r Diesen scneiden wir nun mit der Ebene E : 4x 5x + x = 4 4 ( + r) 5 ( 4+ r) + ( + r) = 4 8 8r 5r+ 4+ 4r = 4 9r = 8 r = u g der Geraden g Als Seite 4 von 6

5 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 6 Daraus folgt für S : s = 4 + = 6 S( 6 6 6) 6 Die Höe der Pyramide ergibt sic aus dem Abstand der Punkte S und (oder der Länge des Vektors S ) 6 4 S = m s = 4 6 = = ( 4) + ( ) + ( 4) = 6 = Der Fläceninalt der Grundfläce ergibt sic aus Aufgabe : Der Abstand zwiscen A und B ist 6 Da ABCD ein Quadrat ist, ergibt sic für den Fläceninalt G = 6 = 6FE Und daraus ergibt sic für das Volumen V P der Pyramide mit VP = 6 6 = 7 VE VP = G : Aufgabe 7: Bei welcer Wal von S als Spitze beträgt das Volumen der Pyramide bei gleicer Grundfläce 44VE? Wie groß ist dann der Winkel zwiscen einer Seitenfläce und der Grundfläce? Sei V = G = 44VE = = = LE Um den neuen Punkt S zu G 6 bestimmen, brauct man einen Normaleneineitsvektor zur Ebene ABCD Aus den vorerigen Aufgaben ist bekannt, dass der Vektor u g ortogonal zur Ebene stet it u g = + + = 9 = folgt für u g = Es ist klar, dass man Punkte S bestimmen kann, die das vorgegebene Volumen begrenzen, einer über der Ebene ABCD und einer darunter Aus der Linearkombination für den Vektor S resp S ergibt sic: s = m+ u g = 4 + = 8 und 6 s = m u g = 4 = 6 S ( 8 ) und S ( 6 6) Seite 5 von 6

6 Geometrie Übungen zum atematik-abitur -7/8 Um den Winkel β zwiscen der Fläce ABCD (oder der Ebene E ) und der neuen Seitenfläce E zu berecnen, muss zuvor die Koordinatengleicung der Ebene E bestimmt werden Wir wissen, dass die Ebene E zb die Punkte ABS,, entält (andere Wal auc möglic) it diesen Punkten entwickeln wir die Koordiantengleicung: die Koeffizienten der Koordinatengleicung sind die Koordinaten des Normalenvektors, der ortogonal zur Ebene E stet Somit steen die Vektoren AB AS 4 5 AB = 4 ; AS = 4 und da ne AB und ne 4n+ 4n + n = 5n 4n n und auc ortogonal zu AS gilt: n E durc Subtraktion 9n 9n = n = n wäle n = + + = n = und durc einsetzen in eine der beiden Gleicungen folgt: + 4n = n = Daraus ergibt sic für E:x+ x x = d mit Punktprobe für A + + = d = 4 E:x+ x x = 4 und für n E = ne n E Für den Winkel β zwiscen den Ebenen E und E gilt: cos β = n n ( ) 7 7 E E cos β = = = = β 75,968 Seite 6 von 6

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