Einstieg in die Differenzialrechnung

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1 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Einstieg in die Dierenzialrecnung Einstiegsbeispiel: Der ideale Kasten Augabenstellung: Ein DIN-A4-Blatt soll zu einem (deckellosen) Kasten gealtet werden. Das Volumen dieses Kastens soll dabei so groß wie möglic sein. Maße eines DIN-A4-Blattes: Länge = l = cm; Breite = b = 9,7cm; Es soll eine Funktionsgleicung augestellt werden, an der man ungeär ablesen kann, wo das Volumen am größten ist. ANSATZ: In dieser Zeicnung seen wir versciedenes: ist die Höe des späteren Kastens. Länge und Breite der DIN-A4-Seite sind bekannt, aber wenn man den Kasten altet, get von der Länge und von der Breite ein Stück ab. Die Länge nac dem Falten beträgt l, die Breite b. Scauen wir uns zuerst einmal an, was l ist: l = l, da die Höe unbekannt ist. Nun zu b: b = b, da auc ier die Höe unbekannt ist. Wir wissen, dass das Volumen gleic ist mit der Länge l mal der Breite b mal der Höe. In einer Formel also: V = l b V = V = 4 ( l ) ( b ) V = l b l cm b + 4 9,7cm + cm 9,7cm V = 4,4cm + 6,7cm Und scon aben wir eine Funktion augestellt, die wir grapisc auswerten können: V = () = 4,4cm + 6,7cm Scauen wir uns doc den Grapen dieser Funktion an: 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite von 7

2 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Wir können jetzt scon ungeär ablesen, dass bei einer Höe von etwa 4cm das Volumen am größten ist (~8,4cm³). Allerdings get es in der Matematik nict um die Fäigkeit, Werte abzulesen, sondern um die, Werte zu berecnen! Und da stellt sic ein Problem: wir kennen weder das perekte Volumen noc die perekte Höe des Kastens, also weder () noc. Dieses Problem gilt es zu beeben. Scauen wir uns zuerst einmal die Kurve der Funktion an. Zu Beginn steigt sie, wird immer lacer, erreict einen Höcstpunkt (den wir sucen ) und sinkt wieder. Und da liegt auc scon der Knackpunkt: man müsste die Steigung der Funktion an bestimmbaren Punkten kennen! Dann wären nämlic alle Punkte, an denen die Kurve weder steigt noc sinkt, an denen also die Steigung gleic ist, ür unser Problem interessant. Nun aben wir aber ein entsceidendes Problem: eine Steigung kommt nur in einer Geradengleicung vor. Geraden deinieren sic aber immer durc zwei Punkte und wir aben ja noc nict mal den einen, den wir sucen!!! Der Sekantenanstieg Weicen wir erstmal von unserem Problem ab. Wie scon gesagt wird eine Gerade durc zwei Punkte P und Q deiniert. Scauen wir uns das mal an einem Beispiel an: gegeben sei die Funktion ()=². Es soll eine Sekante angelegt werden, die relativ genau die Steigung der Funktion im Punkt P( ) wiedergibt. Um das zu erreicen, nemen wir einen zweiten Punkt Q(,5,5): 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite von 7

3 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Den Abstand der beiden -Koordinaten der Punkte P und Q werden wir weiter als bezeicnen. ist also in unserem Beispiel,5. In der Zeicnung wurde alles allgemeiner gealten: der Punkt P at die Koordinaten P( ()) und der Punkt Q(+ (+)). Zudem wurde ein Steigungsdreieck eingezeicnet. Wir wissen ja: die Steigung m einer y Geraden ist gleic dem Quotienten aus y -y und -, also m =. In der allgemeinen Zeicnung wäre das also: ( + ) ( ) ( + ) ( ) m = =, da y ( + ) = ( + ), y = ( ) und die -Koordinate von Q (+) ist. Die Sekantensteigung in unserem Beispiel wäre also: ( + ) ( ),5,5 m = = = =,5,5,5 Nemen wir nun ein anderes Beispiel. Bei einer Normalparabel ist P( ) der Punkt, an dem die Parabel auört zu sinken und anangen will zu steigen. Die Steigung in diesem Punkt sollte also sein. Wir nemen uns den Hilspunkt Q(,,); somit aben wir ein =,-=,. =, ()=²=, (+)=(+,)=(,)=,²=,. Wir können also die Formel austellen: ( + ) ( ),, m = = = =,,, Wir seen also, die Sekantensteigung ist annäernd gleic. Dennoc at sie eine Abweicung, die in der Matematik ja nict vorkommen sollte., ist immer noc zu ungenau!!! Der Tangentenanstieg: Ableitung an einer Stelle Gedanke: Der. Punkt der Sekante wandert immer näer zum ersten Punkt. 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite von 7

4 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Das bedeutet also: Der zweite Punkt kommt dem ersten immer näer. Unsere Hilsvariable wird also immer kleiner. Aber wie klein??? Man kann jetzt, wie im obigen Beispiel, =, verwenden. Aber =, ist doc noc viel genauer! Und =, sogar noc genauer! Warum dann nict gleic =? Nun, zwei Gründe sprecen dagegen:. Wir ätten dann nur einen Punkt, könnten die Gerade also nict bestimmen und ( + ) ( ). : dar nict sein, da die Division durc nict erlaubt ist. Wir müssen uns also etwas einallen lassen. Die Matematik at sic dankenswerterweise bereits mit diesem Problem auseinander gesetzt. Das Ergebnis dieser Auseinandersetzung nennt sic Grenzwert. One näer zu bestimmen, lassen wir es einac gegen Null wandern. Bei diesem Vorgang wird es aber nict Null, es wandert nur gegen Null. Die beiden Punkte aben dann also einen unendlic kleinen Abstand zueinander. In der Matematik gibt es ür den Grenzwert die olgende Screibweise: lim Gelesen wir dies: Limes gegen Null. Limes ist ierbei der Grenzwert, a kennzeicnet, dass gegen Null get. Wir können also unsere Gleicung um diesen Grenzwert erweitern: ( + ) ( ) m Diese Gleicung nennt man den Dierenzialquotienten. Deinition: Ableitung Die Steigung eines Grapen einer Funktion in einem Punkt P( ( )) bezeicnet man auc als die Ableitung von in P. Die Ableitung wird durc ein Hockomma am gekennzeicnet: ()=5 Scauen wir uns nun unser Beispiel mit der Parabel an. Wir wollen die Steigung, also die Ableitung der Funktion ()=² im Punkt P( ). Somit ist die -Koordinate von P, also =. Setzen wir das nun ein: ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ' ( + ) = ( + ) () = ' = = + + ( ) = = Weil gegen Null wandert und nict im Nenner stet, kann es ier werden. 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite 4 von 7

5 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Wir aben also die Tangentensteigung an die Funktion ()=² im Punkt P( ): die Steigung ist, wie es sein sollte!!! Nun kann das natürlic Zuall gewesen sein, nemen wir also noc einen weiteren Punkt, in dem die Steigung ungleic Null ist: P( 4): ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ' ( + ) = ( + ) () = = 4 = = ( + 4) ' ( ) + lim4 = 4 Auc ier konnten wir eine durcaus möglice Tangentensteigung berecnen. Zur Formulierung: wenn man die Steigung erausgeunden at, ist die oiziell in Arbeiten verlangte Formulierung meist diese: Die Steigung der Tangente an den Grapen der Funktion ()=² im Punkt P( 4) ist gleic 4. Nun aben wir aber nict nur Parabeln, sondern auc viele andere Funktionen. Scauen wir doc mal, ob man den Dierenzialquotienten nict auc bei der Ausgangsunktion () = verwenden kann, wenn = ist: ( + ) () '() () = ( + ) = = 54 ( + ) = '() ( ) '() 54 + lim8 + lim = 54 Die Steigung der Tangente an den Grapen der Funktion () = im Punkt P( 54) ist gleic 54. Die Ableitungsunktion Deinition: Ableitungsunktion Unter der Ableitungsunktion () der Ausgangsunktion () verstet man die Funktion, die jeder Stelle die Ableitung von () an dieser Stelle zuordnet, soern () in dierenzierbar ist. Dierenzierbar bedeutet ierbei, dass im Deinitionsbereic der Funktion () vorkommt. Ist z.b. gleic, so kann es nict au der Funktion () = liegen. Das bedeutet: gesuct ist die Funktion, die mit Hile des Dierenzialquotienten errecnet werden kann, bei der man nur einen -Wert einsetzen muss, um die Steigung in diesem Punkt zu eralten. Scauen wir uns das mal bei der Ausgangsunktion ()=³ an, wenn =a, also ein beliebiger Wert, ist: ( a + ) ( a) '(a) Wir müssen jetzt also (a+) berecnen, (a)=a³. (a + ) = (a + ) Das können wir noc umormen: (a + ) = a + a + a + 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite 5 von 7

6 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Somit können wir einsetzen: a + a + a + a a + a + '(a) ( a + a + ) '(a) a + lim a + lim = a Das bedeutet also, dass, egal, was wir ür a einsetzen, die Ableitung immer a² ist. Nemen wir ein einaces Beispiel: a=. Somit ist '(a) = = 7. So können wir, one den Dierenzialquotienten zu nutzen, soort die Steigung an einer Stelle bestimmen. Voraussetzung daür ist aber, dass die Ableitungsunktion bekannt ist. Die Funktion oben gilt nämlic tatsäclic nur ür die Ausgangsunktion ()=³. Grundsatz: Benötigt man den Anstieg einer Funktion () an einer beliebigen Stelle =a und ist die Gleicung der Ableitungsunktion () bekannt, dann muss der Wert a lediglic in die Ableitungsunktion eingesetzt werden. Durc Berecnung mit dem Dierenzialquotienten ergab sic: () = ' () = Wenn wir nun die Steigung im Punkt P( 9) braucen, setzen wir einac die - Koordinate des Punktes in die Ableitungsunktion ein: '() = = 6 Die Steigung ist also gleic 6. Nun ist es aber müsam (und auc unmöglic), bei jeder Funktion die Ableitungsunktion mit Hile des Dierenzialquotienten zu bilden. Daür muss es doc einen einaceren Weg geben!!! Und wie sollte es auc anders sein es gibt in: es gibt die so genannten Ableitungsregeln. Ableitungsregeln Die Potenzunktion n Die Potenzunktion () = at als Ableitungsunktion '() n = n. Der Beweis beindet sic in einem anderen Dokument, ier würde er zu weit ausscweien. Scauen wir uns nun einmal diese Regel mit Hile einiger Beispiele an: 5 4 () = '() = 5 () = ' () = () = = '() = = () = = ' () = = = Wir seen scon ier, dass n absolut beliebig ist. Es kann sogar Element der reellen Zalen sein. Die Faktorregel Ein konstanter Faktor k bleibt beim Dierenzieren eralten: () = k g() '() = k g' () Das ört sic jetzt scwerer an, als es ist. Nemen wir das Beispiel ()=5³. 5 ist der konstante Faktor, g()=³. Es ergibt sic also als Ableitungsunktion: '() = 5 = 5 ( ) Die Faktorregel lässt sic auc ser leict beweisen: () = k g() (a + ) (a) k g(a + ) k g(a) '(a) k ausklammern 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite 6 von 7

7 Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) g(a + ) g(a) '(a) k lim g(a + ) g(a) '(a) = k lim '(a) = k g' (a) = g' (a) Die Summenregel Für eine Funktion der Form ()=a()+b() olgt ür die Ableitungsunktion ()=a ()+b (). Auc ier ist ein rect kurzer Beweis möglic: () = a() + b() a( + ) + b( + ) a() b() '() a( + ) a() + b( + ) b() ' () a( + ) a() b( + ) b() ' () + lim = a'() + b'() Das bedeutet also ür '() = () = + 7 : = Der ideale Kasten Wir ören da au, wo wir angeangen aben: der Papierkasten mit möglicst großem Volumen. Die Funktionsgleicung V = () = 4,4cm + 6,7cm aben wir bereits weiter oben augestellt. Die Ableitung davon wäre nac Ableitungsregeln somit: '() =,8 + 6,7 Nun stellt sic die Frage, ob uns das nun irgendetwas bringt. Die Antwort: aber sicer!!! Am öcsten Punkt der Ausgangsunktion ist doc das Volumen am größten. Somit ändert die Funktion ier ire Rictung. An diesem Punkt muss also die Steigung der Tangente gleic Null sein. Wir können also sagen: '() =! '() =,8 + 6,7 Diese beiden Gleicungen können wir nun gleicsetzen und eralten: =,8 + 6,7 : = 6,9 + 5,975 Wir aben ier nun eine quadratisce Gleicung, die wir mit der p-q Formel one weiteres lösen können: / / ( 6,9) 6,9 = ± 4 = 8,45 ± 4,4 5,975 Nun aben wir zwei Lösungen, aber dennoc kein Problem. Die Kiste muss 4,4cm oc sein, da bei einer Höe von,86cm das DIN-A4-Blatt nict mer ausreict. Die Maße der Kiste wären also: l=,9cm, b=,6cm und =4,4cm. 5 by Kevin Kaatz, Lern-Online.net Seite 7 von 7

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