Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A

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1 Abiturprüfung Matematik 5 (Baden-Württemberg) Beruflice Gymnasien one TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A f () ( ) ( ) ( ) f () ( ) f () ( ) und f () Wendepunkte: f () ( ) f ( ) WP( / ) 7 Zeicnung für a und für die Fläcenberecnung: Für die Berecnung der Fläce muss die Gleicung der Normalen im WP aufgestellt werden: Steigung der Tangente im Wendepunkt: f ( ) Aus mnorm mtang ergibt sic m Norm Aus der Punkt-Steigungs-Form folgt: y ( 7 ) y Actung: Die bescriebene Fläce in der Aufgabenstellung ist nict eindeutig. Es könnte sowol nac dem Inalt der dunkleren Fläce in obigem Scaubild gefragt sein als auc nac der elleren Fläce. 9 Berecnung der ellen Fläce: ( f() ( ))d, mit Hilfe des GTR

2 Berecnung der dunklen Fläce: Linke Scnittstelle der Normalen und dem Scaubild von f():,97 (GTR) Daraus folgt:,97 9 (f() ( ))d,5 7 b) Die Steigung der Geraden ist c) Tangentensteigung ist. m. Gesuct ist ein Punkt auf K, dessen f () ( ) Mit Hilfe des GTR oder mit der Mitternactsformel folgt daraus oder, 9 Daraus ergeben sic die Berürpunkte B (/ f()) (/ ) und B ( / ). Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form ergeben sic die gesucten Geraden: 9 g : y ( ) y und 9 g : y ( ) y Mit Hilfe einer Skizze mit dem GTR für versciedene Parameterwerte für a kann man aus den Scarkurven entnemen: Alle Scarkurven verlaufen durc O(/) und besitzen an der Nullstelle P(a/) einen Tiefpunkt (doppelte Nullstelle). Die Scarkurven verlaufen nur im. und im.quadrant. Für strebt f (). Für strebt f (). Die Scarkurven aben im.quadrant noc einen Hocpunkt zwiscen den beiden Nullstellen. Zwiscen Hoc- und Tiefpunkt liegt ein Wendepunkt.

3 d) Um die Ortskurve der Hocpunkte zu berecnen, muss zunäcst der allgemeine Hocpunkt der Kurvenscar berecnet werden. fa () ( a a ) ( a a ) a a fa () ( a a ) und f a () ( a) a a Notwendige Bedingung für einen Hocpunkt: f a () a± a a a± a ( a a ) a a, a Daraus ergibt sic a und a. Da bei a die doppelte Nullstelle mit dem Tiefpunkt vorliegt, kann der Hocpunkt nur bei a sein. Kontrolle mit inreicender Bedingung: f a ( a) (a a) <, also Hocpunkt. a f a( a) a( a a) a a, also HP( a / a ). a Ortskurve der Hocpunkte: a a Eingesetzt in den y-wert des Hocpunktes ergibt sic Ortskurve der Hocpunkte. y () und dies ist die 7 Alle Tiefpunkte T(a/) der Kurvenscar liegen auf der -Acse. Der Wendepunkt einer Scarkurve liegt zwiscen dem Tiefpunkt und dem Hocpunkt. Da der Tiefpunkt auf der -Acse liegt und der Hocpunkt oberalb der -Acse (der y- Wert des Hocpunktes ist für jeden Wert von Parameter a positiv), muss auc der Wendepunkt oberalb der -Acse liegen. (Man könnte auc alternativ die allgemeinen Koordinaten des Wendepunktes berecnen. Dies wäre WP ( a / a ). Da der y-wert des Wendepunktes für alle Parameterwerte a 7 immer positiv ist, liegt er oberalb der -Acse). e) Die Ableitungsfunktion scneidet an den Stellen die -Acse, an denen das Scaubild von f einen Punkt mit waagrecter Tangente besitzt (Etrempunkt oder Sattelpunkt). Aus dem Scaubild kann nun entnemen, dass die Ableitungsfunktion die -Acse bei und scneidet. Hierbei entsprict die Stelle dem Hocpunkt von Scaubild f (Vorzeicenwecsel von nac -) und dem Tiefpunkt von Scaubild f (VZW von nac ). a a Da der allgemeine Hocpunkt den -Wert at, gilt a. Der allgemeine Tiefpunkt at den -Wert a, also gilt auc ier a. 5

4 f) Die Scaubilder der beiden Funktionen g und f für ergibt mit dem GTR folgendes: Daran erkennt man, dass in diesem Intervall mal das eine, mal das andere Scaubild oberalb liegt. Wenn das Scaubild von f oberalb von g liegt, ist der senkrecte Abstand d() f() g(). Wenn das Scaubild von g oberalb von f liegt, ist der senkrecte Abstand d() g() f(). Nun gibt es zwei Möglickeiten:.) Man arbeitet mit der Betragsfunktion d() f() g() und untersuct das Scaubild von d() (abgespeicert unter Y) auf Hocpunkte mit Hilfe des GTR. Die maimale Abweicung befindet sic an der Stelle, und die Abweicung beträgt,9..) Man arbeitet mit der Funktion d() f() g() und untersuct das Scaubild von d() (abgespeicert unter Y) auf Hoc- und Tiefpunkte mit Hilfe des GTR. Der y-wert des öcsten Punktes des Scaubildes beträgt,9 an der Stelle,. Der tiefste Punkt befindet sic an der Stelle,5 mit y -,57. Also ergibt sic als maimale Abweicung,9.

5 Abiturprüfung Matematik 5 (Baden-Württemberg) Beruflice Gymnasien one TG Analysis Gruppe I, Lösung Aufgabe A a) Symmetrie zur y-acse liegt vor, wenn gilt: f ( ) f(). Kontrolle: f( ) ( ) cos( ) cos() f() 5 5 (Hinweis: Es gilt allgemein cos( ) cos() ). Scnittpunkte mit den Koordinatenacsen: y-acse: f (), also ( /) -Acse: S y Mit Hilfe des GTR und aus Symmetriegründen ergeben sic folgende Scnittpunkte: N (,9 / ), N (,5 / ), N (,5 / ) und N (,9 / ). Aus dem GTR-Scaubild lassen sic ebenfalls die Etrempunkte entnemen: HP(/) und TP(,/-,) und TP(-,/-,) Wendepunkte: f () sin() und f () cos() 5 5 Notwendige Bedingung für Wendepunkt: f () Hinreicende Bedingung: f () oder Vorzeicenwecsel bei f ( ) Aus dem GTR-Scaubild für f () kann man Nullstellen für - < < entnemen: Da diese Nullstellen des Scaubildes von f alle einen Vorzeicenwecsel aben, liegen an allen Stellen des Scaubildes von f auc Wendepunkte vor. 7

6 Zeicnung von K: b) Für die Berecnung der Fläce müssen die Scnittpunkte der Scaubilder ermittelt werden: f() () cos() k k für k Z Für k ergibt sic und für k ergibt sic und für k - ergibt sic. Da die Fläcen links und rects der y-acse gleic groß sind, ergibt sic: A cos()d (f() ())d (() f())d cos()d sin() sin() ( ) ( ( ) ( ) ) Jedes dieser drei Fläcenstücke at den Inalt, der Gesamtfläceninalt beträgt somit A.

7 Das Integralwert von über dem Intervall ; bedeutet, dass die Fläce zwiscen den Scaubildern der Funktionen f und im Intervall ; genauso groß ist wie im Intervall ;. c) Da die Polynomfunktion drei Etrempunkte at, muss die erste Ableitung eine Funktion von mindestens Grad sein. Also muss die Ausgangsfunktion einen Grad von mindestens aben. Da die angegebenen Etrempunkte symmetrisc zur y-acse liegen, kann die Polynomfunktion ebenfalls als symmetrisc zur y-acse unterstellt werden. Es kommen somit nur gerade Hoczalen in der Polynomfunktion vor: Ansatz: p() a b c mit p () a b. Bedingungen: p(,),, a, b c, p () c p (,), Eingabe in den GTR: a, b Also p(),,9 d) Etrempunkte von K: f () sin() sin() 5 5 Für ergibt die recte Seite der Gleicung einen Wert,. Da die Sinusfunktion jedoc maimal den Wert annemen kann, ist die Gleicung für nict lösbar, also eistiert für diesen -Bereic auc kein Etrempunkt. e) Bei dem linken Scaubild andelt es sic um eine allgemeine Sinus- oder Kosinusfunktion. Ansatz: y a sin(b( c)) d Die Sinuskurve ist um nac unten verscoben, also d -. Die Amplitude beträgt a. Die Kurve ist nict nac links oder rects verscoben, also c. Die Periode des Scaubildes ist und aus der Formel p folgt b. b Also lautet die Funktionsgleicung y sin( ) Bei dem recten Scaubild andelt es sic um eine ganzrationale Funktion.Grades, da das Scaubild drei Nullstellen besitzt. Aufgrund der bekannten Nullstellen kann die Funktionsgleicung als Linearfaktorzerlegung dargestellt werden: y a( ) ( ) Mit Hilfe des Punktes P(/-) kann nun a berecnet werden: a ( ) a,5 y,5( ) ( ) 9

8 Lösung Aufgabe A: a) Gleicung der Tangente in P(/): m Tangente () f () f Punkt-Steigungs-Form: y ) ( y Der Punkt Q liegt auf der Tangente: Einsetzen von : ) Q(/ y b) Volumen ( ) 5, d d () f cm³ c) d d () V ) ( ) ( d), Liter cm³ ) ( GTR-Lösung: 7, cm

9 Lösung Aufgabe B: a) Es sei die Menge von Rostoff in kg, von Rostoff, von Rostoff. Daraus ergibt sic nun folgendes Gleicungssystem: kg: Kupfer:,95,75,9 9 Zinn:,,5 7 Zink:,, 5 Lösung mit dem GTR:, 7 kg, 59 kg 7 7, kg 7 b). Möglickeit: Die Legierung soll % Zink entalten. Da in Glockenbronze überaupt kein Zink entalten ist, müsste man, um den Zinkanteil von % zu eralten, kg der Kupfermünzen nemen. Dann stimmen aber die Anteile von Kupfer und Zinn nict mer.. Möglickeit: Wenn man in dem Gleicungssystem in a) für setzt (d.. Rostoff wird nict verwendet) besitzt das Gleicungssystem keine Lösung. c) kg: 5 Kupfer:,95 5,75,9 9 Zinn:, 5,5 7 Zink:, 5, Lösung mit dem GTR: kg, 5 kg, 5 kg d) Eine Zusammensetzung der Legierung wäre z.b. % Kupfer, 5% Zinn und % Zink. Begründung: Kein Rostoff at weniger als 75% Kupferanteil, also kann aus den Rostoffen keine Legierung mit einem Kupferanteil von weniger als 75% gebildet werden.

10 Lösung Aufgabe C: a) Änderungsrate: I (),797 I (t), e,t Das eißt, zum Zeitpunkt t Minuten nimmt die Stromstärke um, Milliampere pro Minute ab. t b) Bedingung: 5 e, > Mit GTR ergibt sic t >, Minuten. Die Leuctdauer im Stand beträgt damit ca. Minuten. Gleicung der Geraden für die ersten 5 Minuten: Es gilt I () 5 und I (5), 5. Durc diese beiden Punkte P(/5) und Q(5/,5) ergibt sic folgende Gerade:,5 5 m g, und damit y, t 5 5 Bedingung für die Leuctdauer:, t 5 t, Minuten Da die Leuctdauer aus der Geradengleicung eine wesentlic kürzere Zeit im Vergleic zur Funktion I(t) ergibt, ist die Näerungsgerade für die Bescreibung des Entladevorgangs ungeeignet. c) Mittelwert I(t)dt, 9 Milliampere

11 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Gruppe II, Lineare Optimierung, Lösung zu Aufgabe A Baden-Württemberg a) Bezeicnungen: Man nimmt Volumeneineiten vom Nadelolz. Man nimmt y Volumeneineiten vom Laubmiscolz. Man nimmt z Volumeneineiten vom Bucenolz. Folgende Bedingungen gelten für die Variablen, y und z:, y, z Ma. Lagerbestand: y z () Gesamtkosten:,5y z () Zu maimieren ist die Heizwertfunktion 5y z () Es ist vorgegeben: z 5 Aus () folgt: y 5 y 5 (*) Aus () folgt:,5y 7 y (*) Aus () folgt: 5y 5 y (*) 5 5 Aus den Ungleicungen (*) und (*) ergibt sic die folgende eingefärbte Fläce: Die Geraden (*) und (*) scneiden sic in S(5/7).

12 Nun wird gemäß (*) die Gerade y C so in das Koordinatensystem eingezeicnet, dass die Gerade noc einen gemeinsamen Punkt mit der markierten Fläce besitzt und der y-acsenabscnitt C der Gerade einen möglicst großen Wert annimmt. Die rote Gerade mit dem größten y-acsenabscnitt get durc den Punkt S(5/7). Damit ergibt sic eine optimale Miscung für 5 (Volumeneineiten Nadelolz) und y 7 (Volumeneineiten Laubmiscolz). Der maimale Heizwert ergibt Wenn Nadelolz billiger wird z.b.,5 Geldeineiten je Volumeneineit, ändert sic Ungleicung () zu,5,5y 7 y Die Gerade (*) wird damit flacer. Der Scnittpunkt von (*) und (*) lautet jetzt S*(5/95). Damit ergibt sic eine optimale Miscung für 5 (Volumeneineiten Nadelolz) und y 95 (Volumeneineiten Laubmiscolz). Der Anteil von Nadelolz get somit zurück, der von Laubmiscolz wäcst. Der neue Heizwert ergibt

13 b) Für das Simple-Verfaren müssen für die Ungleicungen () und () zwei Sclupfvariablen u und v eingefürt werden: y z u,5y z v Da öcstens Volumeneineiten Bucenolz verwendet werden dürfen, ergibt sic mit Hilfe einer weiteren Sclupfvariablen w z w Zielfunktion: 5y z Aufbau des Simple-Tableaus: y z u v w Einscränkung,5 5 Die Spalte mit der größten Zal bei der Zielfunktionszeile ist die Pivotspalte (ier z). Die Werte der Spalte Einscränkung ergeben sic aus der Division der Spalte 7 durc die Elemente der Pivotspalte (: ; : ; : ). Die Zeile, in der die kleinste Zal bei Einscränkung stet, ist die Pivotzeile. Dies ist in diesem Fall mit die.zeile. Das Element, das sowol in der Pivotspalte als auc in der Pivotzeile stet, ist das so genannte Pivotelement ier.

14 Nun werden alle Elemente der Pivotspalte durc üblice Zeilenumformungen zu Null gemact, außer das Pivotelement selbst. Damit ergibt sic y z u v w Einscränkung, Nun ist die zweite Spalte (y) die Pivotspalte und die.zeile die Pivotzeile. y z u v w Einscränkung, Nun ist die erste Spalte () die Pivotspalte und die.zeile die Pivotzeile. y z u v w, Division der.zeile durc,5 ergibt nun y z u v w Die optimale Miscung bestet aus Volumeneineiten Nadelolz, Volumeneineiten Laubmiscolz und Volumeneineiten Bucenolz. Der Heizwert beträgt 5 (oder: ) 5

15 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Gruppe II, Lineare Optimierung, Lösung zu Aufgabe B Baden-Württemberg a) Bezeicnungen: sei die Produktionsmenge von A y sei die Produktionsmenge von B Folgende Bedingungen gelten für die Variablen und y:, y Zeit für Mascine : y () Zeit für Mascine : y 7 () Zeit für Mascine : 9y () Zu maimieren ist die Erlösfunktion E y () Aus () folgt: y (*) Aus () folgt: y (*) Aus () folgt: y (*) E Aus () folgt: y (*) Aus den Ungleicungen (*) bis (*) ergibt sic die folgende eingefärbte Fläce: Die Geraden (*) und (*) scneiden sic in C(/).

16 E Nun wird gemäß (*) die Gerade y C so in das Koordinatensystem eingezeicnet, dass die Gerade noc einen gemeinsamen Punkt mit der markierten Fläce besitzt und der y-acsenabscnitt C der Gerade einen möglicst großen Wert annimmt. Die rote Gerade mit dem größten y-acsenabscnitt get durc den Punkt C(/). Damit ergibt sic ein maimaler Erlös, wenn von A und B jeweils ME produziert werden. Maimaler Erlös E Euro. b) Für das Simple-Verfaren müssen für die Ungleicungen () bis () drei Sclupfvariablen u, v und w eingefürt werden: y u y v 7 9y w Zielfunktion: E y Aufbau des Simple-Tableaus: y u v w Einscränkung 9 7 E Die Spalte mit der größten Zal bei der Zielfunktionszeile ist die Pivotspalte (ier y). Die Werte der Spalte Einscränkung ergeben sic aus der Division der Spalte durc die Elemente der Pivotspalte (: ; 7: ; :9). Die Zeile, in der die kleinste Zal bei Einscränkung stet, ist die Pivotzeile. Dies ist in diesem Fall mit die.zeile. Das Element, das sowol in der Pivotspalte als auc in der Pivotzeile stet, ist das so genannte Pivotelement ier 9. Nun werden alle Elemente der Pivotspalte durc üblice Zeilenumformungen zu Null gemact, außer das Pivotelement selbst. Damit ergibt sic y u v w Einscränkung E-

17 Nun ist die erste Spalte () die Pivotspalte und die.zeile die Pivotzeile. y u v w E- Division der.zeile durc und der.zeile durc ergibt nun y u v w -5 7, E- Die optimalen Produktionsmengen betragen Stück von A und Stück von B Prüfung der Ausscöpfung der Kapazitäten: Auslastung Mascine : Minuten. Da die freien Kapazitäten bei Minuten liegen, sind noc Minuten frei. Auslastung Mascine : 7 Minuten, also ausgelastet. Auslastung Mascine : 9 Minuten, also augelastet. Wegen Mascine at der Produktionsleiter rect. c) Betractet man nur die Mascine und, dann liegt die optimale Produktionsmenge im Punkt D des obigen Scaubildes. Das Gleicsetzen der Geradengleicungen (*) und (*) ergibt den Scnittpunkt D(/). Der Erlös zu dieser Funktion beträgt E Euro. Die dafür benötigte Kapazität der Mascine beträgt 7 Minuten Aufgrund der vorandenen Kapazität von 7 Minuten muss eine Kapazitätsausweitung um Minuten erfolgen.

18 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Gruppe II, Stocastik, Lösung zu Aufgabe A Baden-Württemberg a) P(Secserpasc) P(genau ein Würfel zeigt eine Drei) 5 5 P ((,);(,)) 5 P(Augenzaldifferenz ) P((,);(,);(,5);(5,);(,);(,)) 5 b) P(kein Secserpasc bei einem Wurf) 5 P(kein Secserpasc bei dreimaligem Werfen), 99 c) X ist die Anzal der Cips, die Ma erält und kann folgende Werte annemen: X - : Würfeln eines Pascs X,,,,5 : Differenz der Augenzalen ist,,,,5 P (X ) P (X ) P((,);(,);(,);(,);(,);(,);(,5);(5,);(5,);(,5)) P (X ) P((,);(,);(,);(,);(,5);(5,);(,);(,)) 9 P (X ) (siee a)) P (X ) P((,5);(5,);(,);(,)) 9 P (X 5) P((,);(,)) - 5 P(X) Erwartungswert von X 5 < 9 9 Langfristig verliert Ma pro Spiel durcscnittlic Spielcip, also ist das Spiel für Ma ungünstig. 5

19 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Gruppe II, Stocastik, Lösung zu Aufgabe B Baden-Württemberg a) Beim Zeicnen des Baumdiagrammes ist zu berücksictigen, dass es sic bei diesem Zufallseperiment um eine Miscung zwiscen einer Zieung mit und one Zurücklegen andelt abängig davon, welce Farbe gezogen wird. Baumdiagramm: P(zweite Kugel gelb) P(rg;gg;bg) 5 Bei der näcsten Warsceinlickeit andelt es sic um eine bedingte Warsceinlickeit: A: beim zweiten Zug eine blaue Kugel B: beim ersten Zug keine blaue Kugel 5 P(A B) P(rb;gb) P B (A) P(B) b) Nun erfolgt eine Zieung mit einem Griff: Insgesamt befinden sic Kugeln in der Urne, wovon mit einem Griff gezogen werden sollen: Anzal aller Möglickeiten. 5 Von den 5 roten Kugeln soll eine Kugel gezogen werden:

20 Von den blauen Kugeln soll eine Kugel gezogen werden: Von den gelben Kugeln soll eine Kugel gezogen werden: P(drei versciedenfarbige Kugeln) 5 5

21 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Gruppe II, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe A Baden-Württemberg a) Zunäcst wird die.zeile des Gleicungssystems betractet. Für den Fall, dass t ist, gibt es keine eindeutige Lösung mer. Die Gleicung ist erfüllt für t oder t (GTR oder Mitternactsformel). t Für t, für dessen Wert auc der Lösungsvektor bestimmt werden soll gilt: Die letzte Zeile ist eine ware Aussage und kann ignoriert werden. Aus der.zeile folgt. Da in der.zeile nun zwei Variablen vorkommen, wird eine Variable durc den Parameter s ersetzt: s mit s R. Daraus folgt s s. s Lösungsvektor für t : s mit s R. s Für t eistieren damit unendlic viele Lösungen. Für t gilt: Auc dieses LGS besitzt unendlic viele Lösungen, allerdings müssen ier, da zwei ware Aussagen vorkommen, zwei Parameter r und s einfüren. Für t und t besitzt das LGS genau eine Lösung. b) Geradengleicung durc A und B: g: r Für den Scnittpunkt mit der Ebene gilt. Daraus folgt r r Einsetzen von r in die Geradengleicung ergibt S(//).

22 c) Der Punkt D abe die Koordinaten D( ) d / d / d. Für das Parallelogramm gilt: DC AB d d d und daraus folgt D(//). d) Aufstellen einer Ebenengleicung in Parameterform: E: t s r Es andelt sic dann um eine tatsäclice Ebenengleicung, wenn die Rictungsvektoren und t linear unabängig sind, d.. wenn sie keine Vielfacen zueinander sind. Für welce t-werte sind die Vektoren Vielface? t k Aus der. und.zeile folgt k, dann ergibt sic aus der.zeile t. Fazit: Für t legen die Punkte keine Ebene fest, für alle anderen Werte für t legen sie eine Ebene fest.

23 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Gruppe II, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe B Baden-Württemberg a) Parameterform von F: t r ( 9) Vereinfact: t r 5 Umwandlung in Koordinatenform: t r () t r () t 5r () Zunäcst wird der Parameter t entfernt: () (): r () () () : 9 r () Nun wird der Parameter r entfernt: () (): Koordinatengleicung von F b) Berecnung der Scnittgerade: E : () F: () Zur Lösung des Gleicungssystems wird dieses auf Stufenform gebract: () () () Aus der letzten Zeile folgt Da das Gleicungssystems mer Variablen als Gleicungen besitzt, muss ein Parameter eingefürt werden. Sei t. Daraus folgt t t

24 Aus der Lösung kann nun eine Geradengleicung aufgestellt werden: t t t Untersucung der Lage der Ebene F zur Ebene E k : E k : k k k () F: () () () - k () k k ( k) k (*) Für k k, 5 lautet (*): 5 es ergibt sic somit ein Widerspruc. Für k -,5 sind die Ebenen somit ect parallel zueinander. Für k, 5 ist das Gleicungssystem ( Gleicungen, Unbekannte) merdeutig lösbar und die Ebenen scneiden sic in einer Scnittgerade. c) Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, wenn gilt: AB DC. Mit D(d / d / d ) folgt daraus die Bedingung: 7 d d d folgt D(9//-). Umfang des Parallelogramms U AB BC Mit AB 9 und BC 5 folgt U 5

25 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Teil, Wirtscaftlice Anwendungen, Lösungen Aufgabe A Baden-Württemberg a) Aus den Angaben in den Tabellen kann man folgende Matrizen entnemen: Rostoff-Zwiscenprodukt-Matri A 5 5 Zwiscenprodukt-Endprodukt-Matri B 9 5 Außerdem sind folgende Kostenvektoren gegeben: R ( 5 ) und k T Z ( ) und k T E ( ) k T Der Auftrag des Kunden entsprict dem Produktionsvektor ( ) p T. Zunäcst wird die Rostoff-Endprodukt-Matri C benötigt: C A B 5 9 (mitilfe des GTR) 5 5 Die variablen Kosten je ME der Endprodukte werden berecnet durc k ( 9 ) ( 5 7) ( ) T T T T V kr C k Z B ke ( 5 ) Gesamtkosten für den Auftrag: p Euro. k T V Der Verkaufspreis für das Endprodukt E beträgt z, für E z. Als Erlös ergibt sic damit: z z z 5z 97 z und für E Daraus folgt z 7. Der minimale Verkaufspreis für E beträgt 5 Euro, für E Euro und für E Euro.

26 b) Gegeben ist der Rostoffvektor r 7 Mit diesen Rostoffen sollen Zwiscenprodukte ergestellt werden. Es gilt: A z r Nun muss dieses LGS auf Stufenform gebract werden: Aufgrund der Nullzeile in der letzten Zeile der Matri ist dieses LGS entweder unlösbar oder es besitzt unendlic viele Lösungen. Unendlic viele Lösungen gibt es, falls gilt, also für. Das eißt, vom Rostoff R müssen ME bereitgestellt werden, damit sämtlice Rostoffe bei der Produktion von Zwiscenprodukten aufgebrauct werden. Die unendlic vielen Lösungen bedeuten dann, dass es unendlic viele Möglickeiten bzgl. der Anzal der erzustellenden Zwiscenprodukte gibt.

27 Beruflices Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 5 Teil, Wirtscaftlice Anwendungen, Lösungen Aufgabe B Baden-Württemberg a) A B C Markt Produktion A a B b 5 C c Daraus ergibt sic: a b 5 5 c Inputmatri A, 5,5,,,,,,5, Gegeben ist der Marktabgabevektor y ( 5 ) T ( E A),9 y,5,,,,,,5 5,7 Mit GTR ergibt sic als Lösung: ( 9) T Das eißt Werk A muss Waren im Wert von GE, Werk B im Wert von GE und Werk C im Wert von 9 GE produzieren. b) Neuer Marktabgabevektor: y y ; neuer Produktionsvektor:,9,, ( E A) y,5,,5 y,,,7 Daraus ergibt sic folgendes Gleicungssystem:,,,, 7,,5 bzw.,,5 y y,7,,7, Lösung mit GTR: 7,, y Werk B gibt Waren im Wert von GE an den Konsum ab.

28 Werk B eröt die Produktion von GE auf 7 GE, also um %. Werk C eröt die Produktion von GE auf GE, also um %.,9,, t t y,5,,5 t 7t,,,7 t Marktabgabe von C: 5 t t Marktabgabe von A: GE Marktabgabe von B: 7 GE. c) ( E A)

29 Lösung Aufgabe A: a) Gleicung der Tangente in P(/): m Tangente () f () f Punkt-Steigungs-Form: y ) ( y Der Punkt Q liegt auf der Tangente: Einsetzen von : ) Q(/ y b) Volumen ( ) 5, d d () f cm³ c) d d () V ) ( ) ( d), Liter cm³ ) ( GTR-Lösung: 7, cm

30 Lösung Aufgabe B: a) Es sei die Menge von Rostoff in kg, von Rostoff, von Rostoff. Daraus ergibt sic nun folgendes Gleicungssystem: kg: Kupfer:,95,75,9 9 Zinn:,,5 7 Zink:,, 5 Lösung mit dem GTR:, 7 kg, 59 kg 7 7, kg 7 b). Möglickeit: Die Legierung soll % Zink entalten. Da in Glockenbronze überaupt kein Zink entalten ist, müsste man, um den Zinkanteil von % zu eralten, kg der Kupfermünzen nemen. Dann stimmen aber die Anteile von Kupfer und Zinn nict mer.. Möglickeit: Wenn man in dem Gleicungssystem in a) für setzt (d.. Rostoff wird nict verwendet) besitzt das Gleicungssystem keine Lösung. c) kg: 5 Kupfer:,95 5,75,9 9 Zinn:, 5,5 7 Zink:, 5, Lösung mit dem GTR: kg, 5 kg, 5 kg d) Eine Zusammensetzung der Legierung wäre z.b. % Kupfer, 5% Zinn und % Zink. Begründung: Kein Rostoff at weniger als 75% Kupferanteil, also kann aus den Rostoffen keine Legierung mit einem Kupferanteil von weniger als 75% gebildet werden.

31 Lösung Aufgabe C: a) Änderungsrate: I (),797 I (t), e,t Das eißt, zum Zeitpunkt t Minuten nimmt die Stromstärke um, Milliampere pro Minute ab. t b) Bedingung: 5 e, > Mit GTR ergibt sic t >, Minuten. Die Leuctdauer im Stand beträgt damit ca. Minuten. Gleicung der Geraden für die ersten 5 Minuten: Es gilt I () 5 und I (5), 5. Durc diese beiden Punkte P(/5) und Q(5/,5) ergibt sic folgende Gerade:,5 5 m g, und damit y, t 5 5 Bedingung für die Leuctdauer:, t 5 t, Minuten Da die Leuctdauer aus der Geradengleicung eine wesentlic kürzere Zeit im Vergleic zur Funktion I(t) ergibt, ist die Näerungsgerade für die Bescreibung des Entladevorgangs ungeeignet. c) Mittelwert I(t)dt, 9 Milliampere

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