Lösungen Es ist. 2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: f (x) = 0 1. Schnittpunkt mit der y-achse: S Schnittpunkte mit der x-achse: N

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1 Baden-Württemberg: Abitur 01 Analysis Lösungen Es ist f 1(x) = x x + 10 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: f (x) = 0 1 Schnittpunkt mit der y-achse: S y(0/10) Schnittpunkte mit der x-achse: N 1( 1,6/0) N (,/0) N (5,8/0) Extrempunkte von K 1: Notwendige und hinreichende Bedingung: f 1 (x) = 0 und f 1 (x) 0 Es ist 1 = und 1 f (x) 1,5x 6x f (x) = x 6 1 = = x (1,5x 6) = 0 f (x) 0 1,5x 6x 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt: x = 0 oder x = f 1(0) = 6< 0 H(0/10) f () = 6> 0 T(/f()) = T(/ 6) 1 1 Zeichnung von K 1

2 Baden-Württemberg: Abitur 01 Analysis Die gestrichelte Gerade ist eine mögliche Gerade. Gleichung der Gerade: y= mx+ c Es ist c = 10 (y-achsenabschnitt) und m = -(Steigung). Die Geradengleichung lautet y= x Die Steigungen der beiden eingezeichneten Geraden (gepunktete waagrechte Gerade im Hochpunkt und die gestrichelte Tangente an K 1) stellen die jeweiligen Grenzen des gesuchten Wertebereichs der Steigungen dar. 1.Bedingung: m < 0. Für die.bedingung muss von H(0/10) aus eine Tangente an das Schaubild 1 K gelegt werden. 5

3 Baden-Württemberg: Abitur 01 Analysis Allgemeine Tangentenformel: y= f (u) (x u) + f(u) Einsetzen des bekannten Tangentenpunktes H(0/10): 10= f (u) ( u) + f(u) Berechnung von u mit dem GTR: Es ist u =. Die Tangentensteigung ist f () =,5.Bedingung: m > -,5 Für die Steigung m der Geraden muss -,5 < m < 0 gelten, damit alle drei Eigenschaften erfüllt sind f t(x) = x tx + (t 1)x + 10t Ableitungsfunktionen: f t(x) = 1,5x 6tx + (t 1) und f (x) = x 6t und f t t (x) = Nachweis, dass K t zwei Extrempunkte besitzt: Notwendige und hinreichende Bedingung: f t (x) = 0 und f t (x) 0 f t(x) = 0 1,5x 6tx+ (t 1) = 0 6t± 6t 1,5 (t 1) 6t± 1t + x1, = = Das Schaubild der Ableitungsfunktion stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar. Diese Parabel besitzt zwei Nullstellen, da die Diskriminante 1t + positiv ist. Da die Nullstellen der Parabel jeweils einen Vorzeichenwechsel besitzen, müssen an diesen beiden Stellen Extrempunkte existieren. Berechung der Wendepunkte: Notwendige und hinreichende Bedingung: f t (x) = 0 und f t (x) 0 f t(x) = 0 x 6t= 0 x= t f (t) = 0 Wendestelle bei x = t t 1 f t (t) = 8t t t + (t 1) t+ 10t = t 1t + 8t 8t+ 10t = 8t+ 10t Koordinaten des Wendepunktes: W(t/ 8t+ 10t ) 6

4 Baden-Württemberg: Abitur 01 Analysis Ortskurve der Wendepunkte: x= t (*) und Aus (*) folgt t= 0,5x Einsetzen in (**): y= 8t+ 10t (**) y= x+ 10 (0,5x) y= x+,5x Allgemeine Stammfunktion: F(x) t = x tx + (t 1)x + 10t x+ C 8 Folgende Bedingungen sollen erfüllt werden: F(0) = 0 C= 0 t t = t = = =± F(0) f (0) 10 10t 10 t 1 F( ) = f ( ) = 0 + t+ 0= 0 t= 1 t t Die Bedingungen sind für t = -1 und C = 0 erfüllt: Die gesuchte Stammfunktion lautet 1 F 1(x) = x + x + 10x Die Funktion g a(x) = a+ a cos(x) ist eine Kosinusfunktion mit der Amplitude a, die um a Einheiten in y-richtung verschoben ist. Abbildung 1: Das Schaubild hat die Amplitude und ist um Einheiten nach oben verschoben. Für a = gehört die Abbildung zu der Funktion g a. Abbildung : Das Schaubild hat die Amplitude 1,5 und ist um 1,5 Einheiten nach unten verschoben. Außerdem wurde die Kosinusfunktion an der x-achse gespiegelt. Für a = -1,5 gehört die Abbildung zu der Funktion g a. Abbildung : Das Schaubild hat die Amplitude 1,5 und ist um Einheiten nach unten verschoben. Außerdem wurde die Kosinusfunktion an der x-achse gespiegelt. Die Funktionsgleichung lautet y= 1,5 cos(x) und gehört nicht zu der Funktion g a. Abbildung : Das Schaubild hat die Amplitude 1,5 und ist um 1,5 Einheiten nach unten verschoben. Allerdings handelt es sich um eine Sinusfunktion (Nullstelle im Ursprung nach Verschiebung um 1,5 Einheiten nach oben), so dass diese nicht zu der Funktion g a gehört. 7

5 Baden-Württemberg: Abitur 01 Analysis Es ist g (x) = + cos(x) (entspricht Abbildung ) Das Viereck ist ein Trapez. 1 A Trapez = (OR+ PQ) OP mit OR= 1 und OP= u 0= u und PQ= g (u) 0= g (u) 1 A(u) = (1+ f(u)) u mit 0< u<π Gesucht ist das absolute Maximum von A(u): A(u) hat ein lokales Maximum bei u = 1,56 mit A(1,56) =,57. Randuntersuchung: Es ist A(0) = 0 und A( π ) = 1,57 <,57 Somit existiert bei u = 1,56 ein absolutes Maximum. Die maximale Fläche beträgt,57fe. 1.. Zunächst benötigt man die Schnittpunkte von g a mit der x-achse: g a(x) = 0 a+ acos(x) = 0 cos(x) = 1 x= π und x=π im Lösungsintervall [ π; π ] Volumen des Drehkörpers = π π π π (a+ acos(x)) dx=π a (1+ cos(x)) dx= a π (1+ cos(x)) dx a 9,6 π π π Es soll gelten: a 9,6 = 10 a ±,01 8

6 Baden-Württemberg: Abitur 01 Anwendungsorientiert 1 Lösungen 1.1 Zeichnen Sie das Schaubild SK: Prüfen Sie, ob eine größere Produktionsmenge stets auch mit höheren Gesamtkosten verbunden ist. Zu einer größeren Produktionsmenge gehören höhere Gesamtkosten, wenn das Schaubild SK streng monoton wächst. Das Schaubild ist streng monoton, wenn K (x) > 0 ist. Es ist K (x) = x 0x+ 0. Beim Schaubild von K (x) handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel. Der Tiefpunkt der Parabel hat die Koordinaten T(,/6,67) (GTR). Damit liegt die Parabel immer oberhalb der x-achse und daraus folgt K (x) > 0 Somit ist K(x) streng monoton wachsend. Ergebnis: Zu einer größeren Produktionsmenge gehören auch höhere Gesamtkosten. 1. Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn. Da der Verkaufspreis 50 GE beträgt, lautet die Erlösfunktion E(x) = 50x

7 Baden-Württemberg: Abitur 01 Anwendungsorientiert 1 Die Gewinnfunktion beträgt ( ) G(x) = E(x) K(x) = 50x x 10x + 0x+ 100 = x + 10x + 10x 100 De Gewinnzone entspricht dem Intervall, in dem G(x) > 0 ist. Berechnung mit dem GTR: G(x) schneidet die x-achse bei x =,16 und x = 10. Ergebnis: Die Gewinnzone liegt im Intervall,16 ME < x < 10 ME. Der maximale Gewinn entspricht dem y-wert des Hochpunktes von G(x). Die hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum lautet G(x) = 0 und G (x) < 0. GTR: Ergebnis: Der maximale Gewinn beträgt 117,0 GE. Hierzu müssen x = 7,1 ME produziert und verkauft werden. Prüfen Sie, ob der mittlere Gewinn im Bereich der Gewinnzone 50% des maximalen Gewinns übersteigt. Der mittlere Gewinn in der Gewinnzone beträgt 50% des maximalen Gewinns sind 0,5 117, 0= 58, 6 GE G(x)dx 75,9 10,16 = GE. Ergebnis: Der mittlere Gewinn in der Gewinnzone ist größer als 50% des maximalen Gewinns. Die Werte unterscheiden sich um 16,69 GE.,16

8 Baden-Württemberg: Abitur 01 Anwendungsorientiert Zeichnen Sie diese Tangente ein. Ermitteln Sie rechnerisch die "langfristige Preisuntergrenze". Gesucht ist die Steigung der Tangente an das Schaubild SK, die durch O(0/0) verläuft. Allgemeine Tangentengleichung: y= K (u) (x u) + K(u) Einsetzen des Punktes O(0/0): 0= K (u) (0 u) + K(u) Berechnung von u mit dem GTR: Die Tangente berührt das Schaubild SK an der Stelle u = 6,71. Die Tangentensteigung beträgt K(6, 71) =,56. Ergebnis: Die langfristige Preisuntergrenze beträgt,56 GE. 5

9 Baden-Württemberg: Abitur 01 Anwendungsorientiert Lösungen.1.1 Zeichnen Sie das Schaubild von c für die ersten 1 Minuten. Welchem Wert nähert sich die Konzentration im Laufe der Zeit an? Hier ist die Höhe der waagrechten Asymptote für t + gesucht. 0,t Für t + strebt e 0. Folglich strebt c(t) 0,5 (1 0) = 0,5 ; dies kann man auch aus dem Schaubild erkennen Ergebnis: Die Konzentration nähert sich im Laufe der Zeit dem Wert.1. Geben Sie die maximale Reaktionsgeschwindigkeit an. mol 0,5 l min Da die Reaktionsgeschwindigkeit durch die momentane Änderungsrate c(t) beschrieben wird, ist das Maximum der Ableitungsfunktion c(t) gesucht. Berechnung mit dem GTR: Die Ableitungsfunktion hat ihr Maximum an der Stelle t = 0 (also am Rand des Schaubildes). Es ist c(0) = 0,1715 Ergebnis: Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit beträgt 0,1715 mol l min

10 Baden-Württemberg: Abitur 01 Anwendungsorientiert Die Messung wird abgebrochen, wenn die Reaktionsgeschwindigkeit unter 0,00 gefallen ist. Nach wie vielen Minuten ist dies der Fall? mol l min Gesucht ist der Wert von t, für den gilt: c(t) < 0,00 GTR: Für t > 1,978 gilt c(t) < 0,00 Ergebnis: Die Messung wird nach ca. 1 Minuten abgebrochen...1 Stellen Sie die Daten in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie eine geeignete Näherungsfunktion für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens in Abhängigkeit von der Zeit und bewerten Sie deren Güte. Mit Hilfe der Veranschaulichung kann man einen exponentiellen Zerfall für die Zuwachsrate unterstellen. Die Näherungsfunktion wird mit Hilfe der Regressionsrechnung mit dem GTR ermittelt:

11 Baden-Württemberg: Abitur 01 Anwendungsorientiert Ergebnis: Die Näherungsfunktion lautet t y= 19,6 0,68 Bewertung: Aufgrund der guten Übereinstimmung des Kurvenverlaufs mit den gegebenen Punktkoordinaten kann diese Funktion als Näherungsfunktion für die Zuwachsrate verwendet werden. Die Näherungsfunktion verläuft außerdem für t gegen 0, was man auch über das Verhalten der Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens erwartet... Wie viele Minuten dauert es, bis 50 ml Wasserstoff entstanden sind? Die Wasserstoffmenge, die nach u Minuten vorhanden ist, wird durch das Integral u r(t)dt beschrieben. 0 Gesucht ist nun die Zeit u, für die gilt: u 0 r(t)dt = 50 Lösung mit dem GTR: Die Lösung ist u = 6,79. Ergebnis: Es dauert 6,79 min, bis 50ml Wasserstoff entstanden sind. 5

12 Baden-Württemberg: Abitur 01 lineare Optimierung Lösungen Ermitteln Sie graphisch, wie viele Sweatshirts der Sorten A und C das Unternehmen herstellen muss, damit der Gewinn maximiert wird. Zunächst werden Variablen eingeführt: a = Anzahl der Sweatshirts der Sorte A b = Anzahl der Sweatshirts der Sorte B c = Anzahl der Sweatshirts der Sorte C Es ist b = Sweatshirt/Sorte A benötigt 0, kg (60% von 0,5 kg) Baumwolle und 0, kg Viskose. 1 Sweatshirt/Sorte B benötigt 0, kg Baumwolle und 0,1 kg Viskose und 0, kg Polyester. 1 Sweatshirt/Sorte C benötigt 0, kg Viskose und 0, kg Polyester. Folgende Bedingungen müssen erfüllt werden: (1) 0, a+ 0, a 0000 () 0, a+ 0, , c 6000 c 5000 a () 0, , c 5000 c Der Gewinn beträgt G= a c 0000 G c= a + Veranschaulichung im Koordinatensystem:

13 Baden-Württemberg: Abitur 01 lineare Optimierung Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass der maximale Gewinn im Punkt P erreicht wird. Von A müssen ME und von C müssen ME hergestellt werden. Geben Sie den maximalen Gewinn an. Einsetzen von a = und c = in die Gewinnformel ergibt den maximalen Gewinn: G= = 5000 Euro. Ergebnis: Der maximale Gewinn beträgt Welches Ausgangsmaterial wird bei Ihrer Lösung nicht vollständig verbraucht? Mit a = ergibt sich aus Bedingung (1) < Da dies eine echte Ungleichung ist, bleibt noch Baumwolle übrig. Bei den Bedingungen () und () entstehen nach dem Einsetzen von a und c Gleichungen, somit bleiben weder Viskose noch Polyester übrig. Auf wie viel Euro mindestens müsste der Gewinn für jedes Sweatshirt A ansteigen, damit dieses Ausgangsmaterial vollständig verbraucht wird und der Gewinn insgesamt immer noch maximal ist? Damit die Baumwolle vollständig verbraucht wird, müsste die Bedingung (1) eine Gleichung sein, also a = Um einen maximalen Gewinn zu erreichen, müsste c möglichst groß gewählt werden, also c = Die gestrichelte Gerade muss somit durch den Punkt Q(0000/5000) verlaufen. In diesem Fall würde die Baumwolle mit a = 0000 vollständig verbraucht, allerdings bleibt dann Polyester übrig. Der Gewinn für Sweatshirt A sei z. z 0000 G Für den Gewinn gilt dann: G= z a c c= a + Der Mindestgewinn ergibt sich aus der Steigung der Geraden durch P und Q. yp yq 5000 Diese beträgt m= = = 1 x x 5000 Nun muss gelten: P Q z = 1 z= Ergebnis: Der Gewinn für Sweatshirt A müsste auf Euro ansteigen.

14 Baden-Württemberg: Abitur 01 lineare Optimierung 1. Geben Sie den maximalen Gewinn an. Für das Simplexverfahren werden folgende Bedingungen benötigt: (1) 0, a+ 0, b+ u= 8000 () 0, a+ 0,1 b+ 0, c+ v= 6000 () 0, b+ 0, c+ w = 5000 u,v,w sind die Schlupfvariablen. Die Zielfunktion lautet a+ b+ c= G Simplextableau: a b c u v w b i Quotient 0, 0, , 0,1 0, /0,= , 0, /0,= G Durchführung des 1. Simplexschrittes. Das Pivotelement ist 0,. Division der.zeile durch 0,: Nummer a b c u v w b i Umformung (1) 0, 0, () 0, 0,1 0, () 0, () () 0 / / 16666,67 () G () () Nummer a b c u v w b i Quotient (1) 0, 0, /0,=6666,7 () 0, -1/ / 666,67 666,67/0,=1, () 0 / / 16666,67 - () G Da in der letzten Zeile noch eine positive Zahl steht, ist ein weiterer Simplexschritt erforderlich. 5

15 Baden-Württemberg: Abitur 01 lineare Optimierung Division der.zeile durch 0,: Nummer a b c u v w b i Umformung (1) 0, 0, (1) 0, () () 1-1/ / 1, () 0 / / 16666,67 () G () () Nummer a b c u v w b i Quotient (1) 0 0, , /0,5=16000 () 1-1/ / 1, - () 0 / / 16666, () 0 1/ ,6 G Da in der letzten Zeile noch eine positive Zahl steht, ist ein weiterer Simplexschritt erforderlich. Division der 1.Zeile durch 0,5: Nummer a b c u v w b i Umformung (1) () 1-1/ / 1, () + 1/ 6 (1) () 0 / / 16666,67 () / (1) () 0 1/ ,6 G () 1/ (1) Nummer a b c u v w b i (1) () / () / / 6000 () / G-8000 Umformung Da in der letzten Zeile keine positiven Werte stehen, ist das Maximum erreicht. Der maximale Gewinn beträgt Euro. Überprüfen Sie, ob Ausgangsmaterialien übrig bleiben. Aus dem Simplextableau ergeben sich folgende Lösungen: b = a = c = 6000 u = v = w = 0 Da die Schlupfvariablen alle 0 sind, bleiben keine Ausgangsmaterialien übrig. 6

16 Baden-Württemberg: Abitur 01 Stochastik 1 Lösungen 1.1 Anhand der absoluten Häufigkeiten können die relativen Häufigkeiten für die einzelnen Zahlen berechnet werden. Diese relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeit interpretiert: 0 P("0") = = 0, P("1") = = 0,5 0 6 P("") = = 0,15 0 P("") = = 0,1 0 P(A) = 0,5 0,5 0,15 0,1= P(B) = P(A)! = (beim Ereignis B spielt die Reihenfolge keine Rolle; es gibt 00! = 1 Möglichkeiten, diese Ziffern zu vertauschen) Beim Ereignis C ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses C zu berechnen. C: Die tritt höchstens einmal auf. P( tritt nie auf) = 0,9 = 0,6561 P( tritt genau einmal auf) = 0,9 0,1 = 0,916 (der Faktor ist erforderlich, da die an allen vier Stellen auftreten kann) P(C) = 0, ,916 = 0,977 P(C) = 1 0,977 = 0,05 Das Ereignis D tritt ein, wenn viermal die "" gedreht wird oder dreimal die "" und einmal die "". P(D) = 0,1 + 0,1 0,15 = 0, Der Spieler schöpft seine vier Versuche aus, wenn er bei den ersten drei Drehungen nur "0" oder "1" dreht. 7 P(nur "0" und "1" in den ersten drei Drehungen) = 0,75 = 6 Hinweis: Das Ergebnis der vierten Drehung spielt keine Rolle mehr. 1.. Um den erwarteten Durchschnitt des Zahlenwertes zu ermitteln, benötigt man die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die jeweiligen Zahlenwerte erreicht werden können.

17 Baden-Württemberg: Abitur 01 Stochastik 1 Ergebnis der Drehungen ist der Zahlenwert 0: Das Ergebnis "0" wird notiert, wenn in den ersten drei Drehungen 0 oder 1 gedreht wird und die letzte Drehung "0" ist. 7 P(Ergebnis ist "0") = 0,75 0,5 = 18 Ergebnis der Drehungen ist der Zahlenwert 1: Das Ergebnis "1" wird notiert, wenn in den ersten drei Drehungen 0 oder 1 gedreht wird und die letzte Drehung "1" ist. 7 P(Ergebnis ist "1") = 0,75 0,5 = 56 Ergebnis der Drehungen ist der Zahlenwert : Mögliche Fälle: beim ersten Mal wird "" gedreht: zunächst "0 oder 1" und dann "": zweimal "0 oder 1" und dann "": , ,75 0 dreimal "0 oder 1" und dann "": 6 0,75 0 P(Ergebnis ist "") = ,75 + 0,75 + 0,75 = Ergebnis der Drehungen ist der Zahlenwert : Mögliche Fälle: beim ersten Mal wird "" gedreht: zunächst "0 oder 1" und dann "": zweimal "0 oder 1" und dann "": 0 0,75 0 0,75 0 dreimal "0 oder 1" und dann "": 0,75 0 P(Ergebnis ist "") = 5 + 0,75 + 0,75 + 0,75 = Erwarteter Zahlenwert = , Der Spieler erreicht im Durchschnitt mit dieser Strategie einen Zahlenwert von 1,76.

18 Baden-Württemberg: Abitur 01 Stochastik Lösungen.1 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein kontrollierter RWK-Fan Alkohol dabei hat, beträgt 0%. Ereignis A: Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet. P(A) = 1 - P(keine Person hat Alkohol dabei) = 1 0,8 = 0,590 P(B) = 0, 0,8 = 0,156 (es gibt Möglichkeiten, die Reihenfolge der Personen mit bzw. ohne Alkohol zu tauschen) Ereignis C: Wahrscheinlichkeit, dass alle Alkohol dabei haben: 0, = 0,0016 Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Fan keinen Alkohol dabei hat: P(C) = 0, ,056 = 0,07 0, 0,8 = 0,056. Der prozentuale Anteil der Zuschauer mit Alkohol kann mit der folgenden Tabelle gelöst werden: Mit Alkohol Ohne Alkohol Summe Neutral,% 19,6% % TuS-Fan 10% 0, = % 7% 0% RWK-Fan 0% 0, 8= 9,6% 8,% 8% Summe 15% 85% 100% Von den neutralen Zuschauern haben, 0,109 = 10,9% Alkohol bei sich. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die Alkohol dabei hat, ein TuS-Fan ist, kann aus der Tabelle abgelesen werden: 0, 0% 15 = =

19 Baden-Württemberg: Abitur 01 Stochastik Gesucht ist die Anzahl n von Personen, die mindestens zu kontrollieren sind, um mit Wahrscheinlichkeit > 60% mindestens zwei Personen mit Alkohol zu erwischen. Das Gegenereignis ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Person mit Alkohol zu erwischen. P(keine Person wird erwischt) = n 0,9 n 1 P(genau eine Person wird erwischt) = 0,9 0,1 n Der Faktor n ist erforderlich, da die eine erwischte Person an allen n Stellen erwischt werden kann. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Person beträgt n n 1 0,9 + 0,9 0,1 n In der angegebenen Formel fehlt der Multiplikator n. n 1 In der angegeben Formel 0,9 0,1 würde man unterstellen, dass die ersten n-1 Fans keinen Alkohol dabei haben und der letzte kontrollierte Fan Alkohol dabei hat.

20 Baden-Württemberg: Abitur 01 Vektorgeometrie Lösungen 1.1 Zeigen Sie, dass die Geraden g und h parallel, aber nicht identisch sind. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind Vielfache: 1 = 6 Daraus folgt, dass die Geraden g und h parallel sind. Die Geraden wären identisch, wenn der Punkt G(1//-5), der auf g liegt, auch auf der Geraden h liegen würde. Die Punktprobe ergibt: 1 1 = 1 + s 5 1.Zeile: 1= s s=.zeile: = 1+ s s= 7.Zeile: 5= s s= Da nicht in der jeder Zeile derselbe Wert für s entsteht, liegt G(1//-5) nicht auf der Geraden h. Somit sind die Geraden zwar parallel, aber nicht identisch. Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die g und h enthält. Da g in der Ebene liegt, können für die Ebenengleichung der Orts- und Richtungsvektor von g übernommen werden. Der zweite Richtungsvektor der Ebene ist der Verbindungsvektor der beiden Geradenpunkte G(1//-5) und H(/-1/), also GH= 7 E: 1 x= + r + s ; r,s 5 6 7

21 Baden-Württemberg: Abitur 01 Vektorgeometrie 1. Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen. Zunächst wird die Gleichung der Ebene F aufgestellt, die die Punkte A, B, C enthält. F: 1 6 x= OA+ r AB+ s AC= + r 8 + s ; r,s Nun wird geprüft, ob der Punkt D(/-1/) ebenfalls in der Ebene F liegt = + r 8 + s Zu lösen ist folgendes Gleichungssystem: r + 6s = 8r 1s = 1r + 19s = 7 Mit dem GTR ergibt sich die Lösung r = -1, s = 1 Daraus folgt, dass D ebenfalls auf der Ebene F liegt. Ergebnis: Die Punkte A, B, C und D liegen in einer gemeinsamen Ebene. 1. Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist. Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, wenn AB= DC gilt. Es ist AB= 8 = DC 1 Damit ist gezeigt, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Das Parallelogramm ist nur dann ein Rechteck, wenn die Vektoren AB und AD senkrecht aufeinander stehen. Dies wird mit Hilfe des Skalarproduktes geprüft. AB AD= 8 = Damit stehen die Vektoren nicht aufeinander senkrecht und es handelt sich somit auch um kein Rechteck.

22 Baden-Württemberg: Abitur 01 Vektorgeometrie 1. Untersuchen Sie, ob die Gerade k die Fläche des Parallelogramms ABCD durchstößt. Die Fläche des Parallelogramms ABCD liegt in der Ebene F aus Teilaufgabe 1. Zunächst wird der Schnittpunkt der Gerade k und der Ebene F berechnet: t 8 = + r 8 + s Das zugehörige Gleichungssytem lautet: t r 6s = 0 8t + 8r + 1s = t 1r 19s = Lösung mit dem GTR: t = 0,5 ; r = 1 ; s = -0,5 Einsetzen von t = 0,5 in k liefert den Schnittpunkt S(/1/-,5). Damit die Gerade k die Fläche des Parallelogramms durchstößt, müsste der Punkt S innerhalb des Parallelogramms liegen. Setzt man die Werte r = 1 und s = -0,5 in den Ansatz der Ebene F aus Teilaufgabe 1. ein, ergibt sich OS= OA+ 1 AB 0,5 AC Damit der Punkt S innerhalb des Parallelogramms liegt, muss folgende Bedingung gelten: 0 r,s 1. Diese Bedingung ist jedoch nicht erfüllt. Ergebnis: Die Gerade k durchstößt nicht die Fläche des Parallelogramms ABCD. 5

23 Baden-Württemberg: Abitur 01 wirtschaftl. Anw. Lösungen 1.1 Wie viele ME geben die Weingärtner davon an den Winzerverein ab? 8000 Der Produktionsvektor lautet x= Gesucht ist der Marktabgabevektor (= Konsumvektor) y. Die Leontief-Gleichung lautet y = (E A) x, wobei E die Einheitsmatrix darstellt. Mit dem GTR ergibt sich: 700 y= Ergebnis: Der Weingärtner U gibt 700 ME, V gibt 7960 ME und W gibt 510 ME an den Winzerverein ab. Erstellen Sie die hierzu gehörende Input-Output-Tabelle. U V W Markt (Verein) Produktion U ,06 = ,0= ,05 = V ,0 = ,06 = ,0 = W ,0= ,0 = ,06 = Beschreiben Sie die Bedeutung der Zahlen 0,06 in der Hauptdiagonalen der Inputmatrix A. Die Zahlen 0,06 kommen in der Hauptdiagonale der Matrix A vor. Der Wert 0,06 links oben gibt an, dass Weingärtner U einen Anteil von 0,06 (also 6%) seiner Produktion als Eigenverbrauch verwendet und damit diesen Anteil weder an den Winzerverein abgibt noch die anderen Weingärtner liefert. Die anderen beiden Werte 0,06 in der Mitte und rechts unten geben analog an, dass Weingärtner V bzw. W einen Anteil von 0,06 (6%) ihrer Produktion ebenfalls als Eigenverbrauch verwenden.

24 Baden-Württemberg: Abitur 01 wirtschaftl. Anw Berechnen Sie die Matrix für den mengenmäßigen Zusammenhang von Zwischenprodukten und Endprodukten. Anhand der beiden Tabellen können folgende Matrizen aufgestellt werden: 1 Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A= Rohstoff-Endprodukt-Matrix C= Gesucht ist die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B. Zwischen diesen drei Matrizen existiert folgender Zusammenhang: A B= C Auflösung nach B: 1 B= A C Berechnung von B mit dem GTR: 1 1 B= Wie viele Mengeneinheiten der Traubensorten R 1,R und R müssen die Weingärtner an den Winzerverein liefern? Gegeben ist der Produktionsvektor 95 p= 5 80 Gesucht ist der Rohstoffvektor r. Es gilt die Gleichung C p= r Mit dem GTR folgt = Ergebnis: Von 1 R müssen 75 ME, von R müssen 6510 ME und von R müssen 9150 ME an den Verein geliefert werden.

25 Baden-Württemberg: Abitur 01 wirtschaftl. Anw. Wie groß ist ihre Gesamtproduktion für diese Bestellung? Gegeben ist der Marktabgabevektor 75 y= Gesucht ist die Gesamtproduktion x, die man aus der Leontief-Gleichung erhält: 1 x = (E A) y (A ist die Inputmatrix aus der Aufgabenstellung!) Mit dem GTR folgt: 577,9 x 79, 10175,0 Ergebnis: Insgesamt müssen die Weingärtner 577,9 + 79, ,0 = 07, ME produzieren. 5