Download VORSCHAU. Hausaufgaben: Quadratische Funktionen. Üben in drei Diferenzierungsstufen. Otto Mayr. zur Vollversion

Transkript

1 Download Otto Mar Hausaufgaben: Quadratische Funktionen Üben in drei Diferenzierungsstufen Downloadauszug aus dem Originaltitel:

2 Hausaufgaben: Quadratische Funktionen Üben in drei Differenzierungsstufen Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Hausaufgaben Mathematik Klasse Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web.

3 BINOMISCHE FORMELN. Berechne nach den binomischen Formeln. a) ( + )( + ) b) ( + c) c) (a + )(a + ) d) (b )(b ) e) ( 7) f) ( f)( f) g) (a + b)(a b) h) i) ( + c)( c) Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth. Notiere vollständig. a) (a + ) = a + + b) (7 + ) = + + c) ( + )( ) = d) ( + )( ) = b e) ( ) = c c + 9 f) ( m) = m +. Schreibe mit Klammern. a) + _ b) a + ab + _ b c), + d) e + ef ef f e) _ 9 a + _ ab + _ b f), r + r. Hier sind Fehler enthalten. Berichtige. a) + _ + _ = ( + _ ) b) (a + f)(a f) = a + f c) (7a b) = 9a + 8ab + b d) ( _ a + ) = _ a + a + e) ( Îw + 7) = + Îw + 9 f) (a + b ) = a + a b + b 8. Die Gemeinde Berghofen bietet im Neubeugebiet u. a. ein quadratisches Baugrundstück zum Kauf an. Herr Wenzel fragt nach, ob es bei der Planung möglich wäre, das Grundstück auf jeder Seite um Meter zu verlängern, weil er gerne ein großes Grundstück erwerben möchte. Diese Verlängerung würde m zusätzliche Grundstücksl äche bedeuten. a) Wie groß war das ursprüngliche Grundstück? b) Wie viel muss er für das Grundstück bezahlen, wenn die Gemeinde für den Quadratmeter verlangt?. Löse die Gleichungen. a) ( Îw + _ ) + 7 +,97 b) [ ( _, ) ] c) [( Îww +, ) ( Îww, )] d) ( Îw Es gibt Fehler. 8 8a ) : +,

4 NORMALPARABEL. Gib den Scheitelpunkt der Funktionen an und trage die Parabeln in das Koordinatensstem ein. a) = S ( ) b) = S ( ) c) = ( ) + S ( ) d) = ( + ) S ( ) Eine Parabel liegt im. Quadranten, eine im. Quadranten.. Erstelle eine Wertetabelle zu folgender Gleichung: = ( + ) mit den Werten von bis in Einerschritten. Zeichne die Normalparabel in dein Heft.. Welche Funktionsgleichungen haben Normalparabeln mit diesen Scheitelpunkten? a) S ( ) b) S ( ) c) S (7 ) d) S ( ) e) S ( ) f) S ( ) g) S (,) h) S (, ). Für Mathe-Tüftler: Versuche, die Gleichung = zu zeichnen. Erstelle zunächst eine Wertetabelle von bis + in Einerschritten. Der Scheitelpunkt liegt im. Quadranten. Es kann keine Parabel sein.

5 SCHEITELPUNKTFORM BEI NORMALPARABELN. Forme die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform um, gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an und zeichne die Funktionsgraphen. a) = + + = S ( ) b) = + 9 = S ( ) c) = + +, = S ( ) d) = + 9 = S ( ) Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth. Gib die Funktionsgleichungen und die Scheitelpunktformen der folgenden Normalparabeln an. a) b) c) Lösungen zu ( ) (, ) ( ) ( )

6 SCHEITELPUNKTE VON NORMALPARABELN BESTIMMEN. Ergänze so, dass eine binomische Formel entsteht. a) + + = ( ) b) + = c) + + = ( ) d) 8 + =. Bringe die Gleichungen in die Scheitelpunktform. Bestimme den Scheitelpunkt und zeichne den Graphen. a) = b) = +, c) = + d) = +,. Bestimme den Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Normalparabel auf zwei verschiedenen Wegen. Begründe anschließend, welches Verfahren dir eher entspricht. = + = + ( ) = [ + ] = = = = = = = = = S ( ) S ( ) Ich bevorzuge den ersten/zweiten Lösungsweg, weil. Der Punkt ( ) ist der Scheitelpunkt einer nach oben und einer nach unten geöffneten Normalparabel. Ergänze die Berechnungen. Zeichne dann die beiden Normalparabeln in ein Koordinatensstem ein. Nach oben geöffnete Normalparabel, Scheitelpunkt bei ( ): = ( ) Lösungen zu Diese Elemente kommen vor: Nach unten geöffnete Normalparabel, Scheitelpunkt bei ( ): = ( ) + 7 7

7 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN ZEICHNERISCH LÖSEN. Gibt es zwei, eine oder keine Lösung? Begründe. a) = + b) = ( ) c) = ( + ) d) = ( ) e) = f) = ( + 8) + Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth. Bringe die folgende quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform und löse zeichnerisch. Überprüfe die Richtigkeit der Berechnung durch Probe. + = = Lö { } = = S ( ) Einsetzen der beiden Lösungen in die quadratische Gleichung: + + = + =. Löse die quadratischen Gleichungen, indem du jede Seite der Gleichung als Funktion betrachtest. Zeichne sie anschließend in ein Koordinatensstem ein. a) = + b) = c) 8 = d) ( ) = e) +, = f) = + Die -Werte der Schnittpunkte sind die Lösung der quadratischen Gleichungen!

8 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN RECHNERISCH LÖSEN QUADRATISCHE ERGÄNZUNG. Löse die folgende Gleichung und überprüfe die Lösung. (a + ) (a ) = 9. Löse mithilfe der binomischen Formeln. a) + =,9 b) a + a + 9 = 8 c),a,a + 7, = d) + + =. Löse mithilfe der quadratischen Ergänzung und überprüfe die Lösung durch Probe. + + = + + = + + =. Führe die quadratische Ergänzung durch und löse die Gleichungen. a), = b) a + 7a = 7,8 c) _ a +,a 8,97 = d), + = 8 e) = 7 f) =. Finde den Fehler und berichtige. ( _ _ + ) = ( _ ( _ _ + ) _ _ = _ ( _ _ ) = _ + _ _ + ) = Lösungen zu 8 8 7,, 8,7,7 7 8,7 7, Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth

9 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN RECHNERISCH LÖSEN LÖSUNGSFORMEL. Löse die folgende quadratische Gleichung mit der Lösungsformel und überprüfe deine Rechnung durch Probe. 7 = 7 = Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 7 =. Löse die folgenden Gleichungen mit der Lösungsformel. a) + = b) + 8 = 9 c) + = d), =, e), =,7 +, f) =,. Gib den Deinitionsbereich folgender Bruchgleichung an und bestimme deren Lösungsmenge rechnerisch. Das war die Aufgabe. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. _ ( ) ( ) = ( ) ( 7)( ) = 87 + ( ) = 87 + / = _ Îw ( _ ) / = Îw () / = Îw / = = = = L = { ; } Es gibt drei Besonderheiten. + ( ) D = R / { ; } Lösungen zu und 9,, 9

10 FUNKTIONSGLEICHUNGEN VON PARABELN ERMITTELN. Die Punkte A ( ) und B ( ) liegen auf einer nach oben geöffneten Normalparabel. Ermittle die Funktionsgleichung. Normalform einer Funktionsgleichung: = + p + q Werte von Punkt A einsetzen: = Gleichung nach q umstellen: Den Wert von q berechnen: Zweite Gleichung mit den Koordinaten des Punktes B aufstellen: Den Wert von q einsetzen: Den Wert p berechnen: Den Wert q berechnen: = + p + q p = q = q = q = q = Funktionsgleichung angeben: =. Die Punkte E (, ) und F (, ) liegen auf einer nach unten geöffneten Normalparabel. Ermittle die Funktionsgleichung, indem du die Berechnung ergänzt. = + p + q q = = q = = q = q = = + p + q = q = p = ( ), nicht ( )! =

11 SCHNITTPUNKTE VON FUNKTIONEN BERECHNEN. Berechne den Schnittpunkt der quadratischen Funktion = + und der linearen Funktion =. Überprüfe anschließend das Ergebnis durch Zeichnung. Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth Bestimme den Scheitelpunkt. / = _ p ( Îww _ p ) q / = / = / = / = / = = = 7 : = : = = : = : = = : = : = = S ( ); S ( ) S ( ). Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S ( ). a) Gib die Funktionsgleichung von p in der Normalform an. b) Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte N und N von p mit der Achse (Nullstellen). c) Die Punkte A ( ) und B ( ) liegen auf einer nach unten geöffneten Normalparabel p. Stelle die Funktionsgleichung von p in der Normalform auf. d) Ermittle die Koordinaten des Scheitelpunkts S von p. e) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q der beiden Normalparabeln p und p. f) Zeichne die Graphen von p und p in ein Koordinatensstem mit der Längeneinheit cm ein. Lösungen zu und

12 DER SATZ D E S VIETA. Ergänze den Tet und nenne den Satz des Vieta. Vieta hat erkannt, dass zwischen den Lösungen und einer quadratischen Gleichung + p + q = und den beiden Größen und ein Zusammenhang besteht. Dieser Zusammenhang lässt sich in folgenden Gleichungen darstellen: Mit diesen beiden Sätzen kann man also a) überprüfen, ob die Lösungen und stimmen können, b) aufgrund der beiden Lösungen und, wenn sie nicht vorliegt.. Ergänze die Tabelle. Gleichung p = ( + ) q = + = + = + = =. Finde mithilfe der Sätze von Vieta die zweite Lösung. a) 8 + = = = b) 8 = = = c),, = = = d) +, = =, =. Bestimme die unbekannte Zahl p oder q so, dass die quadratische Gleichung die angegebene Lösung hat. Bestimme auch die zweite Lösung der Gleichung. Gib dann die vollständige Gleichung an. a) + q = = ; = b) + p + = = ; = c) q = = 7; = d) p + = = ; =. Ermittle die Lösungen der Gleichungen aus p und q durch Probieren. a) + + = b) +,7 c) + + = Lösungen zu und 8 7, 7

13 BINOMISCHE FORMELN NORMALPARABEL Lösungen. a) ( + ) b) + c + c c) (a + ) d) (b ) e) + 9 f) ( f) g) a b h) ( + )( ) i) c. a) (a + ) = a + a + b) (7 + ) = c) ( + )( ) = d) (b + )(b ) = b e) (c ) = c c + 9 f) ( m) = 9 m + m. a) ( _ ) b) (a + _ b ) c) (, ) d) (e + f)(e f) e) ( _ a + _ b ) f) (, r). a) Richtig! b) a f c) 9a 8ab + b d) _ a + a + e) Richtig! f) Richtig!. a) ( + ) = = + + = = : = = 9 m Das ursprüngliche Grundstück war 9 m. b) /m m = 88 Herr Wenzel muss 88 für das Grundstück bezahlen. ) + 7 +,97 = + _ Îw b) f ( _, ) g +, = ( _ _ +, ) +,. a) ( Îw + _ = + +, = +, c) [( Îw +, )( Îw, )] = (, ) _ +, + 7 +,97 = 9 + _ Îw + =,, 8 d) [( Îw 8 8a ) ] : = ( a + a ) : _ = 8a + a. d) a) S b) 7 S S S a) = S ( ) b) = S ( ) c) = ( ) + S ( ) d) = ( + ) S ( ). = ( + ) c)

14 Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse 9 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth NORMALPARABEL SCHEITELPUNKTE VON NORMALPARABELN BESTIMMEN Lösungen. a) = + b) = ( ) + c) = ( 7) d) = ( + ) e) = f) = ( + ) g) = ( ), h) = ( +,). SCHEITELPUNKTFORM BEI NORMALPARABELN. a) = + + = ( + ) S ( ) b) = + 9 = ( ) S ( ) c) = + +, = ( +,) S (, ) d) = + 9 = ( ) S ( ) S S S. a) = (,) b) = ( ) +, c) = ( + ), = +, = +, = +, S 7 7. a) + + = ( + ) b) +, = (,) c) = ( + ) d) 8 + = ( ). a) = = ( ) + 8 = ( + ) + S ( ) b) = +, = ( +,), +, = (,) S (, ) c) = + = ( + ) + = ( ) S ( ) d) = +, = ( + +,),, = (,), S (,,). = + = + ( ) = [ + ] = + = [ + + ] = + + = [( + ) ] = ( + ) = [( ) ] = ( ) ( ) = ( ) + = ( ) + S ( ) S ( ). = ( ) = ( ) = + 9 = ( + 9) = + 7 = + 9 = + a) d) c) b)

15 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN ZEICHNERISCH LÖSEN QUADRATISCHE GLEICHUNGEN RECHNERISCH LÖSEN QUADRATISCHE ERGÄNZUNG Lösungen. a) = + Keine Lösung: Kein Schnittpunkt mit der -Achse. b) = ( ) Eine Lösung: Ein Schnittpunkt mit der -Achse. c) = ( + ) Zwei Lösungen: Zwei Schnittpunkte mit der -Achse. d) = ( ) Zwei Lösungen: Zwei Schnittpunkte mit der -Achse. e) = Zwei Lösungen: Zwei Schnittpunkte mit der -Achse. f) = ( + 8) + Keine Lösung: Kein Schnittpunkt mit der -Achse.. + = = + + = ( + + 9) 9 + = ( + ) S ( ) N S N Lö ( ). a) = + : = + = ; = + Lö { ; } Einsetzen der beiden Lösungen in die quadratische Gleichung: + + = ( ) + ( ) + = + = = + = ( ) + ( ) + = + = = Lö { } b) = = : = = ; = Lösung nicht eindeutig abzulesen: {,;,} c) 8 = : 8 = = ; = Lö {; } d) ( ) = + = = + = = ; = Lösung nicht eindeutig abzulesen: {,7;,} e) +, = =, = ; =, Keine Lösung! f) = + = + : () = = ; = Keine Lösung!. (a + ) (a ) = 9 a = 9 a = 9 + a = a = a = Îw. a) + =,9 ( 8) =,9 Îw 8 =,7 =,7 + 8 = 8,7 =,7 + 8 = 7, c),a,a + 7, = :, a a + = (a ) = Îw a = a = + a = a = + a =. + + = = ( + ) = ( + ) = Îw + = = = = =. a), = + + = ( + + 9) 9 + = ( + + 9) = 9 ( + + 9) = 9 ( + 7) = 9 Îw + 7 = = 7 = = 7 = ( + ) ( ) = = 9 9 = 9 ( + )( ) = 9 7( 7) = 9 9 = 9 b) a + a + 9 = 8 (a + ) = 8 Îw a + = 9 a = 9 a = a = 9 a = d) + + = : + +, =, ( +,) =, Îw +, =, =,, = =,, = = () + () + = + = = + + = ( ) + ( ) + = + = = b) a + 7a = 7,8 ( a + 7a +,), = 7,8 (a +,) = 7,8 +, (a +,) =, Îw a +, =, a =,, a = 8,7 a =,, a =,7

16 Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse 9 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth QUADRATISCHE GLEICHUNGEN RECHNERISCH LÖSEN QUADRATISCHE ERGÄNZUNG QUADRATISCHE GLEICHUNGEN RECHNERISCH LÖSEN LÖSUNGSFORMEL Lösungen c) _ a +,a 8,97 = ( _ a + _ a + ) _ _ = 8,97 ( _ a + ) _ = 8,97 +, ( _ a + ) _ = 9 Îw _ a + _ = a +, = a =, a =, a =, a =, e) = 7 : 7 + = ( ) = Îw = = + = 7 = + =. ( _ _ + ) = ( _ _ + _ ( _ ) _ = _ _ ) = _ + _ d), = 8 = 7 ( + ) = 7 ( + ) = 7 + ( ) = 7 Îw = = + = 8 = + = f) = : () 7 = ( + 9) 9 7 = ( + 9) = ( ) = Îw = = + = 7 = + = ( _ _ + ) = ( _ _ + _ ) _ = _ ( _ _ ) = _ + _. 7 = / = _ p ( Îw _ p ) q / = _ Îw ( _ ) 7 / = 8 Îw ( 8) + 7 / = 8 Îw + 7 / = 8 Îw / = 8 = 8 + = 9 = 8 =. a) + = / = _ Îwwwww ( ) _ / = Îw + / = Îw 9 / = = + = = = c) + = : + = / = _ Îwwwww ( ) _ / = Îw () / = Îw 9 / = Îw Keine Lösung! e), =,7 +,,,7, = +, + = / = _, Îwwwww ( _, ) / =,7 Îw (,7) / =,7 Îw, / =,7 Îw,97 Keine Lösung!. Die Rechnung ist richtig; die Lösungsmenge ist allerdings falsch angegeben. Da die Zahl nicht zur Deinitionsmenge gehört, kann sie nicht Lösung der Gleichung sein: L = { }. 7 = = 7 = = 7 = () () 7 = = = b) + 8 = = / = 8_ Îwwwww ( ) 8_ 9 / = Îw ( ) + 9 / = Îw + 9 / = Îw / = = + = = = 9 d), +, = :, + = / = _ Îw ( _ ) / = Îw ( ) / = Îw / = Îw = f) =,, = :,7 = / = _ Îwwwwww ( ) _,7 / =, Îw, +,7 / =, Îw / =, =, + =, =, =,

17 FUNKTIONSGLEICHUNGEN VON PARABELN ERMITTELN SCHNITTPUNKTE VON FUNKTIONEN BERECHNEN Lösungen. Normalform einer Funktionsgleichung: = + p + q Werte von Punkt A einsetzen: = + p + q Gleichung nach q umstellen: = + p + q p = q Den Wert von q berechnen: p = q Zweite Gleichung mit den Koordinaten des Punktes B aufstellen: = + p + q = + p + q Den Wert von q einsetzen: = + p p Den Wert p berechnen: p + p = p = 8 : p = Den Wert q berechnen: q = p q = ( ) q = + q = Funktionsgleichung angeben: = +. = + p + q q =, +,p = (, ) + p (,) + q q =, +, =,,p + q q =, +, +, +,p = q q =,7, +,p = q = + p + q = (, ) + p, + q =, +,p +, +,p,, =,p +,p = p : = p = + +,7. + = + + = + = / = _ p ( Îw _ p / = _ ( Îw _ ) q ) / =, Îw (,) / =, Îw, / =, Îw, / =,, = = : = : = : = : = : = : = S ( ); S ( ). a) = ( ) = + = c) = + p + q I: = () p + q II: = () + p + q I: = p + q II: = + p + q I: p = + + q II: p = + q I: p = + q II: p = + q I: p = + q II: p = + q = + q = q : = q 7 S( ) S( ) N S( ) = + = ( + ) + = ( ) S ( ) b) = / = _ p ± ( Îwwww _ p ) q / = _ ± Îw () / = ± Îw / = ± = N ( ) = N ( ) = + p + q = () p + = p + p = : p = = +

18 Mar: Hausaufgaben Mathematik Klasse 9 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth SCHNITTPUNKTE VON FUNKTIONEN BERECHNEN DER SATZ D E S VIETA Lösungen d) = + = ( + ) + S ( ) e) = + + = = : = / =, ± Îw, + / =, ±, = = = + = + = + = + = P ( ) = Q ( ) Q ( ) S ( ) S ( ) P ( ). Vieta hat erkannt, dass zwischen den Lösungen und einer quadratischen Gleichung + p + q = und den beiden Größen p und q ein Zusammenhang besteht. Dieser Zusammenhang lässt sich in folgenden Gleichungen darstellen: p = ( + ) q =. Mit diesen beiden Sätzen kann man also a) überprüfen, ob die Lösungen und zu der vorgegebenen Gleichung stimmen können, b) aufgrund der beiden Lösungen und die Gleichung aufstellen, wenn sie nicht vorliegt. Gleichung p = ( + ) q = + = p = ( + ) = q = = + = p = ( + ) = q = = + = 9 p = (9 + ) = q = 9 = + + = p = ( ) = q = ( ) () =. a) = b) = 7 c) =, d) = 8. a) = + = b) = = c) = 7 = d) = 7 + =. a) = ; = 8 b) =,; =, c) keine Lösung