Download. Mathe an Stationen Klasse 9. Quadratische Funktionen. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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1 Download Marco Bettner, Erik Dinges Mathe an Stationen Klasse Downloadauszug aus dem Originaltitel:

2 Mathe an Stationen Klasse Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Mathe an Stationen Klasse - Übungsmaterial zu den Kernthemen der Bildungsstandards Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web.

3 Materialaufstellung und Hinweise Satzgruppe des Pthagoras Die Stationen bis sind in entsprechender Anzahl zu vervielfältigen und den Schülerinnen und Schülern bereitzulegen. Als Möglichkeit zur Selbstkontrolle können Lösungsseiten zur Verfügung gestellt werden. Station Katheten und Hpotenusen Station Pthagorasfigur legen: Schere bereitlegen. Alternativ: Die einzelnen Quadrate können foliert und ausgeschnitten in einer Dose oder Schachtel angeboten werden. Station Legebeweis Satz des Pthagoras: Schere bereitlegen. Station Legebeweis Kathetensatz: Schere bereitlegen. Station Schrittweise Hpotenusenberechnung mit Pthagoras Station Drei Lehrsätze Station Formeln aufstellen Station Lehrsätze zuordnen Station Gleiches zuordnen (Memor): Schere bereitlegen. Alternativ: Die einzelnen Memorkarten können foliert und ausgeschnitten in einer Dose oder Schachtel bereitgelegt werden. Station 0 Pthagorasberechnung Station Höhensatzberechnung Station Kathetensatzberechnung Station Anwendungsaufgaben Station Figuren fortsetzen Quadratische Gleichungen Die Stationen bis sind in entsprechender Anzahl zu vervielfältigen und den Schülerinnen und Schülern bereitzulegen. Als Möglichkeit zur Selbstkontrolle können Lösungsseiten zur Verfügung gestellt werden. Station Grafische Lösungsverfahren Station Reinquadratische Gleichungen Station Quadratische Gleichungen lösen Station Gleichungen aufstellen Station Wie viele Lösungen gibt es? Station Gleichungen mit dem Computer berechnen: PC oder Laptop mit einer Tabellenkalkulationssoftware zur Verfügung stellen, z. B. Excel (Microsoft Office) oder das entsprechende Produkt aus der Open-Office-Serie. Die Open-Office-Software lässt sich kostenfrei und legal aus dem Internet herunterladen. Station Zahlenrätsel Station Anwendungsaufgaben Station Goldener Schnitt Die Stationen bis 0 sind in entsprechender Anzahl zu vervielfältigen und den Schülerinnen und Schülern bereitzulegen. Als Möglichkeit zur Selbstkontrolle können Lösungsseiten zur Verfügung gestellt werden. Station Funktionen zeichnen: Gegebenenfalls Kopien mit leeren Koordinatensstemen bereitlegen. Station Punktüberprüfung Station Funktionen legen: Mehrere Wollfäden oder Bindfäden (Länge ca. 0 cm) bereitlegen. Station Funktionen darstellen: Ein entsprechend großes Koordinatensstem (Vorschlag: für Gesamtlänge der x-achse und Gesamtlänge der -Achse je m) im Klassenraum (z. B. durch Abkleben mithilfe eines Kreppbandes) oder auf dem Schulhof (z. B. mit Kreide) darstellen. Die Achsen müssen nicht unbedingt beschriftet werden. Station Parabeln auf dem Papier verändern: Gegebenenfalls Kopien mit leeren Koordinatensstemen bereitlegen. Station Parabeln darstellen und verändern: Mit Kreppband einen festen Punkt auf dem Boden des Klassenzimmers (z. B. mit einem Kreuzchen) markieren. Station Funktionen am Computer darstellen: PC oder Laptop mit einer Tabellenkalkulationssoftware zur Verfügung stellen, z. B. Excel (Microsoft Office) oder das entsprechende Produkt aus der Open-Office-Serie. Die Open-Office- Software lässt sich kostenfrei und legal aus dem Internet herunterladen. Station Funktionen diskutieren Station Eigenschaften von Funktionen Station 0 Anwendungsaufgaben

4 Station Punktüberprüfung Aufgabe (R) Welcher Punkt liegt auf welchem Funktionsgraphen? Ordne zu. 0 ƒ ƒ P (0 0) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P (,,) P ( ) P ( ) P 0 ( ) ƒ : ƒ : ƒ : Aufgabe (R) Welche Punkte gehören zum Graphen der angegebenen Funktionsgleichung? Überprüfe rechnerisch. ƒ : ƒ (x) = x ƒ : ƒ (x) = x ƒ : ƒ (x) = x ƒ : ƒ (x) =, x P (0 0) P ( ) P ( ) P ( 0) P ( ) P ( ) P ( ) P ( 0,) ƒ : ƒ : ƒ : ƒ : 0 ƒ 0 x Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

5 Station Funktionen legen Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse Aufgabe (Z) Hier arbeitet ihr zu zweit. Ein Schüler nennt eine quadratische Funktion und der andere Schüler legt die Funktion im Koordinatensstem mit dem Wollfaden. 0 0 x 0

6 Station Funktionen darstellen Diese Station müsst ihr mit mindestens Personen bearbeiten. Aufgabe (Z) Versucht, mit allen beteiligten Schülerinnen und Schülern (mindestens Personen) die angegebenen Funktionsgleichungen im Koordinatensstem darzustellen. Ihr sollt sie aber nicht zeichnen, sondern durch entsprechende Anordnung der beteiligten Schüler lösen. Das Bild unten zeigt euch, wie es geht. ƒ : = x ƒ : = x ƒ : = 0, x ƒ : = x Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

7 Station Parabeln auf dem Papier verändern Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse Aufgabe (R) Die Normalparabel wird entsprechend den angegebenen Informationen verändert. Zeichne die Parabel und notiere den passenden Funktionsterm. a) Die Normalparabel wird um Einheiten parallel zur -Achse nach oben verschoben. ƒ(x) = b) Die Normalparabel wird um Einheiten parallel zur x-achse nach rechts verschoben. ƒ(x) = c) Die Normalparabel wird um Einheiten parallel zur x-achse nach links verschoben. Anschließend wird sie um Einheit parallel zur -Achse nach unten ver schoben. ƒ(x) = d) Die Normalparabel wird an der x-achse gespiegelt. Anschließend wird sie um, Einheiten parallel zur -Achse nach unten verschoben. ƒ(x) = a) b) c) d)

8 Station Parabeln darstellen und verändern Diese Station müsst ihr zu zweit bearbeiten. Aufgabe (R) Ein Schüler gibt Anweisung, was mit der Normalparabel gemacht wird (Verschiebung entlang der - Achse nach oben / unten; Verschiebung entlang der x-achse links / rechts; Spiegeln an der x-achse; Streckung; Stauchung). Der andere Schüler muss mit seinen Händen und mit einer eventuellen Lageveränderung die neue Parabel andeuten. Die Abbildungen unten helfen euch dabei. Tipp: Am Anfang reicht zunächst eine Veränderungsanweisung. Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse 0

9 Station Funktionen am Computer darstellen Starte am Computer eine entsprechende Tabellenkalkulationssoftware. Dies könnte z. B. Excel oder ein Produkt aus Open Office sein. Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse Aufgabe (Z) a) Tippe zunächst die hier abgebildete Tabelle in die Software. b) Lasse den Computer die einzelnen -Werte in der Tabelle (graue Zellen) berechnen. Tipp: Damit die Software rechnet, musst du in die entsprechende Zelle klicken und eine Formel eingeben. Jede Formel beginnt immer mit einem Gleichheitszeichen (=). Anschließend muss die Rechenanweisung angegeben werden. c) Markiere die Tabelle und zeichne den Funktionsgraphen. Tipp: Hier muss bei vielen Pro- grammen zunächst der Diagrammassistent aktiviert werden. Der Knopf dafür sieht in den meisten Fällen ähnlich wie in der rechten Abbildung dargestellt aus.

10 Station Funktionen diskutieren Aufgabe (Z) Betrachte die Funktion ƒ(x) = 0, x. a) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Funktion. x ƒ (x) b) Zeichne die Smmetrieachse der Parabel ein. c) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes. d) Handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt? e) Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? f) Ermittle die Nullstellen. Aufgabe (Z) Betrachte die Funktion ƒ(x) = x +,. a) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Funktion. x ƒ (x) b) Zeichne die Smmetrieachse der Parabel ein. c) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes. d) Handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt? e) Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? f) Ermittle die Nullstellen. Aufgabe (Z) Betrachte die Funktion ƒ(x) = x + x +. a) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Funktion. x ƒ (x) b) Zeichne die Smmetrieachse der Parabel ein. c) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes. d) Handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt? e) Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? f) Ermittle die Nullstellen. Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

11 Station Eigenschaften von Funktionen Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse Aufgabe (Z) Gegeben sind Funktionen. Ordne jeder die passenden Eigenschaften zu (Nullstellen, Scheitelpunkt, Eigenschaften). Notiere dazu in der grauen Spalte den richtigen Großbuchstaben, Kleinbuchstaben oder die richtige römische Zahl aus den drei Tabellen. Funktion Zu notierende Eigenschaften Nullstellen Scheitelpunkt Eigenschaften ƒ(x) = x A ( 0), ( 0) a) (0 ) I ƒ(x) = x B ( 0) b) ( ) II ƒ(x) = x C keine c) ( ) III Nach unten geöffnet. Im Bereich x > 0 fallend. Nach oben geöffnet. Im Bereich x > 0 steigend. Nach oben geöffnet. Im Bereich x > steigend. ƒ(x) = (x + ) D (0 0) d) (0 0) IV Nach oben geöffnet. Im Bereich x > steigend. ƒ(x) = (x ) + E ( 0, 0), (, 0) e) (0 0) V Nach oben geöffnet. Im Bereich x > steigend. ƒ(x) = x x F (0 0) f) ( 0) VI Nach oben geöffnet. Im Bereich x > 0 steigend.

12 Station 0 Anwendungsaufgaben Aufgabe (Z) Die abgebildete Brücke hat parabelförmige Bögen. Ein Bogen kann mit folgendem Funktionsterm beschrieben werden: ƒ(x) = x + a) b) Wie hoch sind die Bögen? Wie breit ist die Brücke an der breitesten Stelle? Aufgabe (Z) Von der Zahl wird eine ausgedachte Zahl subtrahiert. Dieser Wert wird mit dem Dreifachen der ausgedachten Zahl multipliziert. a) b) Setze für die ausgedachte Zahl die Werte ;, und ein und berechne den Endwert. Stelle einen passenden Berechnungsterm auf. c) Wie muss man die ausgedachte Zahl wählen, um den größten Wert zu erhalten? Zeichne die Funktion und lies die Werte aus dem Funktionsgraphen ab. d) Wie lautet der höchste zu berechnende Wert? Aufgabe (Z) Yannik wirft einen Ball senkrecht nach oben. Die Höhe des Balls () nach einer bestimmten Zeit (x) kann mithilfe folgender Gleichung annäherungsweise berechnet werden: ƒ(x) = (x,) +, a) Welche maximale Höhe kann der Ball erreichen? Tipp: Zeichne den Funktionsgraphen. b) c) Nach welcher Zeit trifft der Ball wieder auf dem Boden auf? Aus welcher Höhe hat Yannik den Ball abgeworfen? Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

13 Lernkontrolle Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse Aufgabe (R) Ergänze die Werte in der Wertetabelle und zeichne den Funktionsgraphen. a) ƒ(x) = x x, 0 0,, ƒ(x) b) ƒ(x) = 0, x x 0 ƒ(x) Aufgabe (R) Welche Punkte gehören zum Graphen der angegebenen Funktionsgleichungen? Überprüfe rechnerisch. ƒ : = x ƒ : = x ƒ : = x P (0 ) P ( 0,) P ( ) P ( 0, 0,) P (,) P (0 00) Aufgabe (R) Die Normalparabel wird entsprechend den angegebenen Informationen verändert. Zeichne die Parabeln und notiere den passenden Funktionsterm. a) Die Normalparabel wird parallel zur x-achse um, Einheiten nach rechts verschoben. ƒ(x) = b) Die Normalparabel wird an der -Achse gespiegelt und anschließend um Einheiten parallel zur -Achse nach unten verschoben. ƒ(x) = Aufgabe (Z) Betrachte die Funktion ƒ(x) = (x ) +. a) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Funktion. b) Zeichne die Smmetrieachse der Parabel ein. c) Notiere die Koordinaten des Scheitelpunktes. d) Handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt? e) Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? f) Ermittle die Nullstellen. Aufgabe (Z) Die Flugbahn von Leichtathletin Jasmin beim Weitsprung (s. Abbildung rechts) kann annähernd als parabelförmig angesehen werden. Dazu passt folgende Funktionsgleichung: ƒ(x) = 0,x + 0, x + 0,. Wie weit ist Jasmin gesprungen?

14 Station Kreise und Ellipsen auf dem Schulhof Aufgabe (R) Diese Aufgabe müsst ihr zu zweit bearbeiten. Flächeninhalt und Umfang des Kreises Nehmt eine mindestens m lange Schnur. Versucht, zu zweit sehr genau einen Kreis mit Kreide auf dem Schulhof zu zeichnen. Beschreibt eure Vorgehensweise. Aufgabe (R) Diese Aufgabe müsst ihr zu dritt bearbeiten. Nehmt eine mindestens m lange Schnur. Versucht, zu dritt sehr genau eine Ellipse mit Kreide auf dem Schulhof zu zeichnen. Die Abbildung hilft euch dabei. Beschreibt eure Vorgehensweise. Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

15 Lernkontrolle: Quadratische Gleichungen Seite Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse ) a) x = 0; x = b) x = ; x = 0, x ) a) x = ; x = b) x = ; x = c) x = ; x = d) x = ; x = ) a) x = ; x = b) x = ; x = c) x = ; x = 0, d) x = 0,; x = e) x =,; x = 0, f) x = 0; x = 0, ) Hier sind mehrere verschiedene Lösungen möglich, z. B. a) x x + = 0 b) x x, = 0 ) a) 0 Lösungen b) Lösung c) Lösung ) a) x + = 0 b) x x = x = 0; x = 0 x 0,; x, ) x (x ) =, x x = x x = 0 x 0, Die Grundseite ist 0, cm lang. Die dazugehörige Höhe beträgt, cm. Station : Funktionen zeichnen Seite a) x 0 ƒ(x) 0 x b) x 0 ƒ(x) 0 x x Lösungen: Quadratische Gleichungen Lösungen:

16 Station : Funktionen zeichnen (Fortsetzung) Seite c) x, 0 0,, ƒ(x), 0, 0 0,,, d) x 0 ƒ(x) 0 Lösungen: x e) x 0 ƒ(x), 0, 0 0,, x x Station : Punktüberprüfung Seite ) ƒ : P ; P ; P ; P ƒ : P ; P ; P ƒ : P ; P ; P 0 ) ƒ : P ƒ : P ; P ; P ƒ : P ; P ƒ : P ; P ; P Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

17 Station : Funktionen darstellen Seite Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse a) b) x c) d) x a) ƒ(x) = x + b) ƒ(x) = (x ) x Station : Parabeln auf dem Papier verändern Seite x x x Lösungen:

18 Station : Parabeln auf dem Papier verändern (Fortsetzung) Seite Lösungen: c) ƒ(x) = (x + ) d) ƒ(x) = x, x x Station : Funktionen am Computer darstellen Seite b) Lösung in Form der Zahlen: Lösung mithilfe von Formeln: c) ƒ(x) = 0,x,,,, 0, 0 0,,, x Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse 0

19 Station : Funktionen diskutieren Seite ) a) x 0 ƒ(x),, 0, 0 0,,, ) a) x 0 ƒ(x),, 0,, 0,,, Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse b) Die Smmetrieachse ist die -Achse. b) Die Smmetrieachse ist die -Achse. c) S (0 0) c) S (0,) d) Tiefpunkt d) Hochpunkt e) Nach oben geöffnet e) Nach unten geöffnet f) Nullstelle (0 0) f) Nullstellen (, 0) und (, 0) x ) a) x 0 ƒ(x) b) Die Smmetrieachse verläuft durch ( 0) und steht senkrecht zur x-achse. c) S ( ) d) Tiefpunkt e) Nach oben geöffnet f) Nullstellen (, 0) und ( 0, 0) Funktion ƒ(x) = x ƒ(x) = x ƒ(x) = x ƒ(x) = (x + ) ƒ(x)= (x ) + x x Station : Eigenschaften von Funktionen Seite ƒ(x) = x x Zu notierende Eigenschaften D, d), II F, e), I A, a), VI B, f), III C, b), IV E, c), V Hinweis: D und F sowie d) und e) und II und VI sind identisch und deshalb austauschbar. Lösungen:

20 Station 0: Anwendungsaufgaben Seite Lösungen: ) a) x = 0 setzen =. Die Bögen sind Längeneinheiten hoch. b) Die Nullstellen befinden sich bei (, 0) und (, 0). Die Breite beträgt also ca., Längeneinheiten. ) a) ( ); (,,); ( 0) b) ( x) x c) ƒ(x) = x + x. Die Zahl für x muss, sein, um den maximalen Wert zu erreichen. d), ) a) Die größte Höhe ist, m (siehe Funktionsgraph). b) Nach ca., Zeiteinheiten trifft der Ball wieder auf dem Boden auf (siehe Funktionsgraph bzw. Nullstellenberechnung). c) Man setzt x = 0. Das ist der Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse und die Starthöhe von 0, Längeneinheiten. ) a) x, 0 0,, ƒ(x), 0 0,, ) ƒ : P ƒ : P ƒ : P 0 0 x Lernkontrolle: Seite x Graph zu Aufgabe Graph zu Aufgabe b) x 0 ƒ(x), 0, 0 0,, x Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse

21 Lernkontrolle: (Fortsetzung) Seite Bettner / Dinges: Mathe an Stationen. Klasse ) a) ƒ(x) = (x,) b) ƒ(x) = x ) a) x 0 ƒ(x) x x ) Die Nullstellen der Parabel werden ermittelt: 0,x + 0, x + 0, = 0 x, x,, m +, m =,0 m Sie ist etwa,0 m gesprungen. b) Die Smmetrieachse verläuft durch ( 0) und steht senkrecht auf der x-achse. c) S ( ) d) Tiefpunkt e) Nach oben geöffnet f) Keine Nullstellen Station : Kreise und Ellipsen auf dem Schulhof Seite ) Das Kreidestück wird an einem Schnurende befestigt. Das andere Schnurende wird von einem Schüler auf einem fixen Punkt auf dem Boden festgehalten. Der zweite Schüler fährt mit der Kreide an der Schnur einmal rundherum auf dem Boden entlang, so entsteht ein Kreis. ) Beide Schnurenden werden von zwei Schülern fix auf je einem Punkt festgehalten. Ein dritter Schüler fährt mit der Kreide an der Schnur einmal rundherum auf dem Boden entlang, so entsteht eine Ellipse. Station : Herleitung des Kreisumfangs Seite ) a) und b) Keine Lösungsangabe möglich c) Die Quotienten sind nahezu gleich (im Idealfall um die,). d) u Kreis = π d x Lösungen: Lösungen: Flächeninhalt und Umfang des Kreises