Systemanalyse und Modellbildung

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1 Systemanalyse und Modellbildung Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes(Lehrbeauftragter)

2 10.1 Systemdefinition Eine Menge von Objekten, die miteinander in Beziehung stehen Die Festlegung, welche Objekte innerhalb und welche außerhalb des Systems sind, ergibt die Systemgrenzen 10.2 Schritte der Modellentwicklung 1. Formulierung der Fragestellung 2. Festlegen der Systemgrenzen 3. Formulieren der Bilanz- und Reaktionsgleichungen 4. Formales Lösen der Gleichungen und Analyse des Verhaltens der Lösungen 5. Einsetzen der Zahlenwerte 6. Kritisches Beurteilen der Ergebnisse 10.3 Mathematische Modelltypen Statische, dynamische, zeitlich diskrete, räumlich kontinuierliche und stochastische Modelle

3 Statische Modelle Die Variable folgt ohne zeitliche Verzögerung dem Verlauf der äußeren Relation: = Lineare dynamische Modelle mit einer Variablen und konstanten Koeffizienten Das System wird durch folgende Differentialgleichung erster Ordnung zwischen der Systemvariablen, der äußeren Relation ()und dem Modellparameter beschrieben: () = +() Die genauen Formulierungen als Massenbilanz-bzw. Konzentrationsgleichung lauten: () = = + = + ()

4 () () = + + = + () = + + = + Bei autonomen Systemen gibt es über die Anfangsbedingungen hinaus keine Wirkung der äußere Relation auf den dynamischen Anpassungsprozess Lineare dynamische Modelle mit einer Variablen und zeitabhängiger äußeren Relation Die Bilanz-bzw. Konzentrationsgleichung ist dann eine inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit variablen inhomogenen Term: () = ( + ) dem nun zeitabhängigen stationären Zustand: = + () und der zeitabhängigen Lösung:

5 = + k w C in (t) vorherige Einträge davon noch übrig geblieben C(t) k r C(t) k w C(t) Untersuchte Fälle: Exponentiell wachsende oder fallende Einträge Auswirkung einer periodisch schwingenden Störung

6 Lineare dynamische Modelle mit mehreren Variablen und zeitunabhängiger äußeren Relation Zwischen den Variablen gibt es Wechselwirkungen. Die Massenbilanzgleichungen lauten: () = +, +, () = +, +, Durch Division mit dem Volumen erhalten wir hierfür die Konzentrationsgleichungen: () = +, +, () () = +, +, () In Matrixschreibweise gilt dann allgemein: () () =+, =+()

7 Systeme mit zwei Systemvariablen Lösungsverfahren aus der linearen Algebra für die Differentialgleichungen linearer Systeme mit zwei Systemvariablen Für die Matrix P in den Differentialgleichungen für den linearen Durchflussreaktor werden folgende charakteristische Größen eingeführt: 1. Die Determinante von P det(p) = p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 2. Die Spur von P Sp (P) = p 1,1 + p 2,2 3. Die Diskriminante von P (P) = ( SP(P) ) 2 4 det(p) = (p 1,1 + p 2,2 ) 2 (p 1,1 p 2,2 ) 2 + 4p 1,2 4. Die beiden Eigenwerte von P 1 λ i = Sp(P) ± (P) 2 4p 1,1 p 2,2 p 2,1 + 4p 1,2 p 2,1 = Die beiden Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung: λ2 λ(p 1,1 + p 2,2 ) + p 1,1 p 2,2 p 1,2 p 2,1 = λ2 λ(sp(p) + det(p) = 0 Falls die Koeffizientenmatrix zwei verschiedene Eigenwerte hat, d.h. die Diskriminante P 0 ist, hat das Differentialgleichungssystem mit konstanten t Koeffizienten R i p i, j Lösungen von der Form: t t V ~ λ λ (t) = a 1,0 + a 1,1 e + a 1,2 e = t t V ~ λ λ (t) a a e 1 a e 2 2 = 2,0 + 2,1 + 2,2

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9 Nichtlineare dynamische Modelle mit einer Variablen Die allgemeine Form der Differentialgleichung für nichtlineare Modelle ist: () =(,) Lassen sich die äußere und innere Relation trennen, dann erhalten wir die spezielle Form: () = +( ) Gesucht werden zunächst die Fixpunkte. Für Autonome nichtlineare Modelle mit einer Variablen wird die äußere Relation, die konstant ist, implizit in eine vereinfachte Veränderungsfunktion aufgenommen: () =, Für die gilt: =0bzw. () =0,=1,,beim Erreichen des Fixpunktes.

10 ~ dv dt ~ V i ~ ~ dv dv < 0 stabiler Zustand > 0instabiler Zustand, = 0höhere Ableitung sind zu betrachten dt ~ V dt ~ V i i

11 Nichtautonome nichtlineare Modelle mit einer Variablen Wenn die externe Relation sich explizit von der internen Relation trennen lässt, d.h. () = +,erfüllen die stationären Zustände des Systems die Bedingung beim Erreichen eines Fixpunktes: = (). () =0,=1,, Beispiele: Logistisches Wachstum und Abfischen in einem Fischteich bzw. das nichtlineares Phosphormodell. Besonders interessant beim nichtlinearen Phosphormodell sind die Ergebnisse: 1. Das Modell hat kritische Zustände, in denen kleinste Veränderungen des Inputs (äußere Relation) zu großen Veränderungen der Systemvariablen führen. 2. Es gibt einen Bereich der Inputgröße, in dem das Verhalten des Systems von der Vorgeschichte abhängt (Hysterese). 3. Bei nichtlinearen Modellen treten Synergismen auf, d.h. die Wirkung von Einzelereignissen auf die Systemvariable ist nicht gleich deren Summenwirkung.

12 Hysterese Verhalten beim nichtautonomen nichtlinearen Phosphormodell mit einer Variablen

13 Nichtlineare Boxmodelle mit mehreren Systemvariablen Die Jacobi Matrix Ausgang ist dabei das folgende System von n dimensionale Differentialgleichungen: =,,, = 1,, Fixpunkte oder Stationäre Zustände sind q Lösungen des n-dimensionalen gewöhnlichen, aber nichtlinearen Gleichungssystems: 0=,,,, = 1,, Das System befindet sich in der Nähe eines Fixpunktes k, bedeutet formal bzw. als Vektor geschrieben folgendes: = +, = 1,,. = + Da am Fixpunkt selbst alle Veränderungsfunktionen g i null sind, können diese in der Umgebung von durch folgende Taylorreihe approximiert werden, wobei nach dem ersten Term abgebrochen wird. = + = =,,

14 Da konstant ist gilt =, wird die allgemeine Gleichung näherungsweise zu einem n-dimensionalen linearen System mit der Abweichungsvariablen : =,, = 1,,,, = Letzteres kann auch als Matrix geschrieben werden: = Wir erhalten in Matrixform geschrieben: =( ) Die Stabilisierungsuntersuchung erfolgt über die Eigenwerte. Anwendungsbeispiele sind die Räuber/Beute Modelle von Lotka-Volterra und von Holling-Tanner. Selbst bei zwei Variablen können dabei schon chaotische Zustände auftreten.

15 Zeitdiskrete Modelle Iterative Gleichungen sind scheinbar leichter als Differentialgleichungen zu lösen, was in der Regel aber nicht zutrifft. Zum Beispiel beruht der primitivste Integrationsalgorithmus auf der Idee, den kontinuierlichen Gang der Zeit durch endliche Intervallsprüngen der Größe Δt zu approximieren, indem man definiert = + Und eine sogenannte Differenzengleichung einführt: =() () = () Aufgelöst nach () ergibt: () = 1+ (). () = 1+ () Wenn mehrmals vom Ausgangswert aus hintereinander ausgeführt. Im Grenzfall ist 0 und wir erhalten: = lim 1+ (). = (), weil lim 1+ =

16 Die inhomogene, lineare, zeitdiskrete Gleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form: () =+ Treten mehrere Terme auf, dann spricht von Gleichungen zweiter, dritter, usw. Ordnung. Wie sieht die lineare Differentialgleichung aus, die mit der zeitdiskreten linearen Differenzengleichung verwandt ist? Aus () =+ 1+ erhalten wir durch Division mit : () () =+ () =, = 1 Bekanntlich hat die Differentialgleichung den stationären Zustand = falls <0. Die Differenzengleichung hat den stationären Zustand = lim () = 1< <1 1, Anwendungsbeispiel: Diskretes logistisches Wachstumsmodell

17 10.4 Thermodynamik und Informationstheorie in der Systemanalyse Zur Beschreibung irreversible Prozesse wurde der wie folgt definierte Entropiebegriff eingeführt: 2 (1) >. (2)>(1) Der Entropiebegriff wurde durch Boltzmann als Wahrscheinlichkeiten von Mikrozuständen des Systems durch die Formel erklärt, welche äquivalent ist zu dem Entropiebegriff in der Informationstheorie: = ln = Über eine Reihe von Zwischenschritten wurde der Zusammenhang zwischen der freien Energie, nutzbaren Arbeit (Exergie) und entropiebelastete nicht nutzbare Arbeit (Anergie) eingeführt:

18 =+ Das wichtigste Ergebnis aus den thermodynamischen und informatorischen Grundlagen ist der folgende Zusammenhang zwischen der Exergie und der Konzentrationen für einzelne Partikel in einem System: =, () = Die Exergie kann in mehrere Terme zerlegt werden, so zum Beispiel in einen informatorischen und materiellen Term: = + =, 0 = 0

19 10.5 Gekoppelte Systeme: Optimierung und Systemanalyse Mit den thermodynamischen und informatorischen Grundlagen wird für gekoppelte Systeme ein disziplinübergreifende Terminologie für gekoppelte Systeme eingeführt. Insbesondere für die Umwelt-und Ressourcenökonomie liefern diese Grundlagen, um naturwissenschaftlich konsistente Modelle zu entwickeln. Diese Anforderungen werden jedoch nicht immer erfüllt. Welche Systemelemente anspruchsvolle Modelle haben müssen, wurde kurz skizziert. Das Forster-Modell wurde als Beispiel ausgewählt, um zu zeigen, wie die ökonomische Optimierungsprinzipen mit der Systemanalyse verknüpft sind. Die Systemanalyse liefert die dynamischen Nebenbedingungen für die Optimierung.