Vorwissen Lineare Modelle zweier Bevölkerungen

Transkript

1 Reiser Stephan 1

2 Ablauf Vorwissen Lineare Modelle zweier Bevölkerungen Das Konkurrenzmodell von Volterra Ein allgemeineres Konkurrenzmodell Periodische Bahnen für die allgemeine Volterra-Lotka- Gleichung in zwei Variablen Die Methode von Dulac Beweis für die Nichtexistenz periodischer Attraktoren Nichtlineare Konkurrenz zweier Bevölkerungen Das allgemeine Konkurrenzmodell Die Eigenschaften des Konkurrenzmodells Satz von Poincaré-Bendixson 2

3 Vorwissen Attraktor von lat. ad trahere = zu sich hin ziehen Jene Menge, der sich die Dynamik eines Systems nähert und sie nicht mehr verlässt. periodischer Attraktor 3

4 Vorwissen ω-limes Sei x = f x, x t 0 = x dann gilt: ω x = {y R n : ee gggg eeee FFFFF t k +, s. d. x(t k ) y} Menge der Punkte y, für welche noch so kleine Umgebung nach beliebiger Zeit von der Bahn x(t) besucht wird Grenzmenge in Vorwärtsbewegung (t k + ) α-limes: Grenzmenge in Rückwärtsbewegung (t k ) 4

5 Vorwissen ω-limes ω-limes ω x ist ein Fixpunkt eine periodische Bahn eine invariante Menge (4 Fixpunkte mit 4 Bahnen) oder unbeschränkt 5

6 Vorwissen Linearisierung um Gleichgewichtspunkte Nichtlineare Modelle überführbar auf lineare Modelle Stetige Umformung 6

7 Vorwissen Integralsatz von Gauß für ein zweidimensionales Vektorfeld (Divergenzsatz) Zusammenhang zw. Divergenz eines Vektorfeldes und Feldstroms Anwendung: Flüssigkeiten, Gase, Gravitationsfeld ω = w 1 w 2 Vektorfeld ddd ω = w x 1 + w 1 x 2 2 s Bogenlänge Γ Randkurve von G ddd ω G dx = w 2 +w 1 Γ ds 7

8 Vorwissen Integralsatz von Gauß für ein zweidimensionales Vektorfeld (Divergenzsatz) Anwendungsbeispiel: Ein bildhaftes Anwendungsbeispiel des Gauß schen Integralsatzes ist der mathematisch versierte Jäger auf einer Wildschweinjagd: Um festzustellen, ob sich in einem freistehenden Wäldchen noch Wildschweine befinden, wird er nicht in das Wäldchen hineinlaufen und die Tiere aufscheuchen, sondern er zählt die herausführenden und die hineinführenden Spuren. Vorausgesetzt wir haben mit fehlenden alten Spuren eine Wildschweinquellfreiheit im Gebiet (Unterraum) Wäldchen sichergestellt, dann weiß er durch Differenzbildung, wie viele Wildschweine sich noch in dem Wäldchen befinden. 8

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10 Konkurrenzmodell von Volterra Wechselwirkung zwischen zwei Bevölkerungen nur lineare Ausdrücke beide Bevölkerungen konkurrieren um gemeinsame Ressource R = R (c 1 x + c 2 y) x, y Kopfzahlen R Ressource R Bestand ohne Wegfressen c 1, c 2 positive Konstanten 10

11 Konkurrenzmodell von Volterra Weiters gilt x x = b 1R α 1 (x bei R = 0 fallend) y y = b 2R α 2 (y bei R = 0 fallend) mit b 1, b 2, α 1, α 2 > 0 durch Umschreibung x = x a 1 b 1 c 1 x + c 2 y y = y a 2 b 2 c 1 x + c 2 y mit passenden a 1, a 2 11

12 Konkurrenzmodell von Volterra wegen x b 2 x b y 1 y = b 2a 1 b 1 a 2 = α folgt durch Integration b 2 log x b 1 log y = αt + β und daher x b 2y b 1 = ce αt wobei β R und c = e β > 0 Konstanten => Zwei Fälle 12

13 Konkurrenzmodell von Volterra Fall α = 0: => Menge S (x = 0) = Menge W (y = 0) Geraden => alle Fixpunkte auf Geraden (Fixpunktgerade) ² => keine Fixpunkte im Inneren von R + Bahnen strömen wegen Vorzeichen zur Gerade 13

14 Konkurrenzmodell von Volterra Fall α 0 oder α < 0 : bei t + folgt e αt 0=>x b 2y b 1 0 da x und y beschränkt, folgt x 0 (eine Spezies stirbt aus) mit α < 0 gilt a 1 b 1 < a 2 b 2 => S unter W Beide Spezies von einer Ressource abhängig und α 0 => eine Spezies stirbt aus 14

15 allgemeineres Konkurrenzmodell zwei kongruierende Spezies um eine Ressource x = x a bb cc y = y d ee ff mit a bis f Konstanten und e < b und c < f Wachstumsrate umso kleiner, je mehr von der eigenen und der anderen Bevölkerung vorhanden ist. 15

16 allgemeineres Konkurrenzmodell mit R = R s 1 x s 2 y R 1 = R 1 r 1 x R 2 = R 2 r 2 y erhält man die Wachstumsgleichungen x x = R + R 1 α 1 y y = R + R 2 α 2 16

17 allgemeineres Konkurrenzmodell W = x, y R + ² : y = 0 und S = x, y R + ² : x = 0 liegen auf den fallenden Geraden a bb cc = 0 und d ee ff = 0 W S = {} => eine Spezies stirbt aus (siehe vorher) W = S (siehe vorher) W S = {F} mit F = (x, y ) mit x = aa cc bb cc und y = bb aa bb cc 17

18 allgemeineres Konkurrenzmodell W S = {F} mit F = (x, y ) mit x = aa cc bb aa und y = bb cc bb cc mit e < b und c < f folgt aa cc > 0 und bb aa > 0 bei b e > a d > c f => stabile Koexistenz (ω Limes) bei c f > a d > b e => eine Spezies stirbt aus 18

19 Periodische Bahnen Periodische Bahnen für die allgemeine Volterra-Lotka- Gleichung in zwei Variablen Allgemeine Volterra-Lotka-Gleichungen x = x a + bb + cc y = y d + ex + fy mit unbekannten Vorzeichen der Konstanten bis jetzt nur Spezialfälle betrachtet! Je nach Wahl der Konstanten verschiedene Systeme 19

20 Periodische Bahnen Periodische Bahnen für die allgemeine Volterra-Lotka- Gleichung in zwei Variablen Satz I: (Beweis -> indirekt mit Satz von Dulac) Es gibt keine isolierte periodische Bahn für x = x a + bb + cc y = y d + ee + ff isolierte Bahn γ einzige periodische Bahn γ in einer Umgebung 20

21 Periodische Bahnen Periodische Bahnen für die allgemeine Volterra- Lotka-Gleichung in zwei Variablen Satz II: (Beweis -> indirekt mit Satz von Dulac) Es kann keine periodischen Attraktor für die Volterra-Lotka- Gleichung im Zweidimensionalen geben. periodischer Attraktor 21

22 Methode von Dulac Differentialgleichung auf Teilmenge G x = P x, y y = Q x, y einfach zusammenhängend (keine Löcher ) Funktion B(x, y) auf G => BB + BQ > 0 y => periodischen Lösungen =>γ ist geschlossene Bahn T Periode Γ Bogenlänge 22

23 Methode von Dulac Nun gilt T T 0 = B y x x y dd = Folie 22 0 = BB x BB y dd 0 Mit F x, y = T +BB(x,y) BB(x,y) und Integralsatz von Gauß folgt: [BB x t, y t x t BP x t, y t y t ]dd 0 = ± [ BB + y BQ ]d(x, y) 23 Γ

24 Methode von Dulac T i. [BB x t, y t x t BB x t, y t y t 0 ii. ± [ Γ = BB + BB ]d(x, y) ]dd i verschwindet wegen T 0 BB x BB y dd = 0 ii verschwindet wegen BB + BB > 0 nicht! => Satz I und Satz II 24

25 Nichtexistenz periodischer Attraktoren S und W (Geraden) besitzen einen Schnittpunkt 0 = a + bb + cc 0 = d + ex + fy Weiters sei B x, y = x α 1 y β 1 Durch Einsetzen folgt BB + y BQ = = B[α a + bb + cc + bb + β d + ex + fy + fy 25

26 Nichtexistenz periodischer Attraktoren Für α und β gelte: αb + ββ = b αc + ββ = f für bb cc 0 => mit BB + BB = δb δ = aa + dd 26

27 Nichtexistenz periodischer Attraktoren Fallunterscheidung von δ a. δ 0 => keine periodische Lösungen b. δ = 0 => von F BB = => V = V x, y mit V => V = BB Integrabilitätsbedingung = BB und = BP y x + y = BBB BBB = 0 y => V ist Bewegungsinvariante => geschlossene Bahnen und nicht isoliert => keine Attraktoren 27

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29 Allgemeines Konkurrenzmodell Ansatz x = x S x, y y = y W x, y S, W Wachstumsraten (voneinander abhängig) Besser keine speziellen Differentialgleichungen sondern gleich aus Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Form der Wechselwirkung zu ziehen Annahme: beide Arten x und y konkurrieren 29

30 Allgemeines Konkurrenzmodell a) eine Art nimmt zu => andere nimmt ab S W < 0 und < 0 y b) eine Art sehr häufig => Ressourcen erschöpft => beide Arten nehmen ab c) fehlt eine Art => Wachstumsrate der anderen bis Sättigung positiv, dann negativ 30

31 Eigenschaften Strömung hängt von Steigung ab S : x = 0 => senkrechte Strömung P oberhalb von S => x < 0 => Strömung nach links P unterhalb von S => x > 0 => Strömung nach rechts W : y = 0 => waagrechte Strömung P rechts von W => y < 0 => Strömung nach unten P links von W => y > 0 => Strömung nach oben 31

32 Eigenschaften S W = {} => eine Bevölkerung stirbt aus, die andere im Gleichgewicht S W = {P i } =>P i sind Gleichgewichtspunkte 32

33 Satz von Poincaré-Bendixson 1-dimensionale Systeme trivial (nur Gleichgewichtspunkte) 2-dimensionale Systeme halbwegs durchsichtig hier: Satz von Poincaré-Bendixson mehr-dimensionale Systeme immer schlimmer und aufwendiger 33