Limesmengen in planaren Systemen: Satz von Poincaré-Bendixson
|
|
- Victoria Hofer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Limesmengen in planaren Systemen: Satz von Poincaré-Bendixson Tobias Bohl 1 Einleitung Im letzten Vortrag haben wir viel von Gleichgewichten gehört, dieser Vortrag handelt von einer anderen Möglichkeit, wie Funktionen im Unendlichen verlaufen können: Den periodischen Lösungen und Limesmengen, bei denen auch im Unendlichen immer wieder unterschiedliche Punkte erreicht werden, in einer Periode jedoch immer wieder dieselben. Dafür wollen wir in diesem Seminarvortrag auf den Satz von Poincaré-Bendixson hinarbeiten. Um den Satz zu verstehen, müssen wir uns erst noch Begrie wie den periodischen Orbit, den lokalen Schnitt und monotone Folgen anschauen. Im Anschluss wollen wir uns noch einige Anwendungen des Satzes ansehen. 2 Limesmengen Denition 2.1 (ω-limesmenge). Die ω-limensenge ist die Menge aller Y, für die es ein X und eine Folge {t n } n N mit t n für ein n gibt, sodass lim n φ tn (X) = Y, wobei φ tn ein dynamisches System ist. Diese Menge wird auch als ω(x) geschrieben. Denition 2.2 (α-limesmengen). Die α-limensenge ist die Menge aller Y, für die es ein X und eine Folge {t n } n N mit t n für ein n gibt, sodass lim n φ tn (X) = Y, φ tn wie oben. Diese Menge wird auch als α(x) geschrieben. Diese beiden Mengen sind meistens Kreise oder andere Figuren, an die sich dann die Lösungen annähern. Als Beispiel kennen wir hier den Einheitskreis, der auch im unendlichen immer wieder von den Funktionen sin und cos erreicht wird, es gibt aber auch Limesmengen, an die die Funktionen sich annähern und sie erst im Unendlichen erreichen. In höheren Dimension ist die Thematik weitaus komplizierter und wird in diesem Kapitel nicht behandelt. Beispiel 2.3. Sei ein planares System gegeben durch: r = 1 2 (r r3 ) θ = 1 Dieses Beispiel haben wir auch im letzten Vortrag bereits behandelt, nur haben wir uns dort mehr für die Lösungen interessiert, die auf ein Gleichgewicht zulaufen. Hier interessieren wir uns für die Lösungen, die in einem periodischen Orbit enden. 1
2 Abbildung 1: Figur zu Beispiel 2.3 Proposition Wenn X und Z auf der selben Lösung liegen, dann ist auch ω(x) = ω(z) und α(x) = α(z) 2. Sei D eine abgeschlossene, positive invariante Menge und Z D, dann ist ω(z) D, genauso für negative invariante Mengen und α-limesmengen 3. Eine abgeschlossene, invariante Menge und, insbesondere, eine Limesmenge, enthält die α- und ω-limesmengen aller ihrer Punkte Beweis. zu 1. Sei Y in ω(x) und φ s (X) = Z. Falls dann φ tn (X) gegen ein Y läuft, dann ist φ tn s(z) = φ tn (X), welches gegen Y läuft, also ist Y in ω(z) zu 2. Sei φ tn Y wenn t n, dann haben wir t n 0 für ausreichend groÿe n, sodass φ tn (Z) D, also ist Y D, da D eine abgeschlossene Menge ist zu 3. Folgt direkt aus 2. 3 Lokaler Schnitt und Flussboxen Denition 3.1 (Lokaler Schnitt in X). Sei l(x 0 ) die zu F (X 0 ) senkrechte Gerade, die X 0 enthält. Nun heiÿt ein oenes Teilintervall S von l(x 0 ), sodass für jedes X S F (X) nicht parallel zu l(x 0 ) ist, lokaler Schnitt in X 0. Ein lokaler Schnitt kann nur in eine Richtung durchstoÿen werden. Abbildung 2: Links: Lokaler Schnitt, Mitte und Rechts: Flussbox Im weiteren Verlauf gebrauchen wir ab und zu den Begri einer Flussbox, hier eine kurze Erklärung: Eine Flussbox gibt das Verhalten der Trajektorien um einen Punkt, der kein Gleichgewichtspunkt ist, wieder. Sie wird in Verbindung mit einem lokalen Schnitt konstruiert und gibt, wie bereits gesagt, eine Beschreibung der Trajektorien, die sich bei fortlaufender und bei rückläuger Zeit von den 2
3 Punkten des lokalen Schnittes aus bilden. Diese Trajektorien schneiden sich nicht (Siehe Abbildung 2). Proposition 3.2. Sei S ein lokaler Schnitt in X 0 und φ t0 (Z 0 ) = X 0. Sei W eine Umgebung von Z 0. Dann gibt es eine oene Menge U W, welche Z 0 beinhaltet und eine stetige Funktion τ : U R, sodass τ(z 0 ) = t 0 und X U : φ τ(x) (X) S (siehe Abbildung 3) Abbildung 3: Figur zu Proposition 3.2 Beweis. Sei F (X 0 ) der Vektor (α, β) 0. Für Y = (y 1, y 2 ) R 2 denieren wir eine Funktion η : R 2 R durch: η(y ) = Y F (X 0 ) = αy 1 + βy 2 Nun stellen wir fest, dass Y genau dann Teil von l(x 0 ) ist, wenn Y = X 0 +V, wobei V die Steigung von l(x 0 ) hat und normiert ist, sodass V F (X 0 ) = 0. Also ist Y l(x 0 ) genau dann wenn η(y ) = Y F (X 0 ) = X 0 F (X 0 ). Jetzt denieren wir eine Funktion G : R 2 R R durch: G(X, t) = η(φ t (X)) = φ t (X) F (X 0 ) Nun haben wir G(Z 0, t 0 ) = X 0 F (X 0 ) da φ t0 (Z 0 ) = X 0. Weiter gilt: G t (Z 0, t 0 ) = F (X 0 ) 2 0 Somit können wir den Satz für implizite Funktionen anwenden um eine glatte Funktion τ : R 2 R zu nden, die auf einer Umgebung U 1 von (Z 0, t 0 ) deniert ist, sodass τ(z 0 ) = t 0 und G(X, τ(x)) G(Z 0, t 0 ) = X 0 F (X 0 ). Also liegt φ τ(x) (X)) auf l(x 0 ). Wenn U U 1 eine ausreichend kleine Umgebung von Z 0 ist, dann ist wie erforderlich φ τ(x) (X) S. 4 Die Poincaré-Abbildung Denition 4.1 (Periodischer Orbit). Sei X ein Punkt, der nicht auf einer Gleichgewichtslösung liegt. Wenn es nun ein t > 0 (Zeit) gibt, sodass φ t (X) = X, dann heiÿt diese Kurve γ periodischer Orbit. Das kleinste solche t > 0 heiÿt Periode der Funktion. Periodische Orbits können entweder stabil, asymptotisch stabil oder instabil sein, die Denitionen sind wie bei Gleichgewichtslösungen, die Bestimmungen allerdings deutlich komplizierter. Ein Werkzeug hierfür ist die Poincaré-Abbildung. Sei nun γ ein periodischer Orbit, dann gibt es eine Poincaré-Abbildung für γ, was in einem periodischen Orbit wie folgt deniert ist: 3
4 Denition 4.2 (Poincaré-Abbildung). Sei X 0 ein gewählter Punkt auf einem periodischen Orbit γ und S ein lokaler Schnitt in X 0. Wir betrachten den Ort der ersten Rückkehr nach S. Dafür haben wir die Funktion P mit, für gegebenes X S, P(X)=φ t (X) S, wobei t die kleinste positive Zeit ist, für die φ t S Allerdings ist dies nicht für jeden Punkt von S der Fall, einige kehren nicht wieder zurück, aber wir wissen sicher, dass P (X 0 ) = X 0 und auch in der Umgebung von X 0 ist diese Funktion deniert. Proposition 4.3. Sei F(X) = X' ein planares System und angenommen, X 0 liege auf dem periodischen Orbit γ. Sei P eine Poincaré-Abbildung, deniert in der Umgebung von X 0 in einem lokalen Schnitt. Falls P'(X) < 1, dann ist γ asymptotisch stabil. Beweis. Übertrage man P in die reellen Zahlen und nehmen wir X 0 = 0 R, sodass P(0) = 0, wie bei einer linearen Abbildung. Nun sei P'(0) < 1, es folgt also P(x) = ax + Terme von höherer Ordnung, wobei a < 1. Also ist für x nahe 0, P(x) näher an 0 als x, also bringt jeder Durchgang durch S die Lösung näher an γ, also ist γ asymptotisch stabil 5 Monotone Folgen in planaren, dynamischen Systemen Denition 5.1 (monoton). Sei X 0, X 1,... R 2 eine endliche oder unendliche Folge von verschiedenen Punkten auf der Lösungskurve durch X 0. Diese Folge ist monoton entlang der Lösung, wenn φ tn (X 0 ) = X n für 0 t 1 < t 2... Sei Y 0, Y 1,... eine endliche Folge von Punkten auf einem Geradenabschnitt I in R 2. Diese Folge ist monoton entlang I, wenn in der natürlichen Ordnung entlang von I Y n zwischen Y n 1 und Y n+1 liegt für alle n 1. Eine Folge von Punkten kann auf dem Schnitt einer Lösungskurve und einem Geradenabschnitt liegen. Die Folge kann auch nur auf einem der beiden monoton sein. Abbildung 4: 2 Beispiele für monotone Folgen, links ist nur die Folge entlang der Lösung monoton, rechts ist die Folge entlang der Lösung und entlang dem lokalen Schnitt monoton Proposition 5.2. Sei S ein lokaler Schnitt für planare Systeme von Dierentialgleichungen und sei Y 0, Y 1,..., eine Folge von disjunkten Punkten auf S, die auf der selben Lösungskurve liegen. Wenn diese Folge monoton entlang der Lösung ist, dann ist sie auch monoton entlang S. Beweis. Es genügt zu prüfen, ob es bei 2 Punkten auf S möglich ist, einen dritten zu setzen, der monoton auf der Lösung ist, aber nicht auf S. Sei D der Bereich, der von der Strecke von Y 0 nach Y 1 und S umschlossen ist (siehe Abbildung 5). Damit zwischen diesen beiden Punkten noch ein dritter gesetzt werden kann, muss der Bereich D erneut betreten werden. Ein lokaler Schnitt kann nur in eine Richtung durchstoÿen werden, also kann D nicht durch S wieder betreten werden. Die 4
5 Stelle von Y 0 nach Y 1 ist selbst Teil einer Lösungskurve und da Lösungskurven eindeutig sind, kann auch auf diesem Weg D nicht wieder betreten werden. Insgesamt kann D also nicht erneut betreten werden, womit gezeigt ist, dass kein dritter Punkt zwischen Y 0 und Y 1 gesetzt werden kann. Abbildung 5: Figur zu Proposition 5.2 Proposition 5.3. Sei in einem planaren System Y ω(x). Dann schneidet die Lösung durch Y jeden lokalen Schnitt in maximal einem Punkt. Dasselbe gilt für Y α(x) Beweis per Widerspruch. Angenommen, Y 1 und Y 2 seien disjunkte Punkte auf der Lösung durch Y und S sei ein lokaler Schnitt, der Y 1 und Y 2 enthält. Weiter sei angenommen, dass Y ω(x) (Argument für Y α(x) ist gleich). Dann ist Y k ω(x) für k = 1,2. Seien υ k Flussboxen an Y k, deniert durch Intervalle J k S. Wir nehmen an, dass J 1 und J 2 disjunkt sind. (siehe Abbildung 6) Abbildung 6: Beweis von Proposition 5.3 Die Lösung durch X betritt jedes υ k unendlich oft, also durchläuft sie J k unendlich oft. So gibt es eine Folge a 1, b 1, a 2, b 2,..., die monoton entlang der Lösung durch X ist mit a n J 1 und b n J 2 für n = 1,2,... Eine solche Folge kann allerdings nicht monoton entlang S sein da J 1 und J 2 disjunkt sind, dies widerspricht der vorherigen Proposition. 6 Satz von Poincaré-Bendixson Satz 6.1. Angenommen, Ω sei eine nichtleere, abgeschlossene und beschränkte Limesmenge eines planaren Systems, die keinen Gleichgewichtspunkt enthält. Dann ist Ω ein periodischer Orbit. Beweis. Idee: Sei Y ω(x), dann zeigen wir zuerst, dass Y auf einem periodischen Orbit γ liegt und dann γ = ω(x) Da Y ω(x), ist ω(y ) eine Untermenge von ω(x) (Proposition 2.4). Nun sei Z ω(y ) und 5
6 S ein lokaler Schnitt in Z und V eine Flussbox, die S zugeordnet ist. Nach Proposition 5.3 trit die Lösung durch Y S in genau einem Punkt. Andererseits gibt es eine Folge t n, sodass φ tn (Y ) Z. Also benden sich unendlich viele φ tn (Y ) in V. Nun gibt es Zeiten r, s R mit r > s und φ r (Y ), φ s (Y ) S. Es folgt, dass φ r (Y ) = φ s (Y ); so gibt es φ r s (Y ) = Y, also muss S auf einem Gleichgewicht oder auf einem periodischen Orbit liegen, da wir die Gleichgewichtslösung allerdings ausgeschlossen hatten, muss S auf einem periodischen Orbit γ liegen. Es bleibt zu zeigen: γ = ω(x), also d(γ, φ t (X)) = 0 für t gegen. Nun sei γ ein periodischer Orbit und S ein lokaler Schnitt in Y γ, ɛ > 0, V ɛ eine Flussbox, die S zugeordnet ist und t 0 < t 1 <... eine Folge sodass: 1. φ tn (X) S 2. φ tn (X) Y 3. φ t (X) / S für t n 1 < t < t n, n = 1, 2... Wenn X n = φ tn (X), dann sind die X n eine monotone Folge in S, welche gegen Y konvergiert (da sie monoton entlang S sein muss, Proposition 5.2). Nun behaupten wir es gebe eine obere Grenze für den Abstand (t n+1 t n ). Um dies zu zeigen nehmen wir φ τ (Y ) = Y, τ > 0. Dann ist für X n, ausreichend nah an Y φ τ (X n ) V ɛ (aber noch nicht in S) und dann φ τ+t (X n ) S für t [ ɛ, ɛ], da dies der Gröÿe der Flussbox entspricht und dann Proposition 3.2 angewandt wird. Daher ist t n+1 t n τ + ɛ Dies beweist die Existenz einer oberen Schranke. Sei β > 0 ausreichend klein. Wegen der stetigen Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsbedingungen, existiert ein δ > 0, sodass, wenn Z Y < δ und t τ + ɛ, dann ist φ t (Z) φ t (Y ) < β. Nun wähle man n 0 so groÿ, dass X n Y < δ für alle n n 0. Dann gilt: falls t τ + ɛ und n n 0. Nun sei t t n0 Dann folgt: φ t (X n ) φ t (Y ) < β und n n 0, sodass: t n t t n+1 d(φ t (X), γ) φ t (X) φ t tn (Y ) = φ t tn (X n ) φ t tn (Y ) < β da t t n τ + ɛ. Dies zeigt, dass für groÿe t der Abstand von φ t (X) zu γ kleiner ist als β. Dies vollendet den Beweis des Satzes von Poincaré-Bendixson. Ein weiteres Beispiel für eine ω-limesmenge, die weder periodischer Orbit, noch Gleichgewichtslösung ist, ist eine homokline Lösung. Um dies zu verstehen denieren wir uns zunächst ein hamilitonisches System und dann die homokline Lösung. Denition 6.2 (Hamilitonisches System). Ein Hamilitonisches System H im R 2 ist ein System der Form x = H (x, y) y y = H (x, y) x wobei H : R 2 R eine unendlich oft stetig dierenzierbare Funktion, genannt die Hamilitonische Funktion, ist. 6
7 Beispiel 6.3. Nehmen wir das folgende Hamilitonische System: Es ergibt sich: H(x, y) = x4 4 x2 2 + y2 2 x = y = yh y = x 3 + x = xh Hamilitonische Systeme sind konstant entlang jeder Lösung des Systems, daher kann man das Phasenportrait zeichnen, ohne das System gelöst zu haben. Denition 6.4 (Homokline Lösung). In einem dynamischen System mit dem Ursprung als Gleichgewichtspunkt heiÿen Lösungen, die sowohl bei fortschreitender Zeit, als auch bei zurückgehender Zeit den Ursprung erreichen, homokline Lösungen. Beispiel 6.5. Nehmen wir das System: x = y ( x4 4 x2 2 + y2 2 )(x3 x) = yh H xh y = x 3 x ( x4 4 x2 2 + y2 )y = xh H yh 2 Durch Nachrechnen zeigt sich, dass es drei Gleichgewichtspunkte gibt: (0,0), (-1,0) und (1,0). Der Ursprung ist ein Sattel, die anderen beiden sind Quellen (siehe Abbildung 7). Nun kann man beobachten, dass Lösungen, die weit weg vom Ursprung sind, sich nahe zum Ursprung und einem Paar homokliner Lösungen, von denen jede den Ursprung verlässt und zurückkommt, bewegen und dort anhäufen. Lösungen, die von einer der Quellen ausgehen haben eine ω-limesmenge, die nur aus einer homoklinen Lösung und dem Ursprung besteht. Abbildung 7: Figur zu Beispiel Anwendungen von Poincaré-Bendixson Satz 6.1 bestimmt alle möglichen Verhalten eines planaren Flusses. Denition 7.1 (Grenzzyklus). Sei γ ein periodischer Orbit, sodass γ ω(x) (bzw. α(x)) für ein X, welches nicht auf γ liegt. Dann heiÿt γ ω-grenzzyklus (bzw. α-grenzzyklus). Bemerkung 7.2. Nicht jeder periodische Orbit ist gleichzeitig ein Grenzzyklus, es gibt auch einige peridische Orbits, an die sich nicht angenähert wird, sondern die von Beginn an erreicht sind, wie zum Beispiel der Einheitskreis bei einigen Funktionen. Korollar Sei γ ein ω-grenzzyklus und γ = ω(x), aber X / γ, dann ist für alle Punkte Y aus der Umgebung von X γ = ω(y ) 7
8 2. Eine abgeschlossene und beschränkte Menge K, die positiv oder negativ invariant ist, enthält entweder einen Grenzzyklus oder eine Gleichgewichtslösung 3. Sei γ ein periodischer Orbit und U das Innere von γ, dann enthält U entweder eine Gleichgewichtslösung oder einen Grenzzyklus 4. Sei γ ein periodischer Orbit, der die Grenze einer oenen Menge U bildet. Dann enthält U einen Gleichgewichtspunkt 5. Sei H ein erstes Integral eines planaren Systems, also d dth(x(t)) = 0. Wenn es keine oene Menge gibt, auf der H konstant ist, dann gibt es keinen Grenzzyklus. 6. Sei L eine strenge Liapunov-Funktion in einem planaren System, also eine Funktion L : R 2 R mit d dt L(x(t)) < 0 dann gibt es keine Grenzzyklen. Beweis. zu 1: Angenommen, φ t (X) bewegt sich gegen γ für t. Sei S ein lokaler Schnitt in Z. Dann gibt es ein Intervall T S, welches disjunkt von γ ist und beschränkt wird durch φ t0 (X) und φ t1 (X), wobei t 0 < t 1 und für ein t mit t 0 < t < t 1, trit es die Lösung nicht (Abbildung 8). Die ringförmige Region A, beschränkt durch γ, {φ t (X) t 0 t t 1 } und T, ist nun positiv invariant. Jetzt denieren wir B = A γ. Fall 1: X B: Es ist einfach zu sehen, dass φ t (Y ) gegen γ läuft für alle Y B. Fall 2: X / B: Hier benutzen wir den Stabilitätssatz aus dem Vortrag "Dynamische Systeme I". γ umschlieÿt ein beschränktes Gebiet. Damit ist φ t (X) Lipschitz-Stetig, was u.a. bedeutet, dass Trajektorien nah beieinander bleiben. Nun muss es hier (Fall 2) eine Zeit t 1 geben, sodass φ t (X) A und es eine Umgebung U von φ t (X) gibt, welche in A liegt. Jetzt muss man nur noch O so klein wählen, dass jede Trajektorie, die in O startet nach Zeit t 1 in U liegt. Abbildung 8: Figur zum Beweis von Korollar 1 zu 2: Sei X K, dann muss ω(x) auch in K liegen. Also muss K entweder ein Gleichgewichtspunkt oder einen Grenzzyklus enthalten. zu 3: Sei D die vereinigte Menge von U und γ (abgeschlossen und beschränkt). Dann ist D invariant, da keine Lösung aus U γ übertreten kann (da abgeschlossen und beschränkt). Wenn U weder Grenzzyklen, noch Gleichgewichtslösungen enthält, dann muss für alle X U gelten: ω(x) = α(x) = γ (nach Poincaré-Bendixson) und es muss einen lokalen Schnitt S in Z geben, sodass es t und s geben muss, wobei φ tn (X), φ sn (X) S und φ tn (X), φ sn (X) Z wenn n. Dies ist aber ein Widerspruch gegen die Aussage aus Kapitel 5 über monotone Folgen. 8
9 zu 4: Angenommen, U enthalte keinen Gleichgewichtspunkt, dann unterscheiden wir in 2 Fälle Fall 1: U enthält endlich viele periodische Orbits, dann gibt es einen kleinsten, der keinen periodischen Orbit (oder Gleichgewichtspunkt, Annahme) enthält, dies widerspricht dem letzten Korollar. Fall 2: U enthält unendlich viele periodische Orbits, wenn dann X n gegen X in U läuft und jedes X n auf einem periodischen Orbit liegt, muss auch X auf einem periodischen Orbit liegen, sonst gäbe es einen Grenzzyklus und das widerspräche Korollar 1. Sei nun v 0 die gröÿte untere Schranke an die Fläche der Gebiete, die von Orbits in U umschlossen sind. Sei {γ n } eine Folge von periodischen Orbits, die Gebiete der Fläche v n umschlieÿen, sodass lim n v n = v. Sei X n γ n. Da γ vereinigt U abgeschlossen und beschränkt ist, dürfen wir annehmen, dass X n X U. Dann liegt X, da U keine Gleichgewichtslösung enthält (Annahme), auf einem periodischen Orbit β, der ein Gebiet der Fläche v umschlieÿt. Nun muss v > 0, da es nach Annahme kein Gleichgewichtspunkt sein kann. Dadurch, dass die Folge konvergiert, müssen die einzelnen Startwerte in einer Flussbox liegen und da es unendlich viele Orbits sind, müssen auch unendlich viele ineinander liegen, sie können nicht so in unterschiedliche Richtungen verlaufen, dass sie mit nur endlich vielen ineinander liegen und dann zeigt das gewöhnliche Schnittargument, dass für n, γ n beliebig nah gegen β geht und, dass die Fläche des Gebietes zwischen γ n und β, gegeben durch v n v, gegen 0 konvergiert. Dann beweist das vorherige Argument einen Widerspruch zu Korollar 3. zu 5: Angenommen, es gäbe einen Grenzzyklus γ. Sei c R der konstante Wert von H auf γ. Wenn X(t) eine an γ herangehende Lösung ist, dann ist H(X(t)) c wegen der Stetigkeit von H. Nach Korollar 1 nden wir dann eine oene Menge mit Lösungen, die an γ herangehen; also ist H konstant auf einer oenen Menge. zu 6: Eine strenge Liapunov-Funktion ist streng monoton fallend, dann kann kein Punkt, auch im Unendlichen, doppelt vorkommen, also kann es auch keine Grenzzyklen geben (da Grenzzyklen irgendwann immer bei einem Punkt ankommen, bei dem sie schonmal waren) 8 Chemische Reaktionen, die oszillieren Lange Zeit dachte man in der Chemie, dass alle chemischen Reaktionen monoton gegen ein Gleichgewicht laufen, doch in den 1950er Jahren hat der russische Biochemiker Belousov eine Reaktion zwischen Zitronensäure, Bromat-Ionen und Schwefelsäure, kombiniert mit einem Cer-Katalysator, entdeckt, die lange oszilliert, bevor sie ein Gleichgewicht erreicht. Das Gebräu wechselt sehr lange Zeit den Farbton zwischen gelb und farblos. Die Reaktion heiÿt Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (kurz: BZ-Reaktion) und ist ein groÿer Wendepunkt in der Chemie. Inzwischen sind sehr viele solche oszillierende Gleichungen bekannt, auch einige, die deutlich chaotischer ablaufen. Ein einfaches Beispiel einer solchen Gleichung wollen wir uns hier anschauen: Die Wechselwirkung von Chlordioxid-Iod-Malonsäure. Die Formel ist zwar sehr kompliziert, aber es gibt folgende approximative Gleichung, die sehr einfach zu lösen ist: x = a x 4xy 1 + x 2 y = bx(1 y 1 + x 2 ) 9
10 wobei x und y die Konzentrationen von I und CIO2 Parameter. repräsentieren und a und b seien positive Nun kann man ganz grob in vier Fälle unterscheiden. Diese vier Fälle sind auch in Abbildung 9 zu sehen. 5 Fall 1: a 0, b 0, a > 5 3, b = 3 5 a 25 a, Fall 2: a 0, b 0, sonst, Fall 3: a = 0, b 0, Fall 4: a 0, b = 0. Hier kann man nun unterschiedliche Verhalten beobachten: Fall 1: Der Fall, der uns hier am meisten interessiert. Es bildet sich ein Periodischer Orbit um den Punkt mit x = a 5 und y = 1 + x2 Fall 2: Bei x = a 5 und y = 1 + x2 ist ein Gleichgewicht, um welches die Lösungen sich annährend winden und es dann irgendwann erreichen. Fall 3: Hier sind alle Punkte mit x = 0, also die gesamte y-achse Gleichgewichtspunkte, auch hier nähern sich die Kurven an, aber direkter. Fall 4: Hier werden ähnliche Gleichgewichtspunkte erreicht wie in Fall 1, allerdings ist aufgrund von b = 0 jegliche Steigung weg und erst recht gibt es keine periodischen Lösungen zu beobachten. Abbildung 9: Hier haben wir die 4 Fälle alle nebeneinander. Von links nach rechts wie folgt: Fall 1: a = 7, b = 22 35, es bildet sich eine periodische Lösung um den Punkt ( 7 5, ); Fall 2: a = 5, b = 4, Die Kurven laufen alle in das Gleichgewicht bei (1,2); Fall 3: a = 0, b = 4, jeder Punkt auf der y-achse ist eine Gleichgewichtslösung; Fall 4: a = 5, b = 0, die Gleichgewichtspunkte verlaufen auf einer Kurve, jegliche Steigung wurde genommen Abschlieÿend kann man hier also betrachten, dass die Parameter a und b ziemlich ausschlaggebend für den Verlauf der Reaktion sind, auÿerdem erreichen die Kurven unterschiedlich schnell das Gleichgewicht bzw. erreichen bei perfekten Bedingungen überhaupt kein Gleichgewicht, diese Zeit, nach der (wenn überhaupt) die Funktion nicht mehr oszilliert, ist abhängig sowohl vom Mischverhältnis, als auch von der Menge der beiden Stoe I und CIO 2. 10
Der Satz von Poincaré-Bendixson
Der Satz von Poincaré-Bendixson Benjamin Menüc benjamin@menuec.de 5. März 2005 Wir haben ein autonomes System ẋ = f(x) (1) E ist eine oene Teilmenge von R n und f C 1 (E). E wird auch Phasenraum von (1)
MehrSeminar Gewöhnliche Differentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden
MehrKlassifikation planarer Systeme
Klassifikation planarer Systeme Dieser Vortrag thematisiert die Klassifikation planarer Systeme. Man klassifiziert planare Systeme um einen besseren Überblick über die verschiedenen Verhaltensweisen von
MehrGewöhnliche Dierentialgleichungen
Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat
MehrDynamische Systeme eine Einführung
Dynamische Systeme eine Einführung Seminar für Lehramtstudierende: Mathematische Modelle Wintersemester 2010/11 Dynamische Systeme eine Einführung 1. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 2. Flüsse,
MehrDas Singularitätentheorem von Hawking Teil 2
Das Singularitätentheorem von Hawking Teil Jakob Hedicke 0.06.06 In diesem Vortrag werden wir den Beweis des Singularitätentheorems von Stephen Hawking vervollständigen. Im letzten Vortrag wurde bereits
MehrÖkologische Gleichungen für zwei Spezies
Ökologische Gleichungen für zwei Spezies Florian Kern 06.Dezember 2011 Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge, Kapitel 4 Inhaltsverzeichnis 1 Satz von der
Mehr12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
MehrUnterricht 13: Wiederholung.
, 1 I Unterricht 13: Wiederholung. Erinnerungen: Die kleinen Übungen nden diese Woche statt. Zur Prüfung müssen Sie Lichtbildausweis (Personalausweis oder Reisepass) Studierendenausweis mitbringen. I.1
MehrWendepunkte. Jutta Schlumberger
Wendepunkte Jutta Schlumberger Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser Ausarbeitung
MehrTopologie metrischer Räume
Technische Universität München Christoph Niehoff Ferienkurs Analysis für Physiker Vorlesung Montag SS 11 In diesem Teil des Ferienkurses beschäftigen wir uns mit drei Themengebieten. Zuerst wird die Topologie
MehrKapitel 11: Anwendung in der Biologie
Kapitel 11: Anwendung in der Biologie 1. Einführung: In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Anwendung von Differentialgleichungen in der Biologie beschäftigen und dort unser bisher erlangtes Wissen anwenden.
Mehr110 3 Autonome Systeme
110 3 Autonome Systeme 3.2 Trajektorien Eine besonders wichtige Konsequenz der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Translationsinvarianz ist, dass sich die Lösungen autonomer Systeme in einer im Vergleich
MehrFlüsse, Fixpunkte, Stabilität
1 Flüsse, Fixpunkte, Stabilität Proseminar: Theoretische Physik Yannic Borchard 7. Mai 2014 2 Motivation Die hier entwickelten Formalismen erlauben es, Aussagen über das Verhalten von Lösungen gewöhnlicher
MehrLS Informatik 4 & Funktionen. Buchholz / Rudolph: MafI 2 88
4. Funktionen Buchholz / Rudolph: MafI 2 88 Kapitelgliederung 4.1 Grundlegende Denitionen 4.2 Polynome und rationale Funktionen 4.3 Beschränkte und monotone Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen 4.5
MehrDer Duffing-Oszillator
11.04.2006 Inhalt Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile Ruhelagen. Inhalt Erwartung im stationären Fall: eine instabile Ruhelage, zwei asymptotisch stabile
MehrBasisprüfung, Gruppe A Analysis I/II
Offene Aufgaben. Jeder der folgenden sieben offenen Aufgaben ist eine einzelne thematisch verwandte Single Choice-Aufgabe vorangestellt. Beantworten Sie die Single Choice Aufgabe auf dem Antwortzettel.
MehrDie Weierstaÿ'sche -Funktion
Die Weierstaÿ'sche -Funktion Kapitel : Konstruktion Motivation: Ziel dieses Kapitels ist es ein möglichst einfaches Beispiel für eine elliptische Funktion zu nden.wir wissen bereits, dass keine elliptische
MehrMAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.
1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine
MehrBachelorarbeit im Lehrgebiet Analysis
Fakultät für Mathematik und Informatik der FernUniversität Hagen Bachelorarbeit im Lehrgebiet Analysis Der Satz von Poincaré-Bendixson und Anwendungen von Juliane Lebert Matrikelnummer: 8917132 am 17.
MehrLösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.
Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )
MehrEbene algebraische Kurven
Ebene algebraische Kurven Tangenten und Singularitäten Meyrer Claudine 4. November 010 Inhaltsverzeichnis 1 Lokale Eigenschaften an-algebraischer Kurven (in C ) 1.1 Denitionen..............................
MehrIntervallaustauschtransformationen, Flüsse und das Lemma von Masur
Intervallaustauschtransformationen, Flüsse und das Lemma von Masur Gregor Bethlen 1 Intervallaustauschtransformationen Stets sei in diesem Abschnitt I := [a, b] ein Intervall und a = a 0 < a 1
Mehr12. Trennungssätze für konvexe Mengen 83
12. Trennungssätze für konvexe Mengen 83 C_1 C_2 a Abbildung 12.4. Trennung konvexer Mengen durch eine Hyperebene mit Normalenvektor a Dann ist int(c) nicht leer (warum?) und [als Minkowski-Summe von C
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. M. Keyl M. Kech TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) MA923 http://www-m5.ma.tum.de/allgemeines/ma923 216S Sommersem. 216 Lösungsblatt 3 (29.4.216)
MehrSeltsame Attraktoren
1 Seltsame Attraktoren Proseminar: Theoretische Physik Jonas Haferkamp 9. Juli 2014 Abbildung: Poincaré-Schnitt der Duffing-Gleichungen 2 3 Gliederung 1 Motivation 2 Was ist ein (seltsamer) Attraktor?
MehrSchwartz-Raum (Teil 1)
Schwartz-Raum (Teil 1) Federico Remonda, Robin Krom 10. Januar 2008 Zusammenfassung Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der besondere Regularitätseigenschaften besitzt, die uns bei der Fouriertransformation
MehrBeispiel: Evolution infizierter Individuen
Differentialgleichungen sind sehr nützlich in der Modellierung biologischer Prozesse, denn: damit kann man auch sehr komplizierte Systeme beschreiben die Mathematik liefert mit der gut entwickelten Theorie
MehrZusammenfassung Analysis 2
Zusammenfassung Analysis 2 1.2 Metrische Räume Die Grundlage metrischer Räume bildet der Begriff des Abstandes (Metrik). Definition 1.1 Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge
MehrTopologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen
Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen
MehrTechnische Universität München. Aufgaben Mittwoch SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 2 für Physiker Aufgaben Mittwoch SS 2012 Aufgabe 1 Äquivalente Aussagen für Stetigkeit( ) Beweisen Sie folgenden Satz: Seien X und Y metrische
MehrSatz: Eine Funktion f ist monoton wachsend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) < 0 x ]a, b[
Monotonie und erste Ableitung: Satz: Eine Funktion f ist monoton wachsend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt: f (x) 0 x ]a, b[ Eine Funktion f ist monoton fallend auf einem Intervall ]a, b[, wenn gilt:
Mehr3. Mai Zusammenfassung. g x. x i (x).
3. Mai 2013 Zusammenfassung 1 Hauptsatz Satz 1.1 Sei F C 1 (D) für eine offene Teilmenge D von R q+1 = R q R. Für (x 0, u 0 ) D gelte F (x 0, u 0 ) = 0, (x 0, u 0 ) 0. Dann gibt es eine Umgebung V von
MehrLösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3
Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen
MehrAbbildung 5.1: stabile und instabile Ruhelagen
Kapitel 5 Stabilität Eine intuitive Vorstellung vom Konzept der Stabilität vermitteln die in Abb. 5.1 dargestellten Situationen. Eine Kugel rollt unter dem Einfluss von Gravitation und Reibung auf einer
MehrAufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010
Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-
MehrDie reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Steven Klein
Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen Steven Klein 04.01.017 1 In dieser Ausarbeitung konstruieren wir die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Hierzu denieren wir zunächst
MehrMusterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1
Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt Teil von Martin Fabricius Aufgabe a) Diese Aufgabe kann z. B. durch ausmultiplizieren gelöst werden: (433) 7 = 4 7 3 +3 7 + 7 +3 7 0 = 4 343+3 49+ 7+3 = 37+47+4+3
MehrDer Satz von Stone-Weierstraÿ
Gregor Matuschek Der Satz von Stone-Weierstraÿ Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis I (Sommersemester 009, Leitung Prof. Eberhard Freitag) Zusammenfassung: Wir kennen bereits den Approximationssatz
MehrMathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis
Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis Funktionen, Stetigkeit Dierentialrechnung Funktionen mit mehreren Variablen Integralrechnung Dierentialgleichungen Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
Mehr1 Angeordnete Körper und Anordnung
1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.
MehrWeitere Interessante Funktionen
Weitere Interessante Funktionen Pascal Wagner Ausarbeitung zum Vortrag im PS Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser
Mehr3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung
Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrHöhere Mathematik III
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math. K. Sanei Kashani Blatt 5 Höhere Mathematik III el, kb, mecha, phs Vortragsübungen (Musterlösungen) 7..4 Aufgabe
MehrKapitel 5 (Ebene autonome Systeme) Abschnitt 5.1 (Reduktion auf skalare Di.gleichungen)
Abschnitt 5.1 Reduktion auf skalare Differenzialgleichungen 33 Kapitel 5 Ebene autonome Systeme Abschnitt 5.1 Reduktion auf skalare Di.gleichungen Aufgabe 1, Seite 190 Das gegebene System besitzt oensichtlich
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrWiederholung der zweiten Schularbeit Mathematik Klasse 7D WIKU am
Wiederholung der zweiten Schularbeit Mathematik Klasse 7D WIKU am 22.12.2014 SCHÜLERNAME: Punkte im ersten Teil: Punkte im zweiten Teil: Davon Kompensationspunkte: Note: Notenschlüssel: Falls die Summe
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
Mehrist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch i y i i=1
24 14 Metrische Räume 14.1 R n als euklidischer Vektorraum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der skalaren Multiplikation x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx
MehrNewton-Verfahren und Komplexe Dynamik I
Johannes Gutenberg-Universität Mainz Institut für Mathematik, FB08 Hauptseminar: Eine Einladung in die Mathematik Newton-Verfahren und Komplexe Dynamik I Paul Klimek betreut von Prof. Dr. Mária Lukácová-Medvidová
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
MehrProbeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen
MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass
MehrAnalysis I. Vorlesung 19
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 19 In dieser Vorlesung untersuchen wir mit Mitteln der Differentialrechnung, wann eine Funktion f: I R, wobei I R ein Intervall ist, (lokale)
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
Mehr11 Logarithmus und allgemeine Potenzen
Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den
MehrKapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C
Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0
MehrProseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen
Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen
Mehr22 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN. Um zu zeigen, dass diese Folge nicht konvergent ist, betrachten wir den punktweisen Limes und erhalten die Funktion
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Um zu zeigen, dass diese Folge nicht konvergent ist, betrachten wir den punktweisen Limes und erhalten die Funktion 1 für 0 x < 1 g 0 (x) = 1 1 für < x 1. Natürlich gibt dies von
MehrDarstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen
Kapitel 8 Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Wir hatten im Beispiel 5. gesehen, dass die Wärmeleitungsgleichung t u u = f auf Ω (0, ) (8.1) eine parabolische Differentialgleichung
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2) treten in vielen Algorithmen auf: Eine Rekursion ist eine Folge von Zahlen a 0, a 1, a 2,.., bei der jedes a n aus seinen Vorgängern berechnet wird: Beispiele a n =
MehrJacobifelder und konjugierte Punkte
Jacobifelder und konjugierte Punkte Vortrag Seminar ierentialgeometrie TU ortmund eingereicht bei Prof. r. L. Schwachhöfer vorgelegt von Melanie Voss Sommersemester 211 Vortrag 7, am 17.5.211 1 Einleitung/Wiederholung
Mehrden Satz von Poincaré-Bendixson.
Seminar zu Geometrie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen Der Satz von Poincaré-Bendixson bearbeitet von Rodrigo Menendez Zusammenfassung Fragen des Langzeitverhaltens und der Stabilität spielen in
MehrAnalytische Geometrie I
Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend
MehrElemente in Φ werden Wurzeln genannt. Bemerkung 3.2. (a) Zu einem Wurzelsystem können wir immer eine Spiegelungsgruppe definieren
3. Wurzelsysteme Als erstes führen wir den Begriff eines Wurzelsystems ein. Definition 3.1 (Wurzelsystem). Eine endliche Teilmenge Φ V {0} heißt Wurzelsystem falls gilt: (R1) Φ Rα = {±α} für α Φ, (R2)
MehrRegulär variierende Funktionen
KAPITEL 4 Regulär variierende Funktionen Unser nächstes Ziel ist es, die Max-Anziehungsbereiche der Extremwertverteilungen zu beschreiben. Dies wird im nächsten Kapitel geschehen. Wir haben bereits gesehen,
Mehr1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:
Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere
MehrErwartungswert. j=1. Beweis. Wegen der Voraussetzung nimmt die Zufallsvariable X nur endlich
Erwartungswert Naiv stellt man sich unter dem Erwartungswert einer Zufallsvariablen X Folgendes vor. Man führt das Experiment n-mal durch und bestimmt den Mittelwert (arithmetisches Mittel) der dabei für
MehrAblauf. 1 Imitationsdynamik. 2 Monotone Auszahlung. 3 Entscheidung gegen iterativ dominierte Strategien. 4 Beste-Antwort-Dynamik 2 / 26
Spieldynamik Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge, Kap. 8 Simon Maurer Saarbrücken, den 13.12.2011 1 / 26 Ablauf 1 Imitationsdynamik 2 Monotone Auszahlung
MehrAnalysis I. Guofang Wang Universität Freiburg
Universität Freiburg 13.1.016 Zwischenwertsatz und klassische Funktionen In diesem Abschnitt haben wir es mit Funktionen zu tun, die auf einem Intervall definiert sind. Eine Menge I R ist genau dann ein
MehrDie von Neumannsche Ungleichung
Die von Neumannsche Ungleichung Dominik Schillo 12. November 2012 Satz (Die von Neumannsche Ungleichung) Seien p C[z] ein Polynom in einer Variablen und T L(H) eine Kontraktion (d.h. T 1). Dann gilt: p(t
MehrGleichgewicht in nichtlinearen Systemen
Gleichgewicht in nichtlinearen Systemen 15.Juni.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Einleitende Beispiele 1 3 Nichtlineare Quellen und Senken 4 4 Nichtlineare Sättel 6 5 Stabilität und Gradientensysteme
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis
Übungsaufgaben 3. Übung: Woche vom 27. 10. bis 31. 10. 2010 Heft Ü1: 3.14 (c,d,h); 3.15; 3.16 (a-d,f,h,j); 3.17 (d); 3.18 (a,d,f,h,j) Übungsverlegung für Gruppe VIW 05: am Mo., 4.DS, SE2 / 022 (neuer Raum).
MehrExkurs: Method of multiple scales (Mehrskalen Methode)
Exkurs: Method of multiple scales (Mehrskalen Methode) dr. karin mora* Im folgenden betrachten wir nichtlineare dynamische Systeme (NDS) mit sogenannten kleinen nichtlinearen Termen. Viele mathematische
MehrBASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II
ETH Zürich Sommer 015 Dr. Ana Cannas BASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften 1. Sei a) Ist das System lösbar? b) Lösen Sie das System
MehrFILTER, ULTRAFILTER UND EINFÜHRUNG VON R
FILTER, ULTRAFILTER UND EINFÜHRUNG VON R Im Sinne von G.W.Leibniz ist: Eine Kurve besteht aus unendlich vielen unendlich kurzen Stücken. So darf man denken, wenn man Gegenstände der Mathematik oder Physik
MehrUniversität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla
Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Sätze über Konvexität von Kapitel 4.7 bis 4.10 Theorem 4.7-1. Sei U ein konvexer Unterraum eines normierten Vektorraums. Dann
MehrBelousov-Zhabotinskii Oszillierende Reaktionen
Belousov-Zhabotinskii Oszillierende Reaktionen Aline Brost 08. Januar 2013 Quelle: J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer Gliederung 1 Die Belousov-Reaktion und
MehrAufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009 Übung 11 Einleitung Es wird eine 15-minütige Mikroklausur geschrieben. i) Sei D R oderd C. Wann heißt
MehrSkalare Differenzialgleichungen
3 Skalare Differenzialgleichungen Differenzialgleichungen stellen eine Beziehung her zwischen einer oder mehreren Funktionen und ihren Ableitungen. Da Ableitungen Veränderungen beschreiben, modellieren
MehrDer Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion
Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Christoph Jansen Institut für Statistik, LMU München Formalisierungspropädeutikum 5. Oktober 2016 1 / 24 Allgemeiner Funktionsbegri Eine Funktion f ist
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrAnalysis 1 für Informatiker (An1I)
Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 3 Der Axiator Eigenschaften des Axiators Bestimmung des Kegelschnitts Geometrische Betrachtungen Dualer Kegelschnitt Pol-Polare
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
MehrFolgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
MehrÜbungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion
Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Um die hier gestellten Aufgaben zu lösen brauchen wir ein wenig Kentnisse über das Infimum bzw. Supremum einer Menge.
MehrVorwissen Lineare Modelle zweier Bevölkerungen
Reiser Stephan 1 Ablauf Vorwissen Lineare Modelle zweier Bevölkerungen Das Konkurrenzmodell von Volterra Ein allgemeineres Konkurrenzmodell Periodische Bahnen für die allgemeine Volterra-Lotka- Gleichung
Mehr(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.
8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =
MehrÜbungen zu Grundlagen der Mathematik 2 Lösungen Blatt 12 SS 14. Aufgabe 44. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome der Funktion.
Übungen zu Grundlagen der Mathematik Lösungen Blatt 1 SS 14 Prof. Dr. W. Decker Dr. M. Pleger Aufgabe 44. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome der Funktion f : U R, (x, y) x y x + y, im Punkt (1, 1) bis einschließlich.
MehrKapitel 7. Topologische Äquivalenz. 7.1 Strukturelle Stabilität
Kapitel 7 Topologische Äquivalenz 7.1 Strukturelle Stabilität Wir betrachten in diesem Abschnitt C 1 -Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten, oder aber Lipschitz stetige Vektorfelder auf einem Gebiet
MehrAnalysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
MehrSeminararbeit zum Seminar aus reiner Mathematik
Seminararbeit zum Seminar aus reiner Mathematik Gudrun Freidl, Julia Schönhart Vortrag am 12.12.2012 1 In dieser Seminararbeit wollen wir den Beginn des 3. Kapitels des Buches Projektive Geometrie behandeln.
MehrMusterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
Mehr