Populations Modelle Das Lotka-Volterra Model. Robin Gwinner Seminarleiterin: Dr. Iryna Rybak

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1 Populations Modelle Das Lotka-Volterra Model Robin Gwinner Seminarleiterin: Dr. Iryna Rybak

2 Motivation Rote Liste:

3 Motivation Rote Liste:

4 Motivation Rote Liste:

5 Motivation

6 Motivation

7 Motivation > Bestandsgröße > Auswirkungen des Fischfangs auf die Populationen

8 Motivation > Bestandsgröße > Auswirkungen des Fischfangs auf die Populationen Differentialgleichungen

9 Übersicht Grundlagen: Differentialgleichungen Wachstum nach Malthus und Verhulst Interaktionen in Populationen Entdimensionalisierung/Skalierung Stabilität Stabilitätsüberprüfung und Lösungsfindung Räuber-Beute Model / Lotka-Volterra Model am Beispiel der optimalen Fischfangquote

10 Grundlagen Betrachte eine gewöhnliche DGL n u = f (u) ; n f : ℝ ℝ stetig, du u = dt (1) Dann heißt u(t) Lösung der DGL auf dem Intervall J ℝ, falls n u : J ℝ stetig differenzierbar und u (t) = f (u (t)) t J Und Lösung des AWP u = f (u) falls zusätzlich u (t o)=u0 u (t o)=u0 wobei u 0 ℝ n und t 0 J

11 Grundlagen Satz von Picard-Lindelöf: Sei u = f (u), u (t o)=u0 und f (u) lokal Lipschitz-stetig, dann existiert ein δ>0 und genau eine Lösung des AWP's auf dem Intervall J =( t 0 δ, t 0 +δ ) Lösungen können sich nicht schneiden!

12 Grundlagen Definition: Equilibrium/Gleichgewichtspunkt Eine Nullstelle u* ℝ n der Funktion f(u) heißt Equilibrium oder Gleichgewicht. Denn u (t, u*)= f (u* )=0 f (u* )=0 u(t, u *) u *

13 Grundlagen Definition: Invariante Mengen Sei u (t, u0 ) ℝn die Lösung des AWP's u (t )= f (u) und u (0)=u 0 mit dem maximalen Existenzintervall J =( t (u 0),t + (u 0)) und f : ℝ n ℝ n Eine Teilmenge D ℝ n heißt invariant, falls gilt: u 0 D u(t,u 0) D t J Positiv invariant Aussage gilt für (0, t + (u0)) Negativ invariant Aussage gilt für (t ( u0 ),0) Bemerkung: D und D Ist D invariant so auch D. Ist D invariant so auch.

14 Wachstum nach Malthus Ziel jeder Modellierung ist es den Bestand N(t) einer Population vorausberechnen zu können, dabei gilt N (t) ℕ Kontinuierliche Größe: N (t) Wähle N * und setze u (t)= N* Somit ist u (t) ℕ0 \ N *, aber für große N * kann man u(t) als kontinuierlich annehmen.

15 Wachstum nach Malthus Thomas Malthus (1798) Die Änderung einer Population sollte stets vom momentanen Bestand abhängig sein. u = f (u)=: g (u) u g(u) wird dabei als Wachstumsrate bezeichnet. β : Geburtsrate μ : Sterberate Somit ist die zeitliche Änderung von u(t) gegeben als u (t) = (β μ )u (t), t 0, u(0)=u0

16 Wachstum nach Malthus Malthus nahm an, dass β und μ konstant sind u (t ) = e(β μ)t u0, t 0

17 Wachstum nach Malthus Malthus nahm an, dass β und μ konstant sind u (t ) = e(β μ)t u0, Diskussion zu Beginn des 19. Jahrhunderts t 0

18 Wachstum nach Verhulst Verhulst verbesserte dieses Modell ca und führte einen zusätzlichen Term ein 2 u (t ) u (t ) = (β μ)( u(t) ) u Mit λ 0 = (β μ) ergibt sich u u = λ 0 u (1 ) u wobei u Kapazität der Population genannt wird. Die Lösungen lassen sich explizit angeben: u (t) = u0u λ 0 t u0 +(u u0 )e, t 0

19 Wachstum nach Verhulst

20 Wachstum nach Verhulst Satz über die Logistik Gilt f(u) = ug(u), g stetig differenzierbar auf (0, u ), sowie g(u) < 0 in ( u, ). Dann existieren die Lösungen u(t, u 0) von u = f (u)=: u g ( u), t 0, ℝ + mit g(u) > 0 in u(0)=u 0>0 für alle t 0 und es gilt lim u(t, u0 ) = u t u 0>0

21 Interaktionen in Populationen Die allgemeine Form wird beibehalten Es gibt so viele Gleichungen, wie es Arten in der Population gibt wir beschränken uns zunächst auf zwei Arten in der Population Somit sieht das allgemeine System wie folgt aus: x 1(t ) = g 1 ( x1 (t ), x 2 (t)) x1 (t ), x 2 (t ) = g 2 ( x1 (t ), x 2 (t)) x 2(t ), t 0, t 0, x1 (0) = x 01 x 2 (0) = x02

22 Interaktionen in Populationen Interaktion hat drei grundlegende Formen: 1. Konkurrenz 2. Kooperation 3. Räuber-Beute Beziehung Diese drei Formen unterscheiden sich nur anhand der Funktionen g i ( x1, x 2), welche spezielle Bedingungen für die einzelnen Formen erfüllen muss.

23 Interaktionen in Populationen Konkurrenz: Beide Arten verhalten sich logistisch Die eine Art wird durch die andere Art, bezüglich der Nahrungsquellen, beeinträchtigt

24 Interaktionen in Populationen Konkurrenz: Beide Arten verhalten sich logistisch Die eine Art wird durch die andere Art, bezüglich der Nahrungsquellen, beeinträchtigt Somit ergeben sich folgende Funktionen g i : g 1 ( x 1, x 2) = a1 b1 x 1 c 1 x 2 g 2 ( x1, x 2) = a 2 b 2 x 2 c 2 x 1 und wir erhalten das System: x 1 (t) = [a 1 b1 x 1 (t ) c 1 x 2 (t )] x1 (t ), x 2 (t) = [a 2 b2 x 2 (t ) c 2 x 1 (t)] x 2 (t), mit a i, b i, c i postiven Konstanten. t 0, t 0, x 1 (0)= x01 x 2 (0)=x 02

25 Interaktionen in Populationen Kooperation: Beide Arten verhalten sich logistisch Existenz der anderen Art begünstigt eigene Überlebenschancen

26 Interaktionen in Populationen Kooperation: Beide Arten verhalten sich logistisch Existenz der anderen Art begünstigt eigene Überlebenschancen Somit ergeben sich folgende Funktionen g i : g 1 (x 1, x 2) = a1 b1 x 1+c 1 x 2 g 2 ( x1, x 2) = a 2 b 2 x 2+c 2 x 1 und wir erhalten das System: x 1 (t ) = [a 1 b1 x 1 (t)+c1 x 2 (t )] x1 (t ), x 2 (t ) = [a 2 b2 x 2 (t)+c 2 x 1( t)] x 2 (t), mit a i, b i, c i positive Konstanten t 0, t 0, x 1 (0)=x 01 x 2 (0)=x 02

27 Interaktionen in Populationen Räuber-Beute: x sei die Beute und x die Räuber Population 1 2 Die Räuber dezimieren die Beute, jedoch erhöht eine zahlreiche Beute auch die Überlebenschancen der Räuber Hier gibt es zwei Szenarien.

28 Interaktionen in Populationen Räuber-Beute: x sei die Beute und x die Räuber Population 1 2 Die Räuber dezimieren die Beute, jedoch erhöht eine zahlreiche Beute auch die Überlebenschancen der Räuber Hier gibt es zwei Szenarien. Erstes Szenario: x 1 ist einzige Nahrungsquelle der Räuber g 1 (x 1, x 2) = a1 b1 x 1 c 1 x 2 mit a i, b i, c i positive Konstanten g 2 ( x1, x 2) = a 2 b 2 x 2+c 2 x 1

29 Interaktionen in Populationen Zweites Szenario: x 1 ist die bevorzugte, aber nicht die einzige Nahrungsquelle logistisches Wachstum beider Arten

30 Interaktionen in Populationen Zweites Szenario: x 1 ist die bevorzugte, aber nicht die einzige Nahrungsquelle logistisches Wachstum beider Arten g 1 (x 1, x 2) = a1 b1 x 1 c 1 x 2 g 2 ( x1, x 2) = a 2 b 2 x 2+c 2 x 1 Dies führt auf das System: x 1 (t ) = [a 1 b1 x1 (t ) c 1 x 2 (t)] x 1 (t ), x 2 (t) = [a 2 b2 x 2 (t )+c 2 x 1(t )] x 2 (t ), t 0, t 0, x1 (0)=x 01 x 2 (0)=x 02 wobei a 1, bi, ci positive Konstanten sind und a 2 ℝ

31 Interaktionen in Populationen Hieraus ergibt sich, mit passender Wahl der Konstanten, das klassische Räuber-Beute Model nach Volterra und Lotka. b1 =b2 =0, c i>0 und x 1 (t ) = [a 1 c 1 x 2 (t )] x 1 (t), x 2 (t ) = [a 2 + c 2 x 1 (t )] x 2 (t ), a 1>0, a 2<0 t 0, t 0, x1 (0)=x 01 x 2 (0)=x 02

32 Interaktionen in Populationen T Allgemein besteht eine Population aus n Arten. x (t)=( x1 (t),..., x n (t)) Die Wachstumsrate g k ist von allen x k abhängig: Es gilt x k (t ) = f k ( x ) = x k (t ) g k ( x (t )), Typisches Beispiel für g k : t 0, x k (0)=x 0k, k =1,..., n g k (x ) = a k b k x k + c kl x l l k (*)

33 Interaktionen in Populationen T Allgemein besteht eine Population aus n Arten. x (t)=( x1 (t),..., x n (t)) Die Wachstumsrate g k ist von allen x k abhängig: Es gilt x k (t ) = f k ( x ) = x k (t ) g k ( x (t )), Typisches Beispiel für g k : t 0, x k (0)=x 0k, k =1,..., n (*) g k (x ) = a k b k x k + c kl x l l k Satz: n n n Sei g : ℝ ℝ stetig differenzierbar. Dann besitzt (*) zu jedem x o ℝ + n genau eine Lösung x (t, x o ) in ℝ + auf einem maximalen Existenzn J ( x ):=(t ( x ),t ( x )) 0 intervall. Außerdem ist (0, ) eine ino variante Menge und für x 0k >0, k =1,..., n folgt x k (t )>0 t J ( x 0).

34 Entdimensionalisierung/Skalierung Entdimensionalisierung ist die teilweise oder vollständige Entfernung von physikalischen Einheiten in Gleichungen durch Substitution der Variablen. Skalierung ist eine besondere Form der Entdimensionalisierung, hierbei wird der gemessene Wert mit einem Standardwert kalibriert. Alle Messungen geschehen relativ zu diesem Wert und die Messwerte erhält man durch Skalierung mit dem Standardwert.

35 Entdimensionalisierung/Skalierung Konkurrenz: u ( τ) = [1 λ1 u ( τ) v ( τ)]u ( τ), v ( τ) = [μ λ 2 v( τ ) u( τ )]v( τ ), τ 0, u (0)=u 0 τ 0, v (0)=v 0 Kooperation: u ( τ) = [1 λ1 u (τ) + v (τ)]u (τ), v (τ) = [μ λ 2 v(τ ) + u( τ )]v(τ ), τ 0, u (0)=u 0 τ 0, v (0)=v 0 Räuber-Beute: u ( τ) = [1 λ1 u ( τ) v (τ)]u (τ), v (τ) = [μ λ 2 v( τ ) + u( τ )]v(τ ), τ 0, u (0)=u 0 τ 0, v (0)=v 0

36 Stabilität Definition: Stabilität Sei u* ℝ n ein Equilibrium. Dann heißt u* 1. Stabil, wenn es zu jedem ϵ>0 ein δ>0 gibt, sodass u 0 Bδ (u *) u(t, u 0) B ϵ (u*) t 0 2. Instabil, wenn u* nicht stabil ist 3. Attraktiv, wenn es ein δ0 >0 gibt, sodass t + = und lim u(t, u0 )=u*, t u 0 Bδ (u *) 0 4. Asymptotisch stabil, wenn u* stabil und attraktiv ist.

37 Stabilität Linearisierung: Sei u* ein Equilibrium der DGL u (t )= f (u), dann lässt sich das System folgendermaßen linearisieren f (u)= f (u*)+df (u* )(u u* )+o ( u u * ) f (u*)=0 Mit der Wahl von z(t) = u(t) - u* gilt z (t )=u (t) und es folgt z (t )=Df (u *) z (t)=az (t)

38 Stabilität Satz: (i) Ein Equilibrium u* des Systems u (t )= f (u) ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Jacobi-Matrix Df (u *) negativen Realteil besitzen. (ii) Hat mindestens ein Eigenwert einen positiven Realteil, so ist das Equilibrium u* instabil.

39 Stabilität Satz: (i) Ein Equilibrium u* des Systems u (t )= f (u) ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Jacobi-Matrix Df (u *) negativen Realteil besitzen. (ii) Hat mindestens ein Eigenwert einen positiven Realteil, so ist das Equilibrium u* instabil. f (u, v): ℝ 2 ℝ 2 ist Vektorfeld

40 Stabilität 1.Stabiler Knoten: Re λ1 < 0, Re λ 2 < 0, λ i ℝ

41 Stabilität 2.Instabiler Knoten: Re λ1 > 0, Re λ 2 > 0, λ i ℝ

42 Stabilität 3.Sattelpunkt: Re λ1 < 0, Re λ 2 > 0, λ i ℝ

43 Stabilität 4.Stabile Spirale: Re λ1 < 0, Re λ 2 < 0, Im λi 0, λ i ℂ

44 Stabilität 5.Instabile Spirale: Re λ1 > 0, Re λ 2 > 0, Im λi 0, λ i ℂ

45 Lösungsfindung Beispiel: Konkurrenz-Modell u ( τ) = [1 λ1 u ( τ) v ( τ)]u (τ), v ( τ) = [μ λ 2 v( τ ) u( τ )]v(τ ), τ 0, u (0)=u 0 τ 0, v (0)=v 0

46 Lösungsfindung Beispiel: Konkurrenz-Modell u ( τ) = [1 λ1 u ( τ) v ( τ)]u (τ), v ( τ) = [μ λ 2 v( τ ) u( τ )]v(τ ), ( f ( u, v )= u λ1 u2 vu 2 μ v λ 2 v uv ) τ 0, u (0)=u 0 τ 0, v (0)=v 0

47 Lösungsfindung Beispiel: Konkurrenz-Modell u ( τ) = [1 λ1 u ( τ) v ( τ)]u (τ), v ( τ) = [μ λ 2 v( τ ) u( τ )]v(τ ), ( f ( u, v )= u λ1 u2 vu 2 μ v λ 2 v uv τ 0, u (0)=u 0 τ 0, v (0)=v 0 ) polynomial, also stetig differenzierbar es existiert zu jedem Anfangswert (u 0, v 0) genau eine Lösung

48 Lösungsfindung Des weiteren gilt und damit u = [1 λ 1 u v ]u u v = [μ λ2 v u]v μ v t μt 0 u (t ) e u0 und 0 v (t ) e v0

49 Lösungsfindung Des weiteren gilt und damit u = [1 λ 1 u v ]u u v = [μ λ2 v u]v μ v t μt 0 u (t ) e u0 und 0 v (t ) e v0 t + =, globale Existenz

50 Lösungsfindung Equilibria: 0 = u = [1 λ1 u v ]u, 0 = v = [μ λ 2 v u ]v

51 Lösungsfindung Equilibria: 0 = u = [1 λ1 u v ]u, 0 = v = [μ λ 2 v u ]v Triviales Equilibrium: (0,0) Marginale Equilibria: (0, v ) = (0, μ / λ 2), Koexistenz Equilibrium: 1 (u*, v* ) = (λ 2 μ, λ 1 μ 1) λ1 λ 2 1 (u, 0) = (1 / λ1, 0)

52 Lösungsfindung Stabilität: ( u λ1 u2 vu f ( u, v )= μ v λ 2 v 2 uv ( ) ( ) ( ) ) ( Df (u, v )= (1 λ 1 u v) λ1 u u v (μ λ 2 v u) λ 2 v A0 = μ Eigenwerte: 1 und μ instabil A u= 1 u 0 μ u Eigenwerte: -1 und μ u stabil / instabil A v = 1 v 0 v μ Eigenwerte: μ und 1 v stabil / instabil ( λ 1 u * u* A*= v* λ 2 v* ) )

53 Lösungsfindung Stabilität: ( u λ1 u2 vu f ( u, v )= μ v λ 2 v 2 uv ( ) ( ) ( ) ) ( Df (u, v )= (1 λ 1 u v) λ1 u u v (μ λ 2 v u) λ 2 v A0 = μ Eigenwerte: 1 und μ instabil A u= 1 u 0 μ u Eigenwerte: -1 und μ u stabil / instabil A v = 1 v 0 v μ Eigenwerte: μ und 1 v stabil / instabil ( λ 1 u * u* A*= v* λ 2 v* ) Eigenwerte:?? )

54 Lösungsfindung Stabilität: ( λ 1 u * u* A*= v* λ 2 v* ) det( A*)< 0 für λ 1 λ2 <1 instabil Sp( A* )= (λ1 u*+λ 2 v* )=ϵ 1+ϵ 2 < 0 det( A*)=u* v* ( λ1 λ 2 1)=ϵ 1 ϵ 2 det( A*)> 0 für λ 1 λ2 >1 stabil

55 Lösungsfindung Stabilität: ( λ 1 u * u* A*= v* λ 2 v* ) Sp( A* )= (λ1 u*+λ 2 v* )=ϵ 1+ϵ 2 < 0 det( A*)=u* v* ( λ1 λ 2 1)=ϵ 1 ϵ 2 det( A*)< 0 für λ 1 λ2 <1 instabil det( A*)> 0 für λ 1 λ2 >1 stabil Betrachte den Fall μ<u, 1<v : (0, v ) stabil, ( u, 0) instabil, keine Koexistenz f j (u, v )=0, j=1,2, liefert zwei so genannte Schaltkurven

56 Lösungsfindung μ<u, 1<v

57 Lotka-Volterra-Model x 1 (t ) = [a 1 c 1 x 2 (t )] x 1 (t), x 2 (t ) = [a 2 + c 2 x 1 (t )] x 2 (t ), t 0, t 0, x1 (0)=x 01 x 2 (0)=x 02

58 Lotka-Volterra-Model x 1 (t ) = [a 1 c 1 x 2 (t )] x 1 (t), x 2 (t ) = [a 2 + c 2 x 1 (t )] x 2 (t ), x (t) = gx (t ) w x (t) y (t ), y (t) = sy (t ) + ew x (t ) y (t ), t 0, t 0, x1 (0)=x 01 x 2 (0)=x 02 t 0, t 0, x (0)= x 0 y (0)= y0

59 Lotka-Volterra-Model x 1 (t ) = [a 1 c 1 x 2 (t )] x 1 (t), x 2 (t ) = [a 2 + c 2 x 1 (t )] x 2 (t ), x (t) = gx (t ) w x (t) y (t ), y (t) = sy (t ) + ew x (t ) y (t ), x(t): y(t): g: s: w: e: t 0, t 0, x1 (0)=x 01 x 2 (0)=x 02 t 0, t 0, x (0)= x 0 y (0)= y0 Friedfische Raubfische Vermehrungsrate ( λ 0 = (β μ )) Sterberate Wahrscheinlichkeit, dass Friedfisch gefressen wird Einfluss des Fressvorgangs auf die Vermehrung

60 Lotka-Volterra-Model x (t ) = gx (t ) w x (t ) y (t ), y (t ) = sy (t ) + ew x (t ) y (t), t 0, t 0, x (0)= x 0 y (0)= y0 Dimensionslose Größen x 1= ewx, s x 2= wy, g τ= gs t, r= g s

61 Lotka-Volterra-Model x (t ) = gx (t ) w x (t ) y (t ), y (t ) = sy (t ) + ew x (t ) y (t), t 0, t 0, x (0)= x 0 y (0)= y0 Dimensionslose Größen x 1= ewx, s x 1 (τ) = x 2= wy, g rx 1 (1 x 2 ), 1 x 2 (τ) = x 2 (1 x 1 ), r τ= gs t, r= g s τ 0, x 1 (0)= x 01 τ 0, x 2 (0)= x 02

62 Lotka-Volterra-Model Equilibria: ( )() rx 1 (1 x 2) 0 f (x 1, x 2 ) = 1 = 0 - x 2 (1 x 1) r Triviales Equilibrium: (0,0) Koexistenz Equilibrium: ( x 1 *, x 2 *)=(1,1)

63 Lotka-Volterra-Model Stabilität: ( ) r (1 x 2 ) rx 1 Df (x 1, x 2 ) = 1 1 x2 - x 2 (1 x 1) r r

64 Lotka-Volterra-Model Stabilität: ( ) r (1 x 2 ) rx 1 Df (x 1, x 2 ) = 1 1 x2 - x 2 (1 x 1) r r ( ) r 0 Df (0,0) = 1 0 r Df (1,1) = ( ) 0 r 1 0 r

65 Lotka-Volterra-Model Stabilität: ( ) r (1 x 2 ) rx 1 Df (x 1, x 2 ) = 1 1 x2 - x 2 (1 x 1) r r ( ) r 0 Df (0,0) = 1 0 r Eigenwerte: λ 1=r, Df (1,1) = ( ) 0 r 1 0 r Eigenwerte: 1 λ2 =r λ 1,2=±i

66 Lotka-Volterra-Model Stabilität: ( ) r (1 x 2 ) rx 1 Df (x 1, x 2 ) = 1 1 x2 - x 2 (1 x 1) r r ( ) r 0 Df (0,0) = 1 0 r Eigenwerte: λ 1=r, instabil Df (1,1) = ( ) 0 r 1 0 r Eigenwerte: 1 λ2 =r λ 1,2=±i stabil, periodisch, geschlossen

67 Lotka-Volterra-Model r= 0.4, 0.5, 0.7

68 Lotka-Volterra-Model r= 0.4, 0.5, 0.7 r=0.7

69 Lotka-Volterra-Model x 1 (τ) = rx 1 (1 x 2 ), 1 x 2 (τ) = x 2 (1 x 1 ), r τ 0, x 1 (0)= x 01 τ 0, x 2 (0)= x 02

70 Lotka-Volterra-Model x (t ) = bx (t )(1 y (t ) = (1 x (t ) x(t ) y (t ) ) a1, K b+x (t ) t 0, x(0)=x 0 x (t ) y(t ), b+ x (t ) t 0, y(0)= y 0 dy (t )+a 2 x (t ) : beschränkte Ressourcen ) K x (t) y (t ) b+ x( t) : berücksichtigt Sättigung der Räuber

71 Lotka-Volterra-Model x (t ) = bx (t )(1 y (t ) = x (t ) x(t ) y (t ) ) a1, K b+x (t ) t 0, x(0)=x 0 x (t ) y(t ), b+ x (t ) t 0, y(0)= y 0 dy (t )+a 2 Equilibria: Triviale: (0,0), (K,0) Koexistenz: (x *, y* )

72 Lotka-Volterra-Model x (t ) = bx (t )(1 y (t ) = x (t ) x(t ) y (t ) ) a1, K b+x (t ) t 0, x(0)=x 0 x (t ) y(t ), b+ x (t ) t 0, y(0)= y 0 dy (t )+a 2 Equilibria: Triviale: (0,0), (K,0) Koexistenz: (x *, y* ) Entdimensionalisierte Größen: x x 1=, x* y x2 =, y* K k =,... x*

73 Lotka-Volterra-Model x1 (τ) x 1(τ ) x 2(τ ) x 1 (τ) = x 1 (τ)(1 ) α1, k β+x 1 (τ) x 2 (τ) = x1 (τ )x 2 (τ ) γ x 2 (τ) + α2, β+x 1 (τ) τ 0, x0 x 1 (0)= x 01= x* τ 0, y0 x 2 (0)=x 02= y*

74 Lotka-Volterra-Model x1 (τ) x 1(τ ) x 2(τ ) x 1 (τ) = x 1 (τ)(1 ) α1, k β+x 1 (τ) x1 (τ )x 2 (τ ) γ x 2 (τ) + α2, β+x 1 (τ) x 2 (τ) = 1 k wobei α 1=(1 )(β+1), Df (1,1) = α 2=γ(β+1) ( k 2 β 1-1+ k (1+β) k βγ 0 1+β ) τ 0, x0 x 1 (0)= x 01= x* τ 0, y0 x 2 (0)=x 02= y*

75 Lotka-Volterra-Model 1 βγ det( Df (1,1))= ( 1+ )( )=λ1 λ 2 > 0 k 1+β k 2 β Sp(Df (1,1))= =λ1+λ 2 < 0 k (1+β)

76 Lotka-Volterra-Model 1 βγ det( Df (1,1))= ( 1+ )( )=λ1 λ 2 > 0 k 1+β k 2 β Sp(Df (1,1))= =λ1+λ 2 < 0 k (1+β) K k = >1 x*

77 Lotka-Volterra-Model 1 βγ det( Df (1,1))= ( 1+ )( )=λ1 λ 2 > 0 k 1+β k 2 β Sp(Df (1,1))= =λ1+λ 2 < 0 k (1+β) k <k 0=2+β K k = >1 x*

78 Lotka-Volterra-Model k <k 0=2+β k >k 0=2+β

79 Optimale Fischfangquote Konstante Fangquote: τ=α t, N (t ) u(t )= K u (τ)=u (τ)(1 u(τ)) c, u (0)=u 0

80 Optimale Fischfangquote Konstante Fangquote: τ=α t, N (t) u(t)= K u (τ)=u (τ)(1 u(τ)) c, u (0)=u 0 Equilibria: f (u)=u(1 u) c=0 u 1= 1 1 4c c ; u 2= 2 2

81 Optimale Fischfangquote Konstante Fangquote: τ=α t, N (t) u(t)= K u (τ)=u (τ)(1 u(τ)) c, u (0)=u 0 Equilibria: f (u)=u(1 u) c=0 1 c> 4 u1, u2 ℂ ; 1 c< c c ; u 2= u1, u2 ℝ ; c= u1 =u 2 ℝ+ 4 u 1=

82 Optimale Fischfangquote Konstante Fangquote: τ=α t, N (t) u(t)= K u (τ)=u (τ)(1 u(τ)) c, u (0)=u 0 Equilibria: f (u)=u(1 u) c=0 1 c> 4 u1, u2 ℂ ; 1 c< c c ; u 2= u1, u2 ℝ ; c= u1 =u 2 ℝ+ 4 u 1= Stabilität: f ' (u)=1 2u c= 4 c< f ' (u1 )>0 stabil, f ' (u 2)<0 asymp. stabil 1 f ' ( )=0 zunächst keine Aussage 4

83 Optimale Fischfangquote 1 c< 4 1 c= 4 1 c> 4

84 Optimale Fischfangquote Bestandsabhängige Fangquote: u (τ)=u (τ)(1 u(τ)) pu(τ), wobei 0 < p < 1 τ 0 u(0)=u 0

85 Optimale Fischfangquote Bestandsabhängige Fangquote: u (τ)=u (τ)(1 u(τ)) pu(τ), τ 0 u(0)=u 0 u 1=0 ; u 2=1 p wobei 0 < p < 1 Equilibria: f (u)=u(1 u) pu=0 f ' (u1 )=1 2u p Stabilität: f ' (u 2)= p 1<0

86 Optimale Fischfangquote u 0=0.25, u 0=1 und die relative Fangquote ist p=0.5

87 Optimale Fischfangquote Die absolute Fangquote c= p u (t )= p(1 p) hat ihr Maximum bei p = 0.5, hier gilt c = 0.25

88 Optimale Fischfangquote Die absolute Fangquote c= p u (t )= p(1 p) hat ihr Maximum bei p = 0.5, hier gilt c = 0.25 Vermehrungsrate α P=α p Bestand soll sich in einem Jahr verdoppeln und maximale relative Fangquote ist 0.35 P=0.5 α Jahr α= ln(2) Jahr

89 Quellen Jan W. Prüss, Roland Schnaubelt, Rico Zacher: Mathematische Modelle in der Biologie Deterministische homogene Systeme. Birkhäuser, ohne Jahr Frank Haußer, Yuri Luchko: Mathematische Modellierung mit MATLAB - Eine praxisorientierte Einführung. Spektrum, ung.pdf, chsen_-fische-_stand_2008.pdf,

90 Bildverzeichnis (1) Aal: (2) Forelle: Letzter Zugriff: (3/4) TAC/Scholle: Letzter Zugriff: (5) Exp. Wachstum: Letzter Zugriff: (6/7) Logistisches Wachstum: Letzter Zugriff: (8-12) Stabilität: (13) Lösungsfindung: Jan W. Prüss, Roland Schnaubelt, Rico Zacher: Mathematische Modelle in der Biologie Deterministische homogene Systeme, Birkhäuser, 2008, S. 11 (14-19) Volterra Lotka : Frank Haußer, Yuri Luchko: Mathematische Modellierung mit MATLAB Eine praxisorientierte Einführung, Spektrum, 2011, S