Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 10. Spezielles für zweite Ordnung

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1 d Gewöhnliche Differentialgleichungen Woche 0 Spezielles für zweite Ordnung 0. Phasenebene Wenn wir die autonome Differentialgleichung zweiter Ordnung u (t = f (u(t, u (t (0. studieren wollen, ist ein möglicher Ansatz, diese Gleichung als System zu betrachten: { u (t = v(t, v (0. (t = f (u(t, v(t. Wenn (u, v (v, f (u, v lokal die Lipschitz-Bedingung erfüllt, und sie ist erfüllt, wenn f differenzierbar ist, dann hat das Anfangswertproblem für (0. genau eine Lösung. Dieses Ergebnis kann man auch für (0. anwenden. Lemma 0. Nehmen wir an, dass für jedes beschränkte Gebiet Ω R eine Konstante L Ω R + existiert so, dass f (u, v f (ū, v L Ω ( u ū + v v für alle (u, v, (ū, v Ω. (0.3 Dann hat das Anfangswertproblem u (t = f (u(t, u (t, u(a = u 0, u (a = v 0, (0. für jeden Anfangswert (u 0, v 0 R genau eine Lösung u C (t, t + mit t < a < t + und (t, t + ist das maximale Existenzintervall. Beweis. Man zeigt direkt, dass (0.3 gleichwertig ist zu einer lokalen Lipschitzbedingung für (u, v (v, f (u, v. Der Existenz- und Eindeutigkeitsatz liefert uns eine eindeutige Lösung für (0. mit maximalem Existenzintervall (t, t +. Für diese Lösung t (u(t, v(t gilt u, v C (t, t + und weil u = v C (t, t + folgt u C (t, t +. Die Menge der Trajektorien zu (0. nennt man auch die Phasenebene für (0.. 05

2 06. Dezember 08 Woche 0, Spezielles für zweite Ordnung Beispiel 0. Wie wir später noch genauer sehen werden, gehört zu einem Pendel, mit Reibung proportional zur Geschwindigkeit, die folgende Differentialgleichung: θ (t = c sin θ(t c θ (t. Wir nehmen c = und c = 3. Vernünftige explizite Formeln für die Lösungen gibt es nicht. Man kann das Vektorfeld für das zugehörige System ( θ(t ψ(t = ( ψ(t c sin θ(t c ψ(t Π 3 Π skizzieren und Trajektorien darstellen, wenn man Kurven durch die Vektoren zieht. Auch numerische Approximationen lassen sich herstellen und als Trajektorien darstellen: 3 7 Π 6 Π 5 Π Π 3 Π Π Π Π Π 3 Π Π 5 Π 6 Π 7 Π 0. Differentialgleichung für Trajektorien Wenn eine Trajektorie {(u(t, u (t ; t (t, t + } für die Differentialgleichung in (0. lokal der Graph einer Funktion ist, hat man diese letzte Funktion als Lösung einer neuen Differentialgleichung. Man setze V (u(t = u (t (0.5 und finde f (u(t, u (t = u (t = t V (u(t = V (u(t u (t. Setzen wir nochmals (0.5 ein und betrachten wir nun u V (u, dann folgt f (u, V (u = V (u V (u. Das heißt, die Funktion V ist eine Lösung von V (u = f (u, V (u. (0.6 V (u Dies gibt uns eine alternative Möglichkeit, die Gleichung in (0. als System zu schreiben: { u (t = v(t ( u (t = f (u(t, u (t ( v (t = f (u(t, u (t (3 V (u = f (u, V (u V (u u (t = V (u(t (0.7

3 0.3 Feder und Pendel. Dezember Der Vorteil von (3 ist, dass dieses System zwei Gleichungen erster Ordnung hat, die man nacheinander lösen kann. Der Nachteil ist, dass V 0 gelten soll. Wenn man eine autonome Differentialgleichung zweiter Ordnung hat, die keine erste Ordnungstermen enthält, also u (t = f(u (0.8 dann ist diese Aufspaltung sehr nützlich. Die Differentialgleichung in (0.6 vereinfacht sich zu V (u = f (u V (u und diese lässt sich oft explizit lösen. Via V (uv (u = f (u findet man V (u V (u 0 = u u 0 f(sds. Bemerkung 0.. Die Gleichung (0.8 kann man auch direkt mit u (t multiplizieren u (tu (t = f(uu (t. Kennt man eine Stammfunktion F von f so folgt: ( t u (t = F (u (t t und die Abhängigkeit von u (t und u (t wird: Dann gilt u (t = V (u (t für 0.3 Feder und Pendel u (t = F (u (t + C mit C R. V (u = ± F (u + C mit C R. Einfache Modelle für eine Feder oder ein Pendel haben die Form (0.8. Aus der Physik kennt man: Das zweite Newtonsche Gesetz: Kraft gleicht Masse mal Beschleunigung: F N = m a. Bei einer perfekten Schraubenfeder nimmt man das Hookesche Gesetz: Kraft ist proportional zur Auslenkung: F H = c u. Das dritte Newtonsche Gesetz: Actio est reactio: F N + F H = 0. Weil für die Beschleunigung a gilt, dass a = u, folgt u = c u. (0.9 m Für eine Blattfeder ist das Hookesche Gesetz nicht passend. Dann hat man statt des Hookeschen Gesetzes F = f(u, wobei f ein Profil hat wie in Abbildung 0. und die Differentialgleichung wird u = f(u. (0.0

4 08. Dezember 08 Woche 0, Spezielles fu r zweite Ordnung F 5 3 u Abbildung 0.: Aus Wikipedia links einige Federkennlinien als Funktion der Kraft u ber den Federweg: progressiv Bsp. Kfz-Blattfeder; linear Bsp. Schraubenfeder; 3 degressiv; na herungsweise konstant Bsp. Kupplungsfeder Auto; 5 nicht glatt z.b. durch auf Block setzen einiger Federteile. Rechts einige Beispiele unterschiedlicher Federn. Der Floh ist von Hooke. Fu r das Pendel hat man auch die beiden Newtonschen Gesetze. Statt des Hookeschen Gesetzes wird im Modell nun die Schwerkraft FS = m g eine Rolle spielen. Im Modell beschreibt man die Auslenkung u durch den Winkel θ, also u(t = ` θ(t, und findet mit der Projektion der Schwerkraft auf der tangentialen Richtung m g sin θ, bei der ` die La nge und m die Masse des Pendels ist, dass θ ` m ` θ00 (t = m g sin (θ(t FS sin θ und vereinfacht dies zu θ θ00 (t = FS FS cos θ g sin (θ(t. ` (0. Auch diese Differentialgleichung hat die Form von (0.0, na mlich u00 = f (u. Schreibt man (0.0 als System wie in (0.7 mit v (t = u0 (t dann wird es: 0 u (t v(t =. (0. v 0 (t f (u(t Lemma 0.3 Sei f C und (u0, 0 ein Gleichgewichtspunkt fu r (0.. Dann gilt fu r die Eigenwerte λ, λ der Linearisierung in (u0, 0, dass λ = λ und λ R oder λ ir. Außerdem: Wenn λ, λ R\ {0}, dann ist (u0, 0 ein Sattelpunkt fu r (0.; Wenn λ, λ ir\ {0}, dann ist (u0, 0 neutral stabil fu r (0.. Robert Hooke ( hatte breite wissenschaftliche Interessen. Er hatte eine Professur fu r Geometrie, formulierte das nach ihm benannte Fundamentalgesetz der Elastizita t, baute eine der ersten Taschenuhren und auch einen optischen Telegrafen. Das Bild des Flohs aus seinem Micrographia (665 ist sogar heutzutage noch bekannt. Siehe

5 0.3 Feder und Pendel. Dezember Bemerkung 0.3. Man bemerke, dass v 0 = 0 kein Verlust der Allgemeinheit beinhaltet, denn für einen Gleichgewichtspunkt (u 0, v 0 von (0. gilt v 0 = 0 und f(u 0 = 0. Bemerkung 0.3. Mit einem Sattelpunkt ist gemeint, dass es bei (u 0, 0 eine stabile Richtung und eine instabile Richtung hat im Sinne von Theorem 8.7. Beweis von Lemma Die Linearisierung ist ( ( x (t 0 y = (t f (u 0 0 und für die Eigenwerte gilt λ = f (u 0 und λ = λ. Wenn f (u 0 > 0, dann gilt λ = λ = f (u 0 R + und wir können Theorem 8.7 anwenden. Betrachten wir nun den Fall f (u 0 < 0, also λ, λ ir. Auch gilt für f (u 0 < 0, dass u F (u := u u 0 f(sds in u 0 ein lokales Maximum hat, denn F (u 0 = f(u 0 = 0 und F (u 0 = f (u 0 < 0. Dann ist eine Lyapunov-Funktion: V (u 0, 0 = 0; V (u, v := v F (u Weil f C folgt F = f C 0 und es gilt F (u = F (u 0 + f(u 0 (u u 0 + f (u 0 (u u 0 + O (u u 0 = = f (u 0 (u u 0 + O (u u 0 f (u 0 (u u 0 für u u 0 genügend klein. Dann folgt in einer (kleinen Umgebung von (u 0, 0, dass V (u, v > 0; Auch gilt: ( f(u V (u, v = v ( v f(u = 0. (0.3 Theorem 9.7 liefert die Stabilität. Die Tatsache, dass der Punkt nur neutral stabil ist, folgt auch aus (0.3, denn für eine Lösung (u(t, v(t gilt t V (u(t, v(t = V (u(t, v(t = 0. Dies bedeutet V (u(t, v(t = c = V (u(0, v(0 und dass für (u(0, v(0 (0, 0 die Lösung nicht nach (0, 0 konvergiert. Beispiel 0. Wie soeben hergeleitet, gehört zu einem Pendel ohne Reibung die Differentialgleichung θ (t = c sin θ(t. Wir nehmen c = und betrachten θ (t = sin θ(t. Dies wird wie in (0.7-(3 V (θ = sin θ V (θ.

6 0. Dezember 08 Woche 0, Spezielles für zweite Ordnung Man findet via V (θ V (θ = sin θ und V (θ = c + cos θ, dass V (θ = ± c + cos θ. In drei Schritten zeichnet man einige Trajektorien. Die Funktion θ cos θ und einige vertikale Verschiebungen θ c + cos θ Man betrachtet nur die Kurven in R R + und nimmt die Wurzeln: θ c + cos θ Die Trajektorien findet man, wenn man ± c + cos θ kombiniert Reibung Reibungskräfte sind abhängig von der Geschwindigkeit und gegengesetzt zur Geschwindigkeit. Wenn u die Auslenkung darstellt ist u die Geschwindigkeit und es ändert sich die Differentialgleichung in (0.0 in u = f (u g(u. Hier ist g eine Funktion, die folgende Bedingung erfüllt: g (s > 0 für s > 0 und g (s < 0 für s < 0.

7 0.3 Feder und Pendel. Dezember 08 Wenn g stetig ist, folgt g (0 = 0. Wenn dann f (u = 0 gilt, ist (u, 0 ein Gleichgewichtspunkt für ( ( u (t v(t v = (t f(u(t g(u. (0. (t Wenn g auch noch differenzierbar ist, dann kann man bei (u, 0 linearisieren und findet als linearisiertes System ( x (t y (t ( = 0 f (u g (0 ( x(t y(t. (0.5 Wir betrachten den Fall, dass f (u < 0 ist. Wenn die Reibung bei 0 im Verhältnis klein ist, die genaue Bedingung ist g (0 < f (u, dann hat diese Matrix die Eigenwerte λ, = g (0 ± i f (u g (0. Das bedeutet, dass, wenn (u, 0 ein neutral stabiler Gleichgewichtspunkt für (0. ist, (u, 0 ein exponentiell stabiler Gleichgewichtspunkt für (0. ist. Man könnte sagen Reibung macht stabiler. Leider sind Reibungskräfte oft nicht differenzierbar und manchmal sogar nicht mal stetig abhängig von der Geschwindigkeit. 3 ' Abbildung 0.: Reibungskräfte als Funktion der Geschwindigkeit: linear (Coulombsche Reibung; Flüssigkeitsreibung und Gasreibung; 3 Reibung mit Stick-Slip-Effekt. Beispiel 0.5 Zieht man einen Block (m = mit Geschwindigkeit v = an einer Schraubfeder (lineare Federkennlinie mit Konstante c = aus Stillstand ab, dann wird dies modelliert durch das Anfangswertproblem { u (t = c (v t u(t c w f(u (t u(0 = 0 und u (0 = 0.

8 . Dezember 08 Woche 0, Spezielles für zweite Ordnung Nimmt man c w = 0 und setzt man für f Funktionen ein wie in Abbildung 0., nämlich f (s = s, f (s = 3 s3 und f 3 (s = sign(s arctan (5 s, (0.6 so findet man mit Hilfe von numerischen Approximationen die Bilder in Abbildung 0.3. Beim dritten Graphen sieht man den Slip-Stick-Effekt. Wo bei den ersten beiden der Block eine monoton wachsende Geschwindigkeit hat, sieht man im dritten, dass die Geschwindigkeit auf und ab geht. Besser gesagt, der Block schießt erst los, wenn genügend gezogen wird, bleibt kurz liegen, schießt wieder los, usw. Übrigens ist diese Funktion f 3 für s 0 nur eine Möglichkeit, wie eine solche Reibung aussehen könnte. Die Haftreibung, also die maximale Reibung bei Stillstand, ist größer als die Reibung, wenn der Block sich bewegt. Das bedeutet auch, dass die Reibungskraft bei Stillstand nicht festliegt, sondern einen Wert zwischen einer positiven oberen Schranke und einer negativen unteren Schranke annimmt. Schaut man das Anfangswertproblem mit f 3 an, dann sieht man, dass es so auch überhaupt keine Lösung gibt. Es kann nur eine Lösung geben, wenn man den Sprung von f 3 bei 0 auffüllt. Das heißt, sowohl aus physikalischen als auch aus mathematischen Gründen brauchen wir statt f 3 eine mehrwertige Funktion: f 3 (s = arctan(5 s für s > 0, [, ] für s = 0, arctan(5 s für s < Abbildung 0.3: In rot die Position vt und in blau u(t bei den verschiedenen f i, i =,, 3 aus (0.6 und Abbildung 0..