Stabilität des Golfstroms

Transkript

1 Stabilität des Golfstroms Yannis Fürst Seminar: Mathematische Modellierung Seminarleiterin: Dr. Iryna Rybak Universität Stuttgart 11. Mai 2016

2 Grundlagen der Modellierung Expertenvortrag Modellskizze Beispielmodellierung Résumé

3 Grundlagen der Modellierung Grundregeln zur Modellentwicklung Präzise Formulierung Mathematische Sprache Filtern der wesentlichen Informationen Einfachheit Variablen

4 Grundlagen der Modellierung Expertenvortrag Modellskizze Beispielmodellierung Résumé

5 Zugriff am unter

6 Zugriff am unter

7 Grundlagen der Modellierung Expertenvortrag Modellskizze Beispielmodellierung Résumée

8 Grundlagen der Modellierung Expertenvortrag Modellskizze Beispielmodellierung Résumée

9 Physikalische Hintergründe Dichte in kg/m³ in Abhängigkeit von Temperatur T in C und Salzgehalt in

10 Mathematische Modellbildung Modell für den Golfstrom

11 Mathematische Modellbildung Wir stellen folgende Gleichungen für die zeitliche Änderung auf: Der Fluss q* wird als proportional zur Differenz der Dichten angenommen (Faktor a > 0):

12 Mathematische Modellbildung Lineare Approximation der Dichte: Dichte nimmt bei sinkender Temperatur und steigendem Salzgehalt zu

13 Mathematische Modellbildung Vereinfachung des DGL Wobei gilt:

14 Mathematische Modellbildung Modell für den Golfstrom

15 Entdimensionalisierung Benötigte Einheiten der Variablen und Parameter

16 Entdimensionalisierung Als Skalierung wählen wir:

17 Entdimensionalisierung Mit und Parametern:

18 Untersuchung stationärer Phänomene Stationäres Problem Suchen der Gleichgewichtspunkte des Systems, diese sind gegeben durch: Der Gleichgewichtsfluss erfüllt also folgende Gleichung: Zur Bestimmung eines Gleichgewichtsflusses und des zugehörigen Gleichgewichtspunkts suchen wir also einen Fixpunkt q = g( q) von

19 Analyse der Fixpunkte Es gilt Für g(0) > 0 existiert also mindestens ein Fixpunkt q mit q > 0. Für g(0) < 0 existiert also mindestens ein Fixpunkt q mit q < 0. Wir interessieren uns für positive Gleichgewichtsflüsse

20 Analyse der Fixpunkte Qualitativer Verlauf von g(q)

21 Analyse der Fixpunkte Zur genaueren Analyse wollen wir, statt g(q) = q, uns mit dem äquivalentem Problem beschäftigen: mit Wir betrachten also die Nullstellen der kubischen Parabel k = k(q)

22 Analyse der Fixpunkte Eigenschaften von k sind: Welche Aussagen lassen sich ableiten?

23 Analyse der Fixpunkte Nullstellen der kubischen Parabel k(q) für β - α > 0

24 Analyse der Fixpunkte Eigenschaften von k sind: Welche Aussagen lassen sich ableiten? Was bleibt von Interesse?

25 Problematik Frage: Was passiert, wenn die Niederschläge im Nordatlantik zunehmen oder große Eismengen in der Arktis abschmelzen? Antwort: das Wasser im Nordatlantik wird verdünnt Salzgehalt der Umgebung nimmt ab Differenz zwischen Umgebung im Golf von Mexiko und Umgebung Nordatlantik nimmt zu β nimmt zu, α und γ bleiben unverändert Somit interessieren uns also die Gleichgewichtspunkte in Abhängigkeit von β.

26 Rückblick: Mathematische Modellbildung Vereinfachung des DGL Wobei gilt:

27 Rückblick: Entdimensionalisierung Mit und Parametern:

28 Problematik

29 Problematik

30 Problematik

31 Problematik

32 Problematik

33 Problematik Situation ohne Nullstellen von k / Fixpunkten von g im positiven Bereich Fixpunkt im negativen Bereich

34 Problematik Oberflächenströmung umgekehrt Transport von kalten Wasser

35 Ausblick Untersuchung auf Stabilität der Gleichgewichtspunkte Bestätigung der Aussagen

36 Grundlagen der Modellierung Expertenvortrag Modellskizze Beispielmodellierung Résumé

37 Literatur Bücher Ortlieb, C. P.; v. Dresky, C., Gasser, I. & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Eine Einführung in zwölf Fallstudien (2. Auflage). Wiesbaden: Springer WWW (jeweils Zugriff am )