Markov-Prozesse. Markov-Prozesse. Franziskus Diwo. Literatur: Ronald A. Howard: Dynamic Programming and Markov Processes
|
|
- Achim Steinmann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Markov-Prozesse Franziskus Diwo Literatur: Ronald A. Howard: Dynamic Programming and Markov Processes
2 Gliederung Was ist ein Markov-Prozess? 2 Zustandswahrscheinlichkeiten 3 Z-Transformation 4 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten
3 Was ist ein Markov-Prozess? Was ist ein Markov-Prozess? mathematisches Modell zur Untersuchung komplexer Systeme Kernbegriffe: Zustand eines Systems: Ein System befindet sich in einem Zustand, wenn es komplett mit Variablenwerten, die diesen Zustand definieren, beschrieben werden kann. Zustandswechsel: Ein Zustandswechsel findet dann statt, wenn sich die systembeschreibenden Variablen von Werten des einen Zustands zu Werten des anderen Zustands ändern.
4 Was ist ein Markov-Prozess? Beispiel: Frosch im Seerosenteich Frosch springt in fortlaufender Zeit von einem Blatt auf ein anderes. Die Blätter werden dabei zufällig nach aktueller Laune ausgewählt. Zustand: Nummer des derzeit belegten Blattes Zustandswechsel: Der Sprung zum nächsten Blatt Anzahl der Blätter endlich Prozess mit endlich vielen Zuständen (alle weitere Bemerkungen gehen von solch einem Prozess aus)
5 Was ist ein Markov-Prozess? Beispiel: Frosch im Seerosenteich Annahmen: zeit-diskreter Prozess: Zeit zwischen den Wechseln ist eine Konstante Es gibt N Zustände, welche mit,.., N nummeriert sind Falls das System ein einfacher Markov-Prozess ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit von Zustand i zu Zustand j zu gelangen eine Funktion, die nicht von den Zuständen vor Zustand i abhängt.
6 Was ist ein Markov-Prozess? Folgerungen Man kann also eine Reihe bedingter Wahrscheinlichkeiten, dass sich ein in Zustand i befindliches System nach dem nächsten Wechsel in Zustand j befindet, angeben. N p ij = j= 0 p ij
7 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Der Spielzeugmacher befindet sich immer in einem der folgenden zwei Zuständen: Zustand : Das Spielzeug ist beliebt. Zustand 2: Das Spielzeug ist unbeliebt.
8 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Wahrscheinlichkeiten: Wenn er im Zustand ist, hat er eine Wahrscheinlichkeit von 50%, dass er am Ende der nächsten Woche immer noch im ersten Zustand ist (ebenso 50% für Zustand 2) Wenn er in Zustand 2 ist, hat er eine Chance von 2 5 wieder in Zustand zu gelangen, mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 5 bleibt er im zweiten Zustand Also: p = 2 p 2 = 2 p 2 = 2 5 p 22 = 3 5
9 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Man definiert: P = [p ij ] = [ ] Veranschaulichung:
10 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Mit Hilfe der Matrix kann man alle Fragen über den Prozess beantworten: Beispielsweise interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, dass er sich im Zustand nach n Wochen befindet, wenn er zu Beginn im ersten Zustand war Zu diesem Zweck definieren wir eine Zustandswahrscheinlichkeit π i (n), welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich das System nach n Wechseln im Zustand i befindet und der Zustand bei n = 0 bekannt ist.
11 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Es gilt: π j (n + ) = N π i (n) = i= N π i (n)p ij, n = 0,, 2,... i=
12 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Wir definieren einen Zeilenvektor π(n), dessen Komponenten die Zustandswahrscheinlichkeiten π i (n) sind: Es folgt: π(n + ) = π(n)p, n = 0,, 2,...
13 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Durch Rekursion erhält man: Allgemein gilt: π() = π(0)p π(2) = π()p = π(0)p 2 π(3) = π(2)p = π(0)p 3 π(n) = π(0)p n, n = 0,, 2,...
14 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Unter der Annahme, dass man mit einem erfolgreichen Spielzeug beginnt, folgt: sodass: π (0) = und π 2 (0) = 0 π(0) = [ 0 ] Mittels der Formel ergibt sich: π() = π(0)p = [ ] [ ] = [ 2 ] 2
15 Zustandswahrscheinlichkeiten Beispiel: Spielzeugmacher Analog ergeben sich folgende Werte nach n Wochen bei Start mit einem beliebten Spielzeug: n π (n) 0, 5 0, 45 0, 445 0, , π 2 (n) 0 0, 5 0, 55 0, 555 0, , bei Start mit unbeliebtem Spielzeug: n π (n) 0 0, 4 0, 44 0, 444 0, , π 2 (n) 0, 6 0, 56 0, 556 0, ,
16 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Scheinbare Unabhängigkeit vom Startwert bei großem n: Viele Markov-Prozesse zeigen diese Eigenschaft. streng ergodischer Prozess Systeme, welche vom Startwert abhängen, werden später untersucht.
17 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Für streng ergodische Prozesse definiert man: π i als die Wahrscheinlichkeit, dass das System den i-ten Zustand nach sehr vielen Wechseln belegt den Zeilenvektor π mit Einträgen π i als Grenzwert π = lim n π(n) Aus den vorherigen Überlegungen folgt: π = πp N π i = i=
18 Zustandswahrscheinlichkeiten Folgerungen Für das Spielzeugmacherbeispiel folgt also: π = 2 π π 2, π 2 = 2 π π 2 π + π 2 = Lösen des Gleichungssystems führt zu: π = 4 9 und π 2 = 5 9
19 Z-Transformation Z-Transformation Man betrachtet nun die erzeugende Funktion bzw. Z-Transformation. Zunächst betrachtet man eine nichtnegative, diskrete Zeitfunktion f (n), die für negative Zeiten Null gesetzt wird.
20 Z-Transformation Z-Transformation Steigt f (n) nicht schneller mit wachsendem n als eine geometrische Folge (Zahlenfolge mit konstantem Quotienten der benachbarten Folgenglieder), kann man eine Z-Transformation f (z) definieren, sodass: f (z) = f (n)z n n=0 Jede Zeitfunktion hat nur eine Transformation. Die Z-Transformation ist bei Markov-Prozessen hilfreich, da die Übergangswahrscheinlichkeiten geometrische Folgen sind.
21 Z-Transformation Berechnung einer Z-Transformation Beispiel: Sei die Zeitfunktion: f (n) = α n, n 0 Dann folgt für die Z-Transformation: f (z) = f (n)z n = n=0 (αz) n = n=0 αz
22 Z-Transformation Berechnung einer Z-Transformation Analoges Vorgehen für andere Zeitfunktionen ergibt: Zeitfunktion für n 0 Z-Transformation f (n) f (z) f (n) + f 2 (n) f (z) + f 2 (z) kf (n),k=const kf (z) f (n ) zf (z) f (n + ) z [f (z) f (0)] α n αz nα n n α n f (n) z αz ( αz) 2 z ( z) 2 f (αz)
23 Z-Transformation Z-Transformation bei Markov-Prozessen komponentenweise Anwendung bei Vektoren und Matrizen π(n + ) = π(n)p, n = 0,, 2,... Z-Transformation ergibt: z [Π(z) π(0)] = Π(z)P, wobei Π(z) die Z-Transformation von π(n) darstellt. Umformungen ergeben: Π(z) = π(0)(i zp)
24 Z-Transformation Z-Transformation am Beispiel des Spielzeugmachers (I zp) = [ ] [ 2 z 2 2z 5 3z z ( z)( 2 5 z ( z)( 0 z) ] 2 z ( z)( 0 z) 2 z ( z)( 0 z) 0 z)
25 Z-Transformation Z-Transformation am Beispiel des Spielzeugmachers (I zp) = z [ ] + [ 5 z ] Rückgängigmachen der Z-Transformation liefert: H(n) = [ ] + ( ) n [ 5 0 π(n) = π(0)h(n) ],
26 Z-Transformation Folgerungen H(n) = P(n) einfachere Berechnung der Potenz der Matrix P Im Spielzeugmacherbeispiel: bei Start mit beliebtem Spielzeug: π(n) = [ ] + ( 0 ) n [ 5 ] ( ) n π (n) = π 2 (n) = ( 9 0 ) n
27 Z-Transformation Eigenschaften von H(n) stationäre Komponente: stochastische Matrix S alle Zeilen sind gleich dem Grenzwert des Zustandsvektors Bei ergodischen Prozessen: eine Matrix mit gleichen Zeilen Übergangskomponente: besitzt einen Vorfaktor α n mit α Bezeichnung: T (n) (repräsentiert die abfallende geometrische Folge) alle Zeilen ergeben addiert Null bei ergodischen Prozessen verschwindet T (n) für große n und α <
28 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Übergangsverhalten Spielzeugmacherbeispiel: 0 < p ij < bei ergodischen Prozessen: Grenzwahrscheinlichkeit kann auch Null werden einfangender Zustand: Zustand i, wobei p ii = Übergangszustand: Zustand, der nach langer Zeit mit Gewissheit nicht belegt wird
29 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Übergangsverhalten Beispiel: P = [ 3 4 ] 4 0 Rechnung mit Z-Transformation wie oben ergibt: H(n) = [ ] ( 3 4 ) n [ ] 0 0
30 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Übergangsverhalten Ein Übergangszustand führt nicht immer zu einem einfangenden Zustand. Das System kann in eine Kette eintreten, die in sich geschlossen ist (rekurrente Kette). Jede geschlossene Kette kann man somit als verallgemeinerten einfangenden Zustand auffassen. Jeder Markov-Prozess muss eine solche Kette besitzen. Gibt es genau eine solche Kette, ist der Prozess streng ergodisch.
31 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten mehrfach verkettetes Verhalten Möglichlichkeit, dass mehrere rekurrente Ketten auftreten Erweiterung der Möglichkeiten von S Startpunkt ist entscheidend für die Grenzwahrscheinlichkeit Zeilen sind nicht mehr gleich i-te Zeile stellt die Zustände mit Startwert i dar
32 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten mehrfach verkettetes Verhalten Diagramm zum mehrfach verketteten Verhalten
33 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten mehrfach verkettetes Verhalten Beispiel: P = 0 0 Mit der Z-Transformation erhält man: 0 0 ( ) n H(n) =
34 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten periodische Kette = rekurrente Kette, wobei das System nach p, 2p, 3p,... Übergängen wieder den Ausgangszustand belegt (p N) Diagramm zum periodischen Verhalten
35 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten Beispiel: P = [ ] 0 0 Mit der Z-Transformation erhält man: ] [ + ( ) n H(n) = [ ]
36 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten π (n) = 2 [ + ( )n ] und π 2 (n) = 2 [ ( )n ] Interpretation: Falls n ungerade ist, wird immer Zustand angenommen Falls n gerade ist, wird immer Zustand 2 angenommen
37 Übergangs-, mehrfach verkettetes und periodisches Verhalten Periodisches Verhalten Interpretation von T (n): Verschwindet nicht, sondern oszilliert, Störung von S Interpretation von S: Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in jedem seiner Zustände zu einem zufälligem Zeitpunkt befindet
38 Zusammenfassung Der Markov-Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess mit dem Ziel Wahrscheinlichkeitsaussagen über zukünftige Ereignisse zu machen Dabei ist die Z-Tranformation ein wichtiges Hilfsmittel Markov-Ketten können ein periodisches, Übergangs- oder mehrfach verkettetes Verhalten aufweisen
Pr[X t+1 = k] = Pr[X t+1 = k X t = i] Pr[X t = i], also. (q t+1 ) k = p ik (q t ) i, bzw. in Matrixschreibweise. q t+1 = q t P.
2.2 Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten Wir beschreiben die Situation zum Zeitpunkt t durch einen Zustandsvektor q t (den wir als Zeilenvektor schreiben). Die i-te Komponente (q t ) i bezeichnet
MehrAngewandte Stochastik
Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 13 Allgemeine Theorie zu Markov-Prozessen (stetige Zeit, diskreter Zustandsraum) Literatur Kapitel 13 * Grimmett & Stirzaker: Kapitel 6.9 Wie am Schluss von Kapitel
MehrMarkov Ketten und Bonus Malus Systeme
Grund Stoch Markov Ketten Bonus Malus Probleme L 1 / 46 Markov Ketten und Bonus Malus Systeme Klaus D. Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden TU Wien 19. Mai 2010
MehrLösungen zu Übungsblatt 10 Höhere Mathematik Master KI Diskrete Zufallsgrößen/Markov-Ketten
Lösungen zu Übungsblatt 0 Höhere Mathematik Master KI Hinweise: Die Aufgaben - beziehen sich auf das Thema Diskrete Zufallsgrößen, Ihre Verteilungen und Erwartungswerte. Siehe dazu auch das auf der Homepage
MehrZentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie (zur Vorlesung Prof. Esparza)
SS 2013 Zentralübung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie (zur Vorlesung Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ss/dwt/uebung/ 10. Mai 2013
MehrEinführung in die Theorie der Markov-Ketten. Jens Schomaker
Einführung in die Theorie der Markov-Ketten Jens Schomaker Markov-Ketten Zur Motivation der Einführung von Markov-Ketten betrachte folgendes Beispiel: 1.1 Beispiel Wir wollen die folgende Situation mathematisch
MehrDie Determinante ist nur für beliebige quadratische Matrizen (n = m) definiert: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22. det. a nn.
Die Determinante ist nur für beliebige quadratische Matrizen (n = m) definiert: Definition 1.2 (Leibniz-Formel) Die Determinante einer n n-matrix ist a 11 a 12 a 13... a 1n a 11 a 12 a 13... a 1n a 21
MehrÜbungsaufgaben Lösungen
Übungsaufgaben Lösungen Stochastische Matrizen, Markov-Prozesse MV5.1 Eine N N-Matrix P heißt stochastisch, wenn ihre Matrixelemente nicht-negativ sind und alle Zeilensummen 1 ergeben. In Formeln: P ij
MehrEin Zustand i mit f i = 1 heißt rekurrent. DWT 2.5 Stationäre Verteilung 420/476 c Ernst W. Mayr
Definition 140 Wir bezeichnen einen Zustand i als absorbierend, wenn aus ihm keine Übergänge herausführen, d.h. p ij = 0 für alle j i und folglich p ii = 1. Ein Zustand i heißt transient, wenn f i < 1,
MehrDWT 2.3 Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten 400/467 Ernst W. Mayr
2. Ankunftswahrscheinlichkeiten und Übergangszeiten Bei der Analyse von Markov-Ketten treten oftmals Fragestellungen auf, die sich auf zwei bestimmte Zustände i und j beziehen: Wie wahrscheinlich ist es,
Mehra 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
MehrEndliche Markov-Ketten - eine Übersicht
Endliche Markov-Ketten - eine Übersicht Diese Übersicht über endliche Markov-Ketten basiert auf dem Buch Monte Carlo- Algorithmen von Müller-Gronbach et. al. und dient als Sammlung von Definitionen und
Mehr2 - Konvergenz und Limes
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die
MehrDer Ergodensatz. Hendrik Hülsbusch
Der Ergodensatz Hendrik Hülsbusch 1..212 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 5 Stationäre Verteilungen 5 6 Reversible Markovketten 11 2 Einleitung In meinem Vortrag beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen
Mehr05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
Mehr1 Folgen und Stetigkeit
1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
MehrIm Falle einer zweimal differenzierbaren Funktion lässt sich das Krümmungsverhalten anhand der zweiten Ableitung feststellen.
Konvex, Konkav, Wendepunkt: Sei f : D R eine Funktion und sei I D ein Intervall. Gilt für alle x 1,x 2 I f ( x1 +x ) 2 2 f(x 1)+f(x 2 ), 2 dann heißt f konvex (linksgekrümmt) in I. Gilt für alle x 1,x
Mehr2 Bewertete Markov-Kette
2 Bewertete Markov-Kette In diesem Kapitel analysieren wir die Markov-Ketten, bei denen die Übergänge von einem Zustand u einem anderen mit wirtschaftlichen Erlösen verbunden sind. 2. Bewertete Markov-Kette.
MehrBonus Malus Systeme und Markov Ketten
/ 5 onus Malus Systeme und Markov Ketten Klaus D. Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden 6. Dresdner Kolloquium zur Mathematik und ihrer Didaktik 8. Februar 2 2 /
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrMatrizen. Nicht nur eine Matrix, sondern viele 0,5 0,2 0,3 A 0,2 0,7 0,1
Nicht nur eine Matrix, sondern viele Matrizen 0,5 0,2 0,3 A 0,2 0,7 0,1 015 0,15 0,75 075 0,1 01 aber keine Matrize und auch keine Matratzen 1 Wie beschreibt man Prozesse? Makov-Modell Modell Markov- Prozess
MehrIdentitätssatz für Potenzreihen
Identitätssatz für Potenzreihen Satz 3.56 Seien f (z) = a n z n und g(z) = b n z n zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R f > 0 und R g > 0. Gilt f (z) = g(z) für alle z mit 0 z < min{r f,
Mehr16.3 Rekurrente und transiente Zustände
16.3 Rekurrente und transiente Zustände Für alle n N bezeichnen wir mit f i (n) = P(X n = i,x n 1 i,...,x 1 i,x 0 = i) die Wahrscheinlichkeit, daß nach n Schritten erstmalig wieder der Zustand i erreicht
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Karin Haenelt 1 Inhalt Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Stochastischer Prozess Markow-Kette 2 Wahrscheinlichkeitsraum
MehrDynaTraffic Modelle und mathematische Prognosen. Simulation der Verteilung des Verkehrs mit Hilfe von Markov-Ketten
DynaTraffic Modelle und mathematische Prognosen Simulation der Verteilung des Verkehrs mit Hilfe von Markov-Ketten Worum geht es? Modelle von Verkehrssituationen Graphen: Kanten, Knoten Matrixdarstellung
MehrSuchmaschinen und Markov-Ketten 1 / 42
Suchmaschinen und Markov-Ketten 1 / 42 Zielstellung 1 Wir geben einen kurzen Überblick über die Arbeitsweise von Suchmaschinen für das Internet. Eine Suchmaschine erwartet als Eingabe ein Stichwort oder
MehrMatrizen. Stefan Keppeler. 28. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Matrizen 28. November 2007 Summe & Produkt Beispiel: Einwohnerzahlen Beispiel Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung
MehrBa-Wü: BG Neuer Lehrplan Mathematik Modul-5: Prozesse Teil 3a: stochastische Übergangsprozesse. Februar und März
Ba-Wü: BG Neuer Lehrplan Mathematik Modul-5: Prozesse Teil 3a: stochastische Übergangsprozesse Februar und März 216 1 Stoffverteilungsplan 1 Woche Inhalte 1 + 2 Einstufige Prozesse Darstellung mit Tabellen,
MehrKapitel 6. Irrfahrten und Bernoullischemata
Kapitel 6 Irrfahrten und Bernoullischemata Ausgangspunkt dieses Kapitels ist das in den Abschnitten 2.5 und 3.3 vorgestellte mathematische Modell des mehrmals Werfens einer Münze. Die dort definierten
MehrViele Statistiken werden durch endliche Folgen beschrieben. (z.b. Anzahl der Studierenden an der TU München in den Jahren 1962 bis 1976)
Kapitel 9 Folgen und Reihen 9.1 Folgen 9.1.1 Was ist eine Folge? Abbildungen, die auf N definiert sind (mit Werten z.b. in R), heißen (unendliche) Folgen. Abb., die auf einer endlichen Menge aufeinander
Mehr2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition 2.2.. Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x +
Mehr51 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
5 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5. Motivation Die Berechnung der Eigenwerte einer Matrix A IR n n als Lösungen der charakteristischen Gleichung (vgl. Kapitel 45) ist für n 5 unpraktikabel,
Mehr2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)
2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt
MehrMarkov-Ketten Proseminar: Das virtuelle Labor Ariane Wietschke
Markov-Ketten Proseminar: Das virtuelle Labor Ariane Wietschke 28.01.2004 28.01.04 Ariane Wietschke - Markov-Ketten 1 Übersicht 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik
MehrZeitstetige Markov-Prozesse: Einführung und Beispiele
Zeitstetige Markov-Prozesse: Einführung und Beispiele Simone Wielart 08.12.10 Inhalt Q-Matrizen und ihre Exponentiale Inhalt Q-Matrizen und ihre Exponentiale Zeitstetige stochastische Prozesse Inhalt Q-Matrizen
MehrKapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben
Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
MehrEinführung in Markoff-Ketten
Einführung in Markoff-Ketten von Peter Pfaffelhuber Version: 6. Juli 200 Inhaltsverzeichnis 0 Vorbemerkung Grundlegendes 2 Stationäre Verteilungen 6 3 Markoff-Ketten-Konvergenzsatz 8 0 Vorbemerkung Die
MehrAufgaben zu Kapitel 16
Aufgaben zu Kapitel 16 1 Aufgaben zu Kapitel 16 Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2
MehrIn allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.
Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft:
Mehrn x n y n Tab.1: Zwei Beispiele
Hans Walser, [0404] Konvergente Fibonacci-Folgen Worum geht es? Die klassische Fibonacci-Folge,,,, 5, 8,,,... ist divergent. Wir untersuchen Beispiele von konvergenten Folgen mit der Rekursion: a n = pa
MehrMatrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).
Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen
MehrKap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R
Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt
MehrKonvergenz einer Folge. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Konvergenz einer Folge 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Konvergenz einer Folge: Inhalt Drei Verhaltensmuster von Folgen. Beispiele 1 ) = 1 n, = n n +1, 2 ) = ( 1)n n +1 n und ihre graphischen Darstellungen.,
MehrFolie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse
Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse Zu Markov-Prozessen: Bemerkungen: 17.01.2013 Wir betrachten im Folgenden eine Markovkette (X n ) n N0, wobei jedes X n Werte in Z = {0,1,2,...,s}
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete
MehrAnalytische Geometrie
Der fx-991 DE X im Mathematik- Unterricht Analytische Geometrie Station 1 Schnittgerade zweier Ebenen Da der Taschenrechner nur eindeutige Lösungen eines Gleichungssystems liefert, kann er nur Schnittpunkte
MehrKapitel 4: Irreduzible und aperiodische Markov Ketten 1
Matrielnummer: 1152750 Projetseminar zur Stochasti Kapitel 4: Irreduzible und aperiodische Marov Ketten 1 Für einige besonders interessante Ergebnisse der Marov Theorie, werden zunächst bestimmte Annnahme
MehrDie Fakultät. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 13. September 2003
Die Fakultät Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 3. September 2003 Dieser Artikel gibt die Definition der klassischen Fakultät und führt von dort aus zunächst zu der Anwendung in Taylor-Reihen
MehrW-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Aufgabe 1 Ein Fahrzeugpark enthält 6 Fahrzeuge. Jedes Fahrzeug hat die Wahrscheinlichkeit p = 0.1 (bzw. p = 0.3), dass es kaputt geht. Pro Tag kann nur
Mehr3.9 Elementarmatrizen
90 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen 3.9 Elementarmatrizen Definition 9.1 Unter einer Elementarmatrix verstehen wir eine Matrix die aus einer n n-einheitsmatrix E n durch eine einzige elementare
MehrVektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1/8.2) treten in vielen Algorithmen auf: Eine Rekursion ist eine Folge von Zahlen a 0, a 1, a 2,.., bei der jedes a n aus seinen Vorgängern berechnet wird: Beispiele a n =
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Siehe Analysis (von der Hude, Folie 20: Definition 2.3. Ein Vektor x R n heißt Eigenvektor der quadratischen n n-matrix A zum Eigenwert λ R, wenn gilt Ax = λx Die Eigenwerte
MehrVortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern
Seminar: Wie genau ist ungefähr Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern Kerstin Bauer Sommerakademie Görlitz, 2007 Definition und Problembeschreibung Definition: Gitter Seien b 1,,b k Q n. Dann heißt die
Mehr, c d. f + e + d. ae + bg a f + bh. ce + dg c f + dh
Die Determinante Blockmatrizen Bemerkung: Für zwei 2 2-Matrizen gilt a b e f a b c d g h c d e g a b, c d f h a c b e + d a g, c f + ae + bg a f + bh ce + dg c f + dh b d h Sind die Einträge der obigen
MehrArbeit: Page, Brin, Motwani, Winograd (1998). Ziel: Maß für absolute
3.4 PageRank Arbeit: Page, Brin, Motwani, Winograd (1998). Ziel: Maß für absolute Wichtigkeit von Webseiten; nicht Relevanz bezüglich Benutzeranfrage. Anfrageunabhängiges Ranking. Ausgangspunkt: Eingangsgrad.
MehrWürfelspiele und Zufall
Würfelspiele und Zufall Patrik L. Ferrari 29. August 2010 1 Random horse die Irrfahrt des Pferdchens Betrachte ein Schachbrett mit einem Pferd (Springer), welches sich nach den üblichen Springer-Regeln
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.
Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 8 10. November 2009 Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen Definition 27. Eine (reelle bzw. komplexe) Zahlenfolge ist eine R- bzw. C-wertige
MehrGerade, ungerade oder weder noch? Algebraische und graphische Beweise. 4-E1 Vorkurs, Mathematik
Gerade, ungerade oder weder noch? Algebraische und graphische Beweise 4-E1 Symmetrie einer Funktion: Aufgabe 3 Bestimmen Sie algebraisch und graphisch, ob die Funktionen gerade oder ungerade sind, oder
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
MehrMathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2
Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung
MehrFolgen und endliche Summen
Kapitel 2 Folgen und endliche Summen Folgen und ihre Eigenschaften Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Vollständige Induktion Anwendungen Folgen/endliche Summen Eigenschaften Folgen
MehrAusarbeitung. Seminar: Stochastische Modelle in Naturwissenschaft und Technik. Thema: Markowsche Ketten. Humboldt-Universität zu Berlin
Ausarbeitung Seminar: Stochastische Modelle in Naturwissenschaft und Technik Thema: Markowsche Ketten Humboldt-Universität zu Berlin Hermann Schwarz Inhaltsverzeichnis 1 1 1.1 Motivation.............................
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
Mehr4 Reihen und Finanzmathematik
4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei
Mehr[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.
Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2008 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
Mehrbekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR A = LR
LR-Zerlegung bekannt: Eliminationsverfahren von Gauß Verfahren führt zu einer Zerlegung der Koeffizientenmatrix: A = LR Definition 2.17 Unter einer LR-Zerlegung einer Matrix A R n n verstehen wir eine
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 7 11. Mai 2010 Kapitel 8. Vektoren Definition 76. Betrachten wir eine beliebige endliche Anzahl von Vektoren v 1, v 2,..., v m des R n, so können
MehrOrthonormalbasis. Orthogonalentwicklung
Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht
MehrJohannes-Kepler-Gymnasium, Chemnitz John-Lennon-Oberschule, Berlin Friedrich-Schiller-Gymnasium, Königs Wusterhausen
Glückssträhnen...?! Teilnehmer: Aptin Haerian Max Irmscher Markus Johl Felix Montenegro Hoang Lam Nguyen Anne Christin Rettig Herder-Oberschule, Berlin Johannes-Kepler-Gymnasium, Chemnitz John-Lennon-Oberschule,
MehrEndliche Markov-Ketten
Endliche Markov-Ketten Michael Krühler 24. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 1.1 Mathematische Einführung......................... 2 1.2 Interpretation................................. 3 2
MehrHilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen
7. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen
MehrZahlenfolgen. Aufgabe 1 (Streichholzfiguren)
Zahlenfolgen Aufgabe (Streichholzfiguren) a) Wie viele Streichhölzer benötigt man für die 0. Figur? b) Gib für die Streichholzfolge eine rekursive und eine explizite Berechnungsvorschrift an. Aufgabe (Quadratzahlen)
MehrEcken des Zuordnungsproblems
Total unimodulare Matrizen Ecken des Zuordnungsproblems Definition.6 Ein Zuordnungsproblem mit den Vorzeichenbedingungen 0 apple x ij apple für i, j =,...,n statt x ij 2{0, } heißt relaxiertes Zuordnungproblem.
MehrSTOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück
STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehrn=1 a n mit reellen Zahlen a n einen
4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die
MehrAblauf. 1 Imitationsdynamik. 2 Monotone Auszahlung. 3 Entscheidung gegen iterativ dominierte Strategien. 4 Beste-Antwort-Dynamik 2 / 26
Spieldynamik Josef Hofbauer and Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge, Kap. 8 Simon Maurer Saarbrücken, den 13.12.2011 1 / 26 Ablauf 1 Imitationsdynamik 2 Monotone Auszahlung
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
Mehr3. Prozesse mit kontinuierlicher Zeit
3. Prozesse mit kontinuierlicher Zeit 3.1 Einführung Wir betrachten nun Markov-Ketten (X(t)) t R +. 0 Wie beim Übergang von der geometrischen zur Exponentialverteilung können wir uns auch hier einen Grenzprozess
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrMatrizen. Stefan Keppeler. 19. & 26. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 19. & 26. November 2008 Definition, Summe & Produkt Transponierte Beispiel: Einwohnerzahlen Leslie-Populationsmodell Beispiel Addition Multiplikation
MehrLineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
MehrKapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
Mehra) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein.
Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt 6: 43) 7 Telefonzellen ( 7 Kugeln in der Urne); 3 davon sind von je einem Benutzer besetzt ( 3 Kugeln in die Stichprobe). Die Telefonzellen werden nicht mehrfach
Mehr7.5 Erwartungswert, Varianz
7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k
MehrZahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte
Zahlenfolgen, endliche Summen und deren Grenzwerte Wichtige Begriffsbildungen, darunter die reellen Zahlen R, Exponentialfunktion und Logarithmus sowie Stetigkeit, Ableitung und Integral von Funktionen
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 12. Dezember 2007 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
MehrFolgen und Reihen. Folgen. Inhalt. Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis. Folgen und Reihen. Reelle Funktionen. Vorlesung im Wintersemester 2014
Inhalt Mathematik für Chemiker Teil 1: Analysis Vorlesung im Wintersemester 2014 Kurt Frischmuth Institut für Mathematik, Universität Rostock Rostock, Oktober 2014... Folgen und Reihen Reelle Funktionen
Mehr11. Folgen und Reihen.
- Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a
Mehr3.1 Folgen. ,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. Mathematik I WiSe 2005/ y = (y n ) n N = ( 1 3, 1 9, 1 27, 1 81, 1
Kapitel 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a = (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index
MehrAngewandte Stochastik
Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 6 Langzeitverhalten, stationäre Masse Multiplikation von Rechts! Literatur Kapitel 6 * Grimmett & Stirzaker: Kapitel 6.4 * Krengel: 6. 6. Motivation Um die nachfolgenden
Mehr