Markov-Ketten Proseminar: Das virtuelle Labor Ariane Wietschke
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- Heinz Baum
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1 Markov-Ketten Proseminar: Das virtuelle Labor Ariane Wietschke Ariane Wietschke - Markov-Ketten 1
2 Übersicht 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von Markov-Ketten 4. Anwendungsgebiete 5. To take home Ariane Wietschke - Markov-Ketten 2
3 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von Markov-Ketten 4. Anwendungsgebiete 5. To take home Ariane Wietschke - Markov-Ketten 3
4 Geschichte - Beginn des 20. Jh. Andrej Andrejewitsch, Markov( ), Doeblin, Kolmogorov - praktische Anwendbarkeit fehlte - Bedeutung erst mit Verbreitung der Computertechnologie - heute in nahezu allen Anwendungsgebieten der Mathematik Ariane Wietschke - Markov-Ketten 4
5 Beispiel 1 - Irrfahrt auf Menge {1,2,,N} beginnt in 2 und bewegt sich entsprechend des Ergebnisses eines Münzwurfs nach rechts oder links (hier: Kopffirechts, Zahlfilinks) - Für Randpositionen 1 und N sei Zusatzregel definiert (hier kehre zurück zur Startposition ) Ariane Wietschke - Markov-Ketten 5
6 Beispiel 1 Positionen Zustaende Zustand Kopf/Zahl Kopf Kopf Kopf Kopf Zahl Zahl Kopf Kopf Kopf Zahl Position Ariane Wietschke - Markov-Ketten 6
7 Beispiel 2 - Irrfahrt auf {0,,999} beginnt bei 0. Bewegung aus Position i zur Position (2i+i ) mod 1000, wobei i durch das Werfen eines Würfels (Augenzahl) ermittelt wird Ariane Wietschke - Markov-Ketten 7
8 Beispiel 2 Positionen Zustaende Durchgang Augenzahl Zustand Ariane Wietschke - Markov-Ketten 8
9 Beispiel 3 - Vorbereitung: 4 mal Münze werfen fi Anzahl der Köpfe wird Startposition einer Irrfahrt auf der Menge {0,,999} Bewegung entsprechend des Ergebnisses eines Münzwurfs von Position i zur Position i+1 mod 1000 bzw. zur Position i-1 mod 1000 (hier: Kopffii+1 mod 1000, Zahlfii-1 mod 1000) Ariane Wietschke - Markov-Ketten 9
10 Beispiel 3 Positionen Zustaende 1 mal KopffiStartposition i=1 Durchgang Kopf/Zahl Zahl Kopf KopfKopf KopfZahl KopfZahlZahl Zustand Ariane Wietschke - Markov-Ketten 10
11 Beispiele: Irrfahrten 1. Irrfahrt auf Menge {1,...,N} Beginn in 2 Bewegung entsprechend Münzwurf-Ergebnis nach rechts oder links für 1 und N Zusatzregel(z.B. zurück zum Start) 2. Irrfahrt auf {0,...,999} Beginn bei 0 Bewegung aus i nach 2i+i mod 1000 i wird durch werfen eines Würfels ermittelt 3. 4 mal Münze werfen Kopfanzahl=Startposition einer Irrfahrt auf {0,...,999} Bewegung entsprechend Münzwurfergebnis von i nach i+1mod1000 bzw. i-1mod Ariane Wietschke - Markov-Ketten 11
12 Gemeinsamkeiten - vorgegebene endliche Menge möglicher Positionen - deterministisches oder zufälliges Verfahren zur Bestimmung der Startposition - jeder Position wird zufällig Folgeposition zugeordnet Ariane Wietschke - Markov-Ketten 12
13 Definition: endliche Markov-Kette Stochastischer Prozess bestehend aus: - nichtleerer endlicher Menge S={1,2,...,N} (Zustandsraum) - Vektor p i Wahrscheinlichkeit dafür, im Zustand (Anlaufvektor) zu starten - Matrix P ij Wahrscheinlichkeit dafür, vom Zustand in einem Schritt in Folgezustand überzugehen (stochastische Matrix Ariane Wietschke - Markov-Ketten 13
14 Definition: stochastischer Prozess - bezeichnet Folge von Zufallsexperimenten, die durch Funktion X(t) mit t T beschrieben werden kann - X(t 0 ) Wert der Zufallsvariable zum Zeitpunkt t 0 T M = {X(t) t T} Parameterraum Zustandsraum Ariane Wietschke - Markov-Ketten 14
15 Markov-Eigenschaft Markov-Kette ist stochastischer Prozess, dessen zukünftige Zustände vom momentanen Zustand abhängen (Gedächtnislosigkeit des Prozesses) Markov-Prozess 1.Ordnung: genau der vorherige Zeitpunkt ist entscheidend Markov-Prozess 2.Ordnung: mehr Vergangenheit wird berücksichtigt (erweiterte Markov-Eigenschaft Ariane Wietschke - Markov-Ketten 15
16 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von Markov-Ketten 4. Anwendungsgebiete 5. To take home Ariane Wietschke - Markov-Ketten 16
17 Beispiel - Käfer kriecht durch Wegenetz fientscheidet sich an jeder Weggabelung zufällig für einen Weg in Pfeilrichtung fidarf nicht stehen bleiben Ariane Wietschke - Markov-Ketten 17
18 Bestimmung des Zustandsraums Welche Elemente enthält der Zustandsraum M? - Zustände sind die 4 Knotenpunkte fi M = {e 1, e 2, e 3, e 4 } Zustände müssen unabhängig seinfikäfer kann sich nur an einem Knotenpunkt befinden Ariane Wietschke - Markov-Ketten 18
19 Bestimmung der Übergangsmatrix - Übergangsmatrix P ist stochastisch fielemente der Matrix zwischen null und eins: p ik [0;1] 0 p ik 1 fisumme der Elemente einer Zeile ist eins: Allgemein hat Übergangsmatrix die Form: Ariane Wietschke - Markov-Ketten 19
20 Bestimmung der Übergangsmatrix Ariane Wietschke - Markov-Ketten 20
21 Mehrstufige Übergänge - Übergang von e i nach e k in n Schritten fin-stufige Übergangswahrscheinlichkeit Beispiel: Pfadregel: P 14 (3)=e 1 *e 2 *e 3 *e 4 +e 1 *e 2 *e 4 *e 4 +e 1 *e 3 *e 4 *e 4 ): Ariane Wietschke - Markov-Ketten 21
22 Bestimmen der Übergangsmatrix P(n) = P n Elemente der MatrixfiSumme der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade die Übergang von e i nach e k in n Schritten ermöglichen P(3) = P 3 = P * P Ariane Wietschke - Markov-Ketten 22
23 Bestimmung des Anlaufvektors = ( p 1 (0), p 2 (0),, p N (0) ) Beispiel: zufällige Anfangsverteilung: =(,,, ) Wenn der Käfer in e 1 starten soll: =(1,0,0,0) Ariane Wietschke - Markov-Ketten 23
24 Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt n Wahrscheinlichkeitsvektor: = (p 1 (n), p 2 (n),, p N (n)) = * P n = *P 3 = * = Ariane Wietschke - Markov-Ketten 24
25 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von Markov-Ketten 4. Anwendungsgebiete 5. To take home Ariane Wietschke - Markov-Ketten 25
26 Arten von Markov-Ketten Homogene Markov-Kette: Übergangswahrscheinlichkeiten zeitunabhängig p ik =P(e k (n) e i (n-1)) Absorbierende Markov-Kette: $ Zustand, der nicht mehr verlassen werden kann p ii = 1 Irreduzible Markov-Kette: alle Zustände gegenseitig erreichbar p ik (n) > Ariane Wietschke - Markov-Ketten 26
27 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von Markov-Ketten 4. Anwendungsgebiete 5. To take home Ariane Wietschke - Markov-Ketten 27
28 Anwendung Biologie:- Ausbreitung von Arten und Wechselwirkungen. - Sequenzberechnung in DNS-Molekülen - Wettervorhersage Physik:- Bewegung von Staubteilchen in der Luft (Brownsche Bewegung). Informatik:- Analyse von Computer-Netzwerken Spracherkennung Ariane Wietschke - Markov-Ketten 28
29 Anwendung Qualitäts- und Sicherheitstechnik: Verfügbarkeit und Sicherheit von technischen Systemen Soziologie:- Beschreibung von sozialen Netzwerken und - sozialem Verhalten - Umzugsbewegungen Wirtschaft:- Dynamik von Börsenkursen und Branchenindizes Ariane Wietschke - Markov-Ketten 29
30 Anwendung Logistik:- Analyse von Warteschlangen und - Verkehrsnetzwerken - Personalplanung Ariane Wietschke - Markov-Ketten 30
31 1. Herleitung der Definition 2. Komponenten von Markov-Ketten 3. Arten von Markov-Ketten 4. Anwendungsgebiete 5. To take home Ariane Wietschke - Markov-Ketten 31
32 To take home - Stochastischer Prozess bestehend aus: Zustandsraum, Anlaufvektor, Übergangsmatrix - Markov-Eigenschaft: zukünftige Zustände vom momentanen Zustand abhängig - vielseitige Anwendung in Biologie, Informatik, Wirtschaft etc Ariane Wietschke - Markov-Ketten 32
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