Rekursive Folgen. für GeoGebraCAS. 1 Überblick. Zusammenfassung. Kurzinformation. Letzte Änderung: 07. März 2010

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1 Rekursive Folgen für GeoGebraCAS Letzte Änderung: 07. März Überblick Zusammenfassung Innerhalb von zwei Unterrichtseinheiten sollen die Schüler/innen vier Arbeitsblätter mit GeoGebra erstellen, die das Verhalten von rekursiven Folgen visualisieren und das Verhalten von rekursiven Folgen hinsichtlich Konvergenz untersuchen. Kurzinformation Schulstufe Geschätzte Dauer Verwendete Materialien Technische Voraussetzungen Schlagwörter Mathematik Schlagwörter GeoGebraCAS Autor/in 10. Schulstufe 2 Unterrichtseinheiten siehe Anhang: Arbeitsanleitung 1-4, Aufgabenstellung, Lösungen, Datei CobWeb.ggb GeoGebraCAS, Java Folgen, Iteration, Grenzwert Iteration Josef Lechner Download von Zusatzmaterialien

2 Vorwissen der Lernenden Mathematisches Vorwissen Begriff der Folge Folgen in Termdarstellung Grenzwert einer Folge Technisches Vorwissen Grundlegende Fertigkeiten in der Benutzung von GeoGebra Lerninhalte und Lernziele Lehrinhalt Begriff der rekursive Folge. Schrittweise Auswertung einer rekursiven Folge Lernziel Schüler/innen sollen den Begriff einer rekursiv definierten Folge im Geogebra-CAS erarbeiten indem sie schrittweise eine Iterationsgleichung ausführen. Explizites Darstellen von rekursiven Folgen. Auswertung mit Tabellenkalkulation Darstellen von rekursiven Folgen als Spinnwebdiagramm Untersuchen von rekursiven Folgen auf Konvergenz Der Prozess der Iteration soll in die Geogebra- TK übertragen. Schüler/innen sollen rekursive Zahlenfolgen (analog zu Funktionen) als n-an-diagramm darstellen können. Schüler/innen sollen rekursive Zahlenfolgen in einem an-an+1-diagramm darstellen können. Schüler/innen sollen erkennen, ob sich die Folgenglieder einer rekursiven Folge einem Grenzwert nähern. Lernzielkontrolle Eine Möglichkeit zu überprüfen, ob die Lernenden die Lernziele erreicht haben, ist die Abgabe und die Überprüfung der ausgefüllten Aufgabenstellungen. Weiters kann in der nächsten Unterrichtseinheit eine schriftliche Lernzielkontrolle erfolgen.

3 2 Vorbereitung der Lehrenden Vorbereitung des Unterrichts Vor Beginn der beiden Unterrichtseinheiten müssen die Arbeitsanleitung und die Aufgabenstellung für jede/n Schüler/in kopiert werden. Verwendung des GeoGebraCAS Lehrende sollten folgende Befehle und Funktionalitäten von GeoGebra beherrschen: GeoGebra Eigenschaften von Objekten wie Farbe, Größe, ändern Mit Tabellenkalkulation arbeiten, kopieren in Tabellenkalkulation Listen erstellen aus Tabellenkalkul. Schieberegler erstellen Ansichten verändern, Zoomen GeoGebraCAS Definitionen von Funktionen Dynamischer Bezug mittels $ Lösen von Gleichungen Verwendete Werkzeuge Werkzeug Name des Werkzeugs (siehe Beispiel unten) Bewege Neuer Punkt Schieberegler Text einfügen Stufe (CobWebStep.ggt)

4 3 Didaktischer Hintergrund Schüler/innen sollen einen intuitiven Zugang zum Begriff der rekursiven Folge bekommen. Durch das schrittweise (in der CAS-View), das automatisierte Auswerten (durch den Befehl Iterationliste) sowie durch die Verwendung der Tabellenkalkulation sollen mehrere Zugänge zum Thema rekursive Folgen erarbeitet werden. Weiters sollen die Schülerinnen und Schüler zwei wichtige Darstellungsformen für rekursive Folgen kennenlernen: die Darstellung im n-an-diagramm und die Darstellung im an-an+1-diagramm (Spinnwebdiagramm). Durch das Erstellen und Arbeiten mit derartigen Darstellungen erhalten die Schülerinnen und Schüler eine Experimentierumgebung, mit der sie den Einfluss des Startwertes auf den Verlauf der rekursiven Folge und v.a. die Frage, ob diese konvergiert oder divergiert, untersuchen können. Oft ist bei rekursiven Folgen die Konvergenz davon abhängig, in welchem Bereich die Startwerte liegen. Auch derartige Untersuchungen lassen sich durchführen. Durch die Verwendung eines CAS ist es für Schüler/innen möglich, in kurzer Zeit eine relativ große Anzahl von Folgen zu untersuchen. Dabei können im Vergleich zu einer händischen Bearbeitung auch solche Folgen betrachtet werden, bei denen nach dem Berechnen der ersten paar Folgenglieder der weitere Verlauf noch nicht genau eingeschätzt werden kann. Die Zusammenarbeit in Form einer Partnerarbeit unterstützt dabei das Sprechen über mathematische Inhalte. 4 Einsatz im Unterricht Verlaufsplan Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Materialien Einführung Aufgabenstellung durch den Lehrer/die Lehrerin Lehrervortrag

5 Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Materialien (1) Schrittweises Auswerten einer rekursiven Folge. Erarbeiten einer analogen Folge Partnerarbeit Arbeitsanleitung 1 Erarbeitungsphase (2) Gruppe A: Erstellen das Arbeitsblattes2 Gruppe B: Erstellen des Arbeitsblattes 3 Arbeitsanleitung 2 Arbeitsanleitung 3 Zusammenfassung und Kurzpräsenstation der Ergebnisse (3) Erarbeitung der Besonderheiten bei der Konvergenz von rekursiven Folgen Lehrervortrag Arbeitsanleitung 4 Zusammenfassung Vergleich und Diskussion der Ergebnisse Lösung Lernzielkontrolle Kontrolle der ausgefüllten Aufgabenstellungen Lehrer/in Schriftliche Lernzielkontrolle Lernzielkontrolle Anwendung / Differenzierung / Übung / Vertiefung Vorschläge zur Differenzierung siehe unten Einzel- oder Partnerarbeit Hausübung Vorschläge zur HÜ siehe unten

6 Unterrichtsablauf Einführung Der/Die Lehrende erklärt die Aufgabenstellung. Dazu wird insbesondere die Idee der Iteration am Beispiel des Heron schen Verfahrens präsentiert. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass jede rekursive Folge über eine Iteration ausgewertet wird. D.h. das Ergebnis eines Schrittes ist wieder der Startwert für den nächsten Schritt (die Iteration ist damit eine zyklische Maschine, Abb.). (1) Das nächste Folgenglied wird nach der Vorschrift Next(l) := ½(l+2/l) berechnet. (2) Das Ergebnis dieser Berechnung wird wieder als Argument in Next(l) eingesetzt und damit ein neues Next(I) berechnet usf. Erarbeitungsphase 1. Unterrichtseinheit: Die Klasse wertet schrittweise nach der Arbeitsanleitung 1 (auf Papier, siehe Anhang) die Heron sche Folge für Wurzel 2 aus. Wenn dies geklappt hat, überlegen sich die Schüler/innen in Partnerarbeit, wie die entsprechenden rekursiven Folgen für Wurzel 3, 5 oder 7 aussehen (Zusatzaufgabe 1) und ermitteln anschließend wieder die entsprechenden Näherungswerte. 2. Unterrichtseinheit: Eine Hälfte der Klasse (Gruppe A) erstellt in am PC nach der schriftlichen Arbeitsanleitung 2 (auf Papier, siehe Anhang) das Arbeitsblatt 2 Rekursive Folge mit Tabellenkalkulation.

7 Die andere Hälfte der Klasse (Gruppe B) erstellt in am PC nach der schriftlichen Arbeitsanleitung 3 (auf Papier, siehe Anhang) das Arbeitsblatt 3 Rekursive Folge mit graphischer Auswertung. Eventuell können beide Gruppen (sofern Zeit bleibt) auch beide Darstellungsformen ausführen. Jeweils ein Sprecher/Sprecherin stellt das Ergebnis der gesamten Klasse vor. 3. Unterrichtseinheit: Nun soll unter Anleitung des Lehrers/der Lehrerin überlegt werden, wie der Grenzwert einer rekursiven Folge bestimmt werden kann. Wenn das Verfahren bekannt ist, kann mit Hilfe des CAS die entsprechende Gleichung gelöst werden (die Lösung führr zum Fixpunkt Schnittpunkt zwischen der Iterationsfunktion Next(x) und der 1. Mediane). Auch dies kann noch gezeigt werden. Die detaillierten Arbeitsaufträge sind im Anhang unter Aufgabenstellung angegeben. Zusammenfassung Innerhalb von zwei Unterrichtseinheiten sollen die Schüler/innen vier Arbeitsblätter mit GeoGebra erstellen, die das Verhalten von rekursiven Folgen visualisieren, und die Eigenschaften von rekursiven Folgen hinsichtlich Konvergenz untersuchen. Anwendung / Differenzierung / Übung / Vertiefung Vertiefung Innere Differenzierung Gute Schüler/innen, die vorzeitig die Aufgaben richtig gelöst haben, können zusätzlich folgende Verbesserungen und Erweiterungen des Arbeitsblattes anbringen. Bearbeiten der Zusatzaufgabe 2 (Arbeitsblatt 1). Durchführung des Beweises, dass der Grenzwert wirklich existiert. Formulieren weiterer Angaben für Folgen, die auf Konvergenz/Divergenz untersucht werden sollen.

8 Hausübung Weitere Folgen auf Konvergenz/Divergenz entsprechend der Aufgabenstellung aus der 2. Unterrichtseinheit untersuchen: Aufgabe 3, 5 und 7 aus dem Anhang Aufgabenstellung zu rekursiven Folgen. 5 Anhang Folgende Materialien stehen für die Schüler/innen bzw. Lehrer/innen zur Verfügung. 1) Arbeitsanleitung 1 zum Erstellen eines Arbeitsblatts (GeoGebraCAS) Schrittweises Ausführen einer Iteration 2) Arbeitsanleitung 2 zum Erstellen eines Arbeitsblatts (GeoGebraTK, Geogebra-Zeichenblatt) Rekursive Folge mit Tabellenkalkulation 3) Arbeitsanleitung 3 zum Erstellen eines Arbeitsblatts (GeoGebraZeichenblatt) Rekursive Folge mit graphischer Auswertung 4) Arbeitsanleitung 4 zum Erstellen eines Arbeitsblatts (GeoGebraCAS) Konvergenz einer rekursive Folge 3) Aufgabenstellung zu Rekursive Folgen 4) Lösungen zu Rekursive Folgen 5) Lernzielkontrolle