7. Differentialgleichungen

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1 7. Allgemeine Theorie 4 7. Differentialgleichungen 7. Allgemeine Theorie In diesem Kaitel betrachten wir Prozesse, welche kontinuierlich ablaufen, wie z.b. viele Naturvorgänge, technische Abläufe, chemische Reaktionen, wirtschaftliche Abläufe, usw. Die Beschreibung derartiger Prozesse erfolgt vielfach mittels Differentialgleichungen, d.s. Gleichungen, in denen eine Beziehung zwischen einer gesuchten Funktion f und ihren Ableitungen f, f, beschrieben wird. Lösungen von Differentialgleichungen sind also Funktionen (bzw. Mengen von Funktionen). Beisiel : In einem Wachstumsrozess ist die Änderung roortional zum jeweiligen Bestand (z. B. Bakterienwachstum): f () = k f() (wobei k R eine gegebene Zahl ist) Lösungen dieser Differentialgleichung sind alle Funktionen der Art: f() = C e k (mit C R beliebig), wie man durch Einsetzen sofort sieht. (Wie man solche Lösungsfunktionen ermittelt, werden wir säter behandeln.) Beisiel 2 (Freier Fall): Es sei s eine Zeit-Weg-Funktion (besser: Zeit-Ort-Funktion) und g die Erdbeschleunigung (9,8 ms 2 ). Dann wird die Bewegung beim freien Fall beschrieben durch die Gleichung: s (t) = g, Durch Integration erhält man s (t) = gt + C und weiter s(t) = (g/2)t 2 + C t + C 2 mit C, C 2. Letztere Gleichung stellt die sogenannte allgemeine Lösung der Differentialgleichung dar. Die beiden Integrationskonstanten C und C 2 können durch Vorgabe von Anfangsbedingungen, etwa s() = s und s () = v bestimmt werden: C = v, C 2 = s. Somit erhält man als sezielle Lösung das Weg-Zeit-Gesetz s(t) = (g/2)t 2 + v t + s. Beisiel 3 (Logistisches Wachstum): Es handelt sich um ein grundlegendes Wachstumsmodell in der Biologie (Zellwachstum, Poulationswachstum), aber auch in der Wirtschaft (Entwicklung eines Marktanteils). Sei N(t) die Poulationsgröße in Abhängigkeit von der Zeit, r eine Wachstumsrate und K eine Sättigungskonstante. Die Gleichung für das logistische Wachstum lautet dann N (t) = rn( N/K). D.i. eine Differentialgleichung für N(t) mit der Lösung N = oder N(t) = K rt + Ce, C (wie man durch Einsetzen bestätigt). Dabei kann die Konstante C wieder aus einer Anfangsbedingung, etwa N() = N, ermittelt werden. Man erhält C = (K N )/N und damit die Lösung

2 7. Allgemeine Theorie 5 K N(t) = K N. rt + e N Häufig bezeichnet man in einer Differentialgleichung die gesuchte Funktion mit () bzw. ; z. B.: = k oder - k = bzw.: = r ( /K) oder - r + r 2 /K = Allgemein kann man eine Differentialgleichung auf die Form F(,,, (),..., (n) ) = bringen. Wir beschäftigen uns in diesem Kaitel mit Differentialgleichungen für Funktionen in einer Variablen. Man nennt diese dann gewöhnliche Differentialgleichungen. (Differentialgleichungen für Funktionen in mehreren Variablen heißen artielle Differentialgleichungen; siehe Kaitel 8!) Kommt in einer Differentialgleichung eine n-te Ableitung, aber keine Ableitung höherer Ordnung vor, so sricht man von einer Differentialgleichung n-ter Ordnung. Insbesondere ist eine Differentialgleichung. Ordnung durch F(,, ) = gegeben, woraus sich in einfachen Fällen elizit durch = f(,) ausdrücken lässt. (Achtung: ist die gesuchte Funktion, während f bzw. F eine gegebene Funktion in und ist.) Unter einer Lösung der Differentialgleichung (auch: Integral einer Differentialgleichung ) verstehen wir eine Funktion (), welche mit ihren Ableitungen die gegebene Gleichung erfüllt. Wir unterscheiden: Die allgemeine Lösung enthält beliebig wählbare Parameter C, C 2, usw. und entsricht einer Schar von Lösungskurven, z.b. s(t) = (g/2)t 2 + C t + C 2 mit C, C 2 in Beisiel. Eine artikuläre Lösung erhält man durch sezielle Wahl der Parameter zu vorgegebenen Anfangsbedingungen, z.b. N(t) = K/( + e rt ) zur Anfangsbedingung N() = K/2 in Beisiel 2.

3 7. Allgemeine Theorie 6 Manchmal gibt es noch weitere Lösungen, z.b. sogenannte singuläre Lösungen. Wie findet nun man Lösungen einer Differentialgleichung? Für bestimmte Differentialgleichungsten gibt es eakte Lösungsverfahren, einige dieser Verfahren werden im nächsten Abschnitt behandelt. Ist eine eakte Lösung nicht möglich, so kann man versuchen, über ein Näherungsverfahren Lösungen zu erhalten. Betrachten wir beisielsweise die Gleichung = f(,); durch diese Gleichung wird jedem Punkt der Definitionsmenge von f eine Richtung zugeordnet. Man sricht von einem Richtungsfeld. Beisiel: =,5 Jedem Punkt (,) wird das Steigungselement,5 zugeordnet: Jede Funktion, die in das Richtungsfeld asst, ist eine Lösung der Differentialgleichung:

4 7. Allgemeine Theorie 7 Durch Angabe einer Anfangsbedingung ( ) = (man sricht dann von einem Anfangswertroblem) kann aus den unendlich vielen Lösungskurven jene Lösung der Differentialgleichung ermittelt werden, die auch die Anfangsbedingung erfüllt. Ist etwa die Anfangsbedingung () = -,7 gegeben, so ergibt sich aus der allgemeinen Lösung () = C e,5 durch Einsetzen der Anfangsbedingung () = C e,5 = -,7 der Wert,7 für C = = -, ,4, und somit die Lösung:,5 e

5 7. Allgemeine Theorie 8 Numerische Ermittlung einer (aroimativen) Lösung Entwickelt man die Funktion () in eine Talorreihe um, so erhält man () ( ) + ( )( ) bzw. mit = h und unter Berücksichtigung von ( ) =, ( ) = f(, ) ( + h) + h f(, ). Diese Überlegung legt nahe, die Funktion () schrittweise an den Stellen, = + h, 2 = + h, usw. mittels obiger Gleichung näherungsweise zu berechnen. Die Schrittweite h kann dabei im Prinzi beliebig gewählt werden. Das Verfahren liefert somit eine Näherungslösung des gestellten Anfangswertroblems in Form einer Wertetabelle: = + h = + hf(, ) 2 = + h 2 = + hf(, ) n = n + h n = n + hf( n, n ) Dieses sogenannte Eulersche Polgonzugverfahren kann auf einfache Weise geometrisch interretiert werden. Der Übergang von i zu i+ entsricht dem Fortschreiten entlang der Tangente an die Lösungskurve der Differentialgleichung im Punkt ( i, i ), wodurch ein Streckenzug (, ), (, ),..., ( n, n ) entsteht (siehe Abbildung). Von da her kommt auch der Name Polgonzugverfahren. Eine Antwort auf die Frage, ob es überhaut Lösungen zu einem Anfangswertroblem gibt bzw. wann diese eindeutig bestimmt sind, geben die beiden nachstehenden Sätze. Satz (Allgemeiner Eistenzsatz für Differentialgleichungen): Ist f(,) eine stetige Funktion auf dem Bereich B, dann besitzt die Differentialgleichung = f(,) durch jeden Punkt (, ) B (mindestens) eine Lösungskurve = ().

6 7. Allgemeine Theorie 9 Satz (Eistenz- und Eindeutigkeitssatz): Ist die Funktion f(,) stetig auf dem Bereich B und erfüllt dort die Lischitzbedingung f(, 2 ) f(, ) L 2,, 2 mit einer Lischitzkonstanten L >, dann hat die Differentialgleichung = f(,) zu jedem (, ) B genau eine Lösung, welche die Anfangsbedingung ( ) = erfüllt. 7.2 Lineare Differentialgleichungen Lösungsmethoden (i) Differentialgleichungen. Ordnung Eine der wichtigsten Differentialgleichungsten ist die lineare Differentialgleichung. Ordnung, d.i. eine Gleichung der Form homogenen Gleichung + a() =. s() inhomogene Gleichung Dabei sind a() und s() beliebige Funktionen in, s() heißt Störfunktion. Falls s() = für alle ist (d.h. s() ), sricht man von einer homogenen, sonst von einer inhomogenen Gleichung. Allgemein sricht man von einer linearen Differentialgleichung (oder Differentialgleichung vom Grad ), wenn,,, höchstens in der ersten Potenz auftreten und auch keine Produkte von diesen vorkommen. Der Grad einer Differentialgleichung ist der höchste auftretende Eonent (bzw. Eonentensumme in einem Produkt) von,.,, Unter der Ordnung einer Differentialgleichung versteht man die höchste auftretende Ableitung. Grundlegend für die Lösung linearer Differentialgleichungen ist der folgende Satz: Die Lösungsgesamtheit der linearen inhomogenen Differentialgleichung + a() = s() ist gegeben durch () = h () + (), wo h () die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung + a() = und () eine beliebige artikuläre Lösung der gegebenen inhomogenen Gleichung ist. Damit ergibt sich der folgende Lösungsweg für lineare Differentialgleichungen. Ordnung:. Lösung der homogenen Gleichung durch Trennung der Variablen 2. Bestimmung einer artikulären Lösung der inhomogenen Gleichung, etwa durch Variation der Konstanten oder durch einen unbestimmten Ansatz 3. Ermittlung der Lösungsgesamtheit gemäß () = h () + (). Ad.: Die homogene Gleichung lautet + a() =. Umformung und anschließende Integration führt zu

7 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden = a() ln h = () = Ce a()d + C a()d mit C. In der Prais rechnet man folgendermaßen d d d + a() = = a()d = a()d, usw. d D.h., es werden die beiden Variablen und formal getrennt und beide Seiten der Gleichung einmal nach und einmal nach integriert. Aus diesem Grund sricht man von der Methode der Trennung der Variablen. Ad 2.: Zur Bestimmung einer artikulären Lösung der inhomogenen Gleichung + a() = s() macht man den Ansatz () = C() e a()d d.h., man ersetzt die Konstante C in der homogenen Lösung gemäß. durch eine zunächst noch unbekannte Funktion C() (Variation der Konstanten). Durch Einsetzen von () und () in die inhomogenen Gleichung wird C() ermittelt. Beisiel: Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung = 2 4. Wir lösen zunächst die zugehörige homogene Gleichung durch Trennung der Variablen gemäß. und erhalten = d = d d = d. ln = ln + ln C h () = Ce,. mit C. Variation der Konstanten gemäß 2. führt zum Ansatz und Einsetzen in die inhomogene Gleichung liefert C ()e 2 = 4 + C()e C()e C()e C () = 4e C() = 4e d = 4e ( ) () = = 4 2 C() e.

8 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden Damit lautet die artikuläre Lösung gemäß 3. ergibt schließlich allgemeine Lösung. () = () = C()e h () + () = Ce = 4( ). Addition von h und + 4( 2 ), C, das ist die Beisiel: Wir betrachten ein einfaches Modell der Volkswirtschaft zur Beschreibung des zeitlichen Verlaufs des Volkseinkommens Y(t) und der Staatsverschuldung D(t). Dabei werde angenommen, dass D (t) = αy(t) mit α >, d.h., die Neuverschuldung D sei roortional zum Volkseinkommen Y. Ferner gelte Y() = Y und D() =. Man untersuche die zeitliche Entwicklung des Verhältnisses von Staatsverschuldung zu Volkseinkommen, falls das Volkseinkommen (a) konstant bleibt bzw. (b) mit konstanter Rate r > anwächst. Im Fall (a) setzen wir zunächst Y(t) = Y konstant. Die Differentialgleichung für D(t) lautet dann D (t) = αy und besitzt die allgemeine Lösung D(t) = αy t + C. Mit der Anfangsbedingung D() = folgt C = und somit D(t) = αy t. Für das Verhältnis D zu Y gilt dann D(t) Y(t) αy t = = αt für t, Y d.h., der Anteil der Staatsverschuldung am Volkseinkommen wird im Lauf der Zeit erwartungsgemäß unbeschränkt anwachsen. Wächst hingegen das Volkseinkommen gemäß (b) mit der Rate r, dann erhält man Y(t) als Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung Y (t) = ry(t) zur Anfangsbedingung Y() = Y. Dabei ergibt sich nach Trennung der Variablen und anschließender Integration für das Volkseinkommen Y(t) = Y e rt. Die Berechnung von D(t) führt auf rt α rt α rt D (t) = αye D(t) = Ye + C, D() = D(t) = Y (e ). r r Für das Verhältnis von D zu Y gilt schließlich in diesem Fall D(t) Y(t) α rt Y (e = r rt Y e ) α = ( e r rt α ) r für t, d.h., bei eonentiell anwachsendem Volkseinkommen bleibt die Gesamtverschuldung trotz laufend unausgeglichenen Staatshaushaltes in einem lenkbaren Verhältnis zum Volkseinkommen. Die Methode der Trennung der Variablen kann mitunter auch bei nicht-linearen Differentialgleichungen mit Erfolg angewendet werden, wie das nächste Beisiel zeigt. Ad Beisiel 3 (S. 4): Wir kehren zurück zur logistischen Wachstumsgleichung N (t) = rn( N/K) von Beisiel 3, einer nicht-linearen Differentialgleichung. Ordnung für die Funktion N(t). Die im vorhergehenden Abschnitt angegebenen Lösung soll nun nach der Methode der Trennung der Variablen hergeleitet werden.

9 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden 2 dn N = rn dt K dn = rdt N N K K dn = rdt N(K N) + dn = rdt N K N ln N ln(k N) = rt + ln C N = Ce K N rt KCe N = + Ce rt Aus der letzten Gleichung folgt schließlich die allgemeine Lösung der logistischen Gleichung K gemäß N(t) = rt + C e mit C. rt (ii) Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung (mit konstanten Koeffizienten) Wir behandeln in diesem Abschnitt Differentialgleichungen 2. Ordnung der Form homogenen Gleichung + a + b =, s() inhomogene Gleichung wo a und b konstante Koeffizienten und s() eine Störfunktion sind. Dabei handelt es sich um lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. Je nachdem, ob die Störfunktion verschwindet oder nicht, nennt man die Gleichung wieder homogen bzw. inhomogen. Wie stets bei linearen Differentialgleichungen gilt auch hier für die allgemeine Lösung () = h () + (), wo h () die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und () eine artikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung bezeichnet. Dementsrechend gliedert sich der Lösungsweg bei linearen Gleichungen 2. Ordnung in dieselben Schritte wie bei linearen Gleichungen. Ordnung, die einzelnen Schritte selbst unterscheiden sich jedoch grundlegend.. Bestimmung der homogenen Lösung h (): Wir betrachten die homogene Gleichung + a + b = und machen den Eonentialansatz h () = e λ mit dem Parameter λ. Zur Bestimmung von λ setzen wir in die Differentialgleichung ein und erhalten 2 λ λ λ λ e + aλe + be =. 2 λ + aλ + b = Somit genügt λ einer quadratischen Gleichung, der sogenannten charakteristischen Gleichung. Deren Lösungen seien λ und λ 2, die sogenannten charakteristischen Wurzeln der

10 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden 3 λ λ2 Differentialgleichung. Offensichtlich sind dann () = e und () = e Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Je nachdem, ob λ und λ 2 reelle oder komlee Zahlen sind, lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung wie folgt: Satz: Sind λ, λ 2 die Lösungen der charakteristischen Gleichung λ 2 + aλ + b =, dann ist die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung + a + b = gegeben durch mit C, C 2. λ λ2 Ce + Ce 2 λ λ2 reell α h() = e (Ccosβ + C2sin β) λ,2 =α± j β konjugiert komle. λ (C+ C2)e λ =λ2 reell Beweis (besser: Probe ): a) Seien λ, λ 2 R. Überzeugen Sie sich selbst durch Einsetzen, dass mit ( ) = e λ 2 und 2( ) = e λ λ λ auch C e C2 e 2 + Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist. b) Seien λ, 2 = α ± jβ C ( ) = e λ = e (α + jβ) = e α e jβ = e α (cos β + j sin β) 2 2( ) = e λ = e (α - jβ) = e α e -jβ = e α (cos β - j sin β) und 2 sind Funktionen, die jedem R eine komlee Zahl zuordnet; es liegen also Funktionen R C vor. Ebenso wie in a) überzeugt man sich, dass mit den Lösungen und 2 auch C + C 2 2 Lösungen der gegebenen Differentialgleichung sind, und zwar für alle C, C 2 C. (Auch in a) hätten wir C, C 2 C nehmen dürfen.) Will man sich aber auf reellwertige Lösungen beschränken, so bildet man: () + 2 () = e α (cos β + j sin β) + e α (cos β - j sin β) = e α 2cos β und () - 2 () = e α (cos β + j sin β) - e α (cos β - j sin β) = e α 2j sin β D.h., mit () und 2 () sind auch f () = 2 ( () + 2 ()) = e α cos β und f 2 () = 2 j ( () - 2 ()) = e α sin β, und somit auch D f () + D 2 f 2 () = e α (D cos β + D 2 sin β) für alle D, D 2 R Lösungen der gegebenen Differentialgleichung. c) Sei λ eine Doellösung der charakteristischen Gleichung. Dann kann man zeigen, dass neben () = e λ auch 2 () = e λ eine Lösung ist: 2 () = (λ + ) e λ, 2 () = (λ 2 + 2λ) e λ in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt dies: (λ 2 + 2λ + a(λ + )+b) e λ = (λ 2 + aλ + b + 2λ + a) e λ

11 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden 4 Da λ Lösung der charakteristischen Gleichung ist, ist λ 2 + aλ + b =, und da λ Doellösung ist, gilt λ + λ = -a (Satz von Vietà!). Somit ist (λ 2 + aλ + b + 2λ + a) e λ =, d. h. 2 () = e λ ist ebenfalls eine Lösung. 2. Bestimmung der artikulären Lösung (): Partikuläre Lösungen können entweder mit der Methode der Variation der Konstanten oder - in Abhängigkeit von der jeweiligen Störfunktion - vielfach mit der Methode des unbestimmten Ansatzes gefunden werden. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden: a) Ist z.b. die Störfunktion von der Form s() = a + a a k k so wählt man als unbestimmten Ansatz () = A + A A k k Durch Einsetzen von (), () und () erhält man durch Koeffizientenvergleich Gleichungen für A, A,... A k. b) s() = a e r (i) und r ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: Ansatz: () = A e r (ii) und r ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung: Ansatz: () = A e r (iii) und r ist eine Doellösung der charakteristischen Gleichung: Ansatz: () = A 2 e r (iv) Im Falle von Differentialgleichungen der Ordnung n > 2: ist r eine m-fache Lösung der charakteristischen Gleichung: Ansatz: () = A m e r c) Kombination aus a) und b): s() = (a + a a k k ) e r Ansatz: () = (A + A A k k ) m e r d) s() = e α (a cos β + b sin β) (Das ist ja eine Funktion der Form: a e (α + jβ) + b e (α - jβ) ) Wenn λ = α + jβ (und damit auch λ = α - jβ) eine m-fache Lösung der charakteristischen Gleichung ist: Ansatz: () = m e α (C cos β + D sin β) Auch für andere Störfunktionen eistieren entsrechende unbestimmte Ansätze, die in der einschlägigen Literatur beschrieben sind. Beisiel: Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung + 2 = 2 3. Wir bestimmen zunächst die Lösung der homogenen Gleichung + 2 = gemäß. und betrachten dazu die charakteristische Gleichung λ 2 + λ 2 = mit den Wurzeln λ = und λ 2 = 2. Folglich lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung h () = C e + C 2 e 2.

12 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden 5 Die Störfunktion s() = 2 3 der inhomogenen Gleichung ist linear und fällt somit in die Klasse der unter 2. angegebenen Funktionen (a = 3, a = 2, r = ). Daraus ergibt sich für die Versuchslösung der Ansatz () = A + A mit unbestimmten Koeffizienten A, A. Wir bilden die Ableitungen () = A und () = und setzen in die inhomogene Gleichung ein: A + 2 = 2 3 2(A 2A + (A + A ) = 2 3 2A ) = 2 3 Ein Vergleich der Koeffizienten der jeweiligen linearen und konstanten Glieder führt auf 2A = 2 und A 2A = 3, also A = und A =. Damit folgt die artikuläre Lösung () = und schließlich () = h () + () = C e + C 2 e 2 +, C, C 2, die gesuchte allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung. Ein Beisiel aus der Elektrotechnik In einer Schaltung mit einem Widerstand R, einer Kaazität C und einer angelegten Sannung U e (t) gilt: U(t) + U(t) = U e(t) = U e (In den Anwendungen schreibt man den Differentialquotienten einer zeitabhängigen Größe mit einem Punkt statt des sonst üblichen Strichs: du(t) = U(t).) dt Lösung der homogenen Gleichung mit dem Ansatz U(t) = U o e kt liefert k =. t Also: U hom(t) = Uo e Die artikuläre Lösung kann man mittels Variation der Konstanten oder mittels unbestimmten Ansatzes berechnen. a) Variation der Konstanten: Ansatz: U (t) = U (t) e o t Nach Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man: U jω+ t o U(t) = e Nun sind 2 Fälle zu unterscheiden: (i) jω+ ` U jω+ t o U(t) = e jω+ t jω+ t jω+ t U U U U(t) o = e dt e e = = jω+ jω + t U U (t) = U o(t) e = e jω +

13 7.2 Lineare Differentialgleichungen - Lösungsmethoden 6 U U(t) = U hom (t) + U (t) = Uo e + e jω + (ii) t U jω+ t U t U(t) o = e = e = U jω+ = U U(t) o = t t U t U (t) = U o(t) e = t e Lösung: t U t U U(t) = U hom (t) + U (t) = Uo e + t e = Uo + t e t b) Unbestimmter Ansatz: (i) (ii) jω j t Ansatz: U(t) = Ae ω U(t) = Ajω e Ajω e + Ae = U e Ae ( jω + ) = U e U A = jω + t U U(t) = U hom (t) + U (t) = Uo e + e jω + jω= jω + = Da j ω Lösung der charakteristischen Gleichung ist Ansatz: U(t) j t = Ate ω U(t) = Atjω e + Ae (tjω+ ) A e + Ate = U e A + At(jω+ ) = U U A = U(t) = U (t) + U (t) = U U U e + t e = U + t e t t t hom o o