Hausaufgaben. zur Vorlesung. Vollständige Induktion. 1. Beweist folgende Formeln (zu beweisen ist nur die Gleichheit mit dem. i=1 (4 + i)!

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1 WS 015/1 Hausaufgaben zur Vorlesung Vollständige Induktion 1. Beweist folgende Formeln zu beweisen ist nur die Gleichheit mit dem! -Zeichen : a n n 4 + i! nn+9 b n 1 n 1 c n n i! Lösung zu 1. i! n 1 n a Aus der Vorlesung ist bekannt, dass n i n gilt. Dann gilt für n 4 + k auch k+4 i 4+k5+k und somit k k k+4 i k5 + k k + k 0 k + 9k kk + 9 b Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Folge mit a 1 1 und der Vorschrift a a n + 1 die explizite Darstellung a n 1 hat. n 1 Dann reicht es also Induktiv zu zeigen, dass dann auch a n i gilt. Induktionsanfang: für n 1 gilt a i Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit a n n 1 i Induktionsbehauptung: Dann gilt auch a n i a a n + 1 IV n 1 i + 1 n i n i n 1 i+1 + 1

2 WS 015/1 c Da bekannt ist, dass n n i, reicht es induktiv zu zeigen, dass n i n i ist. Induktionsanfang: für n 1 gilt 1 i i Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit n i n i Induktionsbehauptung: Dann gilt auch i i i n i + n + 1 n i + n + 1 IV n n i + n + 1 i i + n n + 1 i nn n n + 1 n i + nn n + 1 n i + n + 1. Findet für die folgenden Reihen, durch betrachten der ersten Glieder ein explizite und summenzeichenfreie Formel und beweist diese dann induktiv. a a n : n 1 n i 1 b b n : n 1 n 1 i Lösung zu. a a 1 1 a a Dadurch angenommen a n n. Induktionsanfang n 1: a Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit n i 1n Induktionsbehauptung: Dann gilt auch i 1n + 1 n i 1 i 1 + n IV n + n n + n + 1 n + 1 i

3 WS 015/1 b b 1 1, b, b 7, b Dadurch angenommen b n n 1. Induktionsanfang n 1: b Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit n 1 i n 1 Induktionsbehauptung: Dann gilt auch n i 1 n i n 1 i + n IV n 1 + n n 1 1. Beweist folgende Ungleichungen. a n < n für 5 n 4 b n n! n! c n + 1 x n + x n x + 1 n x n n xi n für x > 0 Lösung zu. a Beweis per Induktion über n N mit n 5 Induktionsanfang n 5: Es gilt 5 5 < 5 Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit n < n Induktionsbehauptung: Dann gilt auch n + 1 < Im folgenden Beweis wird n + 1 < n verwendet. Dies gilt, denn nach Voraussetzung ist 5 n < n 1. Daraus folgt aber < < n 1 n n + 1, also < n n + 1 n + 1 < n Nun zum Beweis: n + 1 n + n + 1 < n + n n IV < n b Beweis per Induktion über n N Induktionsanfang n 1: Es gilt ! 1! Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit 4n n! n! 4 Induktionsbehauptung: Dann gilt auch +1!!

4 WS 015/1 Im folgenden Beweis wird n+ Nun zum Beweis: n + n + 1 n + 1 n + 1 n + 1n + n nn verwendet. Dies gilt denn: n nn n n n n 0 n da n N 4 n n n + 4n n + 1 n + 1 IV n! n + 1 n! n + 1 n + 1! n + 1!n! n + 1! n!n + 1! n + 1 n + 1! n + n +! n + 1 n + 1! n + 1! c Beweis per Induktion über n N, x > 0. Induktionsanfang: n 1 Es gilt x + 1 x und da x > 0, gilt x + 1 x 0 x + 1 x x 1 x, und das 0 z gilt stets für alle z R. n Es gilt + 1 x x und dies ist Äquivalent zum Fall n 1 für x x. Induktionsschritt: n n + Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit n + 1 n xi n für jedes x > 0. Induktionsbehauptung: Dann gilt auch n n+ xi n+. Nach Induktionsanfang für n 1 gilt für jedes y > 0 auch y + 1 y. Insbesondere für y x n+. Dann aber folgt n n IV n x i n + x i 1 n + x i 1 n + x n+ + 1 n+ x n+ x i n+ 4. Eine Zahlenfolge x n n N sei durch das rekursive Bildungsgesetz x n + 1 x n n n + 1 4

5 WS 015/1 und ihr Anfangsglied x 1 1 gegeben. Bestimme x 010. Hinweis: Versuche wie in Aufgabe eine Formel für x n zu vermuten und diese dann per Induktion zu beweisen. Lösung zu 4. Zuerst ein paar Werte von x n berechnen, um eine Vermutung anstellen zu können: 1 x 1 1 x x x Dies legt die Vermutung nahe, dass x n n für alle n N. Beweis per Induktion über n N mit n 5 Induktionsanfang n 1: x 1 1 per Definition Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit x n n Induktionsbehauptung: Dann gilt auch x n + 1 Def n x + 1 x n n n + 1 IV n + 1 n n n + 1 n + n n + 1 n + 1 Dann folgt x Es sei a n n N eine arithmetische Folge also die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Ferner seien die Folgen s n n N und t n n N definiert durch: s n : n a i, t n : a Man berechne das Anfangsglied a 1 sowie die Konstante d a a n, wenn bekannt ist, dass s 4 4 und t 4 15 gilt. b Man beweise dass für alle natürlichen Zahlen n gilt: nn + 1 t n a 1 + n 1 d n s i 5

6 WS 015/1 Lösung zu 5. a Da die Differenz d a a n konstant ist, gilt insbesondere für n > 1 auch Dann gilt aber n 1 a n a n 1 + d a 1 + d a 1 + n 1d 4 s 4 a 1 + a + a + a 4 a 1 + a 1 + d + a 1 + d + a 1 + d 4a 1 + d 15 t 4 s 1 + s + s + s 4 4a 1 + a + a + a 4 4a 1 + a 1 + d + a 1 + d + a 1 + d 10a d Löst man das daraus resultierende lineare Gleichungssystem, erhält man a 1,5 und d 1. b Beweis per Induktion über n N Induktionsanfang n 1: Es gilt t 1 1 s i s 1 1 a i a 1 1 a d Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n N mit t n n a1 + n 1 d Induktionsbehauptung: Dann gilt auch t n+ a1 + n d t t n + s t n + n t n + n + 1a 1 + d IV nn + 1 a 1 + n 1 a i t n + a 1 + i 1d i 1 t n + n + 1a 1 + d d nn n + 1a 1 + d nn + 1n 1 nn + 1 nn + 1 nn + 1 a 1 + n d + nn n + 1 nn + 1n 1 + nn + 1 a 1 + d n + n + 1 nn + 1n 1 + a 1 + d n + n + 1 a 1 + n d