Grundlagen der Numerischen Mathematik II

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1 J Manfred Reimer Grundlagen der Numerischen Mathematik II Studienbuch für Studenten der Mathematik, Informatik, Statistik und aller Naturwissenschaften Mit 29 Abbildungen Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1982

2 INHALT 1. Extremalaufgaben 3 Freie Extrema - Extrema unter Restriktionen 1.1 Methode der Lagrange-Multiplikatoren Lineare Optimierung Normal formen 11 Struktur der Lösungsmenge Schlupfvariable 17 dritte Normal form Simplex-Algorithmus 25 zulässige Basispunkte Maximalitätskriterium, Austauschschritt, Unbeschränktheitskriterium, Endlichkeit des Algorithmus praktische Durchführung, Simplex-Tableau Entartung zulässiger Basispunkte Konstruktion eines Startpunktes 1.3 Diskrete Tschebyscheff-Approximation 49 Berücksichtigung von freien Variablen im Programm 2. Lokalisierung der Nullstellen von Polynomen Problemstellung 53 Stabilitätsprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und bei Differenzengleichungen Äquivalenz der Nunstellenprobleme für den Einheitskreis und für die linke Halbebene 2.2 Sturmsche Ketten 58 euklidischer Algorithmus

3 2.3 Routh-Hurwitz-Kriterium Das Kriterium von Cohn 85 Satz von Rouche 2.5 Stabi1ität-erhaltende PolynomtransformatJonen 92 Sätze von Schur und von Grace-Szegö Numerische Behandlung von Anfangswertaufgaben 103 gewöhnlicher Differentialgleichungen 3.1 Problemstellung 103 Normierung des Gebietes, autonome Schreibweise 3.2 Diskrete Approximation 108 Gitter, Gitterfunktionen, diskrete Konvergenz 3.3 Polygonzug-Verfahren 111 bei nichtäquidistantem Gitter, Konvergenz 3.4 Runge-Kutta-Verfahren 115 K-stufige RKV, Diskretisierungsfehler, Konsistenz und Konsistenzordnung Abgleich von Runge-Kutta-Verfahren 118 Polygonzug-, Heun-, Halbschrittverfahren klassische 3- und 4-stufige RKV Runge-Kutta-Verfahren hoher Konsistenzordnung 129 implizite RKV Behandlung nicht-autonomer Anfangswertaufgaben Behandlung von AWA gewöhnlicher DGLn r-ter Ordnung 130 Nyström-Verfahren 3.6 Automatische Schrittweitenkontrolle und -Steuerung 132 Extrapolation nach Richardson, Einfluß der Rundungsfehler

4 3.7 Auf Interpolation beruhende Verfahren Interpolation an den Knoten x,x,,...,x. 138 Differenzenform, -Verfahren, Anfangswerte Berechnung der Parameter Adams-Moulton-Verfahren Newton-Cotes-Verfahren Interpolation an den Knoten x,xi,...,x., Adams-Bashforth-Verfahren Berechnung der Anfangswerte Lineare Differenzenformen 155 algebraischer Grad, FormfunktionaJ Charakterisierung des Grades, Gradabgleich, Beispiele 3.10 Integraldarstellung nach Peano 167 Peano-Kern 3.11 Lineare Differenzenverfahren 170 allgemeine Theorie 3.12 Ein- und Mehrschrittverfahren Konsistenz 175 Konsistenzordnung 3.14 Stabilität 179 Diskretisierungsfehler, Störungen charakteristisches Polynom Stabilitätskriterium 3.15 Konvergenz Maximaler Grad stabiler linearer Differenzenformen Numerische Behandlung von Randwertaufgaben gewöhnlicher DGLn Lineare Randwertaufgaben Schießverfahren 205

5 4.3 Differenzenapproximation Ritz-Galerkin-Verfahren Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 218 Charakteristi ken-methode 6. Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Typeneinteilung Parabolische Differentialgleichung Separationsansatz bei homogenen Randbedingungen Diskretisierungsansatz Stabilität, Konvergenz 6.3 Elliptische Differentialgleichung 236 Dirichlet- und Neumann-Problem, Maximum-Prinzip Approximationsansatz Diskretisierungsansatz 240 Maximum-Prinzip für Gitterfunktionen Lösbarkeit des Ersatzproblems 6.4 Hyperbolische'Differentialgleichung 247 Separationsansatz Problem der schwingenden Saite Literatur 251 Symbol Verzeichnis 257 Sachregister 261