Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung 1

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilitat Kondition eines Problems Elementare Beispiele Bemessen, Normen Relative und Absolute Kondition Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme Operatornormen, Konditionszahlen linearer Abbildungen Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik Zahlendarstellungen Rundung, Maschinengenauigkeit Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstarkung bei elementaren Rechenoperationen Stabilitat eines Algorithmus Ubungen 48 3 Lineare Gleichungssysteme, direkte Losungsverfahren Vorbemerkungen, Beispiele Kondition und Storungssatze Zeilenskalierung Wie man es nicht machen sollte Dreiecksmatrizen, Riickwartseinsetzen Gaufi-Elimination, Li?-Zerlegung Gaufi-Elimination mit Spaltenpivotisierung Numerische Durchfuhrung der Li?-Zerlegung und Implementierungshinweise Einige Anwendungen der Li?-Zerlegung Cholesky-Zerlegung Bandmatrizen 88 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 XIV Inhaltsverzeichnis 3.8 Stabilitatsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung Q.R-Zerlegung Givens-Rotationen Householder-Transformationen Ubungen Lineare Ausgleichsrechnung Einleitung Das lineare Ausgleichsproblem Kondition des linearen Ausgleichsproblems Numerische Losung des linearen Ausgleichsproblems Losung der Normalgleichungen Losung iiber QiJ-Zerlegung Zum statistischen Hintergrund - lineare Regression* Orthogonale Projektion auf einen Teilraum* Singularwertzerlegung (SVD) und Pseudoinverse* Berechnung von Singularwerten Rangbestimmung Einige Anwendungshintergriinde der SVD Ubungen Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative L6sungsverfahrenl Vorbemerkungen Kondition des Nullstellenproblems einer skalaren Gleichung Fixpunktiteration Konvergenzordnung und Fehlersehatzung Berechnung von Nullstellen von skalaren Gleichungen Bisektion Das Newton-Verfahren Newton-ahnliche Verfahren Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden fur skalare Gleichungen Das Newton-Verfahren fiir Systeme Grundlagen des Newton-Verfahrens Hinweise zur praktischen Durchfuhrung des Newton-Verfahrens Berechnung von Nullstellen von Polynomen* Ubungen Nichtlineare Ausgleichsrechnung Problemstellung Das Gaufi-Newton-Verfahren Analyse der Gaufi-Newton-Methode Das gedampfte Gaufi-Newton-Verfahren Levenberg-Marquardt-Verfahren 222

3 Inhaltsverzeichnis XV 6.4 Ubungen 224 Berechnung von Eigenwerten Einleitung Einige theoretische Grundlagen Eigenwertabschatzungen Kondition des Eigenwertproblems Vektoriteration Inverse Vektoriteration QR- Verfahren Die Unterraumiteration QE-Algorithmus Praktische Durchfiihrung des Qi?-Algorithmus Ubungen 261 Interpolation Vorbemerkungen Lagrange-Interpolationsaufgabe fiir Polynome Existenz und Eindeutigkeit der Lagrange-Polynominterpolation Auswertung des Interpolationspolynoms an einer oder wenigen Stellen Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Potenzform Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Newtonschen Interpolationsformel Restglieddarstellung - Fehleranalyse Hermite-Interpolation* Numerische Differentiation Grenzen der Polynominterpolation Beispiel einer Splineinterpolation* Trigonometrische Interpolation - Schnelle Fourier- Transformation* Fourier-Reihen Trigonometrische Interpolation und diskrete Fourier-Transformation Schnelle Fourier-Transformation (Fast Fourier Transform FFT) Ubungen 318 Splinefunktionen Splineraume und Approximationsgiite B-Splines B-Splines als Basis fiir den Splineraum Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines 332

4 XVI Inhaltsverzeichnis Stabilitat der B-Spline-Basis Splineinterpolation Datenfit-Smoothing Splines Ubungen Numerische Integration Einleitung Newton-Cotes-Formeln Gaufi-Quadratur Extrapolation und Romberg-Quadratur Zweidimensionale Integrale Transformation von Integralen Integration iiber dem Einheitsquadrat Integration iiber dem Einheitsdreieck Ubungen Gewohnliche Differentialgleichungen Einfiihrung Reduktion auf ein System 1. Ordnung Einige theoretische Grundlagen Einfache Einschrittverfahren Fehlerbetrachtungen fiir Einschrittverfahren Lokaler Abbruchfehler und Konsistenz Zusammenhang zwischen Konsistenz und Konvergenz Praktische Bedeutung der Konvergenzordnung Extrapolation Runge-Kutta-Einschrittverfahren Explizite RK-Verfahren Implizite RK-Verfahren* Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren Mehrschrittverfahren Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren Adams-Bashforth-Verfahren Adams-Moulton-Verfahren Pradiktor-Korrektor-Verfahren Konvergenz von linearen Mehrschrittverfahren* Steife Systeme Einleitung Stabilitatsintervalle Stabilitatsgebiete:,4-Stabilitat* Riickwartsdifferenzenmethoden Zusammenfassende Bemerkungen Ubungen 449

5 Inhaltsverzeichnis XVII 12 Partielle DifFerentialgleichungen Problemstellung und Prototypen Korrekt gestellte Probleme - Kondition* Differenzenverfahren fiir elliptische Randwertaufgaben Diskretisierung der Poisson-Gleichung Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung Fourieranalyse Diskretisierungsfehleranalyse - Stabilitat und Konsistenz Finite-Elemente-Methode fiir elliptische Randwertaufgaben* Schwache Formulierung eines elliptischen Randwertproblems Satz von Lax-Milgram und Galerkin-Diskretisierung Korrektgestelltheit der schwachen Formulierung elliptischer Randwertprobleme Galerkin-Diskretisierung mit Finite-Elemente-Raumen Diskretisierungsfehleranalyse A-posteriori Fehlerschranken und Adaptivitat Matrix-Vektor Darstellung des diskreten Problems Finite-Volumen-Methode fur elliptische Randwertaufgaben Finite-Volumen Methode mit Voronoi-Kontrollvolumina Finite-Volumen Methode mit einem dualen Gitter Fazit: Vergleich der Methoden Diskretisierung parabolischer Anfangs-Randwertaufgaben Ubungen GroBe dunnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative Losungsverfahren Beispiele grofier diinnbesetzter Gleichungssysteme Eigenschaften von Steifigkeitsmatrizen Lineare Iterationsverfahren Einleitung Das Jacobi-Verfahren Das Gaufi-Seidel-Verfahren SOR-Verfahren Die Methode der konjugierten Gradienten Vorkonditionierung Zusammenfassende Bemerkungen Ubungen Numerische Simulationen: Vom Pendel bis zum Airbus Taktrnechanismus Datenfit Ein Masse-Feder System 596

6 XVIII Inhaltsverzeichnis 14.4 Warmeleitung Komplexere Beispiele numerischer Simulationen Inverses Warmeleitproblem in einem welligen Rieselfilm Inkompressible Stromung in einer Blutpumpe Kompressible Stromung um einen Flugzeugfliigel Ubungen 624 Literaturverzeichnis 627 Sachverzeichnis 629