Numerische Mathematik

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1 Hans Rudolf Schwarz I Norbert Köckler Numerische Mathematik 8., aktualisierte Auflage STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhalt Einleitung Fehlertheorie Fehlerarten. Zahldarstellung. Rundungsfehler. Differenzielle Fehleranalyse Ergänzungen und Beispiele Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden Der Gauß-Algorithmus. Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung Pivotstrategien Ergänzungen Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen Nornren Fehlerabschätzungen, Kondition.... Systeme mit speziellen Eigenschaften Symmetrische, positiv definite Systeme Bandgleichungen Tridiagonale Gleichungssysteme Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner Voll besetzte Systeme. Tridiagonale Gleichungssysteme Anwendungen

3 Kl Interpolation und Approximation Polynominterpolation. Problemstellung... Lagrange-Jnterpolation Newton-Interpolation Hermite-Interpolation. Inverse Interpolation.. Anwendung: Numerische Differenziation Splines. Kubische Splines.. B-Splines 1. Grades Kubische B-Splines. Zweidimensionale Splineverfahren Bilineare Tensorsplines Bikubische Tensorsplines Kurveninterpolation... Kurven und Flächen mit Bezier-Polynornen Bernstein-Polynome. Bezier-Darstellung eines Polynoms Der Casteljau-Algorithmus Bezier-Kurven Bezier-Flächen.... Gauß-Approximation Diskrete Gauls-Approximation Kontinuierliche Gauß-Approximation. Trigonometrische Approximation. Fourier-Reihen. Effiziente Berechnung der Fourier-Koeffizienten Orthogonale Polynome. Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen Die Legendre-Polynome Nichtlineare Gleichungen Theoretische Grundlagen. Problemstellung Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz Stabilität und Kondition. Inhalt

4 Inhalt Gleichungen in einer Unbekannten Das Verfahren der Bisektion Das Verfahren von Newton Die Sekantenmethode... Brents Black-box-Methode Gleichungen in mehreren Unbekannten. Fixpunktiteration und Konvergenz Das Verfahren von Newton Nullstellen von Polynomen Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow Eigenwertprobleme Theoretische Grundlagen Das charakteristische Polynom Ähnlichkeitstransformationen. Symmetrische Eigenwertprobleme Elementare Rotationsmatrizen. Da..'3 klassische Jacobi-Verfahren. Die Vektoriteration. Die einfache Vektoriteration nach von Mises. Die inverse Vektoriteration Transformationsmethoden. Transformation auf Hessenberg-Form Transforrnation auf tridiagonale Form Schnelle Givens- Transformation... QR-Algorithmus. Grundlagen zur QR-Transformation Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte QR- Doppelschritt, komplexe Eigenwerte.. QR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen Zur Berechnung der Eigenvektoren.. Das allgemeine Eigenwertproblem.. Der symmetrisch positiv definite Fall. Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität Anwendung: Membranschwingungen

5 :3.: ;{ Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen Methoden der Orthogonaltransformation Givens-Transformation Spezielle Rechentechniken.. Householder-Transfonnation Singulärwertzerlegung.... Nichtlineare Ausgleichsprobleme Gauß-Newton-Methode Minimierungsverfahren Numerische Integration Newton-Cotes-Forrneln. Konstruktion von Newton-Cores-Formeln Verfeinerung der Trapezregel Rornberg-Integration... Transformationsmethoden. Periodische Integranden Integrale über Jl{... Variablensubstitution Gauf&-Integration... Eingebettete Gaug-Regeln. Adaptive Integration.... Mehrdimensionale Integration. Produktintegration. Integration über Standardgebiete. Anfangswertprobleme Einführung Problemklasse und theoretische Grundlagen. Möglichkeiten numerischer Lösung Einschrittverfahren... Konsistenz Runge-Kutta-Verfahren Explizite Runge-Kutta-Verfahren. Inhalt ;{

6 Inhalt Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren Schrittweitensteuerung Mehrschrittverfahren Verfahren vom Adams-Typ Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion Stabilität Inhärente Instabilität Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren ~) Steife Differenzialgleichungen Anwendung: Lotka-Volterras Wettbewerbsmodell Rand- und Eigenwertprobleme Problemstellung und Beispiele Lineare Randwertaufgaben Allgemeine Lösung Analytische Methoden Analytische Methoden mit Funktionenansätzen Schießverfahren Das Einfach-Schieisverfahren Das Mehrfach-Schießverfahren Differenzenverfahren Dividierte Differenzen Diskretisieruug der Randwertaufgabe Partielle Differenzialgleichungen Differenzenverfahren Problemstellung Diskretisierung der Aufgabe Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen Diskretisierungsfehler Ergänzungen Parabolische Anfangsrandwertaufgaben Eindimensionale Probleme, explizite Methode Eindimensionale Probleme, implizite Methode Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 459

7 : Zweidimensionale Probleme.. Methode der finiten Elemente. Grundlagen. Prinzip der Methode der finiten Elemente Elementweise Bearbeitung. Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen Beispiele Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen Relaxationsverfahren Konstruktion der Iterationsverfahren. Einige Konvergenzsätze Optimaler Relaxationsparameter und Konvergenzgeschwindigkeit Mehrgittermethoden Ein eindimensionales Modellproblem. Eigenschaften der gedämpften Jacobi-Iteration Ideen für ein Zweigitterverfahren..... Eine eindimensionale Zweigittermethode.... Eine erste Mehrgittermethode. Die Mehrgitter-Operatoren für das zweidimensionale Modellproblern Vollständige Mehrgitterzyklen Komplexität. Ein Hauch Theorie Methode der konjugierten Gradienten Herleitung des Algorithmus. Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten Konvergenzabschätzung Vorkonditionierung. Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen Grundlagen des Verfahrens. Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften Speicherung schwach besetzter Matrizen Inhalt Literaturverzeichnis Sachverzeichnis